1、A 级 基础巩固一、选择题1已知平面 及 外一条直线 l，给出下列命题：若 l 垂直于 内两条直线，则 l；若 l 垂直于 内所有直线，则 l；若 l 垂直于 内任意一条直线，则 l；若 l 垂直于 内两条平行直线，则 l.其中，正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3解析：根据直线与平面垂直的定义可知，正确，不正确答案：C2.如图所示，若斜线段 AB 是它在平面 上的射影 BO 的 2 倍，则 AB 与平面 所成的角是( )A60 B45C30 D120解析：ABO 是斜线 AB 与平面 所成的角，在 RtAOB 中，AB 2BO，所以 cos ABO ，12即ABO60.答案：A3.在正
2、方体 ABCD-A1B1C1D1 中，与 AD1 垂直的平面是( )A平面 DD1C1CB平面 A1DB1C平面 A1B1C1D1D平面 A1DB解析：因为 AD1A1D，AD 1A1B1，且 A1DA1B1A 1，所以 AD1平面 A1DB1.答案：B4.如图所示，如果 MC菱形 ABCD 所在平面，那么 MA 与 BD 的位置关系是( )A平行B垂直相交C垂直但不相交D相交但不垂直解析：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 BDAC.又 MC平面 ABCD，则 BDMC.因为ACMCC ，所以 BD平面 AMC.又 MA平面 AMC，所以 MABD.显然直线 MA 与直线BD 不共面，因此直
3、线 MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交答案：C5.如图所示，PA平面 ABC，ABC 中 BCAC，则图中直角三角形的个数是( )A1 B2C3 D4解析：Error!Error! BC平面 PACBCPC，所以直角三角形有PAB，PAC， ABC，PBC .答案：D二、填空题6空间中直线 l 和三角形的两边 AC，BC 同时垂直，则直线 l 和三角形的第三边 AB的位置关系是_解析：因为 lAC，lBC，且 ACBCC ，所以 l平面 ABC.又 AB平面 ABC，故 lAB.答案：垂直7已知正三棱锥 SABC 的所有棱长都相等，则 SA 与平面 ABC 所成角的余弦值为_解析：因为
4、SABC 为正三棱锥，所以设点 S 在底面 ABC 上的射影为ABC 的中心O，连接 SO，AO，如图所示，则 SAO 为 SA 与底面 ABC 所成的角，设三棱锥的棱长为a，在 RtSOA 中，AO asin 60 a，SAa ，23 33所以 cosSAO .AOSA 33答案：338如图所示，平面 CD，EA ，垂足为 A，EB ，垂足为 B，则 CD 与 AB的位置关系是_解析：因为 EA，CD ，根据直线和平面垂直的定义，则有 CDEA.同样，因为 EB，CD ，则有 EBCD.又 EAEBE ，所以 CD平面 AEB.又因为 AB平面 AEB，所以 CDAB.答案：垂直三、解答题9
5、如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 为 DD1 的中点，O 为 ABCD 的中心，求证：B 1O平面 PAC.证明：连接 AB1，CB 1，D 1B1，OP，PB1，BD ，设 AB1.所以 AB1CB 1D 1B1 .2因为 O 为正方形 ABCD 的中心，所以 AOCO，所以 B1OAC.因为 OB OB 2BB ，21 2132PB PD B 1D ，21 21 2194OP2PD 2DO 2 ，34所以 OB OP 2PB ，所以 B1OPO.21 21又因为 POACO，所以 B1O平面 PAC.10如图所示，四边形 ABCD 为矩形，AD平面 ABE， F 为
6、CE 上的点，且 BF平面 ACE.求证：AE BE.证明：因为 AD平面 ABE，ADBC ，所以 BC平面 ABE.又 AE平面 ABE，所以 AEBC.因为 BF平面 ACE，AE平面 ACE，所以 AEBF.又因为 BF平面 BCE，BC 平面 BCE，BF BCB，所以 AE平面 BCE.又 BE平面 BCE，所以 AEBE.B 级 能力提升1已知直线 m，n 是异面直线，则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面( )A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在解析：若异面直线 m，n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在答案：B2在三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长相
7、等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C的中点，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是_解析：如图所示，取 BC 的中点 E，连接 DE，AE，则 AE平面 BB1C1C.所以 AEDE，因此 AD 与平面 BB1C1C 所成角即为ADE，设 ABa，则 AE a，DE ，32 a2有 tanADE ，所以 ADE60.3答案：603如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BAC90，ABAC AA 1.(1)求证：AB 1平面 A1BC1.(2)若 D 为 B1C1 的中点，求 AD 与平面 A1B1C1 所成角的正弦值(1)证明：由题意知四边形 AA1B1B 是正方形，
8、所以 AB1BA1.由 AA1平面 A1B1C1 得 AA1A1C1.又因为 A1C1A1B1，AA 1A1B1A 1，所以 A1C1平面 AA1B1B.又因为 AB1平面 AA1B1B，所以 A1C1AB1.又因为 BA1A1C1A 1，所以 AB1平面 A1BC1.(2)解：连接 A1D.设 ABACAA 11，因为 AA1平面 A1B1C1，所以A 1DA 是 AD 与平面 A1B1C1 所成的角在等腰直角三角形 A1B1C1 中，D 为斜边的中点，所以 A1D B1C1 .12 22在 RtA1DA 中， AD .A1D2 A1A262所以 sin A1DA ，A1AAD 63即 AD 与平面 A1B1C1 所成角的正弦值为 .63