1、2019 年甘肃省金昌市永昌县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1 （3 分） 的相反数是（ ）A B C2 D22 （3 分）如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）A B C D3 （3 分）将 14465000 元，用科学记数法表示（保留 3 个有效数字） （ ）A1.4510 7 B1.4410 7 C1.4010 7 D0.14510 84 （3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）ABCD5 （3 分）函数 y + 中自变量 x 的取值范围是（ &
2、nbsp;）Ax3 Bx3 Cx3 Dx 36 （3 分）某天的同一时刻，甲同学测得 1m 的测竿在地面上的影长为 0.6m，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为 9.6m则国旗旗杆的长为（ ）A10m B12m C14m D16m7 （3 分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008 年投入 3 000 万元，预计 2010 年投入 5 000 万元设教育经费的年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程第 2 页（共 25 页）正确的是（ ）A3000（1+x） 25000B3000x 25000C3000（1+x%） 25000D3000（1+x）+30
3、00 （1+ x） 250008 （3 分）如图，AB 与O 相切于点 B，AO 的延长线交O 于点 C，连结 BC若A36 ，则C（ ）A54 B36 C27 D209 （3 分）点 M（sin60，cos60）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）A （ ） B （ ） C （ ） D （ ）10 （3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，现有下列结论：abc0；b 24ac 0； 4a2b+c0；b 2a则其中结论正确的是（ ）A B C D二、填空题 （本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.）11 （4 分）分解
4、因式：x 3x 12 （4 分）2018 年 9 月某市区一周空气质量报告中其气体污染指数的数据分别是37、39、38、37、39、40、36，这组数据中的中位数是 ，平均数是 ，众数是 13 （4 分）方程 3 的解是 第 3 页（共 25 页）14 （4 分）一元二次方程 3x2x0 的解是 15 （4 分）如图，圆弧形桥拱的跨度 AB16 米，拱高 CD4 米，则拱桥的半径为 米16
5、 （4 分）若关于 x 的方程 mx24x+20 有实数根，则 m 的取值范围是 17 （4 分）若正多边形的一个外角是 45，则该正多边形的边数是 18 （4 分）点（1，y 1） ， （2，y 2） ， （3，y 3）均在函数 的图象上，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是 三、解答题（共 10 小题，满分 88 分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19 （6 分）计算：（2009 ） 0+ +| |+（ ） 1 20 （6 分）先化简后求值：当 时，求代数式 的值21 （6 分）如图，
6、在 RtABC 中，ACB90，AC1，AB2，求作：O ，使它过点 A、B 、C （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ；22 （8 分）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，ABC 的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） （1）画出ABC 绕点 C 顺时针旋转 90后的A 1B1C；（2）求边 AC 旋转时所扫过区域的面积第 4 页（共 25 页）23 （8 分）在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字） 游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，
7、若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于 12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于 12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率24 （10 分）居民区内的“广场舞”引起媒体关注，辽宁都市频道为此进行过专访报道小平想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A非常赞同；B赞同但要有时间限制；C无所谓；D不赞同并将调查结果绘制了图 1 和图 2 两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信
8、息解答下列问题：（1）求本次被抽查的居民有多少人？（2）将图 1 和图 2 补充完整；第 5 页（共 25 页）（3）求图 2 中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；（4）估计该小区 4000 名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括 A 层次和 B 层次）的大约有多少人25 （8 分）一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60方向的 A 处，它向东航行 20 海里到达灯塔 P南偏西 45方向上的 B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离 （结果保留根号）26 （12 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，直线 ymx 与双曲线 相交于 A（1，a） 、B 两点， BCx 轴
9、，垂足为 C，AOC 的面积是 1（1）求 m、n 的值；（2）求直线 AC 的解析式27 （12 分）已知：如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC 于点 E（1）求证：DE 是O 的切线（2）若O 的半径为 3cm，C30，求图中阴影部分的面积第 6 页（共 25 页）28 （12 分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） ，其对称轴与 x 轴相交于点 M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说
10、明理由第 7 页（共 25 页）2019 年甘肃省金昌市永昌县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1 （3 分） 的相反数是（ ）A B C2 D2【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数即可求解【解答】解：根据概念得： 的相反数是 故选：A【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0不要把相反数的意义与倒数的意义混淆2 （3 分）如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（
11、）A B C D【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中【解答】解：从上面看易得横着的“ ”字，故选：C【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图3 （3 分）将 14465000 元，用科学记数法表示（保留 3 个有效数字） （ ）A1.4510 7 B1.4410 7 C1.4010 7 D0.14510 8【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝
12、对值1 时，n 是负数，表示的数的有效数字应该有首数 a 来确定，首数 a 中的数字就是有效数字第 8 页（共 25 页）【解答】解：将 14465000 元，用科学记数法表示为：1.4510 7故选：A【点评】此题考查了科学记数法的表示方法和有效数字科学记数法的表示形式为a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值，表示的数的有效数字应该有首数 a 来确定，首数 a 中的数字就是有效数字；4 （3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）ABCD【分析】先求出每个不等式的解集再求出其公共解集【解答】解：该不等式组的解集为
13、1x2，故选：C【点评】本题考查了不等式组解集表示按照不等式的表示方法 1x2 在数轴上表示如选项 C 所示，解答这类题时常常因表示解集时不注意数轴上圆圈和黑点所表示意义的区别而误选 D5 （3 分）函数 y + 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax3 Bx3 Cx3 Dx 3【分析】根据被开方数是非负数、分母不等为零，可得答案【解答】解：由题意，得3x0 且 x30，解得 x3故选：B【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不等为零得出 3x0 且 x30 是解题关键第 9 页（共 25 页）6 （3 分）某天的同一时刻，甲同学测得 1m 的测竿在地面上
14、的影长为 0.6m，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为 9.6m则国旗旗杆的长为（ ）A10m B12m C14m D16m【分析】利用在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似【解答】解：身高与影长成正比例设国旗旗杆的长为 xm ，国旗旗杆的长为 x16m 故选：D【点评】本题主要考查了相似三角形的应用注意利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出国旗旗杆的长7 （3 分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008 年投入 3 000 万元，预计 2010 年投入 5 000 万元设教育经费的
15、年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A3000（1+x） 25000B3000x 25000C3000（1+x%） 25000D3000（1+x）+3000 （1+ x） 25000【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，参照本题，如果教育经费的年平均增长率为 x，根据 2008 年投入 3 000 万元，预计 2010 年投入 5 000万元即可得出方程【解答】解：设教育经费的年平均增长率为 x，则 2009 的教育经费为：3000（1+x）2010 的教育经费为：3000（1+x） 2那么可得方程：3000（1+x） 25000故选：
16、A【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程第 10 页（共 25 页）8 （3 分）如图，AB 与O 相切于点 B，AO 的延长线交O 于点 C，连结 BC若A36 ，则C（ ）A54 B36 C27 D20【分析】连接 OB，先根据切线的性质求出 AOB，再根据OBOC，AOBC +OBC 即可解决问题【解答】解：如图，连接 OBAB 是O 切线，OBAB，ABO90，A36，AOB90A 54，OCOB，COBC，AOBC+OBC，C27故选：C【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、直
17、角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，所以中考常考题型9 （3 分）点 M（sin60，cos60）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）A （ ） B （ ） C （ ） D （ ）【分析】先根据特殊三角函数值求出 M 点坐标，再根据对称性解答【解答】解：sin60 ，cos60 ，第 11 页（共 25 页）点 M（ ） 点 P（m，n）关于 x 轴对称点的坐标 P（m ，n） ，M 关于 x 轴的对称点的坐标是（ ） 故选：B【点评】考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值10 （3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所
18、示，现有下列结论：abc0；b 24ac 0； 4a2b+c0；b 2a则其中结论正确的是（ ）A B C D【分析】由抛物线开口向下，得到 a 小于 0，再由对称轴在 y 轴右侧，得到 a 与 b 异号，可得出 b 大于 0，又抛物线与 y 轴交于正半轴，得到 c 大于 0，可得出 abc 小于 0，选项错误；由抛物线与 x 轴有 2 个交点，得到根的判别式 b24ac 大于 0，选项错误；由 x2 时对应的函数值小于 0，将 x2 代入抛物线解析式可得出 4a2b+c 小于0，最后由对称轴为直线 x1，利用对称轴公式得到 b2a，得到选项正确，即可得到正确结论的序号【解答】解：
19、由抛物线的开口向下，得到 a0， 0，b0，由抛物线与 y 轴交于正半轴，得到 c0，abc0，选项 错误；又抛物线与 x 轴有 2 个交点，b 24ac0，选项错误；x2 时对应的函数值为负数，4a2b+c0，选项正确；对称轴为直线 x1， 1，即 b2a，选项正确，第 12 页（共 25 页）则其中正确的选项有 故选：B【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 yax 2+bx+c（a0） ，a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及 a 的符号决定；c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定；抛物线与 x 轴的交点个数，决定了 b24ac 的符号，此外还要注意
20、 x1，1，2 及2 对应函数值的正负来判断其式子的正确与否二、填空题 （本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.）11 （4 分）分解因式：x 3x x （x+1） （x1） 【分析】本题可先提公因式 x，分解成 x（x 21） ，而 x21 可利用平方差公式分解【解答】解：x 3x ，x（x 21） ，x（x+1） （x1） 故答案为：x（x +1） （x 1） 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底12 （4 分）2018 年 9 月某市区一周空气质量报告中其气体污染指数的数据分别是37、39、38、3
21、7、39、40、36，这组数据中的中位数是 38 ，平均数是 38 ，众数是 37 和 39 【分析】根据众数和中位数、平均数的定义求解可得【解答】解：将数据重新排列为 36、37、37、38、39、39、40，所以这组数据的中位数是 38、众数是 37 和 39，平均数是（36+37+37+38+39+39+40）38，故答案为：38、37 和 39，38【点评】本题考查的是平均数、众数、中位数的定义及其求法，牢记定义是关键13 （4 分）方程 3 的解是 x 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解
22、：去分母得：32x6x6，移项合并得：8x9，第 13 页（共 25 页）解得：x ，经检验 x 是分式方程的解故答案为：x【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根14 （4 分）一元二次方程 3x2x0 的解是 x 10，x 2 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：3x 2x 0，x（3x1）0，x0，3x10，x10，x 2 ，故答案为：x 10，x 2 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，难度适中15 （
23、4 分）如图，圆弧形桥拱的跨度 AB16 米，拱高 CD4 米，则拱桥的半径为 10 米【分析】根据垂径定理和勾股定理求解【解答】解：设所在的圆的圆心是 O根据垂径定理，知 C，O，D 三点共线，第 14 页（共 25 页）设圆的半径是 r，则根据垂径定理和勾股定理，得 r2（r4） 2+64，r10【点评】此类题注意把已知的未知的放到一个直角三角形中，运用垂径定理和勾股定理进行计算16 （4 分）若关于 x 的方程 mx24x+20 有实数根，则 m 的取值范围是 m2 【分析】分两种情况：m0 ，方程为已知方程有一元一次方程，方程有实数根；当m0，则0，由此建立关于 m 的不等式，然后解不
24、等式即可求出 m 的取值范围【解答】解：当 m0，方程为 4x+20 一元一次方程，方程有实数根；由题意知 m0，168m0，m2综上所知：m2故答案为：m2【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根17 （4 分）若正多边形的一个外角是 45，则该正多边形的边数是 8 【分析】根据多边形外角和是 360 度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用 36045可求得边数【解答】解：多边形外角和是 360 度，正多边形的一个外角是
25、 45，360458即该正多边形的边数是 8【点评】主要考查了多边形外角和是 360 度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等） 18 （4 分）点（1，y 1） ， （2，y 2） ， （3，y 3）均在函数 的图象上，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是 y 1 y3y 2 【分析】把点（1，y 1） ， （2，y 2） ， （3，y 3）分别代入函数解析式，求得相应的 y 值，然后比较大小即可【解答】解：点（1，y 1） ， （2，y 2） ， （3，y 3）均在函数 的图象上，第 15 页（共 25 页）y 1 6，y 23，y 3 2，623，y 1y
26、 3y 2故答案为：y 1y 3y 2【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键三、解答题（共 10 小题，满分 88 分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19 （6 分）计算：（2009 ） 0+ +| |+（ ） 1 【分析】根据零指数幂、二次根式的化简、绝对值、负整数指数幂的运算，得出各部分的最简值，然后合并可得出答案【解答】解：原式1+2 +2 +25+ 【点评】此题考查了实数的运算、零指数幂、负整数指数幂的知识，考查的知识点较多，解答本题的关键是掌握每部分的运算法则20 （6 分）先化简后求
27、值：当 时，求代数式 的值【分析】把所求的分式中后边的两个分式的分子和分母分解因式，相乘，然后通分相减即可化简，最后把 x 的值代入即可求解【解答】解：原式 ，当 x 1 时，原式1【点评】本题考查了分式的化简求值，化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材为了降低计算的难度，杜绝繁琐的计算，本题代数式结构简单，化简后的结果简单，计算简单，把考查重点放在化简的规则和方法上21 （6 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC1，AB2，求作：O ，使它过点 A、B 、C （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ；第 16
28、页（共 25 页）【分析】由于ACB90，AC 1，AB2，则在 AB 上截取 AOAC1，然后以 O点为圆心，OA 为半径画圆即可【解答】解：如图，O 为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作22 （8 分）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，ABC 的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） （1）画出ABC 绕点 C 顺时针旋转 90后的A 1B1C；（2）求边 AC 旋转时所扫过区
29、域的面积【分析】 （1）根据题意可以画出相应的图形；（2）根据题意可知边 AC 旋转时所扫过区域是以点 C 为圆心， CA4 为半径，圆形角为 90的扇形，从而利用扇形面积公式可以解答本题【解答】解：（1）如右图所示，第 17 页（共 25 页）（2）由题意可得，边 AC 旋转时所扫过区域的面积是 S 扇形 CAA1 4【点评】本题考查作图旋转变换、扇形面积的计算，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，求出扇形的面积23 （8 分）在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字） 游戏规则如下：两人分别同
30、时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于 12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于 12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率【分析】 （1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和小于 12 的情况、和大于 12 的情况数，再根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）根据题意列表如下：甲 乙 6 7 8 93 9 10 11
31、124 10 11 12 13第 18 页（共 25 页）5 11 12 13 14可见，两数和共有 12 种等可能结果； （2）由（1）可知，两数和共有 12 种等可能的情况，其中和小于 12 的情况有 6 种，和大于 12 的情况有 3 种，李燕获胜的概率为 ；
32、 刘凯获胜的概率为 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比24 （10 分）居民区内的“广场舞”引起媒体关注，辽宁都市频道为此进行过专访报道小平想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行
33、了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A非常赞同；B赞同但要有时间限制；C无所谓；D不赞同并将调查结果绘制了图 1 和图 2 两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）求本次被抽查的居民有多少人？（2）将图 1 和图 2 补充完整；（3）求图 2 中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；（4）估计该小区 4000 名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括 A 层次和 B 层次）的大约有多少人【分析】 （1）由 A 层次的人数除以所占的百分比求出调查的学生总数即可；（2）由 D 层次人数除以总人数求出 D 所占的百分比，再求出 B 所占的百分比，再乘以总人数可得 B
34、 层次人数，用总人数乘以 C 层次所占的百分比可得 C 层次的人数不全图第 19 页（共 25 页）形即可；（3）用 360乘以 C 层次的人数所占的百分比即可得 “C”层次所在扇形的圆心角的度数；（4）求出样本中 A 层次与 B 层次的百分比之和，乘以 4000 即可得到结果【解答】解：（1）9030%300（人） ，答：本次被抽查的居民有 300 人；（2）D 所占的百分比：30 30010%B 所占的百分比：120% 30%10%40%，B 对应的人数：30040% 120（人） ，C 对应的人数：30020%60（人） ，补全统计图，如图所示：（3）36020%72，答：“C”层次所在
35、扇形的圆心角的度数为 72；（4）4000（30%+40%） 2800（人） ，答：估计该小区 4000 名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括 A 层次和 B 层次）的大约有 2800 人【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键25 （8 分）一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60方向的 A 处，它向东航行 20 海里到达灯塔 P南偏西 45方向上的 B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离 （结果保留根号）第 20 页（共 25 页）【分析】利用题意得到 AC PC，APC60，BPC45，AB20 海里，如图，设 B
36、Cx 海里，则 ACAB +BC（20+x）海里解PBC，得出 PCBCx 海里，解RtAPC，得出 ACPCtan60 x，根据 AC 不变列出方程 x20+x，解方程即可【解答】解：如图，ACPC，APC60，BPC 45，AB20 海里，设 BCx海里，则 ACAB+BC（20+x）海里在PBC 中，BPC45，PBC 为等腰直角三角形，PCBCx 海里，在 Rt APC 中，tanAPC ，ACPCtan60 x， x20+x，解得 x10 +10，则 PC（10 +10）海里答：轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离是（10 +10）海里【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角：在辨别
37、方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数在解决有关方向角的问题中，一般要根据第 21 页（共 25 页）题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角26 （12 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，直线 ymx 与双曲线 相交于 A（1，a） 、B 两点， BCx 轴，垂足为 C，AOC 的面积是 1（1）求 m、n 的值；（2）求直线 AC 的解析式【分析】 （1）由题意，根据对称性得到 B 的横坐标为 1，确定出 C 的坐标，根据三角形AOC 的面积求出 A 的纵坐标，确定出 A 坐
38、标，将 A 坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出 m 与 n 的值；（2）设直线 AC 解析式为 ykx+ b，将 A 与 C 坐标代入求出 k 与 b 的值，即可确定出直线 AC 的解析式【解答】解：（1）直线 ymx 与双曲线 y 相交于 A（1，a） 、B 两点，B 点横坐标为 1，即 C（1， 0） ，AOC 的面积为 1，A（1，2） ，将 A（1，2）代入 ymx，y 可得 m2，n2；（2）设直线 AC 的解析式为 ykx+ b，ykx+b 经过点 A（1，2） 、C（1，0） ，解得 k1，b1，直线 AC 的解析式为 yx+1第 22 页（共 25 页）【点评】此题考
39、查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键27 （12 分）已知：如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC 于点 E（1）求证：DE 是O 的切线（2）若O 的半径为 3cm，C30，求图中阴影部分的面积【分析】 （1）由等腰三角形的性质证出ODBC得出 ODAC 由已知条件证出DEOD ，即可得出结论；（2）由垂径定理求出 OF，由勾股定理得出 DF，求出 BD，得出BOD 的面积，再求出扇形 BOD 的面积，即可得出结果【解答】 （1）证明：连接
40、 OD，如图 1 所示：ODOB ，BODB ABAC，BCODB CODACDEAC，第 23 页（共 25 页）DEOD ，DE 是 O 的切线（2）解：过 O 作 OFBD 于 F，如图 2 所示：C30，ABAC，OBOD，OBD ODBC 30 ，BOD 120 ，在 Rt DFO 中，FDO30 ，OF OD cm，DF cm，BD2DF 3 cm，S BOD BDOF 3 cm2，S 扇形 BOD 3 cm2，S 阴 S 扇形 BOD SBOD （3 ）cm 2【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、勾股定理、三角形和扇形面积的计算等知识；熟练掌握切线的判定
41、，由垂径定理和勾股定理求出 OF 和DF 是解决问题（2）的关键第 24 页（共 25 页）28 （12 分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） ，其对称轴与 x 轴相交于点 M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）因为抛物线经过点 B（1，0） ，C（5，0） ，可以假设抛物解析式为ya（x1） （x 5） ，把 A（0，4）代入即可解决问题，对称轴根据图象即可解决（2）连接 AC 与对称轴的交点即为点 P，此时PAB 周长最
42、小求出直线 AC 的解析式即可解决问题【解答】解：（1）抛物线经过点 B（1，0） ，C（5，0） ，可以假设抛物解析式为 ya（x1） （x 5） ，把 A（0 ，4）代入得 45a，a ，抛物线解析式为 y （x 1） （x 5） x2 x+4由图象可知抛物线对称轴 x3（2）连接 AC 与对称轴的交点即为点 P，此时PAB 周长最小设直线 AC 的解析式为 ykx +b，则 ，第 25 页（共 25 页）解得 ，直线 AC 解析式为 y x+4，和对称轴的交点 P 为（3， ） 【点评】本题考查二次函数综合题、两点之间线段最短、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型