1、2019 年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）知集合 A，B，C 满足 A x| 1 ，By| y2 x，xC ，若 ABAB，则集合 C（ ）A x|0x1 Bx|x0 C x|x0 D x|x12 （5 分）在复平面内，复数 z 满足 z（1i）2，则 z 的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是（ ）A BC D4 （5 分）函数
2、 的图象大致为（ ）A B第 2 页（共 24 页）C D5 （5 分）函数 ylog a（x+3）1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx+ny+10 上，其中 mn0，则 的最小值为（ ）A32 B5 C D36 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别别为 a，b，c，且2cosC（acosB +bcosA） ca1，b3 则 c（ ）A6 B7 C D97 （5 分） 九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为 5 步和 12 步，问其内切
3、圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A B C D8 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（x+） （0l，| | ）的图象经过点（0，1） ，且关于直线 x 对称，则下列结论正确的是（ ）Af（x）在 ， 上是减函数B若 xx 0 是 f（x ）的一条对称轴，则一定有 f'（x 0） 0Cf（x）1 的解集是2k， 2k+ ，k ZDf（x）的一个对称中心是（ ，0）9 （5 分）从 1，2，3，4，5 中任取 5 个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ）A B C D
4、10 （5 分）一个正三棱锥（底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心）的四个顶点都在半径为 1 的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）第 3 页（共 24 页）A B C D11 （5 分）设 F1、F 2 分别为双曲线 的左、右焦点，点 P在双曲线 C 的右支上，若PF 1F230，PF 2F160，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D12 （5 分）对于任意的实数 x1，e ，总存在三个不同的实数 y1，5，使得y2xe1y ax lnx 0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ B ）
5、C （0， D ）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）向量 ， ，若向量 ， 共线，且 ，则 mn 的值为 14 （5 分）在（ 1） （ +1） 5 的展开式中常数项等于 15 （5 分）数列a n满足 a11，a n+12a n+1， （nN*） ，则数列 an的前 n 项和 Sn 16 （5 分）已知在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BAC 120，ABACAA 12，若棱AA1 在正视图的投影面 内，且 AB 与投影面 所成角为 （3060） 设正视图的面积
6、为 m，侧视图的面积为 n，当 变化时，mn 的最大值是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bc（2sinA+cosA） （）求 sinC；（）若 ， ，求ABC 的面积第 4 页（共 24 页）18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60，ADP90，平面 ADP平面 ABCD，点 F 为棱 PD 的中点（）在棱 AB 上是否存在一点 E，使得 AF平面 PCE，并说
7、明理由；（）当二面角 DFCB 的余弦值为 时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角19 （12 分）有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取 5 天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：气温 x（C） 0 4 12 19 27热奶茶销售杯数 y 150 132 130 104 94（）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程 x （ 精确到 0.1） ，若某天的气温为 15C，预测这天热奶茶的销售杯数；（）从表中的 5 天中任取一天，若已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120，求所选取该天热奶茶销售杯数大于 130 的概率参考数据：4 2+122
8、+192+272 1250，4132+12130+19104+27 946602参考公式： ， 20 （12 分）已知椭圆 的离心率 ， 在椭圆上（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，l 与直线 OM 相交于点 N，且N 是线段 AB 的中点，求OAB 面积的最大值21 （12 分）已知 f（x ）lnx，设 A（x 1，lnx 1） ，B （x 2， lnx2） ，且 x1x 2，记 x0第 5 页（共 24 页）；（1）设 g（x）f（x+1）ax，其中 aR，试求 g（x）的单调区间；（2）试判断弦 AB 的斜率 kAB 与 f
9、（x 0）的大小关系，并证明；（3）证明：当 x1 时， 选做题（请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）选修 4-4：坐标系与参数方程（本大题满分 10 分）22 （10 分）已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线 l 的极坐标方程为 ，曲线（ 为参数） 其中 a0，2） （1）试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程；（2）若点 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 f（x） |3x+2|（1）求 f（x） 1
10、的解集；（2）若 f（x 2） a|x |恒成立，求实数 a 的最大值第 6 页（共 24 页）2019 年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）知集合 A，B，C 满足 A x| 1 ，By| y2 x，xC ，若 ABAB，则集合 C（ ）A x|0x1 Bx|x0 C x|x0 D x|x1【分析】求出 Ax| 1 x|0x1，由 B y|y2 x，xC，ABAB ，得到02 x 1，由此能求出集合 Cx|x0【解答】解：
11、集合 A，B，C 满足 A x| 1 x|0x1 ，B y|y2 x，xC，ABAB，02 x 1，解得 x0，集合 Cx|x0故选：C【点评】本题考查集合的求法，考查交集、并集、集合相等的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）在复平面内，复数 z 满足 z（1i）2，则 z 的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：由 z（1i） 2，得 z ， 则 z 的共轭复数对应的点的坐标为（1，1） ，位于第四象限故选：D【点评】本题考
12、查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是（ ）第 7 页（共 24 页）A BC D【分析】依据三视图的画法法则，推出几何体的三视图，即可得到正确选项【解答】解：由题意可知：几何体的正视图是矩形，侧视图是圆，俯视图的矩形如图：故选：A【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图的作法，常规题型，是送分题4 （5 分）函数 的图象大致为（ ）A BC D第 8 页（共 24 页）【分析】根据函数是否存在零点，以及 f（1）的符号，利用排除法进行判断即可【解答】解：f（1） 0，排除 C，D ，由 0
13、，则方程无解，即函数没有零点，排除 B，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键5 （5 分）函数 ylog a（x+3）1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx+ny+10 上，其中 mn0，则 的最小值为（ ）A32 B5 C D3【分析】由对数函数的图象恒过点（1，0） ，可得定点 A（2，1） ，可得 2m+n1，则 （2m+n） （ ） ，展开后运用基本不等式即可得到所求最小值【解答】解：令 x+31，解得 x2，可得 ylog a111，即有定点 A（2，1） ，可得2mn+10，即 2m+n1， （
14、m 0，n0） ，则 （2m+n） （ ）3+ + 3+23+2 ， （当且仅当 n m 时等号成立） ，则 的最小值为 3+2 ，故选：C【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查对数函数的图象的特点，以及运算能力，属于中档题6 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别别为 a，b，c，且2cosC（acosB +bcosA） ca1，b3 则 c（ ）A6 B7 C D9【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦函数化简已知条件，然后求 cosC 的值，根据余弦定理即可计算得解 c 的值【解答】解：2cosC（acosB+bcos A）c，由正弦定理得：2cosC（s
15、inA cosB+sinBcosA）sin C，2cosCsin（A+B）sinC ，A+ B+C ，A、B 、C （0，） ，第 9 页（共 24 页）sin（A+B ）sinC 0，2cosC1，cosC ，a1，b3，由余弦定理可得：c 故选：C【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题7 （5 分） 九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A B C D【
16、分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案【解答】解：直角三角形的斜边长为 ，设内切圆的半径为 r，则 5r+12r13，解得 r2内切圆的面积为 r24 ，豆子落在内切圆外部的概率 P1 1 ，故选：C【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题8 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（x+） （0l，| | ）的图象经过点（0，1） ，且关于直线 x 对称，则下列结论正确的是（ ）Af（x）在 ， 上是减函数第 10 页（共 24 页）B若 xx 0 是 f（x ）的一条对称轴，则一定有 f'（x 0） 0Cf（x）1 的解集是2k， 2k+ ，
17、k ZDf（x）的一个对称中心是（ ，0）【分析】由题意可得 f（0） 1，解得 ，由对称轴可得 ，则 f（x）2sin（ x+） ，由正弦函数的单调性可判断 A；由对称轴特点和导数，可判断 B；由正弦函数的图象可得 x 的不等式组，解不等式可判断 C；由对称中心的特点可判断 D【解答】解：函数 f（x ）2sin（x+） （0l，| | ）的图象经过点（0，1） ，可得 f（0）2sin1，即 sin ，可得 ，由 f（x）的图象关于直线 x 对称，可得 2sin（ + ）k+ ，可得 k+ ，由 0 1，可得 ，则 f（x）2sin（ x+ ） ，由 x ， ，可得 x+ ， ，显然 f（
18、x）递增，故 A 错；由 f（x）的导数为 f（x ） cos（ x+ ） ，取 x0 ，f（x 0）2 为最大值，则 f（x 0） cos 0，故 B 错；f（x）1 即 2sin（ x+ ） ，即有 2k+ x+ 2k+ ，kZ，化为 4kx4k+ ，k Z，故 C 错；由 f（ ）2sin（ + ）0，可得 f（x）的一个对称中心是（ ，0） ，故D 对故选：D【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查单调性和对称性的判断和运用，考查化简运算能力，属于中档题9 （5 分）从 1，2，3，4，5 中任取 5 个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ）A
19、 B C D第 11 页（共 24 页）【分析】先求出基本事件总数 n 120，再求出组成的五位数是偶数包含的基本事件个数 m 48，由此能求出组成的五位数是偶数的概率【解答】解：从 1，2，3，4，5 中任取 5 个数字，组成没有重复数字的五位数，基本事件总数 n 120，组成的五位数是偶数包含的基本事件个数 m 48，组成的五位数是偶数的概率是 p 故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10 （5 分）一个正三棱锥（底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心）的四个顶点都在半径为 1 的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面
20、上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D【分析】作棱锥的高 OP，则 OPOC1，利用等边三角形的性质求出底面边长，从而得出棱锥的体积【解答】解：如图，设正三棱锥底面中心为 O，连接 OP，延长 CO 交 AB 于 D，则 CD O 是三棱锥 PABC 的外接球球心，OPOC1，CD ，BC V PABC SABC OP 1 故选：C第 12 页（共 24 页）【点评】本题考查了棱锥与外接球的关系，棱锥的体积计算，属于中档题11 （5 分）设 F1、F 2 分别为双曲线 的左、右焦点，点 P在双曲线 C 的右支上，若PF 1F230，PF 2F160，则该双曲线的离心率为（ &
21、nbsp;）A B C D【分析】由题意可得F 1PF290，可得| PF2|c，| PF1| c，再由双曲线的定义和离心率公式，计算可得所求值【解答】解：在三角形 PF1F2 中，PF 1F230，PF 2F160，可得F 1PF2 90，可得| PF2|2csin30 c，|PF1|2 ccos30 c，可得 2a|PF 1| PF2|（ 1）c，即有 e 1+ 故选：A【点评】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查解直角三角形，以及化简运算能力，属于基础题12 （5 分）对于任意的实数 x1，e ，总存在三个不同的实数 y1，5，使得y2xe1y ax lnx 0 成立，则
22、实数 a 的取值范围是（ ）A （ B ）C （0， D ）【分析】由方程有解问题、恒成立问题得对于任意的实数 x1，e ，总存在三个不同的实数 y1， 5，使得 y2xe1y axlnx0 成立，即对于任意的实数 x1，e ，总存在三个不同的实数 y1，5，使得 成立，先构造函数： g（y ） （1y5） ，f（x）a+ （x1 ，e） ，再利用导数求函数的单调性及最第 13 页（共 24 页）值得：a+ ， ）对于任意的实数 x1，e恒成立，即 ，即，得解【解答】解：y 2xe1y axlnx0 可化为： ，设 g（y） （1y 5） ，则 g（y） ，即函数 g
23、（y）在（1，0） ， （2，5）为减函数，在（0，2）为增函数，又 g（1）e 2，g（2） ，g（5） ，设 f（x）a+ （x1，e） ，f（x） ，即函数 f（x）在 1，e 为增函数，所以 af（x） a ，对于任意的实数 x1，e ，总存在三个不同的实数 y1，5，使得y2xe1y axlnx 0 成立，即对于任意的实数 x1，e ，总存在三个不同的实数 y1，5，使得 成立，即 a+ ， ）对于任意的实数 x1，e恒成立，即 ，即 ，故选：B【点评】本题考查了方程有解问题、恒成立问题及利用导数求函数的单调性及最值，属第 14 页（共 24 页）中档题二、填空题（每题 5 分，满分
24、 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）向量 ， ，若向量 ， 共线，且 ，则 mn 的值为 8 【分析】由题意得到关于 m， n 的方程组，求解得到 m， n 的值，则答案可求【解答】解： ， ，由 ，且 ，得：，即 解得： 或 mn8故答案为：8【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础题14 （5 分）在（ 1） （ +1） 5 的展开式中常数项等于 9 【分析】把 按照二项式定理展开，可得 的展开式中常数项【解答】解： （ 1）（ +5x2+10 +10x+5 +1 ） ，故它的展开式中常数项等于 1019，故答案为：9【点评】本题主要考查二项式定理的应用
25、，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15 （5 分）数列a n满足 a11，a n+12a n+1， （nN*） ，则数列 an的前 n 项和 Sn 2n+12 n 【分析】由等式两边加 1，结合等比数列的定义和通项公式，可得 an2 n1，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：a n+12a n+1，即为 an+1+12（a n+1） ，可得数列a n+1为首项为 2，公比为 2 的等比数列，第 15 页（共 24 页）可得 an+12 n，即 an2 n1，数列a n的前 n 项和 Sn（2+4+2 n）n n2 n+12n故答案为：2 n+
26、12n【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查分组求和方法，化简运算能力，属于基础题16 （5 分）已知在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BAC 120，ABACAA 12，若棱AA1 在正视图的投影面 内，且 AB 与投影面 所成角为 （3060） 设正视图的面积为 m，侧视图的面积为 n，当 变化时，mn 的最大值是 12 【分析】利用 AB 与投影面 所成角为 ，BAC120，ABACAA 12，BAD，建立正视图的面积为 m 和侧视图的面积为 n 的关系，利用 30 60求解 mn 的最大值【解答】解：AB 与投影面 所成角为为 时，
27、平面 ABC 如下图所示：BAC120，AB AC 2，AA 12，BAD ，BC2 ，BFD 30，BD2sin， DE cos（30） ，故 m4 cos（30） ， n4sin ，mn16 sin（ cos+ sin）24sincos +8 sin212sin2 +4 （1cos2 ）12sin24 cos2+4 8 sin（230）+4 ，3060 30230 90，第 16 页（共 24 页）故 8 8 sin（2 30）+4 ，故 mn 的最大值为 12 ，故答案为：12 【点评】本题考查的知识点是三视图，三角恒等变换，正弦型函数的图象和性质，是三角函数与立体几何的综合应用，难度中
28、档三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bc（2sinA+cosA） （）求 sinC；（）若 ， ，求ABC 的面积【分析】 （）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求 tanC 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值（）由已知得 ，设 ，可求 cosA 的值，由余弦定理可求 k 的值，进而可求 ，利用三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：（）由 bc（2sin A+cosA） ，可得：sinB2sinAsinC+sinCcosA可得：s
29、in（A+C ）2sinAsin C+sinCcosA，所以： ；（）由已知可得： ，设 ，可得： ，由余弦定理得： ，所以 ，所以ABC 的面积 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题第 17 页（共 24 页）18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60，ADP90，平面 ADP平面 ABCD，点 F 为棱 PD 的中点（）在棱 AB 上是否存在一点 E，使得 AF平面 PCE，并说明理由；（）当二面角 DFCB 的
30、余弦值为 时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角【分析】 （）在棱 AB 上存在点 E，使得 AF平面 PCE，点 E 为棱 AB 的中点，取 PC的中点 Q，连结 EQ、FQ，推导出四边形 AEQF 为平行四边形，从而 AFEQ，进而AF平面 PEC（）以 D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 PB 与平面ABCD 所成的角【解答】解：（）在棱 AB 上存在点 E，使得 AF平面 PCE，点 E 为棱 AB 的中点理由如下：取 PC 的中点 Q，连结 EQ、FQ ，由题意，FQDC 且 FQ CD，AECD 且 AE CD，故 AEFQ 且 AEFQ所以，四边形
31、AEQF 为平行四边形.3 分所以，AFEQ，又 EQ平面 PEC，AF 平面 PEC，所以，AF平面 PEC.5 分（）由题意知ABD 为正三角形，所以 EDAB，亦即 EDCD，又ADP90，所以 PDAD ，且平面 ADP平面 ABCD，平面 ADP平面 ABCDAD，所以 PD平面 ABCD，故以 D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 7 分设 FDa，则由题意知 D（0，0，0） ，F（0，0，a） ，C （0，2，0） ，B（ ，1，0） ，（0，2，a） ， （ ） ，设平面 FBC 的法向量为 （x，y，z） ，第 18 页（共 24 页）则由 ，令 x1，则 y ，z ，所
32、以取 （1， ， ） ，平面 DFC 的法向量 （1，0，0） ，l 因为二面角 DFCB 的余弦值为 ，所以由题意：|cos | ，解得 a .10 分由于 PD平面 ABCD，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD，所以PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，由题意知在 RtPBD 中，tanPBD a ，从而PBD60，所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 60.12 分【点评】本题考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）有一个同学家开了一个奶茶店，
33、他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取 5 天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：气温 x（C） 0 4 12 19 27热奶茶销售杯数 y 150 132 130 104 94（）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程 x （ 精确到 0.1） ，若某天的气温为 15C，预测这天热奶茶的销售杯数；（）从表中的 5 天中任取一天，若已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120，求所选取该天热奶茶销售杯数大于 130 的概率参考数据：4 2+122+192+272 1250，4132+12130+19104+27 946602第 19 页（共 24 页）参考公式： ， 【分析】
34、（）由表格中数据计算 、 ，求出回归系数，写出回归方程，利用方程计算x15 时 的值；（）根据条件概率的计算公式，求出所求的概率值【解答】解：（）由表格中数据可得， （0+4+12+19+27）12.4， （150+132+130+104+94）122；（2 分） 2.0， 122（2.0）12.4146.8；热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为2.0x+146.8；（6 分）当气温为 15C 时，由回归方程可以预测热奶茶的销售杯数为2.015+146.8116.8117（杯） ；（8 分）（）设 A 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120”，B 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯
35、数大于 130”，则“已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120 时，销售杯数大于 130”应为事件B|A；（10 分）P（A） ，P （AB） ；P（B|A） ；已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120 时，销售杯数大于 130 的概率为 （12 分）【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了条件概率的计算问题，第 20 页（共 24 页）是基础题20 （12 分）已知椭圆 的离心率 ， 在椭圆上（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，l 与直线 OM 相交于点 N，且N 是线段 AB 的中点，求OAB 面积的最大值【
36、分析】 （1）由椭圆 C： 的离心率为 ，点 在椭圆 C 上，列出方程组，求出 a，b 即可得到椭圆方程（2）易得直线 OM 的方程为 当直线 l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线上，故直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 ykx+m（m0） ，与 联立消 y 得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m2120，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，利用韦达定理，求出中点坐标，通过弦长公式以及点到直线的距离，求解三角形的面积，推出最值【解答】解：（1）由椭圆 C： 的离心率为 ，点在椭圆 C 上得 ，解得 ，所以椭圆 C 的方程为 （2）易得直线 OM 的方程为 当直线 l
37、 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线 上，故直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 ykx+m（m0） ，与 联立消 y 得（3+4k 2）x2+8kmx+4m2120，所以64k 2m24（3+4 k2） （4m 212）48（3+4k 2m 2）0第 21 页（共 24 页）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， . ，所以 AB 的中点 N（ ， ，因为 N 在直线 上，所以 ，解得所以48（12m 2）0，得 ，且 m 0， ，又原点 O 到直线 l 的距离 ，所以 SOAB ，当且仅当 12m 2m 2， 时等号成立，符合 ，且 m0所以OAB 面积的最大值为
38、 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力21 （12 分）已知 f（x ）lnx，设 A（x 1，lnx 1） ，B （x 2， lnx2） ，且 x1x 2，记 x0；（1）设 g（x）f（x+1）ax，其中 aR，试求 g（x）的单调区间；（2）试判断弦 AB 的斜率 kAB 与 f（x 0）的大小关系，并证明；（3）证明：当 x1 时， 【分析】 （1）写出 g（x）的解析式，可得 g（x） 然后对 a 分类讨论即可求得 g（x）的单调区间；（2）k ABf（x 0） 由 令 t 1，可第 22 页（共 24 页）得 h（t）lnt2 ，利用导数证明 h
39、（t ）在（1，+）单调递增，则结论得证；（3）当 x（1 ，+）时，原不等式等价于 exlnxx 21，进一步转化为证x 21，即 ex 令 ，求导即可证明【解答】 （1）解：g（x）f （x+1）axln（x+1）ax（x1） ，g（x）若 a0，则 g（x） 0，g（x）为（1，+）上的增函数，若 a0，由 g（x） 0，解得 x 当 x（1， ）时，g（x）0，当 x（ ，+）时，g（x）0，g（x）的增区间为（1， ） ，减区间为（ ，+） ；（2）解：k ABf（x 0） 证明如下： 令 t 1，则 h（t）lnt2 ，h（t） 0，而 h（1）0故在（1，+）单调递增，故 kAB
40、 f（x 0） ；（3）证明：当 x（1，+）时，原不等式等价于 exlnxx 21，由（2）知 lnx ，即证 x 21，转化为 ex 令 ，F（x）e x（x+1）0，F（1）e 20，故 x（1，+）时 ex 成立即当 x1 时， 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题选做题（请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）选第 23 页（共 24 页）修 4-4：坐标系与参数方程（本大题满分 10 分）22 （10 分）已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的非负半轴重
41、合，且长度单位相同，直线 l 的极坐标方程为 ，曲线（ 为参数） 其中 a0，2） （1）试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程；（2）若点 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值【分析】 （1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）利用点到直线的距离公式求出结果【解答】解：（1）直线 l 的极坐标方程为 ，转化为直角坐标方程为： 曲线 （ 为参数） 转化为直角坐标方程为：x 2+（y+2） 22（2）由（1）可知，曲线 C 是以（ 0，2）为圆心， 为半径的圆圆心（0，2）到直线 l 的距离 d 5+ 所以：点 P 到直线 l
42、距离的最大值为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 f（x） |3x+2|（1）求 f（x） 1 的解集；（2）若 f（x 2） a|x |恒成立，求实数 a 的最大值【分析】 （1）去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为 ，根据基本不等式的性质求出 a 的最大值即可【解答】解：（1）由 f（x ）1 得|3x+2|1，第 24 页（共 24 页）所以13x+21，解得 ，所以，f（x） 1 的解集为 （5 分）（2）f（x 2） a|x|恒成立，即 3x2+2a|x| 恒成立当 x0 时，a R；当 x0 时， 因为 （当且仅当 ，即 时等号成立） ，所以 ，即 a 的最大值是 （10 分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题