1、2018 年甘肃省天水一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）设全集 U 是实数集 R，M x|x2，Nx|1x3，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A x|2x3 Bx|x3 C x|1x2 D x|x22 （5 分）已知（ 1+3i） （ 2i ）4+3i（其中 i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ）A1 B1 Ci Di3 （5 分）已知命题 p：x（ ，0） ，2 x3 x；命题 q：x（0， ） ，tanxsinx，则下列命题为真命题的是（
2、）Apq Bp（q） C （p）q Dp（q）4 （5 分）设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 等于（ ）A B2 C3 D45 （5 分）函数 f（x ）2sin（x+） （0， ）的部分图象如图所示，则， 的值分别是（ ）A B C D6 （5 分）四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y 与 x 负相关且 2.347x6.423；第 2 页（共 24 页）y 与 x 负相关且 3.476x+5.648；y 与 x 正相关且 5.437x+8
3、.493；y 与 x 正相关且 4.326x4.578其中一定不正确的结论的序号是（ ）A B C D7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A B34 C D17 8 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 zx +y（ ）A有最小值 2，最大值 3B有最小值 2，无最大值C有最大值 3，无最小值D既无最小值，也无最大值9 （5 分）已知a n为等差数列，其公差为2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，S n 为a n的前 n 项和，nN *，则 S10 的值为（ ）A110 B90 C90 D11010
4、 （5 分）某程序框图如图所示，若输出的 k 的值为 3，则输入的 x 的取值范围为（ ）第 3 页（共 24 页）A15，60） B （15，60 C12 ，48） D （12，4811 （5 分）若函数 f（x ）2x 2lnx 在其定义域的一个子区间（k1，k+1）上不是单调函数，则实数 k 的取值范围（ ）A1， ） B （， ） C （ ，+） D （ ， ）12 （5 分）设 Sn 是公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和，S 1，S 2，S 4 成等比数列，且，则数列 的前 n 项和 Tn（ ）A B C D二、填空题（本大题共 4 小题
5、，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上）13 （5 分）双曲线 T： 1（a0，b0）的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为3，则它的实轴长等于 14 （5 分）已知 f（x ）xsinx +cosx+x2，则不等式 f（lnx）+f （ln ）2f（1）的解集为 15 （5 分）设 ab1，c 0，给出下列三个结论： ；a cb c； logb（ ac）log a（b c） ，其中所有的正确结论的序号是 16 （5 分）已知 A（3，0） ，圆 C：（x a1） 2+（y a
6、） 21 上存在点 M，满足条件|MA|2| MO|，则实数 a 的取值范围为 三.解答题17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知cos2B+cosB1cosAcosC（1）求证：a，b，c 成等比数列；（2）若 b2，求ABC 的面积的最大值第 4 页（共 24 页）18 （12 分）某高校共有学生 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时） （1）应收集多少位女生的样本数据？（2
7、）根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据的分组区间为：0，2 ， （2，4， （4，6， （6，8 ， （8，10，（10，12估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率（3）在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879附：K 2 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA
8、 1B1C1 中，侧棱 AA1底面ABC，ABAC2AA 12，BAC120，D，D 1 分别是线段 BC，B 1C1 的中点，P 是线段 AD 上异于端点的点（）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；（）设（）中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥 A1QC 1D 的体积 （锥体体积公式：，其中 S 为底面面积，h 为高）第 5 页（共 24 页）20 （12 分）已知椭圆 C：x 2+2y24，（1）求椭圆 C 的离心率（2）设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB ，求
9、直线 AB与圆 x2+y22 的位置关系，并证明你的结论21 （12 分）已知函数 f（x ）x 3+ x2+ax+b（a，b 为常数） （1）设 a2，若 yf（x）有两个零点，求 b 的值；（2）设函数 f（x ）的导函数为 f（x） ，若存在唯一的实数 x0，使得 f（x 0）x 0 与f（x 0）0 同时成立，求实数 b 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）将圆 x2+y21 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 （）写出 的参数方程；（）设直线 l：3x +2y60 与 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
10、建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x a |（1）若 f（x） b 的解集为 x|1x2，求实数 a、b 的值；（2）若 a2 时，不等式 f（ x）+mf （x+2）对一切实数 x 均成立，求实数 m 的取值范围第 6 页（共 24 页）2018 年甘肃省天水一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）设全集 U 是实数集 R，M x|x2，Nx|1x3，则图中阴影部分所表示的集合是（
11、 ）A x|2x3 Bx|x3 C x|1x2 D x|x2【分析】先观察 Venn 图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合 N 中，但不在集合 M 中又 M x|x2，Nx |1x3，图中阴影部分表示的集合是：（ M）Nx| x2x|1x3x|1x2，故选：C【点评】本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用等基础知识，考查数形结合思想属于基础题2 （5 分）已知（ 1+3i） （ 2i ）4+3i（其中 i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ）A1 B1 Ci Di【分析】利
12、用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出【解答】解：（ 1+3i） （ 2i ）4+3i， 1+3i 1+2i ， 2i，z2+i，z 的虚部为 1，故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 7 页（共 24 页）3 （5 分）已知命题 p：x（ ，0） ，2 x3 x；命题 q：x（0， ） ，tanxsinx，则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bp（q） C （p）q Dp（q）【分析】由指数函数的性质，我们易判断命题 p 的真假，根据三角函数的性质，我们易判断命题 q 的真假，然后根据复合命题真
13、假判断的“真值表”我们易得正确答案【解答】解：因为当 x0 时， ，即 2x 3x，所以命题 p 为假，从而 p 为真因为当 时， ，即 tanxsin x，所以命题 q 为真所以（p）q 为真，故选：C【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据：pq 时，p 与 q 均为真时为真，p 与 q 存在假命题即为假；pq 时，p 与 q 均为假时为假，p 与 q 存在真命题即为真；是判断复合命题真假的关键4 （5 分）设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 等于（ ）A B2 C3 D4【分析】虑用特殊值法去做，因为 O
14、 为任意一点，不妨把 O 看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个【解答】解：O 为任意一点，不妨把 A 点看成 O 点，则 ，M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点， 2 4故选：D【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答第 8 页（共 24 页）5 （5 分）函数 f（x ）2sin（x+） （0， ）的部分图象如图所示，则， 的值分别是（ ）A B C D【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值，求出函数的周期 T，解得 2由函数当 x 时取得最大值 2，得到+ +k（kZ） ，取 k0 得到 由此即可得到本题的答案【
15、解答】解：在同一周期内，函数在 x 时取得最大值，x 时取得最小值，函数的周期 T 满足 ，由此可得 T ，解得 2，得函数表达式为 f（x ）2sin（2x+ ）又当 x 时取得最大值 2，2sin（2 +）2，可得 + +2k（k Z） ，取 k0，得 故选：A【点评】本题给出 yA sin（ x+）的部分图象，求函数的表达式着重考查了三角函数的图象与性质、函数 yAsin （ x+）的图象变换等知识，属于基础题6 （5 分）四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y 与 x 负相关且 2.347x6.423；y 与 x 负相关
16、且 3.476x+5.648；第 9 页（共 24 页）y 与 x 正相关且 5.437x+8.493；y 与 x 正相关且 4.326x4.578其中一定不正确的结论的序号是（ ）A B C D【分析】由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项【解答】解：y 与 x 负相关且 2.347x6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；y 与 x 负相关且 ；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；y 与 x 正相关且 ； 此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；y
17、与 x 正相关且 此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征综上判断知， 是一定不正确的故选：D【点评】本题考查线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键，本题是记忆性的基础知识考查题，较易7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A B34 C D17 【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，并画出对应的长方体，由三视图求出几何元素的长度，由长方体求出外接球的半径，由球体的表面积公式求出该四棱锥外接球的第 10 页（共 24 页）表面积【解答】解根据三视图可知几何体是一个四棱锥 PABCD，如图：且四棱锥 PABCD
18、是长方体的一部分，AP4、AB AD3，该四棱锥和正方体的外接球相同，设外接球的半径是 R，则 2R ，R ，该四棱锥外接球的表面积 S4R 234，故选：B【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体以及几何体补形是解题的关键，考查空间想象能力8 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 zx +y（ ）A有最小值 2，最大值 3B有最小值 2，无最大值C有最大值 3，无最小值D既无最小值，也无最大值【分析】画出 x，y 满足的平面区域，利用 yx+z 的截距的最值求得 z 的最值【解答】解：x，y 满足的平面区域如图：当直线 yx+z 经过 A 时 z
19、最小，经过 B 时 z 最大，由 得到 A（2，0）所以 z 的最小值为 2+02，由于区域是开放型的，第 11 页（共 24 页）所以 z 无最大值；故选：B【点评】本题考查了简单线性规划问题，首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值9 （5 分）已知a n为等差数列，其公差为2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，S n 为a n的前 n 项和，nN *，则 S10 的值为（ ）A110 B90 C90 D110【分析】通过 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，公差为2，求出【解答】解：a 7 是 a3 与 a9 的等比中项，公差为2，所以 a72a 3a9，
20、a n公差为2，a 3a 74da 7+8，a 9a 7+2da 74，所以 a72（a 7+8） （a 74） ，所以 a78，所以 a120，所以 S10 110故选：D【点评】本题是基础题，考查等差数列的前 n 项和，等比数列的应用，考查计算能力，第 12 页（共 24 页）常考题型10 （5 分）某程序框图如图所示，若输出的 k 的值为 3，则输入的 x 的取值范围为（ ）A15，60） B （15，60 C12 ，48） D （12，48【分析】模拟程序的运行，由不等式组 ，即可解得输入的 x 的取值范围【解答】解：模拟程序的运行，可得：当 k2 时，x k 3，继续循环
21、，当 k3 时，x （ 2）33，退出循环，输出 k 的值为 3由不等式组 ，解得：15x60故选：B【点评】本题考查循环结构，解决本题，关键是从框图中得出关于 x 的不等式组，从而得解，属于基础题11 （5 分）若函数 f（x ）2x 2lnx 在其定义域的一个子区间（k1，k+1）上不是单调函数，则实数 k 的取值范围（ ）A1， ） B （， ） C （ ，+） D （ ， ）【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论第 13 页（共 24 页）【解答】解：函数的定义域为（0，+） ，函数的 f（x ）4x ，由 f（x）0 解得 x ，此时函数单调
22、递增，由 f（x）0 解得 0x ，此时函数单调递减，故 x 时，函数取得极小值当 k1 时， （k1，k +1）为（0，2） ，函数在（0， ）上单调减，在（ ，2）上单调增，此时满足题意；当 k1 时，函数 f（x ）2x 2lnx 在其定义域的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，x 在（k1，k +1）内，即 ，即 ，即 k ，此时 1k ，综上 1k ，故选：A【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，求函数的导数和极值是解决本题的关键12 （5 分）设 Sn 是公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和，S 1，S 2，S 4 成等比数列，且，则数列 的前 n 项和 Tn（ &
23、nbsp;）A B C D【分析】设等差数列a n的公差为 d（d0） ，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得 d1，a 1 ，可得 an ，即有 （ ） ，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和【解答】解：设等差数列a n的公差为 d（d0） ，第 14 页（共 24 页）S1，S 2，S 4 成等比数列，且 ，可得 S22S 1S4，a 1+2d ，即有（2a 1+d） 2a 1（4a 1+6d） ，化为 d2a 1，解得 d1，a 1 ，可得 ana 1+（n1）d （n1） ，即有 （ ） ，则前 n 项和 Tn（1 + + ）（1 ） 故选
24、：C【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上）13 （5 分）双曲线 T： 1（a0，b0）的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为3，则它的实轴长等于 8 【分析】求出半焦距，求出虚半轴的长，然后求解即可【解答】解：双曲线 T： 1（a0，b0）的焦距为 10，可得 c5，焦点到渐近线的距离为 3，可得 b3，它的实轴长：2a2 8故答案为：8【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查14 （5 分）已知 f（x ）xsinx
25、 +cosx+x2，则不等式 f（lnx）+f （ln ）2f（1）的解集为 （ ，e ） 【分析】根据题意，求出 f（ x ）的表达式，分析 f（ x）与 f（x ）的关系，分析可得函数 f（x）为偶函数，求出其导数，利用函数的单调性与导数的关系，分析可得 f（x）第 15 页（共 24 页）在（0，+）上为增函数，原不等式等价于 f（lnx）f （ 1） ，结合函数的单调性可得|lnx|1 ，解可得 x 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，f（ x）xsinx +cosx+x2，则 f（x）（ x）sin（ x）+cos（x）+（x） 2xsinx+cosx+x 2f（
26、x） ，则函数 f（x）为偶函数，f（x）（xsinx ）+（cosx）+（x 2）x （2+cos x） ，当 x0 时，有 f（x）0，则 f（x ）在（0，+）上为增函数，f（lnx ） +f（ln ）2f（1）f（lnx）+f （lnx）2f（1）f（lnx）f（1） ，又由 f（x）在（ 0，+）上为增函数，则有|lnx|1，解可得： xe ，则不等式的取值范围是（ ，e） ；故答案为：（ ，e） 【点评】本题考查函数的奇偶性的判定与应用，关键分析函数 f（x）的奇偶性与应用，属于基础题15 （5 分）设 ab1，c 0，给出下列三个结论： ；a cb c； logb（ ac）log
27、 a（b c） ，其中所有的正确结论的序号是 【分析】 利用不等式的性质判断 是否正确；根据指数函数的性质，比较大小，从而判断 是否正确；根据对数函数的性质判断 是否正确【解答】解：ab1， ，c0， ，正确；c0，yx c 在（0，+）上为减函数，又 ab1，a cb c，故 正确；a cbc，根据对数函数的性质 logb（ac）log a（ac）log a（bc） ，正确故答案是【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查指数函数、对数函数的性质16 （5 分）已知 A（3，0） ，圆 C：（x a1） 2+（y a） 21 上存在点 M，满足条第 16 页（共 24
28、 页）件|MA |2|MO| ，则实数 a 的取值范围为 【分析】求出 M 在圆心为 D（1，0） ，半径为 2 的圆上，根据点 M 在圆 C 上，可得圆C 与圆 D 有公共点，从而可得不等式，解不等式，即可求 a 的取值范围【解答】解：设 M（x，y） ，A（3，0） ，圆 C：（x a1） 2+（y a） 21 上存在点 M，满足条件|MA|2|MO|， 2 ，即 x2+y22x 30，点 M 在圆心为 D（1，0） ，半径为 r 2 的圆上又点 M 在圆 C：（xa1） 2+（y a） 21 上，圆 C 与圆 D 有公共点，圆 C 的圆心 C（a+1 ， ）
29、，半径 r1，1|CD|3，1 2|a| 3，解得 或 ，实数 a 的取值范围为 故答案为： 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、两圆位置关系的合理运用三.解答题17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知cos2B+cosB1cosAcosC（1）求证：a，b，c 成等比数列；（2）若 b2，求ABC 的面积的最大值【分析】 （1）根据正弦定理，结合等差数列和等比数列的定义即可得到结论（2）由 b2，可得 acb 2 4，利用余弦定理求得 cosB 的最小值，可得 B 的最大值由ABC 的面积 S acsinB
30、2sin B，可得它的最大值【解答】解：（1）ABC 中，cos 2B+cosB1cosAcosC，即 第 17 页（共 24 页）cos（A+C）1cosAcos C，即 1+cos2B2cos（A +C）22cosAcos C，即 cos2B12sin AsinC1+cos（A+C ）cos（A C ） ，cos2Bcos （ A+C）+cos（ AC）1，即 12sin 2BcosAcos C+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC1，即 sinAsinCsin 2B，由正弦定理得 acb 2， （a，b，c0） ，则 a，b，c 三边成等比数列（2）若 b2，则 acb
31、2 4，利用余弦定理可得b24a 2+c22ac cosB2ac2accosB88cosB，cosB ， B ，ABC 的面积 S acsinB2sinB2 ，故ABC 的面积的最大值为 【点评】本题主要考查等差数列的判断以及正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，要求熟练掌握相应的公式，属于中档题18 （12 分）某高校共有学生 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时） （1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这 300 个样本数据，得到学生每周
32、平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据的分组区间为：0，2 ， （2，4， （4，6， （6，8 ， （8，10，（10，12估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率（3）在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879附：K 2 第 18 页（共 24 页）【分析】 （1）根据频率分布直方图进行求解即可（2）由频
33、率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率（3）利用独立性检验进行求解即可【解答】解：（1）300 90，所以应收集 90 位女生的样本数据（2）由频率分布直方图得 12（0.100+0.025）0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75（3）由（2）知，300 位学生中有 3000.75225 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时，75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时，又因为样本数据中有 210 份是关于男生的，90 份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生 女生 总计每周平均体育
34、运动时间不超过 4 小时45 30 75每周平均体育运动时间超过 4 小时165 60 225总计 210 90 300结合列联表可算得 K2 4.7623.841所以，有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” 【点评】本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，比较基础19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱 AA1底面ABC，ABAC2AA 12，BAC120，D，D 1 分别是线段 BC，B 1C1 的中点，P 是线段 AD 上异于端点的点第 19 页（共 24 页）（）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线
35、l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；（）设（）中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥 A1QC 1D 的体积 （锥体体积公式：，其中 S 为底面面积，h 为高）【分析】 （）在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l 和 BC 平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线 l 与平面 A1BC 平行等腰三角形 ABC 中，根据等腰三角形中线的性质可得 ADBC，故 lAD再由 AA1底面 ABC，可得 AA1l再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线 l平面 ADD1A1 （）过点 D 作 DEAC，证明 DE平面 AA1C1C直角三角形 ACD 中，求出 AD 的值，可得 DE 的
36、值，从而求得 的值，再根据三棱锥A1QC 1D 的体积 DE，运算求得结果【解答】解：（）在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l 和 BC 平行，由于直线 l 不在平面A1BC 内，而 BC 在平面 A1BC 内，故直线 l 与平面 A1BC 平行三角形 ABC 中，AB AC 2AA12，BAC120，D，D 1 分别是线段 BC，B 1C1的中点，ADBC，lAD再由 AA1底面 ABC，可得 AA1l而 AA1AD A，直线 l平面 ADD1A1 （）设（）中的直线 l 交 AC 于点 Q，过点 D 作 DEAC，侧棱 AA1底面 ABC，故三棱柱 ABCA 1B1C 为直三棱柱，故
37、DE平面 AA1C1C直角三角形 ACD 中，AC 2，CAD60，ADACcos60第 20 页（共 24 页）1，DEADsin60 1，三棱锥 A1QC 1D 的体积 DE 1 【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题20 （12 分）已知椭圆 C：x 2+2y24，（1）求椭圆 C 的离心率（2）设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB ，求直线 AB与圆 x2+y22 的位置关系，并证明你的结论【分析】 （1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求
38、；（2）设出点 A，B 的坐标分别为（x 0，y 0） ， （t，2） ，其中 x00，由 OAOB 得到，用坐标表示后把 t 用含有 A 点的坐标表示，然后分 A，B 的横坐标相等和不相等写出直线 AB 的方程，然后由圆 x2+y22 的圆心到 AB 的距离和圆的半径相等说明直线 AB 与圆 x2+y22 相切【解答】解：（1）由 x2+2y24，得椭圆 C 的标准方程为 a 24，b 22，从而 c2a 2b 22因此 a2，c 故椭圆 C 的离心率 e ；（2）直线 AB 与圆 x2+y22 相切证明如下：设点 A，B 的坐标分别为（x 0，y 0） ， （t，2） ，其中 x00OAO
39、B ， ，即 tx0+2y00，解得 当 x0t 时， ，代入椭圆 C 的方程，得 第 21 页（共 24 页）故直线 AB 的方程为 x ，圆心 O 到直线 AB 的距离 d 此时直线 AB 与圆 x2+y22 相切当 x0t 时，直线 AB 的方程为 ，即（y 02）x（x 0t）y +2x0ty 00圆心 O 到直线 AB 的距离 d 又 ，t 故 此时直线 AB 与圆 x2+y22 相切【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题21 （12 分）已知函
40、数 f（x ）x 3+ x2+ax+b（a，b 为常数） （1）设 a2，若 yf（x）有两个零点，求 b 的值；（2）设函数 f（x ）的导函数为 f（x） ，若存在唯一的实数 x0，使得 f（x 0）x 0 与f（x 0）0 同时成立，求实数 b 的取值范围【分析】 （1）先求原函数的导数，根据导数和函数极值的关系即可求出 b 的值（2）由于存在唯一的实数 x0，使得 f（x 0）x 0 与 f（x 0）0 同时成立，则，存在唯一的实数根 x0，即 b2x 3+ x2+x 存在唯一的实数根 x0，就把问题转化为求函数最值问题【解答】解：（1）f（x）3x 2+5x2，令 f（x）0 ，解得
41、 x 或 x2，第 22 页（共 24 页）当 x2 或 x 时，f（x）0，函数单调递增，当2x 时，f（x）0，函数单调递减，f（x） 极大值 f（2）b+6，f（x） 极小值 f（ ）b ，yf（x）有两个零点，b+60，或 b 0b6 或 b ，（2）函数 f（x ）的导函数为由于存在唯一的实数 x0，使得 f（x 0）x 0 与 f（x 0）0同时成立，则 ，即 x3+ x2+（3x 25x 1） x+b0 存在唯一的实数根 x0，故 b2x 3+ x2+x 存在唯一的实数根 x0，令 y2x 3+ x2+x，则 y6x 2+5x+1（2x+1） （3x+1）0，故 x 或 x ，则
42、函数 y2x 3+ x2+x 在（ ， ） ， （ ，+ ）上是增函数，在（ ， ）上是减函数，由于 x 时，y ；x 时，y ；故实数 b 的取值范围为：（， ）（ ，+）【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）将圆 x2+y21 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 （）写出 的参数方程；（）设直线 l：3x +2y60 与 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半第 23 页（共 24 页）轴为极轴建立极坐标系，求过线段
43、 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程【分析】 （1）首先，设出所求点的坐标，然后，建立坐标之间的关系式，求解其普通方程，再将其化为参数方程即可；（2）联立方程组，然后，解得两个交点坐标，从而确定其中点坐标，从而求解其直线方程，再化为极坐标形式即可【解答】解：（1）设点（x 1，y 1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为 T 上点（x，y） ，根据题意，得 ，即 ，根据 ，得 ，即曲线 T 的方程为 ，所以，曲线 T 的参数方程为 （t 为参数） （2）联立方程组 ，解得 或 ，不妨设点 P1（2，0） ，P 2（0，3） ，则线段的中点坐标为（1， ） ，所求直线的
44、斜率 k ，于是所求直线方程为：y （x1） ，即 4x6y+5 0，将此化为极坐标方程，得到 4cos6sin+50【点评】本题重点考查了直线的参数方程和普通方程、极坐标方程的互化等知识，考查了直线方程有关内容，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x a |（1）若 f（x） b 的解集为 x|1x2，求实数 a、b 的值；（2）若 a2 时，不等式 f（ x）+mf （x+2）对一切实数 x 均成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）根据条件解绝对值不等式求得 f（x ）b 的解集，再根据 f（x）b 的解集为x| 1x 2，求得实数 a，b 的值第 24 页
45、（共 24 页）（2）由题意可得，m|2x+2|2 x2|恒成立，利用绝对值三角不等式求得|2x+2|2x2|的最大值为 4，可得实数 m 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（ x）|2xa| ，故 f（x）b，即|2xa|b，b2xab， x 再根据它的解集为x| 1x 2，可得 ，a1，b3（2）若 a2 时，不等式 f（ x）+mf （x+2）对一切实数 x 均成立，即|2 x2|+ m|2x+2|恒成立，即 m|2 x+2|2x 2|恒成立|2 x+2|2x 2|（2x+2）（2x2）| 4，当且仅当 x1 时，取等号，故|2 x+2|2x 2|的最大值为 4，m4【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题