1、A 级 基础巩固一、选择题1一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( )A相等 B互补C不确定 D相等或互补答案：C2对于直线 m，n 和平面 ，能得出 的一个条件是( )Amn，m，n Bmn，m ， nCmn，n，m Dm n，m ，n解析：因为 mn，n ，所以 m.又 m，所以 .答案：C3给出下列命题：两个相交平面组成的图形叫做二面角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是( )A BC D解析：由二面角的定义知错误；所作的射线不一定垂直于二面角的棱；由等角定理，
2、角的两边分别平行且方向相同，可知角是相等的，故二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关答案：B4如图所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45 ，BAD90，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成几何体 ABCD，则在几何体 ABCD中，下列结论正确的是( )A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC解析：由已知得 BAAD，CDBD ，又平面 ABD平面 BCD，所以 CD平面 ABD，从而 CDAB，故 AB平面 ADC.又 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 ADC.答案：D5如图
3、所示，在ABC 中，AD BC，ABD 的面积是ACD 的面积的 2 倍，沿AD 将 ABC 翻折，使翻折后 BC平面 ACD，此时二面角 BADC 的大小为( )A30 B45C60 D90解析：由已知得 BD2CD，翻折后，在 RtBCD 中， BDC60 ，而 ADBD，CDAD ，故BDC 是二面角 BADC 的平面角，其大小为 60.答案：C二、填空题6.如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是_解析：如图，因为 OAOB，OAOC，OB ，OC 且 OBOCO ，根据线面
4、垂直的判定定理，可得 OA.又 OA，根据面面垂直的判定定理，可得 .答案：面面垂直的判定定理7， 是两个不同的平面，m，n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m .以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_解析：mn，将 m 和 n 平移到一起，则确定一平面，因为 n，m，所以该平面与平面 和平面 的交线也互相垂直，从而平面 和平面 的二面角的平面角为 90，所以 .故答案为.答案：8如图所示，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，二面角 BPAC 的大小等于_解析：因为 PA平面 ABC，所以 PAAB，PAAC.所以BAC
5、 是二面角 BPAC 的平面角又BAC 90 ，所以二面角 BPAC 的大小等于 90.答案：90三、解答题9.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC.求证：(1)DC 平面 PAC；(2)平面 PAB平面 PAC.证明：(1)因为 PC平面 ABCD，所以 PCDC.又因为 DCAC，PCACC，所以 DC平面 PAC.(2)因为 ABDC，DC AC，所以 ABAC.因为 PC平面 ABCD，所以 PCAB.又 ACPCC ，所以 AB平面 PAC.又因为 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC.10.如图所示，在三棱锥 SABC 中，侧面 SA
6、B 与侧面 SAC 均为等边三角形，BAC 90，O 为 BC 的中点(1)证明：SO 平面 ABC；(2)求二面角 ASCB 的余弦值(1)证明：如图所示，由题设知 ABACSB SCSA.连接 OA，ABC 为等腰直角三角形，所以 OAOB OC SA，22且 AOBC.又SBC 为等腰三角形，故 SOBC，且 SO SA.22从而 OA2SO 2SA 2，所以SOA 为直角三角形， SOAO.又 AOBCO，所以 SO平面 ABC.(2)解：取 SC 的中点 M，连接 AM，OM.由(1)知 SOOC，SA AC，得 OMSC，AMSC.所以OMA 为二面角 ASCB 的平面角由 AOB
7、C，AO SO，SO BCO ，得 AO平面 SBC.所以 AOOM.又 AM SA，AO SA，32 22故 sinAMO .AOAM 23 63所以二面角 ASCB 的余弦值为 .33B 级 能力提升1.如图，设 P 是正方形 ABCD 外一点，且 PA平面 ABCD，则平面 PAB 与平面PBC、平面 PAD 的位置关系是( )A平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直B它们两两垂直C平面 PAB 与平面 PBC 垂直，与平面 PAD 不垂直D平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直解析：因为 PA平面 ABCD，BC，AD 平面 ABCD，所以 PABC， PAA
8、D.又因为 BCAB，PA ABA，所以 BC平面 PAB.因为 BC平面 PBC，所以平面 PBC平面 PAB.由 ADPA，ADAB，PA ABA ，得 AD平面 PAB.因为 AD平面 PAD，所以平面 PAD平面 PAB.显然平面 PAD 与平面 PBC 不垂直答案：A2若 P 是ABC 所在平面外一点，PBC 和ABC 都是边长为 2 的等边三角形，PA ，则二面角 PBCA 的大小为 _6解析：如图，由于PBC 和ABC 都是边长为 2 的等边三角形，故取 BC 的中点 O，连接 PO，AO ，所以 POBC，AO BC.由二面角的平面角的定义知， POA 为二面角PBCA 的平面
9、角分别在 RtPOB 和 RtAOB 中求得 POAO .在 PAO 中，3PO2OA 26 PA2，所以POA 90，即二面角 PBCA 的大小为 90.答案：903如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，PAAC，ABC 60 ，BCA 90，点 D，E 分别在棱 PB，PC 上，且 DEBC.(1)求证：BC平面 PAC.(2)是否存在点 E 使得二面角 A-DE-P 为直二面角？并说明理由(1)证明：因为 PA底面 ABC，BC平面 ABC，所以 PABC.又 BCA90，所以 ACBC.又因为 ACPAA，所以 BC平面 PAC.(2)解：存在理由如下：因为 DEBC，又由(1) 知，BC平面 PAC，所以 DE平面 PAC.又因为 AE平面 PAC，PE平面 PAC，所以 DEAE，DEPE.所以AEP 为二面角 ADEP 的平面角因为 PA底面 ABC，所以 PAAC，所以PAC 90.所以在棱 PC 上存在一点 E，且 E 为 PC 的中点，使得 AEPC.这时 AEP90，故存在点 E，使得二面角 ADEP 为直二面角