1、2019 年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 Mx |log2x1，集合 Nx| x21 0，则 MN（ ）A x|1x2 Bx|1x2 C x|1x1 D x|0x12 （5 分）设 （i 为虚数单位） ，则| z|（ ）A B C D23 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）A B C0 D4 （5 分）已知直线 m、n 与平面 、，下列命题正确的是（ ）Am，n 且 ，则
2、mn Bm ，n 且 ，则 mnC m，nm 且 ，则 n Dm ， n 且 ，则 mn5 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项为 Sn，b n 且 b1+b317，b 2+b468，则S10（ ）A90 B100 C110 D1206 （5 分）设函数 ，则下列结论错误的是（ ）Af（x）的一个周期为 2第 2 页（共 24 页）Bf（x）的图形关于直线 对称Cf（x）的一个零点为Df（x）在区间 上单调递减7 （5 分）若 ，x（0，） ，则 tan2x 的值构成的集合为（ ）A B C D8 （5 分）中国明代数学家程大位的著作算法统宗中有这样一个
3、问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关 ”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地 ”则该人第四天比第六天多走了（ ）A24 里 B18 里 C12 里 D6 里9 （5 分）如图所示，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BAC90，BC 1AC，则 C1 在面ABC 上的射影 H 必在（ ）A直线 AB 上 B直线 BC 上 C直线 CA 上 DABC 内部10 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 2，则 的图象向右平移 后的表达式
4、为（ ）A BCy sin2x D11 （5 分）已知直线 l1：3x +y60 与圆心为 M（0，1） ，半径为 的圆相交于 A，B 两点，另一直线 l2：2kx+2 y3k 30 与圆 M 交于 C，D 两点，则四边形 ACBD 面积的最大值为（ ）第 3 页（共 24 页）A B C D12 （5 分）已知奇函数 f（x）是定义在 R 上的单调函数，若函数 g（x）f（x 2）+f（a2| x|）恰有 4 个零点，则 a 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，+） C （0，1 D （0，1）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题
5、纸上）13 （5 分）已知函数 f（x ）xlnx，则曲线 yf （x）在点 xe 处切线的倾斜角的余弦值为 14 （5 分）设 f（x ）ln（x+ ） ，若 f（a） ，则 f（a） 15 （5 分）若椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为 m3，则此椭圆的离心率为 16 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+ ） （ 0）在（ ， ）上有最大值，但没有最小值，则 的取值范围是 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题
6、，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.17 （12 分）在等差数列a n中，S n 为其前 n 项的和，若 S525，a 1019（1）求数列a n的通项公式 an 及前 n 项和 Sn；（2）若数列b n中 bn ，求数列b n的前 n 和 Tn18 （12 分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各 10 名学生的阅读量（单位：本） ，统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 a 表示（）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中 a
7、的所有可能取值；（）将甲、乙两组中阅读量超过 15 本的学生称为“阅读达人” 设 a3，现从所有的“阅读达人”里任取 2 人，求至少有 1 人来自甲组的概率；（）记甲组阅读量的方差为 s02若在甲组中增加一个阅读量为 10 的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为 s12，试比较 s02，s 12 的大小 （结论不要求证明）（注：s 2 ，其中 为数据 x1，x 2，x n第 4 页（共 24 页）的平均数）19 （12 分）如图，三棱台 ABCEFG 的底面是正三角形，平面 ABC平面BCGF， CB2GF，BF CF（）求证：ABCG；（）若 BCCF4，求三棱锥 GABC 的体积20 （1
8、2 分）如图，已知椭圆 M： + 1（ab0）的离心率为 ，且经过过点P（2， 1） （1）求椭圆 M 的标准方程；（2）设点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是椭圆 M 上异于顶点的任意两点，直线 OA，OB的斜率分别为 k1，k 2，且 k1k2 求 x12+x22 的值；设点 B 关于 x 轴的对称点为 C（点 C，A 不重合） ，试求直线 AC 的斜率21 （12 分）已知函数 f（x ）alnx+x 2，其中 aR（）讨论 f（x ）的单调性；（）当 a1 时，证明：f（ x）x 2+x1；第 5 页（共 24 页）（）求证：对任意正整数 n，都有（1+ ） （1+ ）（
9、1+ ）e（其中e2.7183 为自然对数的底数）请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为 （m 为参数） ，在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合的极坐标系中，圆 O 的极坐标方程为 a（a 0） （1）若直线 l 与圆 O 相切，求 a 的值；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，求|AB |的值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 f（x） x2+|2x4|+ a（1）当 a3 时，求不等式 f（x ）x 2
10、+|x|的解集；（2）若不等式 f（x ）0 的解集为实数集 R，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 24 页）2019 年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 Mx |log2x1，集合 Nx| x21 0，则 MN（ ）A x|1x2 Bx|1x2 C x|1x1 D x|0x1【分析】化简集合 M、N，根据交集的定义写出 MN 即可【解答】解：集合 Mx |log2x1x|0x2，集合 Nx|x 210x|1x 1
11、，则 MN x|0x 1故选：D【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2 （5 分）设 （i 为虚数单位） ，则| z|（ ）A B C D2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案【解答】解：设 + i，|z| ，故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）第 7 页（共 24 页）A B C0 D【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可
12、得答案【解答】解：当 i1 时，执行完循环体后： S ，满足继续循环的条件，故 i2；当 i2 时，执行完循环体后： S ，满足继续循环的条件，故 i3；当 i3 时，执行完循环体后： S ，满足继续循环的条件，故 i3；当 i4 时，执行完循环体后： S ，满足继续循环的条件，故 i5；当 i5 时，执行完循环体后： S0，满足继续循环的条件，故 i6；当 i6 时，执行完循环体后： S0，满足继续循环的条件，故 i7；当 i7 时，执行完循环体后： S ，满足继续循环的条件，故 i8；当 i8 时，执行完循环体后： S ，满足继续循环的条件，故 i9；当 i9 时，执行完循环体后： S ，
13、不满足继续循环的条件，故输出结果为 ，故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4 （5 分）已知直线 m、n 与平面 、，下列命题正确的是（ ）Am，n 且 ，则 mn Bm ，n 且 ，则 mn第 8 页（共 24 页）C m，nm 且 ，则 n Dm ， n 且 ，则 mn【分析】利用空间中线线、线面、面面的判定定理及其性质定理，即可得出结论【解答】解：对于 A，m，n 且 ，则 mn，故不正确；对于 B，由 m，n 且 ，则 m 与 n 一定不平行，否则有 ，与已知 矛盾，通过平移使得 m 与 n 相交，且设
14、 m 与 n 确定的平面为 ，则 与 和 的交线所成的角即为 与 所成的角，因为，所以 m 与 n 所成的角为 90，故命题正确；对于 C，若 ，m，n，nm ，利用面面垂直的性质定理即可得出： n ，因此不正确；对于 D，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，平面 ABCD平面 A1B1C1D1，A1D1平面 ABCD，AD 平面 A1B1C1D1，A 1D1AD；EP平面 ABCD，PQ平面 A1B1C1D1，EPPQP；A1D1平面 ABCD，PQ 平面 A1B1C1D1，A 1D1 与 PQ 异面综上，直线 m，n 与平面 ，m ，n 且 ，则直线 m，n 的位置关系为平行或相交或
15、异面故选：B【点评】本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，熟练掌握判定定理及其性质定理是解决问题的关键，属于中档题5 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项为 Sn，b n 且 b1+b317，b 2+b468，则S10（ ）A90 B100 C110 D120【分析】等差数列a n的公差设为 d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列求和公式计算可得所求值第 9 页（共 24 页）【解答】解：等差数列a n的公差设为 d，前 n 项为 Sn， bn 且b1+b317，b 2+b468，可得 + 17， + 68，解得 a10，d2，则 S1010a
16、 1+ 109d0+45290，故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题6 （5 分）设函数 ，则下列结论错误的是（ ）Af（x）的一个周期为 2Bf（x）的图形关于直线 对称Cf（x）的一个零点为Df（x）在区间 上单调递减【分析】直接利用正弦型函数的性质，周期性，对称性和单调性求出结果【解答】解：函数 ，则： 函数的最小正周期为 T ，所以最小周期的整数倍都是函数的周期故选项 A 正确当 x 时，函数 f（ ）sin 1，故选项 B 正确当 x 时，函数 f（ ）0，故选项 C 正确故选：D【点评】本题考查的知识要点：三角函
17、数中正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型第 10 页（共 24 页）7 （5 分）若 ，x（0，） ，则 tan2x 的值构成的集合为（ ）A B C D【分析】由已知求解三角方程可得 x 值，进一步求得 tan2x 的值得答案【解答】解： ，2sinx cosx cosx，cosx 0 或 sinx ，又 x（0，） ，x ， ， 2x， ， tan2x0 或 则 tan2x 的值构成的集合为 ，故选：C【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题8 （5 分）中国明代数学家程大位的著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里
18、关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关 ”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地 ”则该人第四天比第六天多走了（ ）A24 里 B18 里 C12 里 D6 里【分析】由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列a n，其中 S6378，q 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列a n，其中S6378，q 378，解得 a1192，第 11 页（共 24 页）a 4a 6192 18 里故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，
19、考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （5 分）如图所示，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BAC90，BC 1AC，则 C1 在面ABC 上的射影 H 必在（ ）A直线 AB 上 B直线 BC 上 C直线 CA 上 DABC 内部【分析】如图，C 1 在面 ABC 上的射影 H 必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC面 ABC1 就可以了【解答】解： CA面 ABC1面 ABC面 ABC1，过 C1 在面 ABC 内作垂直于平面 ABC，垂线在面 ABC1 内，也在面 ABC 内，点 H 在两面的交线上，即 HAB故选：A【点评】本题通过射影问题来考查线面垂直和面面
20、垂直问题10 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 2，则 的图象向右平移 后的表达式为（ ）A BCy sin2x D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出 m 的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可第 12 页（共 24 页）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，m0，平移直线 ，则由图象知，直线 经过点 B 时，直线截距最大，此时 z 最大为 2，由 ，解得 ，即 B（1，1） ，则 1+ 2，解得 m2，则 sin（2x+ ） ，则 的图象向右平移 后，得到 ysin2（x ）+ sin2x ，故选：C【点评】本题主要考查
21、三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出 m 的取值是解决本题的关键11 （5 分）已知直线 l1：3x +y60 与圆心为 M（0，1） ，半径为 的圆相交于 A，B 两点，另一直线 l2：2kx+2 y3k 30 与圆 M 交于 C，D 两点，则四边形 ACBD 面积的最大值为（ ）A B C D【分析】由已知写出圆的方程，联立直线方程与圆方程，求出 A，B 的坐标，可知动直线过 AB 的中点，则当 CD 为圆的直径时四边形 ACBD 面积最大，代入四边形 ACBD 面第 13 页（共 24 页）积公式求解即可【解答】解：以 M（0，1）为圆心，半径为 的圆的方程为
22、x2+（y1） 2 5，联立 ，解得 A（2，0） ，B（1，3） ，AB 中点为（ ， ） 而直线 l2：2kx+2 y3k 3 0 恒过定点（ ， ） ，|AB| 四边形 ACBD 的面积最大值为： 故选：A【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12 （5 分）已知奇函数 f（x）是定义在 R 上的单调函数，若函数 g（x）f（x 2）+f（a2| x|）恰有 4 个零点，则 a 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，+） C （0，1 D （0，1）【分析】由函数的奇偶性、单调性得：x 22| x|+a0 有 4 个根，由二次方程的区
23、间根问题得：x 22x+a0 有 2 个不等正根，即 ，解得：0a1，得解第 14 页（共 24 页）【解答】解：由奇函数 f（x ）是定义在 R 上的单调函数，令 f（x 2）+f（a2|x |）0，由函数 g（x）f（x 2）+f（a 2| x|）恰有 4 个零点，则 x22|x|+a0 有 4 个根，则 x22x+a0 有 2 个不等正根，即 ，解得：0a1，即 a 的取值范围是 0a1，故选：D【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性及二次方程的区间根问题，属中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知函数 f（x ）xlnx，则曲线 yf （
24、x）在点 xe 处切线的倾斜角的余弦值为 【分析】求导 f（x ） ，求出切线的斜率；从而求切线的倾斜角【解答】解：f（x ）lnx +1，f（e）lne +12；故曲线 yf（x）在 xe 处的切线的倾斜角 的正切函数值为：tan 2所以曲线 yf（ x）在点 xe 处切线的倾斜角 的余弦值为：cos 故答案为： 【点评】本题考查导数的几何意义，倾斜角的求法，三角函数的化简取值，属于基础题14 （5 分）设 f（x ）ln（x+ ） ，若 f（a） ，则 f（a） 【分析】可求出 f（x ）f（x） ，从而可求出 f（a） f（a） 【解答
25、】解： ； 故答案为： 第 15 页（共 24 页）【点评】考查分子有理化的方法，以及对数的运算，奇函数的定义15 （5 分）若椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为 m3，则此椭圆的离心率为 【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分 2 种情况讨论，结合椭圆的定义分析可得 m 的值，即可得椭圆的标准方程为： + 1，据此求出 a、b、c 的值，由椭圆的离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，对于椭圆 ，分 2 种情况讨论：，椭圆的焦点在 x 轴上，有 4m，则 a 2，若椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为 m3，则有 2am34，解可得 m7，又由 4m，m7 不合题意
26、，舍去；，椭圆的焦点在 y 轴上，有 4m，则 a ，若椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为 m3，则有 2am32 ，解可得：m9 或 m1（舍）故 m9，椭圆的标准方程为： + 1，则 a3，b2，则 c ，则椭圆的离心率 e ；故答案为： 【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的离心率计算公式，关键是求出 m 的值第 16 页（共 24 页）16 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+ ） （ 0）在（ ， ）上有最大值，但没有最小值，则 的取值范围是 （ ，3） 【分析】要求函数 f（x ）sin（x+ ） （ 0）在（ ， ）上有最大值，但没有最小值，可得
27、所以 + + ，解之即可得结论【解答】解：要求函数 f（x ）sin（x+ ） （ 0）在（ ， ）上有最大值，但没有最小值，所以 T，即 ，解得 0 8且存在 kZ，使得 +2k + +2k + +2k因为 0 8，所以 所以 k ，所以 k0，所以 + + ，由 + 解得93由 + ，解得 ，所以 故答案为（ ，3） 【点评】本题主要考查研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.17 （12 分）在等差数
28、列a n中，S n 为其前 n 项的和，若 S525，a 1019（1）求数列a n的通项公式 an 及前 n 项和 Sn；（2）若数列b n中 bn ，求数列b n的前 n 和 Tn【分析】 （1）设等差数列a n的公差为 d，由 S525，a 1019可得第 17 页（共 24 页）5a1+ d25，a 1+9d19，联立解得：a 1，d即可得出（2）b n ，利用裂项求和即可得出【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，S 525 ，a 10195a 1+ d25，a 1+9d19，联立解得：a 11，d2a n1+2（n1）2n1Sn n 2（2）b n ，数列b n的前 n 和
29、Tn 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各 10 名学生的阅读量（单位：本） ，统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 a 表示（）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中 a 的所有可能取值；（）将甲、乙两组中阅读量超过 15 本的学生称为“阅读达人” 设 a3，现从所有的“阅读达人”里任取 2 人，求至少有 1 人来自甲组的概率；（）记甲组阅读量的方
30、差为 s02若在甲组中增加一个阅读量为 10 的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为 s12，试比较 s02，s 12 的大小 （结论不要求证明）（注：s 2 ，其中 为数据 x1，x 2，x n的平均数）第 18 页（共 24 页）【分析】 （）分别求出甲组 10 名学生阅读量的平均值和乙组 10 名学生阅读量的平均值，由此能求出图中 a 的取值（）记事件“从所有的“阅读达人”里任取 2 人，至少有 1 人来自甲组”为 M甲组“阅读达人”有 2 人，在此分别记为 A1，A 2；乙组“阅读达人”有 3 人，在此分别记为B1，B 2，B 3从所有的 “阅读达人”里任取 2 人，利用列举法能求出从
31、所有的阅读达人里任取 2 人，至少有 1 人来自甲组的概率（） 【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）甲组 10 名学生阅读量的平均值为：，乙组 10 名学生阅读量的平均值为：（2 分）由题意，得 ，即 a2（3 分）故图中 a 的取值为 0 或 1（4 分）（）记事件“从所有的“阅读达人”里任取 2 人，至少有 1 人来自甲组”为M（5 分）由图可知，甲组“阅读达人”有 2 人，在此分别记为 A1，A 2；乙组“阅读达人”有 3 人，在此分别记为 B1，B 2，B 3则从所有的“阅读达人”里任取 2 人，所有可能结果有 10 种，即：（A 1，A 2） ， （A 1，B 1） ， （A
32、1，B 2） ， （A 1，B 3） ， （A 2，B 1） ，（A 2，B 2） ， （A 2，B 3） ， （B 1，B 2） ， （B 1，B 3） ， （B 2，B 3） （7 分）而事件 M 的结果有 7 种，它们是：（A 1，A 2） ， （A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 1，B 3） ， （A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ， （A 2，B 3） ，（8 分）所以 即从所有的阅读达人里任取 2 人，至少有 1 人来自甲组的概率为 （10 分）（） （13 分）第 19 页（共 24 页）【点评】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查茎叶图、古典概型、列
33、举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19 （12 分）如图，三棱台 ABCEFG 的底面是正三角形，平面 ABC平面BCGF， CB2GF，BF CF（）求证：ABCG；（）若 BCCF4，求三棱锥 GABC 的体积【分析】 （1）取 BC 的中点 D，可得四边形 CDFG 是平行四边形，得出 CGDF ，证明DF平面 ABC 即可得出 DFAB，故而 ABCG；（2）根据 VGABC V FABC 计算【解答】 （I）证明：取 BC 的中点 D，连结 DF由 ABCEFG 是三棱台得，BC FG又 BC2FG，D 是 BC 的中点，CDFG，四边形 CDFG 为平行四边形， CG DF
34、CFBF，D 为 BC 的中点，DFBC，平面 ABC平面 BCGF，平面 ABC平面 BCGFBC ， DF平面 BCGF，DF平面 ABC，而 AB平面 ABC，DFAB，又 DFCG，ABCG（）BCBFCF4，DF2 ，S ABC 4 ，由（I）知 DF平面 ABC，又 FGBC，G 到平面 ABC 的距离等于 DFV GABC V FABC 8第 20 页（共 24 页）【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题20 （12 分）如图，已知椭圆 M： + 1（ab0）的离心率为 ，且经过过点P（2， 1） （1）求椭圆 M 的标准方程；（2）设点 A（x 1，y 1
35、） ，B（x 2，y 2）是椭圆 M 上异于顶点的任意两点，直线 OA，OB的斜率分别为 k1，k 2，且 k1k2 求 x12+x22 的值；设点 B 关于 x 轴的对称点为 C（点 C，A 不重合） ，试求直线 AC 的斜率【分析】 （1）运用椭圆的离心率公式和 P 的坐标满足椭圆方程，结合 a，b，c 的关系，解方程可得椭圆方程；（2） 运用直线的斜率公式，可得 k1k2 ，两边平方，再由点 A，B 的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；由题意可得 C（x 2，y 2） ，运用椭圆方程可得 y12+y222，配方可得（y 1+y2）2 （4+4y 1y2） ， （x 1x 2） 2
36、82x 1x26+8y 1y2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值【解答】解：（1）由题意可得 e ， + 1，a 2b 2c 2，解得 a2 ，b ，第 21 页（共 24 页）可得椭圆标准方程为 + 1；（2） 由题意可得 k1k2 ，即为 x12x2216y 12y22，又点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是椭圆 M 上异于顶点的任意两点，可得 4y128x 12，4y 228 x22，即有 x12x22（8x 12） （8 x22） ，化简可得 x12+x228；由题意可得 C（x 2，y 2） ，由 4y128x 12，4y 228x 22，可得 y12+y2
37、2 2，由 x12+x22（ x1x 2） 2+2x1x28，可得（x 1x 2） 282x 1x2，由 y12+y22（ y1+y2） 22y 1y22，可得（y 1+y2） 22+2y 1y22 （1+ y1y2） ，由 ，即 x1x24y 1y2，可得（x 1x 2） 282x 1x28+8y 1y2，则直线 AC 的斜率为 kAC 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线的斜率的求法，注意运用点满足椭圆方程，直线的斜率公式和两边平方及配方的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）alnx+x 2，其中
38、 aR（）讨论 f（x ）的单调性；（）当 a1 时，证明：f（ x）x 2+x1；（）求证：对任意正整数 n，都有（1+ ） （1+ ）（1+ ）e（其中第 22 页（共 24 页）e2.7183 为自然对数的底数）【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（）代入 a 的值，问题转化为 lnxx1，令 h（x ）lnxx +1， （x 0） ，根据函数的单调性证明即可；（）根据 ln（x +1）x，令 x （nN +） ，得 ln（1+ ） ，累加即可【解答】解：（）f（x ）的定义域是（0，+） ，f（x） +2x ，a0 时，f（x ）0，f（x）在（
39、0，+）递增，a0 时，令 f（x ）0，解得：x ，令 f（x）0 ，解得：0x ，故 f（x）在（0 ， ）递减，在（ ，+）递增；（）证明：a1 时，f（x ）lnx+x 2，f（x）x 2+x1 即 lnxx 1，令 h（x）lnxx +1， （x 0 ） ，则 h（x） 1 ，令 h（x）0，解得：0x1，令 h（x）0，解得：x 1，故 h（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，故 h（x） maxh（1）0，故 h（x）0 恒成立，故 f（x）x 2+x1；（）证明：由（）知，当 a1 时，ln （x +1）x，令 x （n N+） ，得 ln（1+ ） ，ln（1+ ）+ln
40、（1+ ）+ln（1+ ） + + 1（ ） n1，第 23 页（共 24 页）（1+ ） （1+ ）（1+ ）e 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为 （m 为参数） ，在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合的极坐标系中，圆 O 的极坐标方程为 a（a 0） （1）若直线 l 与圆 O 相切，求 a 的值；（2）若直线 l 与曲线 C 相
41、交于 A、B 两点，求|AB |的值【分析】 （1）根据题意，求出圆与直线的一般方程，又由直线与圆相切，则有 a，即可得答案；（2）由曲线 C 的参数方程分析可得其一般方程，将其代入直线的一般方程中可得x22x20，结合根与系数的关系的分析可得 ，计算即可得答案【解答】解：（1）根据题意，圆 O 的极坐标方程为 a（a0） ，则圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2 a2，直线 l 的参数方程为 ，则直线 l 的一般方程为 2xy+20，若若直线 l 与圆 O 相切，则有 a ，解可得 ；（2）曲线 C 的参数方程为 （m 为参数） ，其一般方程为 yx 2，又由直线的一般方程为 2xy+20，
42、则有 x22x20，x 1+x22，x 1x22， 【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与一般方程的转化，关键是掌握曲线的参数方第 24 页（共 24 页）程、极坐标方程与一般方程的转化的方法选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 f（x） x2+|2x4|+ a（1）当 a3 时，求不等式 f（x ）x 2+|x|的解集；（2）若不等式 f（x ）0 的解集为实数集 R，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）当 a3 时，f（x ）x 2+|2x4| 3，通过对 x 的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式 f（x ）x 2+|x|的解集；（2）f（x） 0 的解集为实数集
43、 Rax 2|2x4| ，通过对 x 的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得x 2|2 x4|的最大值为3，从而可得实数 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a3 时，f（x ）x 2+|2x4| 3，当 x0 时，由 f（x）x 2+|x|得x+10，得 x1，x0当 0x2 时，由 f（x）x 2+|x|得3x+10，解得 x 0x 当 x2 时，由 f（x）x 2+|x|得 x70，解得 x7x7当 a3 时，f（x ）x 2+|x|的解集为 x|x 或 x7（2）f（x） 0 的解集为实数集 Rax 2|2x4| ，当 x2 时，x 2|2x4| x22x+4（x+1） 2+54，当 x2 时，x 2|2x4| x2+2x4（x1） 233，x 2|2x4|的最大值为3实数 a 的取值范围为3， +） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题