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2019秋人教A版数学必修4同步练习含解析:2.3.1平面向量基本定理

1、A 级 基础巩固一、选择题1设 e1,e 2 是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是( )Ae 1e 2 和 e1e 2 B3e 14e 2 和 6e18e 2Ce 1 2e2 和 2e1e 2 De 1 和 e1e 2解析:B 中,因为 6e18e 22(3 e14e 2),所以(6e 18e 2)(3e14e 2),所以 3e14e 2 和 6e18e 2 不能作为基底答案:B2在菱形 ABCD 中,A ,则 与 的夹角为( )3 AB AC A. B. C. D.6 3 56 23解析:由题意知 AC 平分 BAD,所以 与 的夹角为 .AB AC 6答案:A3在

2、ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 2 ,设 a, b,则 可用基底BD DC AB AC AD a,b 表示为( )A. (ab) B. a b12 23 13C. a b D. (ab)13 23 13解析:因为 2 ,BD DC 所以 .BD 23BC 所以 ( ) a b.AD AB BD AB 23BC AB 23AC AB 13AB 23AC 13 23答案:C4如图,在OAB 中,P 为线段 AB 上一点, x y ,且 3 ,则( )OP OA OB BP PA Ax ,y Bx ,y23 13 13 23Cx ,y Dx ,y 14 34 34 14解析:由已知 3 ,得

3、 3( ),整理,得 ,故BP PA OP OB OA OP OP 34OA 14OB x ,y .34 14答案:D5(2018全国卷)在ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,则 ( )EB A. B. 34AB 14AC 14AB 34AC C. D. 34AB 14AC 14AB 34AC 答案:A二、填空题6若 a, b, (1) ,则 _OP1 OP2 P1P PP2 OP 解析:因为 OP1 ( ) ,OP OP1 P1P PP2 OP1 OP2 OP OP1 OP2 OP 所以(1 ) .OP OP1 OP2 所以 a b.OP 11 OP1 1 OP2

4、11 1 答案: a b11 1 7已知|a| 1, |b| ,且 ab 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为_2解析:如图,作向量 a, b,则 ab.由已知,得OA OB BA OA1, OB ,OA AB,2所以OAB 为等腰直角三角形,所以AOB45,所以 a 与 b 的夹角为 45.答案:458如果 3e14e 2a,2e 13 e2b,其中 a, b 为已知向量,则e1_, e2_ 解析:由 解得a 3e1 4e2,b 2e1 3e2,) e1 3a 4b,e2 3b 2a.)答案:3a4b 3b2a三、解答题9如图所示,平面内有三个向量 , , ,其中 与 的夹角为 120,

5、与OA OB OC OA OB OA 的夹角为 30,且| | |1 ,| |2 ,若 (,R)求 的OC OA OB OC 3 OC OA OB 值解:如图所示,以 OA,OB 所在射线为邻边,OC 为对角线作平行四边形 ODCE,则 .OC OD OE 在直角OCD 中,因为| | 2 ,COD 30,OCD 90 ,所以OC 3| |4 ,| |2,OD CD 故 4 , 2 ,OD OA OE OB 即 4,2,所以 6.10如图所示,ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 的中点,G 为 DE,BF 的交点,若 a, b,试以 a,b 为基底表示 , , .AB AD DE BF

6、CG 解: a bba b.DE AE AD AB BE AD 12 12 b aab a.BF AF AB AD DF AB 12 12如图所示,连接 DB,延长 CG,交 BD 于点 O,点 G 是CBD 的重心,故 b a b.CG CE EG 12CB EG 12CB 13ED 12 13(a 12b) 13 13B 级 能力提升1如果 e1,e 2 是平面 内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是( )e 1e 2(,R)可以表示平面 内的所有向量;对于平面 内任一向量 a,使ae 1e 2 的实数对(, )有无穷多个; 若向量 1e1 1e2 与 2e1 2e2 共线,则有且只

7、有一个实数 ,使得 1e1 1e2 (2e1 2e2);若存在实数 , 使得 e1e 20,则0.A BC D解析:由平面向量基本定理可知,是正确的;对于,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的;对于,当两向量的系数均为零,即 1 2 1 20 时,这样的 有无数个答案:B2如图,向量 ,若 x y ,则 xy_BP 14BA OP OA OB 解析:因为 ( ) ,所以OP OB BP OB 14BA OB 14BO OA 14OA 34OB x ,y .所以 xy .14 34 12答案:123设 e1,e 2 是不共线的非零向量,且 a

8、e 12e 2,be 13e 2.(1)证明:a,b 可以作为一组基底;(2)以 a,b 为基底,求向量 c3e 1e 2 的分解式;(3)若 4e13e 2a b,求 , 的值(1)证明:若 a,b 共线,则存在 R,使 ab ,则 e12e 2(e 13e 2)由 e1,e 2 不共线得, 1,3 2,) 1, 23.)所以 不存在,故 a 与 b 不共线,可以作为一组基底(2)解:设 cmanb(m,nR) ,得 3e1e 2m( e12e 2) n(e13e 2)(mn)e1( 2m3n)e 2.所以 所以 c2ab.m n 3, 2m 3n 1,) m 2,n 1.)(3)解:由 4e13e 2ab,得 4e13e 2(e 12e 2) (e13e 2)()e1( 23)e 2.所以 4, 2 3 3,) 3, 1.)故所求 , 的值分别为 3 和 1.