1、2.2.2.1 对数函数的图象及其性质A 级 基础巩固一、选择题1已知集合 A y|ylog 2x，x1 ，B ，则 AB ( )y|y (12)x ， x1C. Dy|120， By|y1 所以 ABy|y 1答案：B2函数 y lg(2x)的定义域为( )x 1A( 1，2) B(1，2C1，2) D1，2解析：要使函数式有意义，则 解得1x0，)域为 1，2)答案：C3函数 y2 log 2x(x1)的值域为( )A(2， ) B(，2)C2，) D3，)解析：设 y 2t ，tlog 2x(x1)因为 tlog 2x 在1 ，)上是单调增函数，所以 tlog 210.所以 y2log
2、2x 的值域为2 ，)答案：C4函数 f(x)log a(x2)(01 时图低的底大，C 1，C 2 对应的 a 分别为 ， .343然后考虑 C3，C 4 底的顺序，底都小于 1.当 x0，a1， )答案：57函数 ylog a(2x3) 1 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是_解析：当 2x 31，即 x2 时，y1，故点 P 的坐标是(2 ，1)答案：(2 ，1)8已知对数函数 f(x)的图象过点 (8，3)，则 f(2 )_2解析：设 f(x)log ax(a0，且 a1)，则3log a8，所以 a ，12所以 f(x)log x，12f(2 ) log (2 )log .212
3、 212(12)3232答案：32三、解答题9比较下列各组数的大小；(1)log0.90.8， log0.90.7，log 0.80.9；(2)log32，log 23，log 4 .13解：(1)因为 ylog 0.9x 在(0，)上是减函数，且 0.90.80.7，所以 1log 0.90.8log 0.90.7.又因为 log0.80.9log 0.80.81，所以 log0.80.9log 0.90.8log 0.90.7.(2)由 log31 log32log 33，得 0log 321.又因为 log23log 221，log 4 log 410，13所以 log4 log 32l
4、og 23.1310已知函数 f(x)log a(1x)log a(3x)( a0 且 a1)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)若函数 f(x)的最小值为2，求实数 a 的值解：(1)由题意得 解得10，3 x0，)所以函数 f(x)的定义域为(1，3)(2)因为 f(x)log a(1x )(3x)log a(x 22x 3)log a(x1) 24 ，若 01，则当 x1 时，f(x)有最大值 loga4，f(x )无最小值综上可知，a .12B 级 能力提升1函数 f(x)log a|x|1(a1)的图象大致为( )解析：方法一 先画 y logax 的图象，然后作 ylog ax
5、关于 y 轴对称的图象，将两个函数的图象向上平移 1 个单位，即得到函数 ylog a|x|1(a1)的大致图象方法二 函数 f(x)log a|x|1(a1)是偶函数，所以 f(x)的图象关于 y 轴对称当 x0 时，f (x)log ax1 是增函数；当 x0 时，f(x)log a(x)1 是减函数又因为图象过(1，1)，(1，1) 两点，结合选项可知，选 C.答案：C2给出函数 f(x) 则 f(log23)_(12)x ， x 4，f（ x 1） ， x1 且 b 1 Ba 1 且 01 且 00，log ba1.14答案：C2已知对数函数 ylog ax(a0，且 a1)，且过点(
6、9，2)，f (x)的反函数记为 yg( x)，则 g(x)的解析式是( )Ag (x) 4 x Bg (x)2 xCg (x)9 x Dg (x) 3 x解析：由题意得：log a92，即 a29，又因为 a0，所以 a3.因此 f(x)log 3x，所以 f(x)的反函数为 g(x)3 x.答案：D3若函数 f(x)a x2 log a(x1)在2，3上的最大值和最小值之和为a2，则 a 的值为( )A. B. C2 D414 12解析：因为当 a1 时，函数 f(x)在2，3上单调递增；当 01 时，有 a ，即 a1；当 00，解得 x3.当 x3 时，函数 yx 22x3 单调递增，
7、故函数 f(x)log (x22x3)单调递减12所以函数 f(x)的单调递减区间为 (3，)答案：(3 ，)7已知函数 f(2x1)的定义域为 (1，1，则函数 f(log x)的定义域为13_解析：因为函数 f(2x1)的定义域为 (1，1，即1log a(x2)解：当 a1 时，原不等式等价于 x 4x 2，x 40，x 20，)该不等式组无解；当 00，x 20，)解得 x4.所以当 a1 时，原不等式的解集为空集；当 0 m 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)因为函数 f(x)log 2 是奇函数，1 axx 1所以 f(x )f(x)，所以 log2 log 2 ，1 ax
8、x 1 1 axx 1即 log2 log 2 ，ax 1x 1 x 11 ax所以 a1 或 a1(舍去)，所以 f(x)log 2 .1 xx 1令 0，得 或1 xx 1 1 x0，x 10，) 1 x1.所以函数 f(x)的定义域为x|x1(2)因为 f(x)log 2(x1) log2(1x )，当 x1 时，x12 ，所以 log2(1x )log221.因为当 x(1， )时，f(x)log 2(x1) m 恒成立，所以 m1.所以实数 m的取值范围是( ，1 B 级 能力提升1设函数 f(x)ln(1|x |) ，则使得 f(x)f(2x1)成立的 x 的取值范11 x2围是(
9、 )A. B. (1，)(13， 1) ( ， 13)C. D. ( 13， 13) ( ， 13) (13， )解析：因为函数 f(x)ln(1| x|) ，11 x2所以 f(x )f(x)，故 f(x)为偶函数，又当 x(0， )时，f(x )ln(1x) ，11 x2f(x)是单调递增的，故 f(x)f(2x 1)f(|x|)f(|2x1|)，所以|x|2 x1|，解得 1a 1 x2， x 1)_解析：由题意知，当 x1 时，f(x)2aln x2a；当 x1 时，f (x)a1x 2 a1.要使函数 f(x)的值域为 R，需满足 2aa1，即 a1.答案：a13已知 00 且 a1，试比较|log a(1x)|与|log a(1x )|的大小，写出判断过程解：因为 01 ，01 时，|log a(1x )|log a(1x)|log a(1x)log a(1x )log a(1x 2)，因为 00，所以|log a(1 x)|loga(1x)|.当 00，log a(1x)0，所以|log a(1 x)|loga(1x)|.综上可得，当 a0 且 a1 时，总有|log a(1 x)|loga(1x)|.