1、2019 年四川省自贡市富顺县六校联考中考数学一模试卷一.选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）1 （4 分）下列函数中，图象经过点（1，1）的反比例函数解析式是（ ）Ay By Cy Dy 2 （4 分）当三角形的面积 S 为常数时，底边 a 与底边上的高 h 的函数关系的图象大致是（ ）A BC D3 （4 分）在反比例函数 图象的每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是（ ）Ak3 Bk0 Ck3 Dk 04 （4 分）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（
2、）A BC D5 （4 分）如图，在 84 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，若ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tanACB 的值为（ ）第 2 页（共 27 页）A B C D36 （4 分）如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上的一点，连接 AE 交 CD 于 F，则图中共有相似三角形（ ）A1 对 B2 对 C3 对 D4 对7 （4 分）如图，点 A（t，3）在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 ，tan ，则 t 的值是（ ）A1 B1.5 C2 D38 （4 分）反比例函数 y 与一次函数 ykxk +2 在
3、同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A BC D9 （4 分）ABC 的三边之比为 3：4：5，若ABC ABC ，且ABC的最短边长为 6，则ABC 的周长为（ ）第 3 页（共 27 页）A36 B24 C18 D1210 （4 分）如图，已知四边形 ABCD 是O 的内接四边形，且AB CD5，AC7，BE 3，下列命题错误的是（ ）AAEDBECBAEB90CBDA 45 D图中全等的三角形共有 2 对11 （4 分）如图，点 A 是反比例函数 （x0）图象上任意一点，ABy 轴于 B，点 C是 x 轴上的动点，则 ABC 的面积为（ ）
4、A1 B2 C4 D不能确定12 （4 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 是 CD 的中点，连接 AP 并延长，交 BC的延长线于点 F，作CPF 的外接圆 O，连接 BP 并延长交 O 于点 E，连接 EF，则EF 的长为（ ）A B C D二.填空题（每题 4 分，共 24 分）13 （4 分）反比例函数 y（m +2） 的图象分布在第二、四象限内，则 m 的值为 第 4 页（共 27 页）14 （4 分）在ABC 中，若 ，则ABC 是 三角形15 （4 分）如图，直立在点 B 处的标杆 AB2.5m
5、，站立在点 F 处的观测者从点 E 看到标杆顶 A，树顶 C 在同一直线上（点 F，B，D 也在同一直线上） 已知BD10 m，FB 3m，人的高度 EF1.7m ，则树高 DC 是 （精确到 0.1m）16 （4 分）已知一次函数 yax+b 与反比例函数 的图象相交于 A（4，2） 、B（2 ，m）两点，则一次函数的表达式为 17 （4 分）如图，已知 A（3，0） ，B（2，3） ，将OAB 以点 O 为位似中心，相似比为2：1，放大得到OAB，则顶点 B 的对应点 B的坐标为 1
6、8 （4 分）如图，已知直线 l：y x，过点 M（2，0）作 x 轴的垂线交直线 l 于点 N，过点 N 作直线 l 的垂线交 x 轴于点 M1；过点 M1 作 x 轴的垂线交直线 l 于 N1，过点 N1作直线 l 的垂线交 x 轴于点 M2，；按此作法继续下去，则点 M10 的坐标为 三.解答题（共 78 分）19 （8 分）20 （8 分）如图，在ABC 中，AB5，BC 13，AD 是 BC 边上的高，AD4求 CD 的长和 tanC 的值第 5 页（共 27 页）21 （8 分）如图，在ABC 中，BAED，AB5，AD3，CE6，求证：（1）ADEAC
7、B；（2）求 AE 的长22 （8 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，ABC 的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系（1）点 A 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （2）将ABC 向左平移 7 个单位，请画出平移后的A 1B1C1若 M 为ABC 内的一点，其坐标为（a，b） ，则平移后点 M 的对应点 M1 的坐标为 （3）以原点 O 为位似中心，将 ABC 缩小，使变换后得到的A 2B2C2 与ABC 对应边的比为 1：2请在网格内画出A 2B2C2，并写出
8、点 A2 的坐标： 23 （10 分）如图，正比例函数 y1x 的图象与反比例函数 （k0）的图象相交于A、B 两点，点 A 的纵坐标为 2（1）求反比例函数的解析式；（2）求出点 B 的坐标，并根据函数图象，写出当 y1y 2 时，自变量 x 的取值范围第 6 页（共 27 页）24 （10 分）如图，ABC 中，以 AC 为直径的O 与边 AB 交于点 D，点 E 为 O 上一点，连接 CE 并延长交 AB 于点 F，连接 ED（1）若B+ FED90，求证：BC 是O 的切线；（2）若 FC6，DE3，FD2，求O 的直径25 （12 分）心理学家研究发现，一
9、般情况下，一节课 40 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y 随时间 x（分钟）的变化规律如下图所示（其中 AB、BC 分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲 19 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？26 （14 分）如图，抛物线经过 A（4，0） ，B
10、（1，0） ，C（0，2）三点第 7 页（共 27 页）（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 8 页（共 27 页）2019 年四川省自贡市富顺县六校联考中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）1 （4 分）下列函数中，图象经过点（1，1）的反比例函数解析式是（ ）Ay By Cy Dy 【分析】观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式 （
11、k0）即可求得 k 的值【解答】解：设反比例函数的解析式为 （k0） ，由图象可知，函数经过点P（1，1） ，1 ，得 k1，反比例函数解析式为 y 故选：B【点评】用待定系数法确定反比例函数的比例系数 k，求出函数解析式2 （4 分）当三角形的面积 S 为常数时，底边 a 与底边上的高 h 的函数关系的图象大致是（ ）A BC D【分析】根据题意有：xy2S；故 y 与 x 之间的函数图象为反比例函数，且根据 x、y 实际意义 x、y 应大于 0，其图象在第一象限【解答】解：由三角形的面积公式可得 xy2Sy （x0，y 0，S 为常数）第 9 页（共 27 页）故选：B【点评】
12、现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限3 （4 分）在反比例函数 图象的每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是（ ）Ak3 Bk0 Ck3 Dk 0【分析】利用反比例函数的性质可得出 k30，解不等式即可得出 k 的取值范围【解答】解：在 图象的每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小，根据反比例函数的性质，得 k30，k3故选：A【点评】本题考查了反比例函数 y （k0）的性质：当 k0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k0 时，图象分别位于第二、四象限当 k0 时，在同
13、一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，在同一个象限，y随 x 的增大而增大4 （4 分）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（ ）A BC D【分析】根据网格中的数据求出 AB，AC，BC 的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可【解答】解：根据题意得：AB ，AC ，BC2，AC：BC：AB ：2： 1： ： ，第 10 页（共 27 页）A、三边之比为 1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与ABC 不相似；B、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与ABC 不相似；C、三边之比为 1： ： ，
14、图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似；D、三边之比为 2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与ABC 不相似故选：C【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键5 （4 分）如图，在 84 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，若ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tanACB 的值为（ ）A B C D3【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解【解答】解：由图形知：tanACB ，故选：A【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义6 （4 分）如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长
15、线上的一点，连接 AE 交 CD 于 F，则图中共有相似三角形（ ）A1 对 B2 对 C3 对 D4 对【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数【解答】解：ABCD 是平行四边形ADBC，DCABADFEBAECF第 11 页（共 27 页）有三对，故选：C【点评】此题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定7 （4 分）如图，点 A（t，3）在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 ，tan ，则 t 的值是（ ）A1 B1.5 C2 D3【分析】根据正切的定义即可求解【解答】解：点 A（t，3）在第一象限，AB3，OB t，又
16、tan ，t2故选：C【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边8 （4 分）反比例函数 y 与一次函数 ykxk +2 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A B第 12 页（共 27 页）C D【分析】根据反比例函数所在的象限判定 k 的符号，然后根据 k 的符号判定一次函数图象所经过的象限【解答】解：A、如图所示，反比例函数图象经过第一、三象限，则 k0，所以一次函数图象必定经过第一、三象限，与图示不符，故本选项错误；B、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则 k0k+20，所以一次函数图象经过
17、第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误；C、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则 k0k+20，所以一次函数图象经过第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误；D、如图所示，反比例函数图象经过第一、三象限，则 k0，所以一次函数图象必定经过第一、三象限，与图示一致，故本选项正确；故选：D【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题9 （4 分）ABC 的三边之比为 3：4：5，若ABC ABC ，且ABC的最短边长为 6，则ABC 的周长为（ ）A36 B24 C18 D12【分析】根据相似三角对应边成比例，求出ABC 的
18、另两条边，即可得到周长【解答】解：根据相似三角对应边成比例，得ABC 的三边之比为 3：4：5，因为最短边长为 6，所以另两边为 8，10，所以周长为：6+8+1024故选：B【点评】本题利用相似三角对应边成比例求解10 （4 分）如图，已知四边形 ABCD 是O 的内接四边形，且AB CD5，AC7，BE 3，下列命题错误的是（ ）第 13 页（共 27 页）AAEDBECBAEB90CBDA 45 D图中全等的三角形共有 2 对【分析】由圆周角的推论可以知道，ABEDCE，BAECDE，而 ABDC，可求出ABE DCE，由此可得出三对全等三角形，也可得出 BECE，AEDE，
19、那么 AE4，根据勾股定理的逆定理，可知ABE 为直角三角形，即AEB90由此可得出其他正确的结论【解答】解：A、根据圆周角的推论，可得到：ADEBCE，DAECBE，AEDBED，正确；B、由上面的分析可知，BE CE3，AB5，AEACCE4，根据勾股定理的逆定理，ABE 为直角三角形，即AEB90，正确；C、AE DE ，EAD EDA45，正确；D、从已知条件不难得到ABEDCE、ABCDCB、ABDDCA 共 3 对，错误故选：D【点评】此题运用了圆周角定理的推论和相似三角形的判定、性质的有关知识还用到了勾股定理的逆定理11 （4 分）如图，点 A 是反比例函数 （x0）图象上任意一
20、点，ABy 轴于 B，点 C是 x 轴上的动点，则 ABC 的面积为（ ）A1 B2 C4 D不能确定【分析】可以设出 A 的坐标，ABC 的面积即可利用 A 的坐标表示，据此即可求解【解答】解：设 A 的坐标是（m ，n） ，则 mn2第 14 页（共 27 页）则 ABm， ABC 的 AB 边上的高等于 n则ABC 的面积 mn1故选：A【点评】本题主要考查了反比例函数的系数 k 的几何意义，ABC 的面积 |k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注12 （4 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 是 CD 的中点，连接 AP 并延长，交 BC的延长线于点
21、 F，作CPF 的外接圆 O，连接 BP 并延长交 O 于点 E，连接 EF，则EF 的长为（ ）A B C D【分析】先求出 CP、BF 长，根据勾股定理求出 BP，根据相似得出比例式，即可求出答案【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ABCPCF90，CDAB，P 为 CD 的中点，CDABBC2，CP1，PCAB，FCPFBA，CP1，AB BC2， ， ，BF4，CF422，由勾股定理得：BP ，四边形 ABCD 是正方形，第 15 页（共 27 页）BCPPCF90，PF 是直径，E90BCP，PBCEBF，BCPBEF， ， ，EF ，故选：D【点评】本题考查了正方
22、形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较好，难度适中二.填空题（每题 4 分，共 24 分）13 （4 分）反比例函数 y（m +2） 的图象分布在第二、四象限内，则 m 的值为 3 【分析】根据反比例函数的定义可得 m2101，根据函数图象分布在第二、四象限内，可得 m+2 0，然后求解即可【解答】解：根据题意得，m 2101 且 m+20，解得 m13，m 23 且 m2，所以 m3故答案为：3【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质，对于反比例函数（k0） ， （1）k 0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k0，反比例函
23、数图象在第二、四象限内14 （4 分）在ABC 中，若 ，则ABC 是 等边 三角形【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出 sinA ，cosB ，再利用特殊角的三角函数值求出答案第 16 页（共 27 页）【解答】解：|sin A |+（cosB ） 20，sinA ，cosB ，A60，B60，ABC 是等边三角形故答案为：等边【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键15 （4 分）如图，直立在点 B 处的标杆 AB2.5m ，站立在点 F 处的观测者从点 E 看到标杆顶 A，树顶 C 在同一直线上（点 F，B，D 也在同一直线上） 已知BD10 m，FB
24、 3m，人的高度 EF1.7m ，则树高 DC 是 5.2m （精确到 0.1m）【分析】过 E 作 EHCD 交 CD 于 H 点，交 AB 于点 G，可证明四边形 EFDH 为长方形，可得 HD 的长；可证明AEGCEH，故可求得 CH 的长，所以树高 CD 的长即可知【解答】解：过 E 作 EHCD 交 CD 于 H 点，交 AB 于点 G，如下图所示：由已知得，EFFD ，ABFD，CDFD ，EHCD，EHAB四边形 EFDH 为矩形EFGB DH1.7，EGFB 3，GHBD 10AGABGB0.8EHCD，EHAB ，AGCH，AEGCEH第 17 页（共 27 页） EHEG
25、+GH13CH 3.5CDCH +HD5.2即树高 DC 为 5.2 米故答案为：5.2m【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质16 （4 分）已知一次函数 yax+b 与反比例函数 的图象相交于 A（4，2） 、B（2 ，m）两点，则一次函数的表达式为 yx2 【分析】先把 A 点坐标代入 中求出 k，得到反比例函数解析式为 y ，再利用反比例函数解析式确定 B 定坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式【解答】解：把 A（4，2）代入 ，得 k428，所以反比例函数解析式为 y ，把 B（2，m）代入 y得2m8，解得 m4
26、，把 A（4，2） 、B（2，4）代入 yax +b得 ，解得 ，所以一次函数解析式为 yx 2故答案为：yx 2【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式也考查了待定系数法求函数解析式17 （4 分）如图，已知 A（3，0） ，B（2，3） ，将OAB 以点 O 为位似中心，相似比为2：1，放大得到OAB，则顶点 B 的对应点 B的坐标为 （4，6）或第 18 页（共 27 页）（4，6） 【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 进行解答【解答】解：以原点 O
27、为位似中心，相似比为 2：1，将OAB 放大为OAB，B（2，3） ，则顶点 B 的对应点 B的坐标为（4，6）或（4，6） ，故答案为（4，6）或（4，6） 【点评】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k18 （4 分）如图，已知直线 l：y x，过点 M（2，0）作 x 轴的垂线交直线 l 于点 N，过点 N 作直线 l 的垂线交 x 轴于点 M1；过点 M1 作 x 轴的垂线交直线 l 于 N1，过点 N1作直线 l 的垂线交 x 轴于点 M2，；按此作法继续下去，则点 M10 的坐
28、标为 （2 21，0） 【分析】本题需先求出 OM1 和 OM2 的长，再根据题意得出 OMn4 n，求出 OM4 的长等于 44，即可求出 M10 的坐标【解答】解：直线 l 的解析式是 y x，NOM60，ONM30点 M 的坐标是（2，0） ，NM y 轴，点 N 在直线 y x 上，NM2 ，ON2OM4第 19 页（共 27 页）又NM 1l，即ONM 190OM 1 2ON4 1OM8同理，OM 24 OM14 2OM，OM34 OM2 442OM4 3OM，OM10 410OM2 21点 M10 的坐标是（2 21，0） 故答案是：（2 21，0） 【点评】本题主要考查了如何根据
29、一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用三.解答题（共 78 分）19 （8 分）【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别化简得出答案【解答】解：原式1+9（2 ）3102+ 8【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20 （8 分）如图，在ABC 中，AB5，BC 13，AD 是 BC 边上的高，AD4求 CD 的长和 tanC 的值【分析】在 RtADB 中，利用勾股定理求出 BD 即可解决问题第 20 页（共 27 页）【解答】解：ADBC，ADBADC90，AB5，AD 4，
30、BD 3，BC13，CDBCBD10，tanC 【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型21 （8 分）如图，在ABC 中，BAED，AB5，AD3，CE6，求证：（1）ADEACB；（2）求 AE 的长【分析】 （1）利用“两角法”进行证明；（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例来求 AE 的长度【解答】 （1）证明：BAED，AA ，ADEACB；（2）解：由（1）知，ADEACB，则 ，即 AB5，AD 3，CE6， ，AE2 3【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形
31、的性质求解22 （8 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，ABC 的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系（1）点 A 的坐标为 （2，8） ，点 C 的坐标为 （6，6） （2）将ABC 向左平移 7 个单位，请画出平移后的A 1B1C1若 M 为ABC 内的一点，第 21 页（共 27 页）其坐标为（a，b） ，则平移后点 M 的对应点 M1 的坐标为 （a7，b） （3）以原点 O 为位似中心，将 ABC 缩小，使变换后得到的A 2B2C2 与ABC 对应边的比为 1：2请在网格内画出A 2B2C2，并写出点 A2 的坐标： （1，4）或
32、（1，4） 【分析】 （1）直接根据图形即可写出点 A 和 C 的坐标；（2）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点 M 平移后的坐标；（3）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可，注意有两种情况【解答】解：（1）A 点坐标为：（2，8） ，C 点坐标为：（6，6） ；（2）所画图形如下所示，其中A 1B1C1 即为所求，根据平移规律：左平移 7 个单位，可知 M1 的坐标（a7，b） ；（3）所画图形如下所示，其中A 2B2C2 即为所求，点 A2 的坐标为（1，4）或（1，4） 第 22 页（共 27 页）【点评】本题考查了旋转变换
33、和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点，难度一般23 （10 分）如图，正比例函数 y1x 的图象与反比例函数 （k0）的图象相交于A、B 两点，点 A 的纵坐标为 2（1）求反比例函数的解析式；（2）求出点 B 的坐标，并根据函数图象，写出当 y1y 2 时，自变量 x 的取值范围【分析】 （1）设 A（m，2） ，将 A 纵坐标代入正比例解析式求出 m 的值，确定出 A 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值，即可确定出反比例解析式；（2）联立两函数解析式求出 B 的坐标，由 A 与 B 横坐标，利用图象即可求出当 y1y 2时，自变量 x 的取值范围【解答】解：（
34、1）设 A 点的坐标为（m ，2） ，代入 y1 x 得：m2，点 A 的坐标为（2，2） ，k224，反比例函数的解析式为 y2 ；第 23 页（共 27 页）（2）当 y1y 2 时，x ，解得：x2，点 B 的坐标为（2，2） ，则由图象可知，当 y1y 2 时，自变量 x 的取值范围是： 2x0 或 x2【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键24 （10 分）如图，ABC 中，以 AC 为直径的O 与边 AB 交于点 D，点 E 为 O 上一点，连接 CE 并延长交 AB 于点 F，连接 ED（1）若B+ FED90，求
35、证：BC 是O 的切线；（2）若 FC6，DE3，FD2，求O 的直径【分析】 （1）利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出FEDA，进而得出B+A90，求出答案；（2）利用相似三角形的判定与性质首先得出FEDFAC，进而求出即可【解答】 （1）证明：A+DEC180，FED+DEC180，FEDA，B+FED90，B+A90，BCA90，BC 是O 的切线；（2）解：CFADFE，FEDA，FEDFAC， ， ，第 24 页（共 27 页）解得：AC9，即O 的直径为 9【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出FEDFAC 是解题关键25 （12 分）心理
36、学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y 随时间 x（分钟）的变化规律如下图所示（其中 AB、BC 分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲 19 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【分析】 （1）先用代定系数法分别求出
37、 AB 和 CD 的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（2）分别求出注意力指数为 36 时的两个时间，再将两时间之差和 19 比较，大于 19 则能讲完，否则不能【解答】解：（1）设线段 AB 所在的直线的解析式为 y1k 1x+20，把 B（10，40）代入得，k 12，y 12x+20设 C、D 所在双曲线的解析式为 y2 ，把 C（25，40）代入得，k 21000，当 x15 时，y 125+20 30，当 ，第 25 页（共 27 页）y 1y 2第 30 分钟注意力更集中（2）令 y136，362x+20，x 18令 y236， ，27.8819.
38、819，经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目【点评】主要考查了函数的应用解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值26 （14 分）如图，抛物线经过 A（4，0） ，B（1，0） ，C（0，2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）本题需先根据已知条件，过 C 点，设抛物线的解析式为
39、 ya（x1）（x4） ，再根据过 C 点，即可得出结果（2）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出 PA 的解析式，再分三种情况进行讨论，当 时和 时，当 P，C 重合时，APM第 26 页（共 27 页）ACO，分别求出点 P 的坐标即可【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ya（x1） （x 4） ，将点 C（0，2）代入，解得： a ，抛物线的解析式为：y （x1） （x 4） x2+ x2；（2）存在如图，设 P 点的横坐标为 m，则 P 点的纵坐标为 m2+ m2，当 1m4 时，AM4m， PM m2+ m2又COAPMA90，当 ，C 在抛物线上，OC2，OA4，
40、 ，APM ACO ，即 4m2（ m2+ m 2） 解得 m12，m 24（舍去） ，P（2，1） 当 时，APMCAO，即 2（4m） m2+ m2解得 m14，m 25（均不合题意，舍去）当 1m4 时，P（2，1） ；当 m4 时，AMm4，PM m2 m+2， 或 2，把 P（m， m2+ m2）代入得： 2（ m2 m+2）m4，2（m 4） m2第 27 页（共 27 页）m+2，解得：第一个方程的解是 m 22 4（舍去）m 2+2 4（舍去） ，第二个方程的解是 m5，m4（舍去）求出 m5， m2+ m2 2，则 P（5，2） ；当 m1 时，AM4m，PM m2 m+2 或 2，则：2（ m2 m+2）4m ，2（4m） m2 m+2，解得：第一个方程的解是 m 0（舍去） ，m 4（舍去） ，第二个方程的解是 m4（舍去），m3，m3 时， m2+ m2 14，则 P（3，14） ，当 P，C 重合时，APM ACO，此时 P（2，0） 综上所述，符合条件的点 P 为（2，1）或（5，2）或（3，14）或（2，0） 【点评】此题主要考查了二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，相似三角形的性质，分类讨论是解本题的难点