1、A 级 基础巩固一、选择题1已知向量 i(1，0)，j(0，1) ，对坐标平面内的任一向量 a，给出下列四个结论：存在唯一的一对实数 x，y ，使得 a(x，y )；若 x1，x 2，y 1，y 2R，a(x 1，y 1)(x 2，y 2)，则 x1x 2，且 y1y 2；若 x，yR ，a(x ，y)，且 a0，则 a 的起点是原点 O；若 x，yR ，a0，且 a 的终点坐标是( x，y)，则 a(x，y) 其中正确结论的个数是( )A1 B2 C3 D4解析：由平面向量基本定理知正确；若 a(1，0) (1，3)，但 11，故错误；因为向量可以平移，所以 a( x，y)与 a 的起点是不
2、是原点无关，故错误；当 a 的终点坐标是( x， y)时， a( x，y )是以 a 的起点是原点为前提的，故 错误答案：A2设向量 a(1，3)，b(2，4) ，c ( 1，2)，若表示向量4a，4b2c，2(ac )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d 的坐标为( )A(2，6) B(2，6) C(2，6) D(2，6)解析：由题意，得 4a4b2c2(ac)d0，则 d4a4b2c2(ac)6a4b4c ( 2，6) 答案：D3已知点 A(1，3) ，B(4，1)，则与向量 同方向的单位向量为 ( )AB A. B.(35， 45) (45， 35)C. D.( 35， 45
3、) ( 45， 35)解析： (3 ，4)，则与 同方向的单位向量为 (3，4) .AB AB AB |AB | 15 (35， 45)答案：A4设向量 a(1，3)，b(2，4) ，若表示向量 4a，3b2a ， c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c 等于( )A(1，1) B(1，1)C(4，6) D(4，6)解析：因为 4a，3b2a，c 对应有向线段首尾相接，所以 4a3b2ac0，故有 c2a3b2(1 ，3) 3(2，4)(4 ，6)答案：D5设向量 a(m，n)，b( s，t )，定义两个向量 a， b 之间的运算“”为ab(ms ，nt)若向量 p (1，2) ，pq
4、(3，4) ，则向量 q( )A(3，2) B(3，2)C(2，3) D(3，2)解析：设向量 q(x，y)，根据题意可得 x3，2y4，解得 x3，y 2，即向量 q(3，2)答案：D二、填空题6设向量 a， b 满足 a(1， 1)，| b|a| ，且 b 与 a 的方向相反，则 b 的坐标为_解析：因为向量 a 与 b 的方向相反，且|b| |a|，所以 ba(1，1)(1，1) 答案：(1，1)7作用于原点的两个力 F1(1，1) ，F 2(2，3)，为使它们平衡，需加力F3_ 解析：因为 F1F 2F 30，所以 F3F 1F 2(1，1)(2 ，3)( 3，4)答案：(3，4)8已
5、知点 A( 1，5) 和向量 a(2，3)，若 3a，则点 B 的坐标为_AB 解析： ( 1，5) ， 3a(6，9) ，OA AB 故 (5，4)，故点 B 的坐标为(5 ，4)OB OA AB 答案：(5，4)三、解答题9.在平面直角坐标系 xOy 中，向量 a， b， c 的方向如图所示，且|a|2， |b|3，| c|4，分别计算出它们的坐标解：设 a(a 1，a 2)，b( b1，b 2)，c ( c1，c 2)，则 a1|a|cos 452 .22 2a2|a|sin 45 2 ，22 2b1|b|cos 1203 ，( 12) 32b2|b|sin 1203 ，32 332c1
6、|c |cos(30)4 2 ，32 3c2|c |sin(30)4 2.( 12)所以 a( ， )，b ，c(2 ，2) 2 2 ( 32，332) 310已知向量 (4 ，3)， (3，1) ，点 A(1，2)AB AD (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标；(2)若点 P(2，y )满足 (R)，求 与 y 的值PB BD 解：(1)设 B(x1，y 1)，因为 (4 ，3)，A(1，2)，AB 所以(x 11，y 12)(4 ，3)，所以 所以 所以 B(3，1)x1 1 4，y1 2 3，) x1 3，y1 1.)同理可得 D(4，3)，设 BD 的中点 M(x2，y 2)，则
7、x2 ，y 2 1，3 42 12 1 32所以 M .( 12， 1)(2)由 (3，1)(2 ，y)(1，1y)， ( 4，3)(3 ，1)(7，4) ，PB BD 又 (R)，PB BD 所以(1，1y) (7，4)(7，4)，所以 所以1 7，1 y 4，) 17，y 37. )B 级 能力提升1对于向量 m(x 1，y 1)，n(x 2，y 2)，定义 mn( x1x2，y 1y2)已知 a(2 ，4)，且 abab，那么向量 b 等于( )A. B.(2， 45) ( 2， 45)C. D.(2， 45) ( 2， 45)解析：设 b(x，y)，由新定义及 abab，可得(2x，y
8、4)(2 x，4 y)，所以 2x2x，y 44y.解得 x2，y ，所以向量 b .45 (2，45)答案：A2在ABC 中，点 P 在 BC 上，且 2 ，点 Q 是 AC 的中点，若 (4，3)，BP PC PA (1，5) ，则 _ PQ BC 解析： (1，5)(4 ，3)( 3，2)，PQ PA AQ 因为点 Q 是 AC 的中点，所以 AQ ，QC 所以 (1，5)(3，2) (2，7)PC PQ QC 因为 2 ，所以 3 3(2，7)( 6，21)BP PC BC BP PC PC 答案：(6，21)3已知 A(2 ，4) ，B(3，1)，C(3，4) 设 a， b， c ，
9、且 3c ， 2b.AB BC CA CM CN (1)求 3ab3c；(2)求满足 amb nc 的实数 m，n 的值；(3)求 M，N 的坐标及向量 的坐标MN 解：由已知得 a(5，5)，b(6，3) ，c (1 ，8)(1)3ab3c3(5，5)( 6，3) 3(1，8)(15 6 3，15324)(6， 42)(2)因为 mbnc(6mn， 3m8n)a(5 ，5)，所以 解得 6m n 5， 3m 8n 5，) m 1，n 1.)(3)设 O 为坐标原点，因为 3c，CM OM OC 所以 3c (3，24)(3，4) (0，20) ，OM OC 所以 M(0，20)又因为 2b，CN ON OC 所以 2b (12，6)(3，4) (9，2) ，ON OC 所以 N(9，2)，所以 (9，18)MN