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2019秋人教A版数学必修4同步练习含解析:1.6三角函数模型的简单应用

1、A 级 基础巩固一、选择题1某人的血压满足函数关系式 f(t)24sin 160t110,其中 f(t)为血压,t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( )A60 B70 C80 D90解析:因为 T ,所以 f 80.2160 180 1T答案:C2如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y3sin k ,据此函数可知,这段时间水深( 单位:m)的最大值为( )(6x )A5 B6 C8 D10解析:由题图知,当 sin 1 时,函数取得最小值 2,(6x )即 3(1) k2,所以 k5.因此,函数的最大值是 3158.故水深的最大值为 8.答案:C3为了研究钟表与三角

2、函数的关系,建立如图所示的平面直角坐标系设秒针针尖的位置为 P(x,y ),若初始位置为 P0 ,当秒针针尖从 P0(注:此时 t0) 正常开始走(32, 12)时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( )Aysin Bysin(30t 6) ( 60t 6)Cy sin Dysin( 30t 6) ( 30t 3)解析:由题意,可得函数的初相是 ,排除 B、D.函数的最小正周期是 60,所以 T660,所以| | ,因为秒针按顺时针转动,所以 ,故选 C.2| 30 30答案:C4一种波的波形为函数 ysin x 的图象,若其在区间0,t上至少有 2 个波峰(图2象的最高点)

3、 ,则正整数 t 的最小值是( )A5 B6 C7 D8解析:函数 ysin x的周期 T4 且 x3 时 y1 取得最大值,因此 t7.2答案:C5如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s(cm)和时间 t(s)的函数关系式为 s6sin ,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )(2t 6)A2 s B s C0.5 s D1 s解析:单摆来回摆动一次,即完成一个周期,所以 T 1 s,即单摆来回摆动一次所需的时间为 1 s.2| 22答案:D二、填空题6设 yf(t) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(小时)的函数,其中 0t24.下表是该港口某一天从 0 时至

4、 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观察,函数 yf( t)的图象可以近似地看成函数 ykA sin(t)的图象则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是_解析:由表格知最大值为 15,最小值为 9,最小正周期为 12,故 解得 A3,k12, .k A 15,k A 9,) 6又 t0 时,y 12,所以 0.答案:y123sin t67已知某种交变电流 I(A)随时间 t(s)的变化规律可以拟合为函数I5 sin ,t0,) ,则这种交变电流在

5、 0.5 s 内往复运动的次数是2 (100t 2)_解析:周期 T s,所以频率为每秒 50 次,所以 0.5 秒内往复运动的次数为 25.150答案:258某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 yaAcos(A0,x1,2, 3, ,12) 来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28,6( x 6) 12 月份的月平均气温最低,为 18,则 10 月份的平均气温值为_.解析:依题意知,a 23,A 5,28 182 28 182所以 y235cos ,6(x 6)当 x10 时,y235cos 20.5.(64)答案:20.5三、解答题9实验室某一天的温度

6、(单位: ) 随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)102sin ,t0 , 24)(12t 3)(1)求实验室这一天上午 8 时的温度;(2)求实验室这一天的最大温差解:(1)f(8)102sin 102sin 10.(128 3)故实验室这一天上午 8 时的温度为 10.(2)因为 0t24,所以 t ,3 12 373所以1sin 1.(12t 3)当 t2 时,sin 1;(12t 3)当 t14 时,sin 1.(12t 3)所以 f(t)在0 ,24)上的最大值为 12,最小值为 8.故实验室这一天最高温度为 12,最低温度为 8,最大温差为 4.10确定方程 si

7、n lg x 的实数解的个数(2x 3)解:作函数 ysin 及 ylg x的图象如图所示,由图可知,原方程的实数解的(2x 3)个数为 7.B 级 能力提升1已知函数 f(x)Asin(x )(A0,0,0)的图象上一个最高点为点(2,3),与这个最高点相邻的一个函数值为 0 的点是点(6,0) ,则 f(x)的解析式为( )Af(x)3sin Bf(x)3sin(8x 4) (4x 4)Cf(x)3sin Df (x)3sin(8x 4) (4x 4)解析:由题意知 A3, T624,所以 T16,14故 T 16,所以 ,所以 f(x)3sin ,2 8 (8x )因为最高点为(2,3)

8、,所以 3sin 3,(82 )即 sin 1,又 0.(4 )所以 ,所以 f(x)3sin .4 (8x 4)答案:C2据市场调查,某种商品每件的售价按月呈 f(x)Asin(x )B的模型波动( x 为月份),已知 3 月份达到最高价 8 千元,7 月份价格最(A 0, 0, | 2)低,为 4 千元,则 f(x)_解析:由题意得 解得 A2,B6.A B 8, A B 4,)周期 T2(73)8,所以 .2T 4所以 f(x)2sin 6.(x4 )又当 x3 时,y 8,所以 82sin 6.(34 )所以 sin 1,(34 )结合| 可得 .2 4所以 f(x)2sin 6.(x

9、4 4)答案:2sin 6(x4 4)3如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转一圈需要 12 分钟,其中圆心 O 距离地面 40.5 米,半径为 40 米如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,从你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题:(1)求出你与地面的距离 y(米) 与时间 t(分钟)的函数关系式;(2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时,用了多长时间?解:(1)由已知可设 y40.540cos t,t0,由周期为 12 分钟可知,当 t6 时,摩天轮第 1 次到达最高点,即此函数第 1 次取得最大值,所以 6,即 .6所以 y40.540cos t(t0) 6(2)设转第 1 圈时,第 t0分钟时距地面 60.5 米,由 60.540.540cos t0,得 cos 6t0 ,所以 t0 或 t0 ,解得 t04 或 t08.6 12 6 23 6 43所以 t8(分钟)时,第 2 次距地面 60.5 米,故第 4 次距离地面 60.5 米时,用了12820( 分钟)