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2019年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷(文科)含答案解析

1、2019 年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)若集合 Mx |log2x1,集合 Nx| x21 0,则 MN(  )A x|1x2 Bx|1x2 C x|1x1 D x|0x12 (5 分)设 (i 为虚数单位) ,则| z|(  )A B C D23 (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为(  )A B C0 D4 (5 分)已知直线 m、n 与平面 、,下列命题正确的是(   )Am,n 且 ,则

2、mn Bm ,n 且 ,则 mnC m,nm 且 ,则 n Dm , n 且 ,则 mn5 (5 分)已知等差数列a n的前 n 项为 Sn,b n 且 b1+b317,b 2+b468,则S10(  )A90 B100 C110 D1206 (5 分)设函数 ,则下列结论错误的是(  )Af(x)的一个周期为 2第 2 页(共 24 页)Bf(x)的图形关于直线 对称Cf(x)的一个零点为Df(x)在区间 上单调递减7 (5 分)若 ,x(0,) ,则 tan2x 的值构成的集合为(  )A B C D8 (5 分)中国明代数学家程大位的著作算法统宗中有这样一个

3、问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关 ”其大意为:“有一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地 ”则该人第四天比第六天多走了(  )A24 里 B18 里 C12 里 D6 里9 (5 分)如图所示,在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中,BAC90,BC 1AC,则 C1 在面ABC 上的射影 H 必在(  )A直线 AB 上 B直线 BC 上 C直线 CA 上 DABC 内部10 (5 分)设 x,y 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值为 2,则 的图象向右平移 后的表达式

4、为(  )A BCy sin2x D11 (5 分)已知直线 l1:3x +y60 与圆心为 M(0,1) ,半径为 的圆相交于 A,B 两点,另一直线 l2:2kx+2 y3k 30 与圆 M 交于 C,D 两点,则四边形 ACBD 面积的最大值为(  )第 3 页(共 24 页)A B C D12 (5 分)已知奇函数 f(x)是定义在 R 上的单调函数,若函数 g(x)f(x 2)+f(a2| x|)恰有 4 个零点,则 a 的取值范围是(  )A (,1) B (1,+) C (0,1 D (0,1)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题

5、纸上)13 (5 分)已知函数 f(x )xlnx,则曲线 yf (x)在点 xe 处切线的倾斜角的余弦值为     14 (5 分)设 f(x )ln(x+ ) ,若 f(a) ,则 f(a)     15 (5 分)若椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为 m3,则此椭圆的离心率为     16 (5 分)已知函数 f(x )sin(x+ ) ( 0)在( , )上有最大值,但没有最小值,则 的取值范围是      三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题

6、,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生依据要求作答.17 (12 分)在等差数列a n中,S n 为其前 n 项的和,若 S525,a 1019(1)求数列a n的通项公式 an 及前 n 项和 Sn;(2)若数列b n中 bn ,求数列b n的前 n 和 Tn18 (12 分)为培养学生的阅读习惯,某校开展了为期一年的“弘扬传统文化,阅读经典名著”活动活动后,为了解阅读情况,学校统计了甲、乙两组各 10 名学生的阅读量(单位:本) ,统计结果用茎叶图记录如下,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 a 表示()若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值,求图中 a

7、的所有可能取值;()将甲、乙两组中阅读量超过 15 本的学生称为“阅读达人” 设 a3,现从所有的“阅读达人”里任取 2 人,求至少有 1 人来自甲组的概率;()记甲组阅读量的方差为 s02若在甲组中增加一个阅读量为 10 的学生,并记新得到的甲组阅读量的方差为 s12,试比较 s02,s 12 的大小 (结论不要求证明)(注:s 2 ,其中 为数据 x1,x 2,x n第 4 页(共 24 页)的平均数)19 (12 分)如图,三棱台 ABCEFG 的底面是正三角形,平面 ABC平面BCGF, CB2GF,BF CF()求证:ABCG;()若 BCCF4,求三棱锥 GABC 的体积20 (1

8、2 分)如图,已知椭圆 M: + 1(ab0)的离心率为 ,且经过过点P(2, 1) (1)求椭圆 M 的标准方程;(2)设点 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)是椭圆 M 上异于顶点的任意两点,直线 OA,OB的斜率分别为 k1,k 2,且 k1k2 求 x12+x22 的值;设点 B 关于 x 轴的对称点为 C(点 C,A 不重合) ,试求直线 AC 的斜率21 (12 分)已知函数 f(x )alnx+x 2,其中 aR()讨论 f(x )的单调性;()当 a1 时,证明:f( x)x 2+x1;第 5 页(共 24 页)()求证:对任意正整数 n,都有(1+ ) (1+ )(

9、1+ )e(其中e2.7183 为自然对数的底数)请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 (m 为参数) ,在极点和直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合的极坐标系中,圆 O 的极坐标方程为 a(a 0) (1)若直线 l 与圆 O 相切,求 a 的值;(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求|AB |的值选修 4-5:不等式选讲 (10 分)23已知 f(x) x2+|2x4|+ a(1)当 a3 时,求不等式 f(x )x 2

10、+|x|的解集;(2)若不等式 f(x )0 的解集为实数集 R,求实数 a 的取值范围第 6 页(共 24 页)2019 年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)若集合 Mx |log2x1,集合 Nx| x21 0,则 MN(  )A x|1x2 Bx|1x2 C x|1x1 D x|0x1【分析】化简集合 M、N,根据交集的定义写出 MN 即可【解答】解:集合 Mx |log2x1x|0x2,集合 Nx|x 210x|1x 1

11、,则 MN x|0x 1故选:D【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目2 (5 分)设 (i 为虚数单位) ,则| z|(  )A B C D2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案【解答】解:设 + i,|z| ,故选:A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题3 (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为(  )第 7 页(共 24 页)A B C0 D【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可

12、得答案【解答】解:当 i1 时,执行完循环体后: S ,满足继续循环的条件,故 i2;当 i2 时,执行完循环体后: S ,满足继续循环的条件,故 i3;当 i3 时,执行完循环体后: S ,满足继续循环的条件,故 i3;当 i4 时,执行完循环体后: S ,满足继续循环的条件,故 i5;当 i5 时,执行完循环体后: S0,满足继续循环的条件,故 i6;当 i6 时,执行完循环体后: S0,满足继续循环的条件,故 i7;当 i7 时,执行完循环体后: S ,满足继续循环的条件,故 i8;当 i8 时,执行完循环体后: S ,满足继续循环的条件,故 i9;当 i9 时,执行完循环体后: S ,

13、不满足继续循环的条件,故输出结果为 ,故选:A【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题4 (5 分)已知直线 m、n 与平面 、,下列命题正确的是(   )Am,n 且 ,则 mn Bm ,n 且 ,则 mn第 8 页(共 24 页)C m,nm 且 ,则 n Dm , n 且 ,则 mn【分析】利用空间中线线、线面、面面的判定定理及其性质定理,即可得出结论【解答】解:对于 A,m,n 且 ,则 mn,故不正确;对于 B,由 m,n 且 ,则 m 与 n 一定不平行,否则有 ,与已知 矛盾,通过平移使得 m 与 n 相交,且设

14、 m 与 n 确定的平面为 ,则 与 和 的交线所成的角即为 与 所成的角,因为,所以 m 与 n 所成的角为 90,故命题正确;对于 C,若 ,m,n,nm ,利用面面垂直的性质定理即可得出: n ,因此不正确;对于 D,在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,平面 ABCD平面 A1B1C1D1,A1D1平面 ABCD,AD 平面 A1B1C1D1,A 1D1AD;EP平面 ABCD,PQ平面 A1B1C1D1,EPPQP;A1D1平面 ABCD,PQ 平面 A1B1C1D1,A 1D1 与 PQ 异面综上,直线 m,n 与平面 ,m ,n 且 ,则直线 m,n 的位置关系为平行或相交或

15、异面故选:B【点评】本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系,熟练掌握判定定理及其性质定理是解决问题的关键,属于中档题5 (5 分)已知等差数列a n的前 n 项为 Sn,b n 且 b1+b317,b 2+b468,则S10(  )A90 B100 C110 D120【分析】等差数列a n的公差设为 d,运用等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,再由等差数列求和公式计算可得所求值第 9 页(共 24 页)【解答】解:等差数列a n的公差设为 d,前 n 项为 Sn, bn 且b1+b317,b 2+b468,可得 + 17, + 68,解得 a10,d2,则 S1010a

16、 1+ 109d0+45290,故选:A【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题6 (5 分)设函数 ,则下列结论错误的是(  )Af(x)的一个周期为 2Bf(x)的图形关于直线 对称Cf(x)的一个零点为Df(x)在区间 上单调递减【分析】直接利用正弦型函数的性质,周期性,对称性和单调性求出结果【解答】解:函数 ,则: 函数的最小正周期为 T ,所以最小周期的整数倍都是函数的周期故选项 A 正确当 x 时,函数 f( )sin 1,故选项 B 正确当 x 时,函数 f( )0,故选项 C 正确故选:D【点评】本题考查的知识要点:三角函

17、数中正弦型函数的性质的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型第 10 页(共 24 页)7 (5 分)若 ,x(0,) ,则 tan2x 的值构成的集合为(  )A B C D【分析】由已知求解三角方程可得 x 值,进一步求得 tan2x 的值得答案【解答】解: ,2sinx cosx cosx,cosx 0 或 sinx ,又 x(0,) ,x , , 2x, , tan2x0 或 则 tan2x 的值构成的集合为 ,故选:C【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查倍角公式的应用,是基础题8 (5 分)中国明代数学家程大位的著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里

18、关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关 ”其大意为:“有一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地 ”则该人第四天比第六天多走了(  )A24 里 B18 里 C12 里 D6 里【分析】由题意可得:该人每天所走的路程为等比数列a n,其中 S6378,q 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解:由题意可得:该人每天所走的路程为等比数列a n,其中S6378,q 378,解得 a1192,第 11 页(共 24 页)a 4a 6192 18 里故选:B【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,

19、考查了推理能力与计算能力,属于中档题9 (5 分)如图所示,在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中,BAC90,BC 1AC,则 C1 在面ABC 上的射影 H 必在(  )A直线 AB 上 B直线 BC 上 C直线 CA 上 DABC 内部【分析】如图,C 1 在面 ABC 上的射影 H 必在两个相互垂直平面的交线上,所以证明面ABC面 ABC1 就可以了【解答】解: CA面 ABC1面 ABC面 ABC1,过 C1 在面 ABC 内作垂直于平面 ABC,垂线在面 ABC1 内,也在面 ABC 内,点 H 在两面的交线上,即 HAB故选:A【点评】本题通过射影问题来考查线面垂直和面面

20、垂直问题10 (5 分)设 x,y 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值为 2,则 的图象向右平移 后的表达式为(  )A BCy sin2x D【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识求出 m 的值,利用三角函数的图象关系进行平移即可第 12 页(共 24 页)【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图,m0,平移直线 ,则由图象知,直线 经过点 B 时,直线截距最大,此时 z 最大为 2,由 ,解得 ,即 B(1,1) ,则 1+ 2,解得 m2,则 sin(2x+ ) ,则 的图象向右平移 后,得到 ysin2(x )+ sin2x ,故选:C【点评】本题主要考查

21、三角函数解析式的求解以及线性规划的应用,根据条件求出 m 的取值是解决本题的关键11 (5 分)已知直线 l1:3x +y60 与圆心为 M(0,1) ,半径为 的圆相交于 A,B 两点,另一直线 l2:2kx+2 y3k 30 与圆 M 交于 C,D 两点,则四边形 ACBD 面积的最大值为(  )A B C D【分析】由已知写出圆的方程,联立直线方程与圆方程,求出 A,B 的坐标,可知动直线过 AB 的中点,则当 CD 为圆的直径时四边形 ACBD 面积最大,代入四边形 ACBD 面第 13 页(共 24 页)积公式求解即可【解答】解:以 M(0,1)为圆心,半径为 的圆的方程为

22、x2+(y1) 2 5,联立 ,解得 A(2,0) ,B(1,3) ,AB 中点为( , ) 而直线 l2:2kx+2 y3k 3 0 恒过定点( , ) ,|AB| 四边形 ACBD 的面积最大值为: 故选:A【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用,考查数形结合的解题思想方法,是中档题12 (5 分)已知奇函数 f(x)是定义在 R 上的单调函数,若函数 g(x)f(x 2)+f(a2| x|)恰有 4 个零点,则 a 的取值范围是(  )A (,1) B (1,+) C (0,1 D (0,1)【分析】由函数的奇偶性、单调性得:x 22| x|+a0 有 4 个根,由二次方程的区

23、间根问题得:x 22x+a0 有 2 个不等正根,即 ,解得:0a1,得解第 14 页(共 24 页)【解答】解:由奇函数 f(x )是定义在 R 上的单调函数,令 f(x 2)+f(a2|x |)0,由函数 g(x)f(x 2)+f(a 2| x|)恰有 4 个零点,则 x22|x|+a0 有 4 个根,则 x22x+a0 有 2 个不等正根,即 ,解得:0a1,即 a 的取值范围是 0a1,故选:D【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性及二次方程的区间根问题,属中档题二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)已知函数 f(x )xlnx,则曲线 yf (

24、x)在点 xe 处切线的倾斜角的余弦值为    【分析】求导 f(x ) ,求出切线的斜率;从而求切线的倾斜角【解答】解:f(x )lnx +1,f(e)lne +12;故曲线 yf(x)在 xe 处的切线的倾斜角 的正切函数值为:tan 2所以曲线 yf( x)在点 xe 处切线的倾斜角 的余弦值为:cos 故答案为: 【点评】本题考查导数的几何意义,倾斜角的求法,三角函数的化简取值,属于基础题14 (5 分)设 f(x )ln(x+ ) ,若 f(a) ,则 f(a)    【分析】可求出 f(x )f(x) ,从而可求出 f(a) f(a) 【解答

25、】解: ; 故答案为: 第 15 页(共 24 页)【点评】考查分子有理化的方法,以及对数的运算,奇函数的定义15 (5 分)若椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为 m3,则此椭圆的离心率为    【分析】根据题意,按椭圆的焦点位置分 2 种情况讨论,结合椭圆的定义分析可得 m 的值,即可得椭圆的标准方程为: + 1,据此求出 a、b、c 的值,由椭圆的离心率公式计算可得答案【解答】解:根据题意,对于椭圆 ,分 2 种情况讨论:,椭圆的焦点在 x 轴上,有 4m,则 a 2,若椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为 m3,则有 2am34,解可得 m7,又由 4m,m7 不合题意

26、,舍去;,椭圆的焦点在 y 轴上,有 4m,则 a ,若椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为 m3,则有 2am32 ,解可得:m9 或 m1(舍)故 m9,椭圆的标准方程为: + 1,则 a3,b2,则 c ,则椭圆的离心率 e ;故答案为: 【点评】本题考查椭圆的几何性质,涉及椭圆的离心率计算公式,关键是求出 m 的值第 16 页(共 24 页)16 (5 分)已知函数 f(x )sin(x+ ) ( 0)在( , )上有最大值,但没有最小值,则 的取值范围是  ( ,3)  【分析】要求函数 f(x )sin(x+ ) ( 0)在( , )上有最大值,但没有最小值,可得

27、所以 + + ,解之即可得结论【解答】解:要求函数 f(x )sin(x+ ) ( 0)在( , )上有最大值,但没有最小值,所以 T,即 ,解得 0 8且存在 kZ,使得 +2k + +2k + +2k因为 0 8,所以 所以 k ,所以 k0,所以 + + ,由 + 解得93由 + ,解得 ,所以 故答案为( ,3) 【点评】本题主要考查研究有关三角的函数时要利用整体思想,灵活应用三角函数的图象和性质解题三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生依据要求作答.17 (12 分)在等差数

28、列a n中,S n 为其前 n 项的和,若 S525,a 1019(1)求数列a n的通项公式 an 及前 n 项和 Sn;(2)若数列b n中 bn ,求数列b n的前 n 和 Tn【分析】 (1)设等差数列a n的公差为 d,由 S525,a 1019可得第 17 页(共 24 页)5a1+ d25,a 1+9d19,联立解得:a 1,d即可得出(2)b n ,利用裂项求和即可得出【解答】解:(1)设等差数列a n的公差为 d,S 525 ,a 10195a 1+ d25,a 1+9d19,联立解得:a 11,d2a n1+2(n1)2n1Sn n 2(2)b n ,数列b n的前 n 和

29、Tn 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题18 (12 分)为培养学生的阅读习惯,某校开展了为期一年的“弘扬传统文化,阅读经典名著”活动活动后,为了解阅读情况,学校统计了甲、乙两组各 10 名学生的阅读量(单位:本) ,统计结果用茎叶图记录如下,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 a 表示()若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值,求图中 a 的所有可能取值;()将甲、乙两组中阅读量超过 15 本的学生称为“阅读达人” 设 a3,现从所有的“阅读达人”里任取 2 人,求至少有 1 人来自甲组的概率;()记甲组阅读量的方

30、差为 s02若在甲组中增加一个阅读量为 10 的学生,并记新得到的甲组阅读量的方差为 s12,试比较 s02,s 12 的大小 (结论不要求证明)(注:s 2 ,其中 为数据 x1,x 2,x n的平均数)第 18 页(共 24 页)【分析】 ()分别求出甲组 10 名学生阅读量的平均值和乙组 10 名学生阅读量的平均值,由此能求出图中 a 的取值()记事件“从所有的“阅读达人”里任取 2 人,至少有 1 人来自甲组”为 M甲组“阅读达人”有 2 人,在此分别记为 A1,A 2;乙组“阅读达人”有 3 人,在此分别记为B1,B 2,B 3从所有的 “阅读达人”里任取 2 人,利用列举法能求出从

31、所有的阅读达人里任取 2 人,至少有 1 人来自甲组的概率() 【解答】 (本小题满分 13 分)解:()甲组 10 名学生阅读量的平均值为:,乙组 10 名学生阅读量的平均值为:(2 分)由题意,得 ,即 a2(3 分)故图中 a 的取值为 0 或 1(4 分)()记事件“从所有的“阅读达人”里任取 2 人,至少有 1 人来自甲组”为M(5 分)由图可知,甲组“阅读达人”有 2 人,在此分别记为 A1,A 2;乙组“阅读达人”有 3 人,在此分别记为 B1,B 2,B 3则从所有的“阅读达人”里任取 2 人,所有可能结果有 10 种,即:(A 1,A 2) , (A 1,B 1) , (A

32、1,B 2) , (A 1,B 3) , (A 2,B 1) ,(A 2,B 2) , (A 2,B 3) , (B 1,B 2) , (B 1,B 3) , (B 2,B 3) (7 分)而事件 M 的结果有 7 种,它们是:(A 1,A 2) , (A 1,B 1) , (A 1,B 2) , (A 1,B 3) , (A 2,B 1) , (A 2,B 2) , (A 2,B 3) ,(8 分)所以 即从所有的阅读达人里任取 2 人,至少有 1 人来自甲组的概率为 (10 分)() (13 分)第 19 页(共 24 页)【点评】本题考查平均数、概率、方差的求法,考查茎叶图、古典概型、列

33、举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题19 (12 分)如图,三棱台 ABCEFG 的底面是正三角形,平面 ABC平面BCGF, CB2GF,BF CF()求证:ABCG;()若 BCCF4,求三棱锥 GABC 的体积【分析】 (1)取 BC 的中点 D,可得四边形 CDFG 是平行四边形,得出 CGDF ,证明DF平面 ABC 即可得出 DFAB,故而 ABCG;(2)根据 VGABC V FABC 计算【解答】 (I)证明:取 BC 的中点 D,连结 DF由 ABCEFG 是三棱台得,BC FG又 BC2FG,D 是 BC 的中点,CDFG,四边形 CDFG 为平行四边形, CG DF

34、CFBF,D 为 BC 的中点,DFBC,平面 ABC平面 BCGF,平面 ABC平面 BCGFBC , DF平面 BCGF,DF平面 ABC,而 AB平面 ABC,DFAB,又 DFCG,ABCG()BCBFCF4,DF2 ,S ABC 4 ,由(I)知 DF平面 ABC,又 FGBC,G 到平面 ABC 的距离等于 DFV GABC V FABC 8第 20 页(共 24 页)【点评】本题考查了线面垂直的判定,棱锥的体积计算,属于中档题20 (12 分)如图,已知椭圆 M: + 1(ab0)的离心率为 ,且经过过点P(2, 1) (1)求椭圆 M 的标准方程;(2)设点 A(x 1,y 1

35、) ,B(x 2,y 2)是椭圆 M 上异于顶点的任意两点,直线 OA,OB的斜率分别为 k1,k 2,且 k1k2 求 x12+x22 的值;设点 B 关于 x 轴的对称点为 C(点 C,A 不重合) ,试求直线 AC 的斜率【分析】 (1)运用椭圆的离心率公式和 P 的坐标满足椭圆方程,结合 a,b,c 的关系,解方程可得椭圆方程;(2) 运用直线的斜率公式,可得 k1k2 ,两边平方,再由点 A,B 的坐标满足椭圆方程,化简整理即可得到所求值;由题意可得 C(x 2,y 2) ,运用椭圆方程可得 y12+y222,配方可得(y 1+y2)2 (4+4y 1y2) , (x 1x 2) 2

36、82x 1x26+8y 1y2,再由直线的斜率公式,化简整理,即可得到所求值【解答】解:(1)由题意可得 e , + 1,a 2b 2c 2,解得 a2 ,b ,第 21 页(共 24 页)可得椭圆标准方程为 + 1;(2) 由题意可得 k1k2 ,即为 x12x2216y 12y22,又点 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)是椭圆 M 上异于顶点的任意两点,可得 4y128x 12,4y 228 x22,即有 x12x22(8x 12) (8 x22) ,化简可得 x12+x228;由题意可得 C(x 2,y 2) ,由 4y128x 12,4y 228x 22,可得 y12+y2

37、2 2,由 x12+x22( x1x 2) 2+2x1x28,可得(x 1x 2) 282x 1x2,由 y12+y22( y1+y2) 22y 1y22,可得(y 1+y2) 22+2y 1y22 (1+ y1y2) ,由 ,即 x1x24y 1y2,可得(x 1x 2) 282x 1x28+8y 1y2,则直线 AC 的斜率为 kAC 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程,考查直线的斜率的求法,注意运用点满足椭圆方程,直线的斜率公式和两边平方及配方的思想方法,考查化简整理的运算能力,属于中档题21 (12 分)已知函数 f(x )alnx+x 2,其中

38、 aR()讨论 f(x )的单调性;()当 a1 时,证明:f( x)x 2+x1;()求证:对任意正整数 n,都有(1+ ) (1+ )(1+ )e(其中第 22 页(共 24 页)e2.7183 为自然对数的底数)【分析】 ()求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可;()代入 a 的值,问题转化为 lnxx1,令 h(x )lnxx +1, (x 0) ,根据函数的单调性证明即可;()根据 ln(x +1)x,令 x (nN +) ,得 ln(1+ ) ,累加即可【解答】解:()f(x )的定义域是(0,+) ,f(x) +2x ,a0 时,f(x )0,f(x)在(

39、0,+)递增,a0 时,令 f(x )0,解得:x ,令 f(x)0 ,解得:0x ,故 f(x)在(0 , )递减,在( ,+)递增;()证明:a1 时,f(x )lnx+x 2,f(x)x 2+x1 即 lnxx 1,令 h(x)lnxx +1, (x 0 ) ,则 h(x) 1 ,令 h(x)0,解得:0x1,令 h(x)0,解得:x 1,故 h(x)在(0,1)递增,在(1,+)递减,故 h(x) maxh(1)0,故 h(x)0 恒成立,故 f(x)x 2+x1;()证明:由()知,当 a1 时,ln (x +1)x,令 x (n N+) ,得 ln(1+ ) ,ln(1+ )+ln

40、(1+ )+ln(1+ ) + + 1( ) n1,第 23 页(共 24 页)(1+ ) (1+ )(1+ )e 【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 (m 为参数) ,在极点和直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合的极坐标系中,圆 O 的极坐标方程为 a(a 0) (1)若直线 l 与圆 O 相切,求 a 的值;(2)若直线 l 与曲线 C 相

41、交于 A、B 两点,求|AB |的值【分析】 (1)根据题意,求出圆与直线的一般方程,又由直线与圆相切,则有 a,即可得答案;(2)由曲线 C 的参数方程分析可得其一般方程,将其代入直线的一般方程中可得x22x20,结合根与系数的关系的分析可得 ,计算即可得答案【解答】解:(1)根据题意,圆 O 的极坐标方程为 a(a0) ,则圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2 a2,直线 l 的参数方程为 ,则直线 l 的一般方程为 2xy+20,若若直线 l 与圆 O 相切,则有 a ,解可得 ;(2)曲线 C 的参数方程为 (m 为参数) ,其一般方程为 yx 2,又由直线的一般方程为 2xy+20,

42、则有 x22x20,x 1+x22,x 1x22, 【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与一般方程的转化,关键是掌握曲线的参数方第 24 页(共 24 页)程、极坐标方程与一般方程的转化的方法选修 4-5:不等式选讲 (10 分)23已知 f(x) x2+|2x4|+ a(1)当 a3 时,求不等式 f(x )x 2+|x|的解集;(2)若不等式 f(x )0 的解集为实数集 R,求实数 a 的取值范围【分析】 (1)当 a3 时,f(x )x 2+|2x4| 3,通过对 x 的取值范围分类讨论,去掉绝对值符号,即可求得不等式 f(x )x 2+|x|的解集;(2)f(x) 0 的解集为实数集

43、 Rax 2|2x4| ,通过对 x 的取值范围分类讨论,去掉绝对值符号,可求得x 2|2 x4|的最大值为3,从而可得实数 a 的取值范围【解答】解:(1)当 a3 时,f(x )x 2+|2x4| 3,当 x0 时,由 f(x)x 2+|x|得x+10,得 x1,x0当 0x2 时,由 f(x)x 2+|x|得3x+10,解得 x 0x 当 x2 时,由 f(x)x 2+|x|得 x70,解得 x7x7当 a3 时,f(x )x 2+|x|的解集为 x|x 或 x7(2)f(x) 0 的解集为实数集 Rax 2|2x4| ,当 x2 时,x 2|2x4| x22x+4(x+1) 2+54,当 x2 时,x 2|2x4| x2+2x4(x1) 233,x 2|2x4|的最大值为3实数 a 的取值范围为3, +) 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,着重考查分类讨论思想的应用,去掉绝对值符号是解不等式的关键,属于中档题