1、2018 年甘肃省天水一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知（ 1+3i） （ 2i ）4+3i（其中 i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ）A1 B1 Ci Di2 （5 分）如图，已知 R 是实数集，集合 A （x1）0 ，Bx| 0，则阴影部分表示的集合是（ ）A0，1 B0，1） C （0，1） D （0，13 （5 分）已知命题 p：x（ ，0） ，2 x3 x；命题 q：x（0， ） ，tanxsinx，则下列命题为真命题的是（ ）A
2、pq Bp（q） C （p）q Dp（q）4 （5 分）有 4 位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得 3 分，答错扣 3 分，乙类题目答对得 1 分，答错扣 1 分，若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为 ，那么这 4 位同学得分之和为 0 的概率为（ ）A B C D5 （5 分）设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 等于（ ）A B2 C3 D46 （5 分）设 ab1，c0，给出下列三个结论： ；acb c； logb（ ac）log a（b
3、c） 其中所有的正确结论的序号（ ）第 2 页（共 24 页）A B C D7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A B34 C D17 8 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S210 ，S 555，则过点 P（n，a n）和Q（n+2 ，a n+2） （nN *）的直线的斜率是（ ）A4 B3 C2 D19 （5 分）某程序框图如图所示，若输出的 k 的值为 3，则输入的 x 的取值范围为（ ）A15，60） B （15，60 C12 ，48） D （12，4810 （5 分）已知 P（x
4、 ，y ）为区域 （a0）内的任意一点，当该区域的面积为 3 时，z2x y 的最大值是（ ）A1 B3 C D611 （5 分）设 Sn 是公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和，S 1，S 2，S 4 成等比数列，且，则数列 的前 n 项和 Tn（ ）A B C D12 （5 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F，且倾斜角为 的直线与抛物线交于第 3 页（共 24 页）A，B 两点，若 AB 的垂直平分线经过点（0，2） ，M 为抛物线上的一个动点，则 M 到直线 11：5x4y+40 和 l2：x 的距离之和的最小值为（ ）A B C D二
5、、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上）13 （5 分）双曲线 T： 1（a0，b0）的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为3，则它的实轴长等于 14 （5 分）已知（12x） 5（1+ax） 4 的展开式中 x 的系数为 2，则实数 a 的值为 15 （5 分）已知 f（x ）xsinx +cosx+x2，则不等式 f（lnx）+f （ln ）2f（1）的解集为 16 （5 分）在棱长为 1 的正方体中 ABCDA 1B1C1D1，M、N 分别是 AC1、A
6、1B1 的中点点 P 在正方体的表面上运动，则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知cos2B+cosB1cosAcosC（1）求证：a，b，c 成等比数列；（2）若 b2，求ABC 的面积的最大值18 （12 分）某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取 20 个网点作为样本进行元旦期间网购金额（单位：万元）的调查获得的所有样本数据按照区间0，5 ， （5，10，（10，15， （15，20， （20 ，2
7、5进行分组，得到如图所示的频率直方图（1）根据样本数据，估计样本中网购金额的平均值；（注：设样本数据第 i 组的频率为 pi，第 i 组区间的中点值为 xi（i1，2，3，4，5） ，则样本数据的平均值为Xx 1p1+x2p2+x3p3+x4p4+x5p5（2）若网购金额在（15，25的服务网点定义为优秀网点，其余为非优秀服务网点，从20 个服务网点中任选 2 个，记 表示选到优秀网点的个数，求 的分布列及数学期望第 4 页（共 24 页）19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ADC60，SA1， AB2，SB ，平面 SAB底面 ABCD，直线 SC
8、 与底面 ABCD 所成的角为30（1）证明：平面 SAD平面 SAC；（2）求二面角 BSCD 的余弦值20 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）的右焦点为 F2（2，0） ，点 P（1，）在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的标准方程；（）是否存在斜率为1 直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，使得|F 1M|F 1N|（F 1 为椭圆的左焦点）？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）（x+a）lnx，g（x） ，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与直线 2xy30 平行（1）求证：方程 f（x ）g（x）在（1，2）内存
9、在唯一的实根；（2）设函数 m（x）minf（x） ，g（x）（min p，q表示 p，q 中的较小者） ，求m（x）的最大值选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）将圆 x2+y21 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 （）写出 的参数方程；第 5 页（共 24 页）（）设直线 l：3x +2y60 与 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x a |（1）若 f（x） b 的解集为 x|1x2，求实数 a
10、、b 的值；（2）若 a2 时，不等式 f（ x）+mf （x+2）对一切实数 x 均成立，求实数 m 的取值范围第 6 页（共 24 页）2018 年甘肃省天水一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知（ 1+3i） （ 2i ）4+3i（其中 i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ）A1 B1 Ci Di【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出【解答】解：（ 1+3i） （ 2i ）4+3i， 1+3i 1+2i ， 2i，z2+i
11、，z 的虚部为 1，故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2 （5 分）如图，已知 R 是实数集，集合 A （x1）0 ，Bx| 0，则阴影部分表示的集合是（ ）A0，1 B0，1） C （0，1） D （0，1【分析】化简集合 A、B，由题意写出阴影部分表示的集合即可【解答】解：集合 A （x1）0 x|1 x2，B x| 0 x |0x ，则阴影部分表示的集合是（0，1故选：D第 7 页（共 24 页）【点评】本题考查了集合的化简与 Venn 图表示下的集合的运算的求法，属于基础题3 （5 分）已知命题 p：x
12、（ ，0） ，2 x3 x；命题 q：x（0， ） ，tanxsinx，则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bp（q） C （p）q Dp（q）【分析】由指数函数的性质，我们易判断命题 p 的真假，根据三角函数的性质，我们易判断命题 q 的真假，然后根据复合命题真假判断的“真值表”我们易得正确答案【解答】解：因为当 x0 时， ，即 2x 3x，所以命题 p 为假，从而 p 为真因为当 时， ，即 tanxsin x，所以命题 q 为真所以（p）q 为真，故选：C【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据：pq 时，p 与 q 均为真时为真，p 与 q 存在假命题即为假；p
13、q 时，p 与 q 均为假时为假，p 与 q 存在真命题即为真；是判断复合命题真假的关键4 （5 分）有 4 位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得 3 分，答错扣 3 分，乙类题目答对得 1 分，答错扣 1 分，若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为 ，那么这 4 位同学得分之和为 0 的概率为（ ）A B C D【分析】每人的得分情况有甲对，甲错，乙对，乙错 4 种可能，从而基本事件总数n4 4256 种，若他们得分之和为 0，则分为 4 类：4 人全选甲类题目且两对对错，有 6 种可能，4 人全选乙类题目且两对两错，有 6 种
14、可能，4 人中1 人选甲类对或错，同时另 3 人选乙类全对或全错，有 8 种可能，4 人中 2人选甲类一对一错，同时另起炉灶人选乙类一错一对，共有 种可能，由此利用互第 8 页（共 24 页）斥事件概率加法公式能求出这 4 位同学得分之和为 0 的概率【解答】解：每人的得分情况有甲对，甲错，乙对，乙错 4 种可能，基本事件总数 n4 4256 种，若他们得分之和为 0，则分为 4 类：4 人全选甲类题目且两对对错，有 6 种可能， （即四个元素 3，3，3，3的所有排列个数） ，4 人全选乙类题目且两对两错，有 6 种可能，4 人中 1 人选甲类对或错，同时另 3 人选乙类全对或全错，有 8
15、种可能，4 人中 2 人选甲类一对一错，同时另起炉灶人选乙类一错一对，共有 种可能，这 4 位同学得分之和为 0 的概率 p 故选：A【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想、此利用互斥事件概率加法公式的合理运用5 （5 分）设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 等于（ ）A B2 C3 D4【分析】虑用特殊值法去做，因为 O 为任意一点，不妨把 O 看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个【解答】解：O 为任意一点，不妨把 A 点看成 O 点，则 ，M 是平行四边形 ABC
16、D 的对角线的交点， 2 4故选：D【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答第 9 页（共 24 页）6 （5 分）设 ab1，c0，给出下列三个结论： ；acb c； logb（ ac）log a（bc） 其中所有的正确结论的序号（ ）A B C D【分析】利用作差比较法可判定的真假，利用幂函数 yx c 的性质可判定的真假，利用对数函数的性质可知的真假【解答】解： ，ab1，c0 0，故 正确；考查幂函数 yx c，c0yx c 在（0，+）上是减函数，而 ab0，则 acb c正确；当 a b1 时，有 logb（ac）log b（bc）log
17、 a（ bc） ；正确故选：D【点评】本题主要考查了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A B34 C D17 【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，并画出对应的长方体，由三视图求出几何元素的长度，由长方体求出外接球的半径，由球体的表面积公式求出该四棱锥外接球的表面积【解答】解根据三视图可知几何体是一个四棱锥 PABCD，如图：且四棱锥 PABCD 是长方体的一部分，AP4、AB AD3，第 10 页（共 24 页）该四棱锥和正方体的外接球相同，设外接球的半径是 R，则 2R ，R ，该四棱
18、锥外接球的表面积 S4R 234，故选：B【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体以及几何体补形是解题的关键，考查空间想象能力8 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S210 ，S 555，则过点 P（n，a n）和Q（n+2 ，a n+2） （nN *）的直线的斜率是（ ）A4 B3 C2 D1【分析】先根据等差数列的求和公式和 S210，S 555，求得 d进求的 an，进而根据直线的斜率 进而得出答案【解答】解：由题意知 解得 a13，d4直线的斜率为 4故选：A【点评】本题主要考查等差数列的性质属基础题9 （5 分）某程序框图
19、如图所示，若输出的 k 的值为 3，则输入的 x 的取值范围为（ ）第 11 页（共 24 页）A15，60） B （15，60 C12 ，48） D （12，48【分析】模拟程序的运行，由不等式组 ，即可解得输入的 x 的取值范围【解答】解：模拟程序的运行，可得：当 k2 时，x k 3，继续循环，当 k3 时，x （ 2）33，退出循环，输出 k 的值为 3由不等式组 ，解得：15x60故选：B【点评】本题考查循环结构，解决本题，关键是从框图中得出关于 x 的不等式组，从而得解，属于基础题10 （5 分）已知 P（x ，y ）为区域 （a0）内的任意一点，当该区域的面积为 3
20、时，z2x y 的最大值是（ ）A1 B3 C D6【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为 3 的 a 值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由作出可行域如图，第 12 页（共 24 页）由图可得 A（a，a） ，D（a， a） ，B（a+1，a+1 ） ，C （a+1，a1）由该区域的面积为 3 时， 3，得 a1A（1，1） ，C（2，2）化目标函数 z2xy 为 y2 xz，当 y2xz 过 C 点时，z 最大，等于 22（2）6故选：D【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是
21、中档题11 （5 分）设 Sn 是公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和，S 1，S 2，S 4 成等比数列，且，则数列 的前 n 项和 Tn（ ）A B C D【分析】设等差数列a n的公差为 d（d0） ，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得 d1，a 1 ，可得 an ，即有 （ ） ，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和【解答】解：设等差数列a n的公差为 d（d0） ，S1，S 2，S 4 成等比数列，且 ，可得 S22S 1S4，a 1+2d ，即有（2a 1+d） 2a 1（4a 1+6d） ，化为 d2a 1，解得
22、 d1，a 1 ，第 13 页（共 24 页）可得 ana 1+（n1）d （n1） ，即有 （ ） ，则前 n 项和 Tn（1 + + ）（1 ） 故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题12 （5 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F，且倾斜角为 的直线与抛物线交于A，B 两点，若 AB 的垂直平分线经过点（0，2） ，M 为抛物线上的一个动点，则 M 到直线 11：5x 4y+40 和 l2：x 的距离之和的最小值为（ ）A B C D【分析】可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦
23、 AB 所在直线方程为 yx ，可设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线 AB 的方程和抛物线方程联立消去 x 可得到关于 y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦 AB 的中点坐标为（ ，p） ，而弦 AB 的垂直平分线方程可写出为 y2x，弦中点坐标带入该方程便可求出 p 的值过点 M 分别作 MBl 1，MAl 2，垂足分别为 B，A由抛物线的定义可得| MA|MF|，求| MA|+|MB|转化为求|MB|+|MF |，当三点 M，B，F 共线时，| MB|+|MF|取得最小值利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：抛物线 y22px（p0）的焦点 F（ ，0） ，过焦
24、点 F 且倾斜角为 的直线方程为：yx ，设 A（ x1，y 1） ，B（x 2，y 2） ；由 得，y 22py p 20；y 1+y22p， x1+x23p；弦 AB 的中点坐标为（ ，p）弦 AB 的垂直平分线方程为 y2x ，弦 AB 的中点在该直线上；第 14 页（共 24 页）p2 ，解得 p （2）过点 M 分别作 MBl 1，MA l 2，垂足分别为 B，Al 2：x 是抛物线y2 x 的准线方程抛物线 y2 x 的焦点为 F（ ，0） ，由抛物线的定义可得|MA | MF|，|MA |+|MB|MB|+|MF| ，当三点 M，B，F 共线时，|MA|+|MB|取得最小值其最小
25、值为点 F 到直线 l1 的距离 故选：A【点评】考查抛物线的标准方程、定义及其性质、三点共线、点到直线的距离公式，考查转化思想的应用，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上）13 （5 分）双曲线 T： 1（a0，b0）的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为3，则它的实轴长等于 8 【分析】求出半焦距，求出虚半轴的长，然后求解即可【解答】解：双曲线 T： 1（a0，b0）的焦距为 10，可得 c5，焦点到渐近线的距离为 3，可得 b3，它的实轴长：2a2 8故答案为：8【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查14 （5 分）已知
26、（12x） 5（1+ax） 4 的展开式中 x 的系数为 2，则实数 a 的值为 3 【分析】根据题意可得展开式中 x 的系数为 （2）+ a2，由此求得实数 a 的值【解答】解：（12x） 5（1+ax） 4 的展开式中 x 的系数为 （2）+ a2，则实数 a3，故答案为：3第 15 页（共 24 页）【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题15 （5 分）已知 f（x ）xsinx +cosx+x2，则不等式 f（lnx）+f （ln ）2f（1）的解集为 （ ，e ） 【分析】根据题意，求出 f（ x ）的表达式，分析 f（ x）与 f（x
27、）的关系，分析可得函数 f（x）为偶函数，求出其导数，利用函数的单调性与导数的关系，分析可得 f（x）在（0，+）上为增函数，原不等式等价于 f（lnx）f （ 1） ，结合函数的单调性可得|lnx|1 ，解可得 x 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，f（ x）xsinx +cosx+x2，则 f（x）（ x）sin（ x）+cos（x）+（x） 2xsinx+cosx+x 2f（x） ，则函数 f（x）为偶函数，f（x）（xsinx ）+（cosx）+（x 2）x （2+cos x） ，当 x0 时，有 f（x）0，则 f（x ）在（0，+）上为增函数，f（lnx ） +f（ln
28、）2f（1）f（lnx）+f （lnx）2f（1）f（lnx）f（1） ，又由 f（x）在（ 0，+）上为增函数，则有|lnx|1，解可得： xe ，则不等式的取值范围是（ ，e） ；故答案为：（ ，e） 【点评】本题考查函数的奇偶性的判定与应用，关键分析函数 f（x）的奇偶性与应用，属于基础题16 （5 分）在棱长为 1 的正方体中 ABCDA 1B1C1D1，M、N 分别是 AC1、A 1B1 的中点点 P 在正方体的表面上运动，则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于 2+ 【分析】取 BB1 的中点 E、CC 1 的中点 F，连接 AE、EF、FD，
29、则 BN平面 AEFD，设M 在平面 AB1 中的射影为 O，过 MO 与平面 AEFD 平行的平面为 ，故能使 MP 与 BN垂直的点 P 所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形 AEFD 的周长相等【解答】解：取 BB1 的中点 E、CC 1 的中点 F，连接 AE、EF、FD，则 BN平面 AEFD第 16 页（共 24 页）设 M 在平面 AB1 中的射影为 O，过 MO 与平面 AEFD 平行的平面为 能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形 AEFD 的周长相等正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1矩形 AEFD 的周长为 2+故答案为：2+【点评】
30、本题考查立体几何中的轨迹问题，考查学生的分析解决问题的能力，解题的关键是确定使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知cos2B+cosB1cosAcosC（1）求证：a，b，c 成等比数列；（2）若 b2，求ABC 的面积的最大值【分析】 （1）根据正弦定理，结合等差数列和等比数列的定义即可得到结论（2）由 b2，可得 acb 2 4，利用余弦定理求得 cosB 的最小值，可得 B 的最大值由ABC 的面积 S acsinB2sin B，可得它的最大值【解
31、答】解：（1）ABC 中，cos 2B+cosB1cosAcosC，即 cos（A+C）1cosAcos C，即 1+cos2B2cos（A +C）22cosAcos C，即 cos2B12sin AsinC1+cos（A+C ）cos（A C ） ，cos2Bcos （ A+C）+cos（ AC）1，即 12sin 2BcosAcos C+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC1，即 sinAsinCsin 2B，由正弦定理得 acb 2， （a，b，c0） ，则 a，b，c 三边成等比数列第 17 页（共 24 页）（2）若 b2，则 acb 2 4，利用余弦定理可得b24a
32、 2+c22ac cosB2ac2accosB88cosB，cosB ， B ，ABC 的面积 S acsinB2sinB2 ，故ABC 的面积的最大值为 【点评】本题主要考查等差数列的判断以及正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，要求熟练掌握相应的公式，属于中档题18 （12 分）某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取 20 个网点作为样本进行元旦期间网购金额（单位：万元）的调查获得的所有样本数据按照区间0，5 ， （5，10，（10，15， （15，20， （20 ，25进行分组，得到如图所示的频率直方图（1）根据样本数据，估计样本中网购金额的平均值；（注：设样本数据第 i 组的频率为
33、 pi，第 i 组区间的中点值为 xi（i1，2，3，4，5） ，则样本数据的平均值为Xx 1p1+x2p2+x3p3+x4p4+x5p5（2）若网购金额在（15，25的服务网点定义为优秀网点，其余为非优秀服务网点，从20 个服务网点中任选 2 个，记 表示选到优秀网点的个数，求 的分布列及数学期望【分析】 （1）由频率分布直方图的性质得先求出 m，由此能求出样本中网购金额的平均值（2）先求出网购金额在（15，25的服务网点的个数，从而优秀服务网点个数有 5 个，非优秀服务网点个数有 15 个，进而得到 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望【解答】解：（
34、1）由频率分布直方图的性质得（0.02+0.03+0.04+m +0.06）51，解得 m0.05，样本中网购金额的平均值为：2.50.055+7.50.045+12.50.065+17.50.025+22.50.03511（2）网购金额在（15，25的服务网点的个数为（ 0.02+0.03）5205 个，第 18 页（共 24 页）优秀服务网点个数有 5 个，非优秀服务网点个数有 15 个，从 20 个服务网点中任选 2 个， 表示选到优秀网点的个数，则 的可能取值为0，1，2，P（0） ，P（1） ，P（2） ， 的分布列为： 0 1 2PE 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散
35、型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ADC60，SA1， AB2，SB ，平面 SAB底面 ABCD，直线 SC 与底面 ABCD 所成的角为30（1）证明：平面 SAD平面 SAC；（2）求二面角 BSCD 的余弦值【分析】 （1）推导出 SAAB，SAAC，SAC 30，从而 ADAC，进而 AC平面SAD，由此能证明平面 SAD平面 SAC（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴， AD 为 y 轴，AS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面
36、角 BSCD 的余弦值【解答】证明：（1）SA1，AB2，SB ，平面 SAB底面 ABCD第 19 页（共 24 页）SA 2+AB2SB 2，SA AB ，平面 SAB平面 ABCDAB ，SA 平面 ABCD，AC平面 ABCD，SA AC，直线 SC 与底面 ABCD 所成的角为 30，SAC30，SC2，AC ，底面 ABCD 为平行四边形，ADC60，AC 2AD 2+CD22ADCDcos60，即 34+AD 22AD，解 AD1，AD 2+AC2CD 2，ADAC，SAAD A，AC平面 SAD，AC平面 SAC，平面 SAD平面 SAC解：（2）以 A 为原点，AC 为 x
37、轴，AE 为 y 轴，AS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，B（ ，1，0） ，C（ ， 0，0） ，D（0，1，0） ，S（0，0，1） ，（ ，1，1） ， （ ，0，1） ， （0，1，1） ，设平面 SBC 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，0， ） ，设平面 SDC 的法向量 （a，b，c） ，则 ，取 a1，得 （1， ， ） ，设二面角 BSCD 的平面角为 ，则 cos 二面角 BSCD 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要第 20 页（共 24 页）认真审题，注意向量法的合理运用20 （12 分）已知椭圆
38、 C： + 1（ab0）的右焦点为 F2（2，0） ，点 P（1，）在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的标准方程；（）是否存在斜率为1 直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，使得|F 1M|F 1N|（F 1 为椭圆的左焦点）？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由【分析】 （）由椭圆的右焦点为 F2（2，0） ，点 P（1， ）在椭圆 C 上，列出方程组求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的标准方程（）假设存在斜率为1 直线 l：y x+m 与椭圆 C 相交于 M（x 1，y 1） ，N（x 2， y2）两点，使得| F1M| F1N|，联立 ，得：4x 26mx+3m 260，由
39、此利用根的判别式、韦达定理、两点间距离公式、直线斜率公式，结合已知条件推导出不存在斜率为1 直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，使得 |F1M|F 1N|【解答】解：（）椭圆 C： + 1（ab0）的右焦点为 F2（2，0） ，点P（1， ）在椭圆 C 上， ，解得 a ，b ，椭圆 C 的标准方程为 （）不存在斜率为1 直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，使得 |F1M|F 1N|理由如下：假设存在斜率为1 直线 l： yx+m 与椭圆 C 相交于 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2）两点，使得|F 1M| F1N|，第 21 页（共 24 页）联立 ，消除 y，得：
40、4x 26mx+3m 260，36m 216（3m 26）0，解得2 ， （ *）， ，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，F 1（2，0） ，|F 1M| F1N|， ，整理，得（x 1+x2+4） （x 1x 2）+ （y 1+y2） （y 1y 2）0， ，直线 l：y x+m 的斜率：1 ，解得 m4，不满足（*）式，不存在斜率为1 直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，使得 |F1M|F 1N|【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、两点间距离公式、直线斜率公式的合理运用21 （1
41、2 分）已知函数 f（x ）（x+a）lnx，g（x） ，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与直线 2xy30 平行（1）求证：方程 f（x ）g（x）在（1，2）内存在唯一的实根；（2）设函数 m（x）minf（x） ，g（x）（min p，q表示 p，q 中的较小者） ，求m（x）的最大值【分析】 （1）根据题意，由导数的几何意义可得 f（1）2，又 f（x ）lnx+ +1，所以 a1，设 h（x）f （x）g（x）（x+1）lnx ，由函数零点判定定理可得存在 x0（1，2） ，使 h（x 0）0，进而分析函数 h（x）的单调性，即可得答案；（2）根据题意，分析可得 m（x
42、）的表达式，分段求出 m（x）的导数，分析其单调性，第 22 页（共 24 页）据此分析可得答案【解答】解：（1）由题意知，曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 2，所以 f（1）2，又 f（x）lnx+ +1，所以 a1设 h（x）f（ x）g（x）（x+1）lnx ，当 x（0，1 时， h（x ）0，又 h（2）3ln2 ln8 110，所以存在 x0（ 1，2） ，使 h（x 0）0因为 h（x）lnx + +1+ ，当 x（1，2）时， 0x（2x）（x1） 2+11，exe，所以 0 ，所以 ，所以 h（x）1 0，所以当 x（1， 2）时，h（x）单调递增，所以
43、方程 f（x） g（x）在（1，2）内存在唯一的实根（2）由（1）知，方程 f（x ）g（x）在（1，2）内存在唯一的实根 x0，且x（0，x 0）时，f（x ）g（x） ，又当 x（x 0，2）时，h（x）0，当 x（2，+）时，h（x）0，所以当 x（x 0，+）时，h（x）0，所以当 x（x 0，+）时，f（ x）g（x） ，所以 m（x） ，当 x（0，x 0）时，若 x（0，1 ，则 m（x）0；若 x（1，x 0，由 m（x ） lnx+ +10，可知 0m（x）m（x 0） ，故当 x（0，x 0时，m（x ） m（x 0） 当 x（x 0，+）时，由 m（x ） ，可得当 x（
44、x 0，2）时，m（x ）0，m （x）单调递增；x（2，+）时，m（x ）0，m （x）单调递减第 23 页（共 24 页）可知 m（x）m（2） ，且 m（x 0）m （2） 综上可得，函数 m（x）的最大值为 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及最值，关键是掌握导数的几何意义选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）将圆 x2+y21 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 （）写出 的参数方程；（）设直线 l：3x +2y60 与 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂
45、直的直线的极坐标方程【分析】 （1）首先，设出所求点的坐标，然后，建立坐标之间的关系式，求解其普通方程，再将其化为参数方程即可；（2）联立方程组，然后，解得两个交点坐标，从而确定其中点坐标，从而求解其直线方程，再化为极坐标形式即可【解答】解：（1）设点（x 1，y 1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为 T 上点（x，y） ，根据题意，得 ，即 ，根据 ，得 ，即曲线 T 的方程为 ，所以，曲线 T 的参数方程为 （t 为参数） （2）联立方程组 ，解得 或 ，不妨设点 P1（2，0） ，P 2（0，3） ，则线段的中点坐标为（1， ） ，所求直线的斜率 k ，于是所求直线方程为
46、：y （x1） ，即 4x6y+5 0，将此化为极坐标方程，得到 4cos6sin+50【点评】本题重点考查了直线的参数方程和普通方程、极坐标方程的互化等知识，考查第 24 页（共 24 页）了直线方程有关内容，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x a |（1）若 f（x） b 的解集为 x|1x2，求实数 a、b 的值；（2）若 a2 时，不等式 f（ x）+mf （x+2）对一切实数 x 均成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）根据条件解绝对值不等式求得 f（x ）b 的解集，再根据 f（x）b 的解集为x| 1x 2，求得实数 a，b 的值（2）由题意可得，m|2x+2|2 x2|恒成立，利用绝对值三角不等式求得|2x+2|2x2|的最大值为 4，可