1、2018 年四川省成都七中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| x24x ，Bx|3x 40 ，则 AB（ ）A （，0） B0， ） C （ ，4 D （，0）2 （5 分）已知 i 为虚数单位， aR，若 为纯虚数，则 a（ ）A B C2 D23 （5 分）某公司新研发了两种不同型号的平板电脑，公司统计了消费者对这两种型号平板电脑的评分情况，如图，则下列说法不正确的是（ ）A甲、乙型号平板电脑的综合得分相同B乙型号平板
2、电脑的拍照功能比较好C在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好D消费者比较喜欢乙型号平板电脑的屏幕4 （5 分）已知 sin（ +） ，则 cos（ 2）（ ）A B C D5 （5 分） 展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（ ）A B C D6 （5 分）函数 f（x ） （其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）第 2 页（共 30 页）A BC D7 （5 分）已知平面向量 与 的夹角为 ，若 （ ） ，| 2 |2 ，则| |（ ）A3 B4 C D28 （5 分）设 ，则“cosxx 2”是“cosxx”的（ ）
3、A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件9 （5 分）已知 ，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是（ ）A B C D10 （5 分）已知双曲线 C： （a0，b0）的离心率 e ，对称中心为O，右焦点为 F，点 A 是双曲线 C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOFOAF，OAF 的面积为 3 ，则双曲线 C 的方程为（ ）第 3 页（共 30 页）A B 1C D11 （5 分）设函数 f（x ）x 2xlnx+2，若存在区间 ，使 f（x）在a，b 上的值域为 k（a+2 ） ，k（b+2），则 k 的取值范围
4、是（ ）A BC D12 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，四边形 AEFG 为边长为 2 的正方形，现将矩形 ABCD 沿过点的动直线 l 翻折的点 C 在平面 AEFG 上的射影 C1 落在直线 AB上，若点 C 在直线 l 上的射影为 C2，则 的最小值为（ ）A6 13 B 2 C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知变量 x，y 满足 ，则 z2x y 的最大值为 14 （5 分）执行下面的程序框图，输出的结果为 第 4 页（共 30
5、页）15 （5 分）已知圆 C：x 2+y24x4y+m0 与 y 轴相切，抛物线 E：y 22px（p0）过点C，其焦点为 F，则直线 CF 被抛物线所截得的弦长等于 16 （5 分）在ABC 中，点 D 在边 AB 上，CDBC，AC5 ，CD5，BD2AD，则AD 的长为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知a n是递增数列，其前 n 项和为 Sn，a 11，且 10Sn（2a n+1） （a n+2） ，nN*（）求数列a n的通项 an；（）是
6、否存在 m，n，k N*，使得 2（a m+an）a k 成立？若存在，写出一组符合条件的 m，n，k 的值；若不存在，请说明理由18 （12 分）如图，等腰直角PAD 为梯形 ABCD 所在的平面垂直，且PA PD，PAPA，AD BC ，AD2BC 2CD4， ADC 120，E 为 AD 中点（1）证明：BD平面 PEC；（2）求二面角 CPBD 的余弦值第 5 页（共 30 页）19 （12 分）甲、乙两品牌计划入驻某大型商场，该商场批准两个品牌先进场试销 10天两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出 90 以内（含 90 件）的产品，每件产品返利 5 元，超出 90 件的部
7、分每件返利 7 元；乙品牌每天固定返利 a 元，且每卖出一件产品再返利 3 元经统计，两家品牌的试销情况的茎叶图如图：（）现从乙品牌试销的 10 天中抽取三天，求这三天的销售量中至少有一天低于 90 件的概率；（）若将频率视作概率，回答以下问题：记甲品牌的日返利额为 X（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望；商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由20 （12 分）已知圆 O：x 2+y24，F 1（1，0） ，F 2（1，0） ，点 D 圆 O 上一动点，2 + ，点 C 在直线 EF1 上，且 0，记点 C 的
8、轨迹为曲线 W（1）求曲线 W 的方程；（2）已知 N（4，0） ，过点 N 作直线 l 与曲线 W 交于 A， B 不同两点，线段 AB 的中垂线为 l，线段 AB 的中点为 Q 点，记 l与 y 轴的交点为 M，求 MQ 的取值范围21 （12 分）已知函数 f（x ） （x0，aR） （1）当 时，判断函数 f（x ）的单调性；（2）当 f（x）有两个极值点时，第 6 页（共 30 页）求 a 的取值范围；若 f（ x）的极大值小于整数 m，求 m 的最小值请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线
9、C 的参数方程为 ，在极坐标系中曲线 D 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的普通方程与曲线 D 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 与曲线 D 交于 AB 两点，求|AB |选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 2|（1）解不等式 f（x ）f（2x+4）2；（2）若 f（x） +f（x +3）m 2+2m 对 xR 恒成立，求实数 m 的取值范围第 7 页（共 30 页）2018 年四川省成都七中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合
10、 Ax| x24x ，Bx|3x 40 ，则 AB（ ）A （，0） B0， ） C （ ，4 D （，0）【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| x24x x|0x 4 ，B x|3x40x| x ，ABx| x 4（ 故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2 （5 分）已知 i 为虚数单位， aR，若 为纯虚数，则 a（ ）A B C2 D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解【解答】解： 为纯虚数， ，即 a 故选：
11、B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）某公司新研发了两种不同型号的平板电脑，公司统计了消费者对这两种型号平板电脑的评分情况，如图，则下列说法不正确的是（ ）第 8 页（共 30 页）A甲、乙型号平板电脑的综合得分相同B乙型号平板电脑的拍照功能比较好C在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好D消费者比较喜欢乙型号平板电脑的屏幕【分析】由已知图形列出甲乙型号平板电脑的得分数据表，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：由图可得，甲乙型号平板电脑的得分如下表：外观 拍照 系统 性能 屏幕 综合甲 90
12、 85 95 85 95 450乙 85 90 95 90 90 450由上表可知，甲、乙型号平板电脑的综合得分相同，故 A 正确；乙型号平板电脑的拍照功能比较好，故 B 正确；在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好，故 C 正确；甲屏幕得分 95，乙屏幕得分 90，消费者比较喜欢甲型号平板电脑的屏幕，故 D 不正确说法不正确的是 D故选：D【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查概率统计的基础知识，考查学生的识图能力，是基础题4 （5 分）已知 sin（ +） ，则 cos（ 2）（ ）A B C D【分析】由题意利用诱导公式求得 cos（ ） ，再利用二倍角公式求得第 9 页（
13、共 30 页）cos（ 2）的值【解答】解：sin（ +）sin（ +） ， sin （ +） ，即cos（ ） ，则 cos（ 2）2 1 1 ，故选：B【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题5 （5 分） 展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（ ）A B C D【分析】要求展开式中的有理项，只要在通项 中，让x 的指数为整数，求解符合条件的 r，求出有理项的数目，通过古典概率的计算公式可求【解答】解：由题意可得二项展开式的通项 根据题意可得， 为整数时，展开式的项为有理项，则 r3，9 共有 2 项，而 r 的所有取值是 0，1，2，3，4，5，6，7
14、，8，9，10，11 共 12 个所求的概率为故选：B【点评】本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是熟练应用二项展开式的通项公式，找出符合条件的项数6 （5 分）函数 f（x ） （其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A B第 10 页（共 30 页）C D【分析】判断 f（x ）的奇偶性，f（x）的单调性或变化趋势即可得出答案【解答】解：f（x ） f（x） ，f（x）是偶函数，故 f（x ）图形关于 y 轴对称，排除 B，D；又 x0 时，e x+12，x（e x1）0， +，排除 C，故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性，单调性判断，属于中档题7 （
15、5 分）已知平面向量 与 的夹角为 ，若 （ ） ，| 2 |2 ，则| |（ ）A3 B4 C D2【分析】利用向量的模的运算法则，转化求解向量的模即可【解答】解：平面向量 与 的夹角为 ，若 （ ） ，可得| |2，| 2 |2 ，即： +4 52，4| |2+4| |480，解得| |3故选：A【点评】本题考查向量的模的求法，向量的夹角的应用，考查计算能力8 （5 分）设 ，则“cosxx 2”是“cosxx”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件第 11 页（共 30 页）C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据条件分别作出 ycosx 和
16、yx 2 和 yx 的图象，利用数形结合进行判断即可【解答】解：由 x2x 得 x 0 或 x1，作出函数 ycosx 和 yx 2 和 yx 的图象如图，则由图象可知当 cosxx 2 时，x Bx ，当 cosx x 时，x Ax ，x Ax B，“cosxx 2”是“cosxx”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用数形结合是解决本题的关键9 （5 分）已知 ，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是（ ）A B C D【分析】利用定积分求出 a 的值，根据函数 f（x ）的图象求出 f（x）的解析式，第 12 页（共 30 页
17、）再利用三角函数的图象与性质求 f（x ）+a 的对称中心【解答】解： 2 x2 1，函数 的图象知，A2， ，T ，解得 2；又 2 + ，解得 ；f（x）2sin（2x + ） ，f（x ） +a2sin（2x ）+1；令 2x k，kZ，则 x + ，k Z，当 k1 时，x ，f（x ） +a 的一个对称中心为（ ，1） 故选：C【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题10 （5 分）已知双曲线 C： （a0，b0）的离心率 e ，对称中心为O，右焦点为 F，点 A 是双曲线 C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOFOAF，OAF 的面积
18、为 3 ，则双曲线 C 的方程为（ ）A B 1C D【分析】根据条件设出渐近线方程，结合三角形的面积以及离心率公式建立方程求出a，b 的值即可【解答】解：由题意点 A 所在的渐近线为 bxay 0，第 13 页（共 30 页）设该渐近线的倾斜角为 ，则 tan ，AOFOAF，直线 AF 的倾斜角为 2，则 tan2 ，联立方程组 ，得 ，即 A（ ， ） ，则AOF 的面积 S c ab3 ，双曲线的离心率 e ，e 2 ，得 ，结合 ab3 ，得 a3，b ，则双曲线的方程为 1方法 2：，AOFOAF ，OAF 是等腰三角形，过 F 作 FBOA，则焦点到渐近线距离为 BF
19、b，则 OB a，即 OA2OB 2a，则OAF 的面积 S 2abab3 ，又双曲线的离心率 e ，e 2 ，得 ，结合 ab3 ，得 a3，b ，则双曲线的方程为 1第 14 页（共 30 页）故选：D【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，根据三角形的面积公式和离心率公式建立方程是解决本题的关键11 （5 分）设函数 f（x ）x 2xlnx+2，若存在区间 ，使 f（x）在a，b 上的值域为 k（a+2 ） ，k（b+2），则 k 的取值范围是（ ）A BC D【分析】判断 f（x ）的单调性得出 f（x）k （x+2）在 ，+）上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出
20、k 的范围【解答】解：f（x ）2xlnx+1，f（x ）2 ，当 x 时，f（x）0，f（x）在 ，+ ）上单调递增，f（x）f（ ）2ln 0，f（x）在 ， +）上单调递增，a，b ，+ ） ，f（x）在a， b上单调递增，f（x）在a， b上的值域为k（a+2） ，k（b+2） ，第 15 页（共 30 页） ，方程 f（x） k（x+2）在 ，+ ）上有两解 a，b作出 yf（x）与直线 yk （x +2）的函数图象，则两图象有两交点若直线 yk（x +2）过点（ ， + ln2） ，则 k ，若直线 yk（x +2）与 yf（x）的图象相切，设切点为（x 0，y 0） ，则 ，解得
21、 k11k ，故选：C【点评】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题12 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，四边形 AEFG 为边长为 2 的正方形，现将矩形 ABCD 沿过点的动直线 l 翻折的点 C 在平面 AEFG 上的射影 C1 落在直线 AB上，若点 C 在直线 l 上的射影为 C2，则 的最小值为（ ）第 16 页（共 30 页）A6 13 B 2 C D【分析】由题意，以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立坐标系，表示出，利用基本不等式求最小值【解答】解：由题意，以 AB 所在直线为 x
22、轴，AD 所在直线为 y 轴，建立坐标系，则直线 l 的方程：y kx2k+2 ，CC 2 当 k0 时，可知点 C1 与点 B 重合，此时 CC24，C 1C22， ；当 k0 时，直线 CC2 的方程为 y x+ +6，C 1（4+6k ，0） ，CC 16 ，C 1C2CC 1CC 26 1 3（2k+ 4）16 13，当且仅当 2k 时，取等号；综上所述， 的最小值为 6 13，故选：A【点评】本题考查空间点、线、面距离的计算，考查基本不等式的运算，难度大二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知变量 x，y 满足 ，则 z2x y 的最大值为
23、10 第 17 页（共 30 页）【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立 ，解得 A（4，2） ，化目标函数 z2xy 为 y2 xz，由图可知，当直线 y2xz 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 10故答案为：10【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题14 （5 分）执行下面的程序框图，输出的结果为 854 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量
24、值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得第 18 页（共 30 页）k1，s2满足条件 k8，执行循环体，s1（2+1）3，k3满足条件 k8，执行循环体，s3（3+3）18，k5满足条件 k8，执行循环体，s5（18+5）115，k7满足条件 k8，执行循环体，s7（115+7）854，k9此时，不满足条件 k8，退出循环，输出 s 的值为 854故答案为：854【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题15 （5 分）已知圆 C：x 2+y24x4y+m0 与 y 轴相切，抛物线 E：y 22px（p0）过点C，其焦点为
25、 F，则直线 CF 被抛物线所截得的弦长等于 【分析】利用圆与 y 轴相切求出 m，求出圆心，求解抛物线的焦点坐标，求出直线方程，利用直线与抛物线的位置关系求解弦长即可【解答】解：圆 C：x 2+y24x4y+m0 化为：（x 2） 2+（y2） 24m 与 y 轴相切，可得 ，解得 m 0，圆的方程为：（x2） 2+（y2） 24，圆心C（2，2）半径为 2；抛物线 E：y 22px（p0）过点 C，可得 44p，解得 p1，则F（ ，0） ，CF 的方程为：y 0 （x ） ，即 4x3y20，则 ，可得：2y 23y20，解得 y1 ， y22，此时可得x1 ，
26、x 22，即弦的端点（2，2） ， （ ， ）直线 CF 被抛物线所截得的弦长等于： 故答案为： 【点评】本题考查抛物线与圆的位置关系的应用，直线与抛物线以及圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力16 （5 分）在ABC 中，点 D 在边 AB 上，CDBC，AC5 ，CD5，BD2AD，则AD 的长为 5 第 19 页（共 30 页）【分析】根据题意画出图象，延长 BC、过 A 做 AEBC、垂足为 E，根据平行线的性质和勾股定理依次求出 AE、CE、BC 、BD，由条件求出 AD 的长【解答】解：如图所示：延长 BC，过 A 做 AEBC ，垂足为 E，CDBC，CDAE
27、，CD5，BD2AD， ，解得 AE ，在 RTACE，CE ，由 得 BC2CE5 ，在 RTBCD 中，BD 10，则 AD5，故答案为：5【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知a n是递增数列，其前 n 项和为 Sn，a 11，且 10Sn（2a n+1） （a n+2） ，nN*（）求数列a n的通项 an；（）是否存在 m，n，k N*，使得 2（a m+an）a k 成立？若存在，写出一组符合条件的 m，n，k 的值；若不存在，请说明
28、理由【分析】 （）由已知可得：10a 1（2a 1+1） （a 1+2） ，得 5a 1+20，a 11，解得a1，因为 10Sn（2a n+1） （a n+2） ，n2 时，10S n+1（2 an+1+1） （a n+1+2） 相减利用数列的单调性、等差数列的通项公式即可得出（）满足条件的正整数 m， n，k 不存在，分析如下：假设存在 m，n，k N*，使得第 20 页（共 30 页）2（a m+an）a k 成立，则 5m1+5n 1 （5k 1 ） 利用通项公式代入得出矛盾即可【解答】解：（）由已知可得：10a 1（2a 1+1） （a 1+2） ，得5a 1+20，a 11，解得
29、a12，因为 10Sn（2a n+1） （a n+2） ，n2 时，10S n+1（2a n+1+1） （a n+1+2） 故 10an+110（S n+1S n）（2a n+1+1） （a n+1+2）（2a n+1） （a n+2） ，整理，得（a n+1+an）2（a n+1a n）5 0因为a n是递增数列，且 a12，故 an+1+an0，a n+1a n 则数列a n是以 2 为首项， 为公差的等差数列所以 an2+ （）满足条件的正整数 m， n，k 不存在，证明如下：假设存在 m，n，k N*，使得 2（a m+an）a k 成立，则 5m1+5n 1 （5k 1 ） 整理，得
30、 2m+2nk ，显然，左边为整数，所以式不成立故满足条件的正整数 m，n， k 不存在【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、整数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）如图，等腰直角PAD 为梯形 ABCD 所在的平面垂直，且PA PD，PAPA，AD BC ，AD2BC 2CD4， ADC 120，E 为 AD 中点（1）证明：BD平面 PEC；（2）求二面角 CPBD 的余弦值第 21 页（共 30 页）【分析】 （1）推导出 PEAD，从而 PE平面 ABCD，进而 PEBD连接 BE，推导出四边形 BCDE 为平行四边形，从而四边形 BCDE 为菱
31、形，进而 ECBD由此能证明BD平面 PEC（2）过点 E 作 EFDB，交 AB 于 F，则 BDEC ，EF BC，以点 E 为坐标原点，分别以 EF，EC， EP 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Exyz ，利用向量 法能求出二面角 CPBD 的余弦值【解答】证明：（1）在等腰直角PAD 中，PAPD，又 E 为 AD 中点， PE AD，又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PE平面 ABCD，PEBD如图，连接 BE，在梯形 ABCD 中，ADBC，且 EDBC，四边形 BCDE 为平行四边形，又 BCCD2，四边形 BCDE 为菱形
32、，EC BD又 PEECE，BD平面 PEC解：（2）如图，过点 E 作 EFDB，交 AB 于 F，BDEC，EF BC由（1）知 PE平面 ABCD，故以点 E 为坐标原点，分别以 EF，EC，EP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Exyz在 Rt PAD 中，EDEA 2，又 PAPD ，PAPD，EP2在梯形 ABCD 中，ADC120，EDDC2，故 EC2 EBDC2，BEF60第 22 页（共 30 页）P（0，0，2） ，C（0，2 ，0） ，B （2cos60 ，2sin60，0） ，即 B（1， ，0） ，D（1， ，0） 故 （1， ，2） ， （
33、0，2 ，2） ， （2，0，0） 设平面 PBC 的法向量为 （x，y，z） ，则 令 z ，得 （ ） 平面 PBD 的法向量为 （x，y ，z） 则 ，取 z3，得 （0，2， ） ，cos 由图可知，二面角 CPBD 为锐二面角，故其余弦值等于 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）甲、乙两品牌计划入驻某大型商场，该商场批准两个品牌先进场试销 10天两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出 90 以内（含 90 件）的产品，每件产品返利 5 元，
34、超出 90 件的部分每件返利 7 元；乙品牌每天固定返利 a 元，且每卖出一件产品再返利 3 元经统计，两家品牌的试销情况的茎叶图如图：（）现从乙品牌试销的 10 天中抽取三天，求这三天的销售量中至少有一天低于 90 件的概率；第 23 页（共 30 页）（）若将频率视作概率，回答以下问题：记甲品牌的日返利额为 X（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望；商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由【分析】 （）记乙品牌“这三天的销售量中至少有一天低于 90 件”为事件 A，由题意得抽取的 10 天中，销售量不低于 90
35、 件的有 7 天，销售量低于 90 件的有 3 天，由此利用互斥事件概率加法公式能求出这三天的销售量中至少有一天低于 90 件的概率（） 设甲品牌的日销售量为 t，由茎叶图得 t 可取 86，87，89，90，92，93，推导出 X 的所有可能取值为 430，435，445，450，464，471，分别求出相应的概率，能求出 X 的分布列和数学期望依题意，乙品牌的日平均销售量为 90.7，从而乙品牌的日平均返利额为 a+272.1 元，由此求出 a173.4 元时，推荐该商场选择乙品牌长期销售；当 a173.4（元）时，该商场任意选择甲、乙品牌即可；当 a173.4 元时，推荐该商场选择甲品牌
36、长期销售【解答】解：（）记乙品牌“这三天的销售量中至少有一天低于 90 件”为事件 A，由题意得抽取的 10 天中，销售量不低于 90 件的有 7 天，销售量低于 90 件的有 3 天，则这三天的销售量中至少有一天低于 90 件的概率：P（A） （） 设甲品牌的日销售量为 t，由茎叶图得 t 可取 86，87，89，90，92，93，当 t86 时，X865430，当 t87 时，X875435，当 t89 时，X895445，当 t90 时，X905450，当 t92 时，X905+2 7464，当 t93 时，X90 5+37471，X 的所有可能取值为 430，435，445，450，4
37、64，471，X 的分布列为：X 430 435 445 450 464 471第 24 页（共 30 页）P E（X）430 + 445.5（元）依题意，乙品牌的日平均销售量为： +，乙品牌的日平均返利额为：a+90.73a+272.1（元） ，当 a+272.1445.5，即 a173.4 元时，推荐该商场选择乙品牌长期销售；当 a+272.1445.5，即 a173.4（元）时，该商场任意选择甲、乙品牌即可；当 a+272.1445.5，即 a173.4 元时，推荐该商场选择
38、甲品牌长期销售综上，即 a173.4 元时，推荐该商场选择乙品牌长期销售；当 a173.4（元）时，该商场任意选择甲、乙品牌即可；当 a173.4 元时，推荐该商场选择甲品牌长期销售【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）已知圆 O：x 2+y24，F 1（1，0） ，F 2（1，0） ，点 D 圆 O 上一动点，2 + ，点 C 在直线 EF1 上，且 0，记点 C 的轨迹为曲线 W（1）求曲线 W 的方程；（2）已知 N（4，0） ，过点 N 作直线 l 与曲线
39、 W 交于 A， B 不同两点，线段 AB 的中垂线为 l，线段 AB 的中点为 Q 点，记 l与 y 轴的交点为 M，求 MQ 的取值范围【分析】 （1）由题意可得 D 为 EF2 的中点，由中垂线和中位线定理，结合椭圆定义可得 CF1+CF2CF 1+CEEF 12OD4，即可得到所求轨迹方程；（2）设 l：y k（x4） ，A （x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，Q（x 0，y 0） ，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得 Q 的坐标，求得直线 l'的方程，可得 M 的坐标，运用两点距离公式可得|MQ|，运用换元法，结合二次函数的性质可得所求范围【解答】解：（1
40、）圆 O：x 2+y24，圆心为（0，0） ，半径 r4，F1（1，0） ，F 2（1，0） ，点 D 圆 O 上一动点，第 25 页（共 30 页）2 + ，可得 D 为 EF2 的中点，点 C 在直线 EF1 上，且 0，可得 CDEF 2，连接 CF2，可得 CECF 2，且 CF1+CF2CF 1+CEEF 12OD4，由椭圆的定义可得，C 的轨迹为以（ 1，0） ， （1，0）为焦点的椭圆，可得 c1，a2，b ，则曲线 W 的方程为 + 1；（2）由题意可知直线 l 的斜率存在，设 l：yk（x4） ，A （x 1， y1） ，B（x 2，y 2） ，Q（x 0，y 0） ，联立直
41、线与椭圆方程 3x2+4y212，消去 y 得（3+4k 2）x 2 32k2x+64k2120，x1+x2 ，x 1x2 ，又（32k 2） 24（3+4k 2） （64k 212）0，解得 k ，x0 ，y 0k （x 04） ，所以 Q（ ， ） ，所以 l'：y y 0 （xx 0） ，即 y+ （x ） ，化简得 y x+ ，令 x0，得 m ，即 M（0， ） ，|MQ|（ ） 2+（ ） 2256 ，令 t3+4k 2，则 t3，4） ，第 26 页（共 30 页）所以|MQ|256 16163（ ） 2 +1163（ + ） 2+ ，所以|MQ|0，5） 【点评】本题考
42、查轨迹方程的求法，注意运用垂直平分线和中点向量表示、以及三角形的中位线定理，和椭圆的定义，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及两点距离公式，考查化简整理的运算能力，属于较难题21 （12 分）已知函数 f（x ） （x0，aR） （1）当 时，判断函数 f（x ）的单调性；（2）当 f（x）有两个极值点时，求 a 的取值范围；若 f（ x）的极大值小于整数 m，求 m 的最小值【分析】 （1）求出函数的导数，法一，结合二次函数的性质判断导函数的符号，求出函数的单调性即可；法二：令 h（x）（x 2+3x3）e xa，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，判断即可；（2）
43、 令 h（ x）（x 2+3x3）e xa，求出函数的导数，根据函数的单调性得到h（x）0 有两不等实数根 x1，x 2（x 1x 2） ，求出 a 的范围，求出 f（x）的极大值，从而确定 m 的最小值即可【解答】解：（1）由题 f（ x） ， （x0）方法 1：由于 ，e x10， （x 2+3x3）e x ，第 27 页（共 30 页）又 ，所以（x 2+3x3）e xa0，从而 f'（x）0，于是 f（x）为（ 0，+）上的减函数 （4 分）方法 2：令 h（x）（x 2+3x3）e xa，则 h（x ）（x 2+x）e x，当 0x1 时，h'（x ）0，h（x ）为
44、增函数；当 x1 时，h'（x ）0，h（x ）为减函数故 h（x）在 x1 时取得极大值，也即为最大值则 h（x） maxe a由于 ，所以 h（x） maxh（1）ea0，于是 f（x）为（ 0，+）上的减函数 （4 分）（2） 令 h（ x）（x 2+3x3）e xa，则 h（x）（x 2+x）e x，当 0x1 时，h'（x ）0，h（x ）为增函数，当 x1 时，h'（x ）0，h（x ）为减函数，当 x 趋近于+时，h（x ）趋近于由于 f（x）有两个极值点，所以 f'（x）0 有两不等实根，即 h（x）0 有两不等实数根 x1，x 2（x 1x 2
45、） ，则 ，解得3ae，可知 x1（0，1） ，由于 h（ 1）e a0，h（ ） a +30，则 而 f（x 2） 0，即 （#）所以 g（x）极大值f（x 2） ，于是 ， （*）令 ，则（*）可变为 ，可得 ，而3ae，则有 ，下面再说明对于任意3ae， ，f （x 2）2第 28 页（共 30 页）又由（#）得 a （ +3x23） ，把它代入（*）得 f（x 2）（2x 2） ，所以当 时，f （x 2）（1x 2） 0 恒成立，故 f（x 2）为 的减函数，所以 f（x 2）f （ ） 2，所以满足题意的整数 m 的最小值为 3【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应
46、用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 ，在极坐标系中曲线 D 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的普通方程与曲线 D 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 与曲线 D 交于 AB 两点，求|AB |【分析】 （1）直接利用转换关系求出结果（2）利用方程组求出一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 （t 为参数） ，整理为 ，消去参数 t，得 y1+2x，故曲线 C 的普通方程为 2xy+10因为 ，即 sin2 所以曲线 D 的直角坐标方程为 x24y+4（2）由 ，消去 y，第 29 页（共 30 页）可得 x24（1+2x ）+4 ，即 x28x80所以 x1+x28， x1x28，所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方