1、2018 年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x21，Bx|2 x1 ，则 AB（ ）A （0，1） B （1，+）C （1，+） D （， 1）（0，+）2 （5 分）设 i 为虚数单位， aR，若 是纯虚数，则 a（ ）A2 B2 C1 D13 （5 分）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ，B ，C ，D ，4 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A先把高三年级的 2000 名学生编号： 1
2、到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50， m+100，m+150的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B线性回归直线 不一定过样本中心点C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1D设随机变量 X 服从正态分布 N（10，0.01） ，则5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 为 2，则输出的 a 值是（ ）第 2 页（共 24 页）A2 B1 C D16 （5 分）若函数 f（x ）sin（2x+ ）在 上单调递减，则 的值可能是（ ）A2 B C D7 （5
3、 分）已知 是锐角，若 ，则 cos2（ ）A B C D8 （5 分）设a n是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A若 a11，a 54，则 a3 2B若 a1+a30，则 a2+a40C若 a2a 1，则 a3a 2D若 a2a 10，则 a1+a32a 29 （5 分）函数 f（x ）x 22 |x|的图象大致是（ ）A B第 3 页（共 24 页）C D10 （5 分）已知实数 a，b 满足 ，则当 时，的最大值是（ ）A5 B2 C D11 （5 分）当 x0 时，不等式 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A0，1）（1
4、，+） B （0，+）C （，0（1，+） D （， 1）（1，+）12 （5 分）设 nN*，函数 f1（x ）xe x，f 2（x）f 1（x） ，f 3（x）f 2（x） ，f n+1（x）f n（x ） ，曲线 yf n（x）的最低点为 Pn，P nPn+1Pn+2 的面积为 Sn，则（ ）A Sn是常数列 B Sn不是单调数列CS n是递增数列 D Sn是递减数列二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分） （1+x） （1x ） 6 的展开式中，x 3 的系数是 （用数字作答）14 （5 分）甲、乙、丙三位同学
5、中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 15 （5 分）设函数 ，则满足 f（x）+f（x1）2 的 x 的取值范围是 16 （5 分）已知菱形 ABCD 的边长为 2，DAB60，P 是线段 BD 上一点，则的最小值是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 4 页（共 24 页）17 （12
6、分）设数列a n满足 a1+2a2+4a3+2n1 ann（）求数列a n的通项公式；（）求数列a n+log2an的前 n 项和18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC+csinB0（）求 C；（）若 ，点 D 在边 AB 上，CDBD ，求 CD 的长19 （12 分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样
7、本的频率分布直方图表 1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值 95，100） 100， 105）105， 110）110， 115）115， 120）120，125频数 1 4 19 20 5 1图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图（）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套设备 合计合格品不合格品合计（）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较；（）将频率视为概率若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取 3 件产品，记抽到的不合格品的个数为 X，求 X 的期望 E（X） 附：P（K 2k 0）
8、0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635第 5 页（共 24 页）20 （12 分）已知函数 f（x ）asinx+bcosx（a，bR） ，曲线 yf（x）在点处的切线方程为： （）求 a，b 的值；（）设 kR，求函数 在 上的最大值21 （12 分）已知函数 f（x ）e x2，其中 e2.71828是自然对数的底数（）证明：当 x0 时，f（x）x1lnx；（）设 m 为整数，函数 g（ x）f（x）lnx m 有两个零点，求 m 的最小值选修 4-4：极坐标与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy
9、中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（）已知直线 l 上一点 M 的极坐标为（2，） ，其中 射线 OM 与曲线 C 交于不同于极点的点 N，求|MN|的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|3x 1|+|x2|的最小值为 m（）求 m 的值；（）设实数 a，b 满足 2a2+b2m，证明：2a+b 第 6 页（共 24 页）2018 年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5
10、分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x21，Bx|2 x1 ，则 AB（ ）A （0，1） B （1，+）C （1，+） D （， 1）（0，+）【分析】由二次不等式的解法和指数不等式的解法，化简集合 A，B，再由并集的定义，即可得到所求集合【解答】解：集合 Ax| x21x|1x1，B x|2x1x|x0，则 ABx|x1（1，+） ，故选：B【点评】本题考查集合的并集的求法，运用定义法解题是关键，属于基础题2 （5 分）设 i 为虚数单位， aR，若 是纯虚数，则 a（ ）A2 B2 C1 D1【分析】利
11、用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值【解答】解： 是纯虚数， ，解得 a1故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ，B ，C ，第 7 页（共 24 页）D ，【分析】判定两个向量是否不共线即可【解答】解：对于 A， ， ， 是两个共线向量，故不可作为基底对于 B， ， 是两个不共线向量，故可作为基底对于 C， ， ， 是两个共线向量，故不可作为基底 对于 D， ， ， 是两个共线向量，故不可作为基底故选：B【点评】本题主要考查平面向量基本定理，基底的定
12、义，属于基础题4 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A先把高三年级的 2000 名学生编号： 1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50， m+100，m+150的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B线性回归直线 不一定过样本中心点C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1D设随机变量 X 服从正态分布 N（10，0.01） ，则【分析】在 A 中，这样的抽样方法是系统抽样法；在 B 中，线性回归直线 一定过样本中心点 ；在 C 中，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r的
13、绝对值越接近于 1；在 D 中，由正态分布性质得 【解答】解：在 A 中，先把高三年级的 2000 名学生编号：1 到 2000，再从编号为 1 到50 的 50 名学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50，m+100，m +150的学生，这样的抽样方法是系统抽样法，故 A错误；在 B 中，线性回归直线 一定过样本中心点 ，故 B 错误；在 C 中，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于 1，故 C错误；在 D 中，设随机变量 X 服从正态分布 N（10，0.01） ，则由正态分布性质得第 8 页（共 24 页），故 D 正确故选：D【点评】
14、本题考查命题真假的判断，考查分层抽样、系统抽样、回归方程、相关系数、正态分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 为 2，则输出的 a 值是（ ）A2 B1 C D1【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，可得答案；【解答】解：当 a2，k0 时，执行循环 a1，满足继续循环的条件，k1；执行循环 a ，满足继续循环的条件，k2；执行循环 a2，满足继续循环的条件，k3； 执行循环 a1，满足继续循环的条件，k4；执行循环 a ，满足继续循环的条件
15、，k5；执行循环 a2，不满足继续循环的条件，故输出的结果为 2，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟第 9 页（共 24 页）循环的方法解答6 （5 分）若函数 f（x ）sin（2x+ ）在 上单调递减，则 的值可能是（ ）A2 B C D【分析】直接根据正弦函数的单调性求解即可；【解答】解：函数 f（x ）sin（2x+ ）在 上单调递减，则 ，可得 ，kZ故选：C【点评】本题主要考查利用 yAsin （ x+）的图象特征求解 的值属于基础题7 （5 分）已知 是锐角，若 ，则 cos2（ ）A B C D【分析】利
16、用同角三角函数的基本关系求得 cos（ ）的值，再利用二倍角公式cos2sin（2 ）的值【解答】解：已知 是锐角，若 ，cos（ ） ，则 cos2sin（ 2）sin（2 ）2sin（ ）cos （ ）2 ，故选：D【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题8 （5 分）设a n是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A若 a11，a 54，则 a3 2B若 a1+a30，则 a2+a40C若 a2a 1，则 a3a 2第 10 页（共 24 页）D若 a2a 10，则 a1+a32a 2【分析】A由等比数列的性质可得： a 1a54，由于奇数项的
17、符号相同，可得a3，即可判断出正误Ba 1+a30，则 a2+a4q（a 1+a3） ，其正负由 q 确定，即可判断出正误 ；C若 a2a 1，则 a1（q1） 0，于是 a3a 2a 1q（q1） ，其正负由 q 确定，即可判断出正误；D若 a2a 10，则 a1qa 10，可得 a10，q1，1+q 22q，则 a1（1+q 2）2a 1q，即可判断出正误【解答】解：A由等比数列的性质可得： a 1a54，由于奇数项的符号相同，可得 a32，因此不正确Ba 1+a30，则 a2+a4q（a 1+a3） ，其正负由 q 确定，因此不正确；C若 a2a 1，则 a1（q1） 0，于是 a3a
18、2a 1q（q1） ，其正负由 q 确定，因此不正确；D若 a2a 10，则 a1qa 10，可得 a10，q1，1+q 22q，则 a1（1+q 2）2a 1q，即 a1+a32a 2，因此正确故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式与单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （5 分）函数 f（x ）x 22 |x|的图象大致是（ ）A BC D【分析】利用特殊值排排除即可【解答】解：函数 f（x ）x 22 |x|，f（3）9810，故排除 C，D ，第 11 页（共 24 页）f（0）1，f（ ） 0.25 1，故排除 A，故选：B当 x0 时，f（
19、 x）x 22 x，f（x）2 x2 xln2，故选：B【点评】本题考了函数的图象的识别，排除是关键，属于基础题10 （5 分）已知实数 a，b 满足 ，则当 时，的最大值是（ ）A5 B2 C D【分析】化简目标函数，利用三角函数的有界性求解最值的表达式，利用线性规划转化求解即可【解答】解：当 时， asin2+ bcos2 sin（2+） ，取值tan ，作出实数 a，b 满足 的可行域如图：由可行域可知|AO|的距离是最大值，由 ，解得 A（3，1） ， ，当 时，20 ， ， ，时，tan ，所以 的最大值是： 故选：C第 12 页（共 24 页）【点评】本题考查线性规划的
20、简单应用，三角函数的化简取值，考查转化思想以及数形结合的应用，是中档题11 （5 分）当 x0 时，不等式 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A0，1）（1，+） B （0，+）C （，0（1，+） D （， 1）（1，+）【分析】求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，根据函数的单调性求出 a 的范围即可【解答】解：由题意令 f（x ） x2+（1a）xalnx2a+ a2，则 f（x）x+（1a）x ，a0 时，f（x ）0，f（x）在（0，+）递增，x0 时，f（x），故不合题意，a0 时，f（x） x2+x0，符合题意，a0 时，令 f（x ）0，解得：x
21、a，令 f（x ）0，解得：0xa，故 f（x）在（0 ，a）递减，在（a，+）递增，故 f（x）min f（a）a（a1lna ） ，令 h（a）a1lna， （a 0） ，故 h（a）1 ，令 h（a）0，解得：a1，令 h（a）0，解得：0a1，故 h（a）在（0，1）递减，在（1，+）递增，第 13 页（共 24 页）故 h（a）h（1）0，故 a1lna0，故 a0 时，只要 a1，则 h（a）0，综上，a0，1）（1，+） ，故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题12 （5 分）设 nN*，函数 f1（x ）xe x
22、，f 2（x）f 1（x） ，f 3（x）f 2（x） ，f n+1（x）f n（x ） ，曲线 yf n（x）的最低点为 Pn，P nPn+1Pn+2 的面积为 Sn，则（ ）A Sn是常数列 B Sn不是单调数列CS n是递增数列 D Sn是递减数列【分析】根据题意，依次求出曲线 yf 1（x） 、yf 2（x）的最低点的坐标，分析可得yf n（x）的最低点 Pn 的坐标，求出直线 PnPn+1 与|P nPn+1|，再根据点到直线的距离，即可求出三角形的面积，根据函数的单调性即可判断【解答】解：根据题意，函数 f1（x ）xe x，其导数 f1（x ）（x）e x+x（e x
23、）（x+1）e x，分析可得在（，1）上，f 1（x ）0，f 1（x）为减函数，在（1，+）上，f 1（x ）0，f 1（x）为增函数，曲线 yf 1（x）的最低点 P1， （1， ） ，对于函数 f2（x ）f 1（x ）（ x+1）e x，其导数 f2（x ）（x+1）e x+（x +1） （e x）（x +2）e x，分析可得在（，2）上，f 1（x ）0，f 1（x）为减函数，在（2，+）上，f 1（x ）0，f 1（x）为增函数，曲线 yf 1（x）的最低点 P1， （2， ） ，分析可得曲线 yf n（x）的最低点 Pn，其坐标为（n， ） ；则 Pn+1（n 1， ） ，P n
24、+2（n2， ） ；第 14 页（共 24 页）|P nPn+1| ，直线 PnPn+1 的方程为 ，即为（e1）x+e n+1y+en0，故点 Pn+2 到直线 PnPn+1 的距离 d ，S n |PnPn+1|d ，设 g（n） ，易知函数 g（n）为单调递减函数，故S n是递减数列，故选：D【点评】本题考查导数的应用，涉及三角形面积直线的求法，点到直线的距离公式，函数的单调性，关键是求出最低点为 Pn 的坐标，属于难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分） （1+x） （1x ） 6 的展开式中，x 3 的系数是 5 （用数字作答）【分析】根据（1
25、x） 6 展开式的通项公式，求得（1+x） （1x ） 6 展开式中 x3 的系数【解答】解：（1x） 6 展开式的通项公式为 Tr+1 （x） r，（1+x） （1x ） 6 的展开式中，x 3 的系数是（1） 3+ （1） 220+155故答案为：5【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题14 （5 分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 乙 【分析】分别假设申请了北京大学的自主招生
26、考试的同学是甲、乙、丙，根据这三位同第 15 页（共 24 页）学中只有一人说的是假话，能判断与申请了北京大学的自主招生考试的同学【解答】解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，则甲、乙、丙三人说的都是真话，不满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙故答案为：乙【点评】本题考查申请了北京大学的自主招生考试的同学的判断，考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化思想，是基础题15 （5
27、分）设函数 ，则满足 f（x）+f（x1）2 的 x 的取值范围是 （，2） 【分析】根据分段函数的表达式，对变量 x 进行分类讨论，然后解不等式即可【解答】解：当 x0 时，f（x）f（x ） x （x1） x（x+1） ，若 x0，则 x11，由 f（x）+f（x 1）2 得 x（x+1）（x1）x2，即2x 22，即 x21，此时恒成立，此时 x0若 x1，则 x10，由 f（x）+f（x 1）2 得 x（x1）+（x1） （x2）2，即 x22x0，即 0x 2，此时 1x2，若 0 x1，则 x10，则由 f（x）+f（x 1）2 得 x（x1）（x1）x2，即 02，此时不等式恒成
28、立，此时 0x1，综上 x2，即不等式的解集为（，2） ，故答案为：（，2）【点评】本题主要考查不等式的求解，利用分段函数的解析式分别对变量进行讨论是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度第 16 页（共 24 页）16 （5 分）已知菱形 ABCD 的边长为 2，DAB60，P 是线段 BD 上一点，则的最小值是 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出 P、A、C 和 D 点的坐标，写出 ，求出它的最小值即可【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，菱形 ABCD 的边长为 2，DAB60，可设 P（0，b） ，且1b1；A（ ，0） ，C（ ，0 ） ，D（0，
29、1） ， （ ，b） ， （ ，b） ， （0，1b） ， + （ ，12b） ， 3b（12b）3b+2b 22 ，当且仅当 b 时， 取得最小值 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，建立适当的坐标系是解题的关键三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）设数列a n满足 a1+2a2+4a3+2n1 ann（）求数列a n的通项公式；（）求数列a n+log2an的前 n 项和【分析】 （）直接利用递推关系式求出数列的通项公式（）利用数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解答】解：（）数列a n满足第 1
30、7 页（共 24 页）当 n2 时， （2 分）当 n2 时，2 n1 an1，即 （4 分）当 n1 时，a n1 满足上式数列a n的通项公式 （6 分）（）由（）知， （7 分）（a 1+log2a1） +（a 2+log2a2）+（a 3+log2a3）+ +（a n+log2an）， （9 分） （12 分）【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列求和中的应用18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC+csinB0（）求 C；（）若 ，点 D 在边 AB 上，CDBD ，求 CD 的长【分析】 （）直接利用正弦
31、定理对函数的关系式进行变换，进一步求出 C 的值（）利用 C 的值和余弦定理，进一步求出结果【解答】解：（）bcosC+csinB 0由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB 0，0BsinB0，于是 cosC+sinC0，即 tanC1，0C ，（）由（）和余弦定理知，第 18 页（共 24 页）c5， ，在BCD 中，CDBD ， 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用19 （12 分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在100，12
32、0）内，则为合格品，否则为不合格品表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样本的频率分布直方图表 1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值 95，100） 100， 105）105， 110）110， 115）115， 120）120，125频数 1 4 19 20 5 1图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图（）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套设备 合计合格品不合格品合计（）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较；（）将频率视为概率若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取
33、 3 件产品，记抽到的不合格品的个数为 X，求 X 的期望 E（X） 附：第 19 页（共 24 页）P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】 （）根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（）根据表 1 和图 1 分析数据特征与离散程度，即可得出结论；（）由题知 XB（3， ） ，求出数学期望即可【解答】解：（）根据表 1 和图 1 得到列联表：甲套设备 乙套设备 合计合格品 48 43 91不合格品 2 7 9合计 50 50 100（3 分）将列联表中的数据代入公式计算得
34、；（5 分）3.0532.706，有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；（6 分）（）根据表 1 和图 1 可知，甲套设备生产的合格品的概率约为 ，乙套设备生产的合格品的概率约为 ，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备；（9 分）第 20 页（共 24 页）（）由题知，不合格品的概率为 P ，且 XB（3， ） ，（11 分）X 的数学期望为 （12 分）【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识应用
35、问题，也考查了对数据处理能力的应用问题20 （12 分）已知函数 f（x ）asinx+bcosx（a，bR） ，曲线 yf（x）在点处的切线方程为： （）求 a，b 的值；（）设 kR，求函数 在 上的最大值【分析】 （）由切线的方程可得切点和切线的斜率，求出 f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程即可得到所求值；（）化简 g（x） ，可得 g（x）kxsin x，求出导数，对 k 讨论，结合函数的单调性和函数零点存在定理，即可得到所求最大值【解答】解：（）由切线方程知，当 时，y0， ，f'（x）acosx bsinx，由切线方程知， ， ；（）由（）知， ，g（x）kxsinx，
36、g' （x）kcosx， 当 k0 时，当 时，g'（x）0，故 g（x）单调递减，g（x）在 上的最大值为 g（0）0；当 0 k1 时，g'（0）k10， ，存在 ，使 g'（x 0）0，第 21 页（共 24 页）当 x0，x 0）时，g'（x ）0 ，故 g（x）单调递减，当 时，g'（x）0，故 g（x）单调递增g（x）在 上的最大值为 g（0）或 ，又 g（0）0， ，当 时，g（x）在 上的最大值为 g（0）0，当 时，g（x）在 上的最大值为 ， 当 k1 时，当 时，g'（x）0，故 g（x）单调递增，g（x）在 上的最
37、大值为 综上所述，当 时，g（x）在 上的最大值为 g（0）0当 时，g（x）在 上的最大值为 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查方程思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）e x2，其中 e2.71828是自然对数的底数（）证明：当 x0 时，f（x）x1lnx；（）设 m 为整数，函数 g（ x）f（x）lnx m 有两个零点，求 m 的最小值【分析】 （）设 h（x）e xx1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；（）通过讨论 m0 不合题意，令 m1，结合函数的单调性得到 m1 时符合题意，从而求出
38、m 的最小值即可【解答】解：（）证明：设 h（x）e xx1，则 h'（x）e x1，令 h'（x ）0，得 x0，当 x（， 0）时，h'（x）0，h（x）单调递减，当 x（0，+）时，h'（x ）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）0，当且仅当 x0 时取等号，对任意 xR，e xx +1（2 分）当 x0 时，f（x）x1当 x1 时，x ln（x+1）当 x0 时，f（x）x1lnx（4 分）第 22 页（共 24 页）（）函数 g（x）的定义域为（0，+）当 m0 时，由（）知，g （x）e xlnx2m m0，故 g（x）无零点（6 分）当 m1
39、时，g（x）e xlnx3，g'（1）e10， ，且 g'（x）为（0，+）上的增函数g'（x ）有唯一的零点当 x（0，x 0）时，g'（x）0，g（x）单调递减当 x（x 0，+）时，g' （x）0，g（x）单调递增g（x）的最小值为 （8 分）由 x0 为 g'（x ）的零点知， ，于是g（x）的最小值由 知， ，即 g（x 0）0（10 分）又 g（2）e 2+ln230，g（x）在 上有一个零点，在（x 0，2）上有一个零点g（x）有两个零点（11 分）综上所述，m 的最小值为 1（12 分）【点评】本题考查了不等式的证明，考查函数的零
40、点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题选修 4-4：极坐标与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；第 23 页（共 24 页）（）已知直线 l 上一点 M 的极坐标为（2，） ，其中 射线 OM 与曲线 C 交于不同于极点的点 N，求|MN|的值【分析】 （）直接把极坐标方程和参数方程与直角坐标方程进行转化（）利用方程组求出结果【解答】解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线的普通
41、方程为 ，极坐标方程为 曲线 C 的普通方程为 ，极坐标方程为 （5 分）（）点 M 在直线 l 上，且点 M 的极坐标为（2，） ， ，射线 OM 的极坐标方程为 联立 ，解得 3|MN | |N M|1【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，极坐标方程的应用选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|3x 1|+|x2|的最小值为 m（）求 m 的值；（）设实数 a，b 满足 2a2+b2m，证明：2a+b 【分析】 （）取得绝对值符号，推出函数的解析式，判断函数的单调性，即可求最小值 m 的值；第 24 页（共 24 页）（）由（）知 2a2+b2 ，再由（2a+b） 23（2a 2+b2） ，即可得证 2a+b 【解答】解：（）f（x ）|3x1|+| x2| ，f（x）在 ）上单调递增，在（ ）上单调递减f（x）的最小值为 f（ ） （5 分）（）由（）知，2a 2+b2 ，2aba 2+b2，（2a+b） 24a 2+b2+4ab 4a2+b2+2（a 2+b2）3（2a 2+b2）5，当 ab 时取等2a+b （10 分）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查证明不等式，属于中档题