1、2018 年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（文科）一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1 （5 分）设集合 P3，log 2a，Q a，b ，若 PQ0，则 PQ （ ）A3 ，0 B3 ，0，1 C3 ，0，2 D3 ，0，1，22 （5 分）如果 z 为纯虚数，则实数 a（ ）A1 B0 C1 D23 （5 分）函数 f（x ）log 2x+x4 的零点所在的区间是（ ）A B （1，2） C （2，3） D （3，4）4 （5 分）设
2、变量 x，y 满足约束条件： ，则 zx3y+2 的最小值为（ ）A2 B4 C6 D85 （5 分）若向量 （cos，sin ） ， （ ，1） ，则|2 |的最大值为（ ）A4 B2 C2 D6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B2 C D27 （5 分）在ABC 中，设 ；q：ABC 是正三角形，那么 p 是q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件第 2 页（共 24 页）8 （5 分）已知函数 ， 是奇函数，则（ ）Af（x）在 上单调递减Bf（x）在 上
3、单调递减Cf（x）在 上单调递增Df（x）在 上单调递增9 （5 分）执行如图的程序框图，那么输出的 S 值是（ ）A54 B56 C90 D18010 （5 分）设 l，m，n 表示三条直线， 表示三个平面，给出下列四个命题：若 l ，m，则 lm；若 m，n 是 l 在 内的射影，ml，则 mn；若 m，mn，则 n；若 ，则 其中真命题为（ ）A B C D11 （5 分）已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，第 3 页（共 24 页）则 最小值为（ ）A2 B C1 D012 （5 分）函数 y 的图象与函
4、数 y2sin x， （2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A8 B6 C4 D2二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）.13 （5 分）某高中共有学生 1000 名，其中高一年级共有学生 380 人，高二年级男生有 180人如果在全校学生中抽取 1 名学生，抽到高二年级女生的概率为 0.19，现采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取 100 人，则应在高三年级中抽取的人数等于 14 （5 分）已知ABC 的面积为 ，AC ，ABC ，则ABC 的周长等于 15 （5 分）A、B、C、D 是同一球
5、面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面ABC，AD4， AB2 ，则该球的表面积为 16 （5 分）已知函数 （a 是常数且 a0） 对于下列命题：函数 f（x）的最小值是1 ；函数 f（x）在 R 上是单调函数；若 f（ x）0 在 上恒成立，则 a 的取值范围是 a1；对任意 x10，x 20 且 x1x 2，恒有 其中正确命题的序号是 三.解答题：（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知等差数列a n和等比数列b n中，a 1b 11，a 2b 2，a 4+2b 3（）求数列a n和b
6、 n的通项公式；（）如果 amb n（nN *） ，写出 m，n 的关系式 mf（n） ，并求 f（1）+f（2）+f（n） 18 （12 分）如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且DAB60，EF AC，AD2，EAEDEF （）求证：ADBE ；第 4 页（共 24 页）（）若 BE ，求三棱锥 FBCD 的体积19 （12 分）某校高二奥赛班 N 名学生的物理测评成绩（满分 120 分）分布直方图如图，已知分数在 100110 的学生数有 21 人（1）求总人数 N 和分数在 110115 分的人数 n；（2）现准备从分数在 110115 的 n 名学生（女生占 ）
7、中任选 2 人，求其中恰好含有一名女生的概率；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前 7次考试的数学成绩 x（满分 150 分） ，物理成绩 y 进行分析，下面是该生 7 次考试的成绩数学 88 83 117 92 108 100 112物理 94 91 108 96 104 101 106已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，求出 y 关于 x 的线性回归方程 x+ 若该生的数学成绩达到 130 分，请你估计他的物理成绩大约是多少？（参考公式： ， ）20 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）的左、右焦点分别为第 5 页（共 24
8、页），点 在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过定点 P（1，0）的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，已知定点 N（ ，0） ，求的值21 （12 分）已知函数 f（x ）ax 3+bx2lnx，若 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为y2x 2（1）求 f（x）的解析式；（2）求 f（x）在 ，e 上的单调区间和最值；（3）若存在实数 m2，2，函数 g（x） x3（2m+n）x 在（1，e）上为单调减函数，求实数 n 的取值范围四、选考题（请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的极坐标
9、方程为 2 sin（+ ） ，现以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （t为参数） （1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设 P（3，2） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求| PA|PB|的值23已知函数 f（x ）|x 2|+2 ，g（x ）m |x|（m R） （1）解关于 x 的不等式 f（x）5；（2）若不等式 f（x ）g（x）对任意 xR 恒成立，求 m 的取值范围第 6 页（共 24 页）2018 年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分
10、，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1 （5 分）设集合 P3，log 2a，Q a，b ，若 PQ0，则 PQ （ ）A3 ，0 B3 ，0，1 C3 ，0，2 D3 ，0，1，2【分析】根据集合 P3，log 2a，Q a，b ，若 PQ0，则 log2a0，b0，从而求得 PQ【解答】解：PQ0，log 2a0a1从而 b0，PQ3，0，1，故选：B【点评】此题是个基础题考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用2 （5 分）如果 z 为纯虚数，则实数 a（ &nb
11、sp;）A1 B0 C1 D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值【解答】解：z 为纯虚数， ，解得 a1故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的基本概念，是基础题3 （5 分）函数 f（x ）log 2x+x4 的零点所在的区间是（ ）A B （1，2） C （2，3） D （3，4）【分析】连续函数 f（x ）log 2x+x4 在（0，+ ）上单调递增且 f（2）第 7 页（共 24 页）10，f（3）log 2310，根据函数的零点的判定定理可求【解答】解：连续函数 f（ x）log 2x+x4 在（0，+
12、 ）上单调递增f（2）10，f（3）log 2310f（x）log 2x+x4 的零点所在的区间为（2，3）故选：C【点评】本题主要考查了函数零点 定义及判定 的应用，属于基础试题4 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件： ，则 zx3y+2 的最小值为（ ）A2 B4 C6 D8【分析】先根据条件画出可行域，zx3y+2，再利用几何意义求最值，将最小值转化为 y 轴上的截距最大，只需求出直线 zx3y +2，过可行域内的点 A（2，2）时的值，从而得到 z 最小值即可【解答】解：设变量 x、y 满足约束条件： ，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线 x3y 0 经过点 A（2，
13、2）时，z x 3y+2 最小，最小值为：6，则目标函数 zx3y +2 的最小值为6故选：C【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归第 8 页（共 24 页）思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定5 （5 分）若向量 （cos，sin ） ， （ ，1） ，则|2 |的最大值为（ ）A4 B2 C2 D【分析】先将|2 |转化为 ，再将其进行化简，然后根据 cos的范围得出的范围，可得最大值【解答】解：|2 | ，因为 1， 4，所以上式 （ 为 ， 的夹角） ，因为1cos1，所以 088cos16所以 0 4，可得 的最大值为 4
14、即|2 |的最大值为 4故选：A【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，关键要懂得将|2 |转化为 ，考查了计算能力，属于中档题6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B2 C D2【分析】由三视图知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的四棱锥，画出图形，结合图形求出它的体积第 9 页（共 24 页）【解答】解：由三视图知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的四棱锥，如图所示，则该几何体即四棱锥 PABCD 的体积为V 222 故选：C【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题7 （5 分
15、）在ABC 中，设 ；q：ABC 是正三角形，那么 p 是q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据正弦定理结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若：ABC 是正三角形，则 ABC60，则满足 成立，由正弦定理得 得 ，即 sin2AsinBsinC，sin 2BsinAsin C，sin 2CsinAsinB，即 ，得（ sinAsin B） （sin A+sinB）sinC （sinBsin A） ，即（sinAsinB） （sinA+sin B+sinC）0，则 sinAsinB，AB同理得 CB，ABC ，则A
16、BC 是等边三角形则 p 是 q 的充要条件，故选：C第 10 页（共 24 页）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键8 （5 分）已知函数 ， 是奇函数，则（ ）Af（x）在 上单调递减Bf（x）在 上单调递减Cf（x）在 上单调递增Df（x）在 上单调递增【分析】根据题意求出函数 f（x ）的解析式，再判断 f（ x）在（0， ）和（ ， ）上的单调性【解答】解：函数 f（x ）cos（x +） ， cos（x+ + ） ，又 f（x+ ）是奇函数，+ +k，kZ， +k，kZ；又 0| ， ，f（x）cos （ x+ ）
17、，当 x（0， ）时，x+ （ ， ） ，f （x）是单调减函数；x（ ，）时，x + （ ， ） ，f（x）先减后增故选：B【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题9 （5 分）执行如图的程序框图，那么输出的 S 值是（ ）第 11 页（共 24 页）A54 B56 C90 D180【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S2 2+32+42+52+62 的值，S2 2+32+42+52+
18、6290故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10 （5 分）设 l，m，n 表示三条直线， 表示三个平面，给出下列四个命题：若 l ，m，则 lm；若 m，n 是 l 在 内的射影，ml，则 mn；若 m，mn，则 n；若 ，则 其中真命题为（ ）A B C D【分析】选项结论是根据直线与平面垂直的性质定理得出的故其正确，选项根据由三垂线定理的逆定理可证，选项n 也可能在平面 内时不正确，选项 举反例，如正方体共顶点的三个平面第 12 页（共 24 页）【解答】解：选项，可以根据直线与平面垂直的性质定理得出的，
19、故其正确；选项 ，根据由三垂线定理的逆定理可证可知正确；选项 ，n 在平面 内时不正确；选项 ，若 ， ，则 ，不正确，如正方体共顶点的三个平面；故选：A【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定等有关知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题11 （5 分）已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，则 最小值为（ ）A2 B C1 D0【分析】根据题意，设 P（x，y ） （x1） ，根据双曲线的方程，易得 A1、F 2 的坐标，将其代入 ，可得关于 x、y 的关系式，结合双曲线的方程，可得 4x2x5
20、配方，再由 x 的范围，可得答案【解答】解：根据题意，设 P（x，y ） （x1） ，易得 A1（1，0） ，F 2（2，0） ， （1x，y ）（2x ，y）x 2x2+ y2，又 x2 1，故 y23（x 21） ，于是 4x 2x 54（x ） 25 ，当 x1 时，取到最小值2；故选：A【点评】本题考查双曲线方程的应用，涉及最值问题；解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算12 （5 分）函数 y 的图象与函数 y2sin x， （2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A8
21、B6 C4 D2第 13 页（共 24 页）【分析】函数 y1 与 y22sin x 的图象有公共的对称中心（1，0） ，作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果【解答】解：函数 y1 ，y22sin x 的图象有公共的对称中心（1，0） ，作出两个函数的图象，如图，当 1x4 时，y 10 而函数 y2 在（1，4）上出现 1.5 个周期的图象，在（1， ）和（ ， ）上是减函数；在（ ， ）和（ ，4）上是增函数 函数 y1 在（1，4）上函数值为负数，且与 y2 的图象有四个交点 E、F、G 、H相应地，y 1 在（2，1）上函数值为正数，且与 y2 的图象有四个交点 A、B、C
22、、D且：x A+xHx B+xGx C+xF xD+xE2，故所求的横坐标之和为 8故选：A【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）.13 （5 分）某高中共有学生 1000 名，其中高一年级共有学生 380 人，高二年级男生有 180人如果在全校学生中抽取 1 名学生，抽到高二年级女生的概率为 0.19，现采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取 100 人，则应在高三年级中抽取的人数等于 25 第 14 页（共 24 页）【分析】根据高二女生被抽到的概率，可以求出
23、高二女生人数，然后求出高三学生人数即可得到结论【解答】解：高中共有学生 1000 名，在全校学生中抽取 1 名学生，抽到高二年级女生的概率为 0.19，高二女生共有 10000.19190 人，则高二共有学生 180+190370 人，则高三人数为 1000370380250 人，则采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取 100 人，则应在高三年级中抽取的人数等于人，故答案为：25【点评】本题主要考查分层抽样的应用，利用条件求出高二女生人数是解决本题的关键，比较基础14 （5 分）已知ABC 的面积为 ，AC ，ABC ，则ABC 的周长等于 3+【分析】根据三角形的面积等于 求出 ABBC2，
24、再由余弦定理可得 AB2+BC25，由此求得 AB+BC3，再由 AC ，求出周长【解答】解：由题意可得 ABBCsinABC ，即 ABBC ，AB BC2再由余弦定理可得 3AB 2+BC22AB BCcos AB 2+BC2ABBC AB 2+BC22，AB 2+BC25，（AB+BC） 2AB 2+BC2+2ABBC5+49，AB+BC3ABC 的周长等于 AB+BC+AC3+ ，故答案为：3 【点评】本题主要考查解三角形问题，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题15 （5 分）A、B、C、D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面ABC，AD4， AB2 ，则该球的表
25、面积为 32 【分析】画出几何体的图形，把 A、B、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把 A、B、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A 的距离第 15 页（共 24 页）为球的半径，AD4，AB2 ，ABC 是正三角形，所以 AE2，AO2 所求球的表面积为：4（2 ） 232 故答案为：32【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力16 （5 分）已知函数 （a 是常数且 a0） 对于下列命题：函数 f（x）的最小值是1 ；函
26、数 f（x）在 R 上是单调函数；若 f（ x）0 在 上恒成立，则 a 的取值范围是 a1；对任意 x10，x 20 且 x1x 2，恒有 其中正确命题的序号是 【分析】 由图只需说明在点 x0 处函数 f（x ）的最小值是1；只需说明函数 f（x ）在 R 上的单调性即可；只需说明 f（x ）0 在 上恒成立，则当 x 时，函数取得最小值，从而求得 a 的取值范围是 a1；已知函数在（，0）上的图象在0 ，+）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故 D 正确【解答】解：由图只需说明在点 x0 处函数 f（x ）的最小值是1；故正确；由图象说明函函数 f（x ）在 R 上
27、不是单调函数；故错；只需说明 f（x ）0 在 上恒成立，则当 x 时，函数取得最小值，求得 a 的取值范围是 a1；故正确；第 16 页（共 24 页）已知函数函数在（，0）上的图象在0 ，+）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即 f（ ） ，故正确故答案为：【点评】利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法三.解答题：（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知等差数列a n和等比数列b n中，a 1b 11，a 2b 2，a 4+2b 3（）求数列a n和b n的通项公式；（）如果
28、amb n（nN *） ，写出 m，n 的关系式 mf（n） ，并求 f（1）+f（2）+f（n） 【分析】 （）设出等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q，由已知列式求得 d，q 的值，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（）由 amb n，得 ，然后结合 mf （ n）再由等比数列的前 n 项和公式求得 f（1）+f（2）+ +f（n） 【解答】解：（）设等差数列a n的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q，则 ，解得： 或 （舍） a n2n1， ；（）a mb n，2m13 n1 ，即 第 17 页（共 24 页）则 f（1）+f（2）+ +f（n）
29、【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等比数列的前 n 项和，是中档题18 （12 分）如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且DAB60，EF AC，AD2，EAEDEF （）求证：ADBE ；（）若 BE ，求三棱锥 FBCD 的体积【分析】解法一：（）取 AD 中点 O，连结 EO，BO 证明 EOAD BOAD说明 AD平面 BEO，即可证明 ADBE （）证明 EOOB，然后证明 EO平面 ABCD通过 VFBCD V EBCD 求解即可解法二：（）同解法一（）证明 EOOB，利用 AD平面 EOB，以及 VFBCD V EBCD V EABD 求
30、解即可【解答】解法一：（）如图，取 AD 中点 O，连结 EO，BOEAED ，EOAD（1 分）四边形 ABCD 为菱形，第 18 页（共 24 页）ABAD ，又DAB60，ABD 为等边三角形，BA BD ，BOAD （3 分）BOEO O ，BO 平面 BEO，EO 平面 BEO，AD 平面 BEO， （5 分）BE 平面 BEO，ADBE （6 分）（）在EAD 中， ，AD2， ，ABD 为等边三角形，ABBDAD2， （7 分）又 ，EO 2+OB2BE 2，EOOB ， （8 分）ADOB O ，AD 平面 ABCD，BO 平面 ABCD，EO平面 ABCD （9 分）又 ，
31、（10 分） 又EFAC，V FBCD V EBCD （11 分） （12 分）解法二：（）同解法一 （6 分）（）在EAD 中， ，AD2， ，ABD 为等边三角形，ABBD AD2， （7 分）又 ，EO 2+OB2BE 2，EOOB ， （8 分）所以 （9 分）第 19 页（共 24 页）又 SBCD S ABD ，EF AC ，AD平面 EOB，V FBCD V EBCD V EABD （10 分） （12 分）【点评】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等19 （12 分）某校高二
32、奥赛班 N 名学生的物理测评成绩（满分 120 分）分布直方图如图，已知分数在 100110 的学生数有 21 人（1）求总人数 N 和分数在 110115 分的人数 n；（2）现准备从分数在 110115 的 n 名学生（女生占 ）中任选 2 人，求其中恰好含有一名女生的概率；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前 7次考试的数学成绩 x（满分 150 分） ，物理成绩 y 进行分析，下面是该生 7 次考试的成绩数学 88 83 117 92 108 100 112物理 94 91 108 96 104 101 106已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x
33、 是线性相关的，求出 y 关于 x 的线性回归方程 x+ 若该生的数学成绩达到 130 分，请你估计他的物理成绩大约是多少？（参考公式： ， ）【分析】 （1）求出该班总人数、分数在 110115 内的学生的频率，即可得出分数在110115 内的人数；（2）利用列举法确定基本事件的个数，即可求出其中恰好含有一名女生的概率；第 20 页（共 24 页）（3）分别求出回归学生的值，代入从而求出线性回归方程，将 x130 代入，从而求出y 的值【解答】解：（1）分数在 100110 内的学生的频率为 P1（0.04+0.03）50.35，（1 分）所以该班总人数为 N 60，（2 分）分数在 110
34、115 内的学生的频率为 P21（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）50.1，分数在 110115 内的人数 n600.16 （4 分）（2）由题意分数在 110115 内有 6 名学生，其中女生有 2 名，设男生为 A1，A 2，A 3，A 4，女生为 B1，B 2，从 6 名学生中选出 3 人的基本事件为：（A 1，A 2） ， （A 1，A 3） ， （A 1，A 4） ， （A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ，（A 2，A 3） ， （A 2，A 4） ， （A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ， （A 3，A 4） ，（A 3，B 1） ， （
35、A 3，B 2） ， （A 4，B 1） ， （A 4，B 2） ， （B 1，B 2）共 15 个其中恰 好含有一名女生的基本事件为（A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 2，B 2） ， （A 2，B 1） ， （A 3，B 1） ，（A 3，B 2） ， （A 4，B 1） ， （A 4，B 2） ，共 8 个，所以所求的概率为 P （9 分）（3） 100， 100；（10 分）由于 x 与 y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 0.5， 1000.510050，线性回归方程为 0.5x+50，（11 分）当 x130 时， 115（12 分）【点评】本题考查概
36、率的计算，考查物理成绩 y 与数学成绩 x 的线性回归方程，考查学生的计算能力，是中档题20 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）的左、右焦点分别为，点 在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的标准方程；第 21 页（共 24 页）（2）过定点 P（1，0）的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，已知定点 N（ ，0） ，求的值【分析】 （1）根据椭圆的定义即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆的方程；（2）分类讨论，设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得 的值【解答】解：（1）设椭圆 C 的焦距为 2c，则 ，因为 在椭圆 C 上，所以 2a|AF 1|
37、+|AF2|4，因此椭圆 C 的方程为 （4 分）（2）当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 yk （x+1） （k0） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2， y2） ，p（1，0） ，联立方程组 ，整理得（1+2k 2）x2+4k2x+2k240，x 1+x2 ，x 1x2 当直线 AB 与 x 轴垂直时，A（1， ） ，B（1， ） ， （ ， ） ， （， ） ，则 综上所述， （12 分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）ax 3+bx2lnx，若 f（
38、x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为y2x 2（1）求 f（x）的解析式；第 22 页（共 24 页）（2）求 f（x）在 ，e 上的单调区间和最值；（3）若存在实数 m2，2，函数 g（x） x3（2m+n）x 在（1，e）上为单调减函数，求实数 n 的取值范围【分析】 （1）由题意利用导数的几何意义可得 ，解得 a，b 即可（2）利用导数的运算法则可得 f（x ） 令 f（x）0，解得 x 分别解出 f（x）0 与 f（x） 0，列出表格即可得出其单调区间及其最值（3）求出 g（x） ，由题意可知 g（x）在（1，e ）上为单调减函数，可得： g（x）0 恒成立，即 2m+n2x 2l
39、nx于是 可得n2m+2e 2由存在实数 m2，2，使得上式成立，可得 n（2m+2e 2） min，即可得出 n 的取值范围【解答】解：（1）f（x ）3ax 2+2bxlnx+bx， （x0） f（x）在点（ 1，f（1） ）处的切线方程为 y2x 2， ，解得 ，f（x）2x 2lnx（2）由（1）可知：f（x ）4xlnx+2x2x（2lnx +1） ，令 f（x）0，解得 x f（x） 0 +f（x） 单调递减 极小值 单调递增由表格可知：f（x ）在 ，e 上的单调递增区间为 ，单调递减区间为最小值为 ，又
40、，f（e ）2e 2，故最大值为 2e2（3） ，第 23 页（共 24 页）由题意可知 g（x）在（1，e ）上为单调减函数，g（x）0 恒成立，即2x2lnx（2m+n）0，2m+ n2x 2lnx n2m+2e 2存在实数 m2，2，使得上式成立，n（2m+2e 2） min4+2e 2，n 的取值范围是4+2 e2， +） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能，属于难题四、选考题（请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2
41、sin（+ ） ，现以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （t为参数） （1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设 P（3，2） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求| PA|PB|的值【分析】 （1）曲线 C 的极坐标方程转化为 22sin +2cos，由此能求出曲线 C 的直角坐标方程（2）直线 l 的参数方程转化为 （t '为参数） ，代入方程x2+y22x2y0，得 ，由此能求出|PA| PB|【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 2 sin（+ ） ，2sin+2cos， 22sin +2cos，曲线 C 的直
42、角坐标方程为 x2+y22x2y0 （5 分）（2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 第 24 页（共 24 页）化为 （t'为参数）代入方程 x2+y22x2y0得 ，|PA| |PB| |23 （10 分）【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查线段乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题23已知函数 f（x ）|x 2|+2 ，g（x ）m |x|（m R） （1）解关于 x 的不等式 f（x）5；（2）若不等式 f（x ）g（x）对任意 xR 恒成立，求 m 的取值范围【分析】
43、（1）由 f（x ）5，得|x2| 3，即 x23 或 x23，即可；（2）可得|x2|m| x|2 对任意 xR 恒成立，当 x0 时，不等式|x2| m|x| 2 成立，当 x0 时，由 ，可得 m1【解答】解：（1）由 f（x ）5，得|x2| 3，即 x23 或 x23，x1 或 x5故原不等式的解集为x；x 1 或 x5 （5 分）（2）由 f（x） g（x）得|x 2|m |x|2 对任意 xR 恒成立，当 x0 时，不等式|x2| m|x| 2 成立，当 x0 时，问题等价于 m 对任意非零实数恒成立， m1，即 m 的取值范围是（，1 （10 分）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题