1、1.3.1.1 函数的单调性A 级 基础巩固一、选择题1下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )Ay3x2 By3xCyx 24x 5 Dy3x 28x10解析：显然 A、B 两项在(0，2)上为减函数，排除；对 C 项，函数在( ，2) 上为减函数，也不符合题意；对 D 项，函数在 上为增函数，( 43， )所以在(0 ，2)上也为增函数答案：D2在下列函数 f(x)中，满足对任意 x1，x 2(0，)，当 x1f(x2)的是( )Af(x) x 2 Bf(x)1xCf(x)|x| Df(x) 2x1解析：因为对任意 x1，x 2(0， )，当 x1f(x2)，所以函数 f(x)在(0
2、， )上是减函数， A，C，D 在(0， )上都为增函数，B 在(0， )上为减函数答案：B3若函数 y f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f( m9)，则实数 m 的取值范围是( )A( ，3) B(0，)C(3，) D(，3) (3，)解析：函数 yf (x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f( m9)，所以 2mm9，解得 m3.答案：C4设函数 f(x)是(， )上的减函数，若 a R，则( )Af(a )f(2a) Bf(a 2)f(a)Cf(a 2a) f(a) Df(a 21)f(a)解析：选项 D 中，因为 a21a，f(x) 是(，)上的减函数，所以f(a21)f(
3、a) 而其他选项中，当 a0 时，自变量均是 0，应取等号答案：D5定义在 R 上的函数，对任意的 x1，x 2R(x 1x 2)，有0，则 ( )f（ x2） f（ x1）x2 x1Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2) f(1)f(3) Df(3)f(1) f(2)解析：对任意 x1，x 2R(x1x2)，有 0，则 x2x 1与 f(x2)f (x1)f（x2） f（x1）x2 x1异号，则 f(x)在 R 上是减函数又 321，则 f(3)f(2)f (1)答案：A二、填空题6已知函数 f(x)4x 2mx5 在区间2，)上是增函数，则 f(1)_解析：由 y
4、 f(x)的对称轴是直线 x ，可知 f(x)在 上递增，由题m8 m8， )设知 2，解得 m16，m8所以 f(1)9 m25.答案：257已知函数 f(x)在定义域 2，3上单调递增，则满足 f(2x1)f(x)的 x 的取值范围是_解析：依题意有2x 0.(x 1x 2)f(x1)f(x 2)0.f（ x1） f（ x2）x1 x2 1，(4 a2)x 1， x 1.)(1)若 f(2)f(1)，求 a 的值；(2)若 f(x)是 R 上的增函数，求实数 a 的取值范围解：(1)因为 f(2)f(1)，所以 224 1，a2所以 a2.(2)因为 f(x)是 R 上的增函数，所以4 a
5、20，4 a2 1 1，)解得 4ax11，所以x 10 ，x 10 ，x 2 x10，x 2x 10，所以 f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x2)，所21 2以函数 f(x) 在(1，)上是减函数1x2 1B 级 能力提升1设(a，b) ， (c，d) 都是 f(x)的单调递增区间，且 x1(a，b)，x 2(c ，d)，x1f(x2)Cf(x 1)f (x2) D不能确定解析：根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的 x1，x 2不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定答案：D
6、2如图所示的两图分别为函数 yf(x )和 yg(x) 的图象，则函数 yf(x)和yg( x)的单调递增区间分别为_ 解析：由题图可知，在区间1，4和区间(4，6 内，函数 yf(x)是增函数，由题图可知，在区间1，0和1，2 内，yg(x )是增函数故 yf (x)的单调递增区间是1，4 和(4，6 ，函数 yg(x)的单调递增区间是1，0和1，2答案：1 ，4和(4，6， 1，0和1，23函数 f(x)是定义在(0， )上的减函数，对任意的 x，y(0，)，都有 f(x y)f (x)f(y )1，且 f(4)5.(1)求 f(2)的值；(2)解不等式 f(m2)3.解：(1)因为 f(
7、4)f(22)2f(2)15，所以 f(2)3.(2)由 f(m2)3，得 f(m 2)f(2)因为 f(x)是(0，)上的减函数，所以 解得 m4.m 2 2，m 20，)所以不等式的解集为m|m41.3.1.2 函数的最大（小）值A 级 基础巩固一、选择题1已知函数 f(x) (x2，6) ，则函数的最大值为( )2x 1A0.4 B1 C2 D2.5解析：因为函数 f(x) 在2，6上是单调递减函数，所以 f(x)maxf(2)2x 12.22 1答案：C2函数 f(x) 则 f(x)的最大值、最小值分别为( )2x 4， 1 x 2，x 5， 1 x0 时，由题意得 2a1(a1)2，
8、即 a2；a0，x0) ，若 f(x)在 上的值域为 ，则1a 1x 12， 2 12， 2a_解析：由反比例函数的性质知函数 f(x) (a0，x 0)在 上单调递1a 1x 12，2增，所以 f(12) 12，f（2） 2，)即 解得 a .1a 2 12，1a 12 2，) 25答案：258.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为_m.解析：设矩形花园的宽为 y，则 ，即 y40x，矩形花园的面积x40 40 y40Sx(40 x) x240x (x20) 2400，当 x20 m 时，面积最大答案：20三、解答题9已知函数 f(x)
9、.2x 1(1)证明：函数在区间(1，) 上为减函数；(2)求函数在区间2，4上的最值(1)证明：任取 x1，x 2(1，)，且 x10，x 110 ，x 210，则 f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在区间(1， )上为减函数(2)解：由(1)可知，f(x)在区间2，4上递减，则最大值为 f(2)2，最小值为f(4) .2310设 f(x)是定义在 R 上的函数，且对任意实数 x，有 f(1x)x 23x 3.(1)求函数 f(x)的解析式(2)若函数 g(x)f(x) 5x 1 在m，m1上的最小值为2，求实数 m 的取值范围解：(1)令 1 xt，则
10、x1t，得 f(t)(1t) 23(1t) 3，化简得 f(t)t 2t1，即 f(x)x 2x1，x R.(2)由(1)知 g(x)x 24x 2(x2) 22(mR)，因为 g(x)min2，且在m，m1上取得最小值，所以 m2m1，所以 1m2.B 级 能力提升1用长度为 24 m 的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A3 m B4 m C. m D. m32 52解析：设隔墙的长度为 x m，场地面积为 S m2，则 Sx 12x2x 22(x 3) 218，24 4x2所以当 x3 时，S 有最大值，为 18.答案：A2函数 y x26x9 在区间a，b(a0)，且 f(x)在0， 1上的最小值为 g(a)，1a求 g(a)的最大值解：f(x) x ，(a 1a) 1a当 a1 时，a 0，此时 f(x)在0，1 上为增函数，1a因此 g(a)f(0) ；1a当 0a1 时， a 0，1a此时 f(x)在0，1 上为减函数，因此 g(a)f(1)a；当 a1 时，f(x )1，此时 g(a)1.因此 g(a) a，0a1，1a，a 1，)因为 g(a)在(0，1)上为增函数，在 1，)上为减函数，又 a1 时，有 a 1，1a因此当 a1 时，g(a) 取最大值 1.