1、2019 年四川省华文大教育联盟高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设全集 UR，集合 ，则 UA（ ）A0，+ ） B （，0 C （0，+） D （，0）2 （5 分）若 a 以为实数，则复数 z（a+i） （1+ai）在复平面内对应的点在（ ）A实轴上 B虚轴上 C第一象限 D第二象限3 （5 分）国家统计局统计了我国近 10 年（2009 年 2018 年）的 GDP（GDP 是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标）增速
2、的情况，并绘制了下面的折线统计图根据该折线统计图，下面说法错误的是（ ）A这 10 年中有 3 年的 GDP 增速在 9.00%以上B从 2010 年开始 GDP 的增速逐年下滑C这 10 年 GDP 仍保持 6.5%以上的中高速增长D2013 年2018 年 GDP 的增速相对于 2009 年2012 年，波动性较小4 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则B（ ）A45 B45或 135 C30 D30或 1505 （5 分）函数 的大致图象是（ ）第 2 页（共 25 页）A BC D6 （5 分）2013 年华
3、人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ）A B C D7 （5 分）执行如图的程序框图，若输入 a1，则输出的 S（ ）A1 B1 C3 D28 （5 分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ，过点 F2 作 x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 P，线段PF2 的中点 M 到原点的距离为
4、，则此双曲线的渐近线方程为（ ）Ay2x B Cy4x D9 （5 分）如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC2，且异面直线 BD1 与 AA1 所第 3 页（共 25 页）成角的余弦值为 ，则该长方体外接球体积为（ ）A24 B C D810 （5 分）已知函数 ，若 x1x 2，且 f（x 1）f（x 2） ，则当 x1x20 时，| x1x 2|的取值范围是（ ）A （0， ） B C D11 （5 分）若定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（2x）f（x） ，且当 x1 时，则满足 f（a1）f （a）的 a 的取值范围是（
5、 ）A （2，+） B C （3，+） D12 （5 分）如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ，P 是椭圆 C 上一点，O 为坐标原点，若F 1PF260，且 ，则椭圆 C 的离心率是（ ）A B C D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 ， 满足 ，则向量 的夹角的大小为 14 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 的最大值为 第 4 页（共 25 页）15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 0 2，点 是角 终边上一
6、点，则 的值是 16 （5 分）如图，已知圆锥的顶点为 S，底面圆 O 的两条直径分别为 AB 和 CD，且AB CD，若平面 SAD平面 SBCl 现有以下四个结论：AD平面 SBC；lAD；若 E 是底面圆周上的动点，则SAE 的最大面积等于SAB 的面积；l 与平面 SCD 所成的角为 45其中正确结论的序号是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在等比数列a
7、n中，公比 q0，其前 n 项和为 Sn，且 S23，S 415（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bnlog 2an+1，若数列b n的前 n 项和为 Tn，则 是否成等比数列？并说明理由18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB侧面 BCC1B1，ACAB 1（1）求证：平面 ABC1平面 AB1C；（2）若 ABBC 2，BCC 160，求二面角 BAC 1B 1 的余弦值19 （12 分）在某公司举行的一次真假游戏的有奖竞猜中，设置了“科技”和“生活”这第 5 页（共 25 页）两类试题，规定每位职工最多竞猜 3 次，每次竞猜的结果相互独立猜中一道“科技”类试
8、题得 4 分，猜中一道“生活”类试题得 2 分，两类试题猜不中的都得 0 分将职工得分逐次累加并用 X 表示，如果 X 的值不低于 4 分就认为通过游戏的竞猜，立即停止竞猜，否则继续竞猜，直到竞猜完 3 次为止竞猜的方案有以下两种：方案 1：先猜一道“科技”类试题，然后再连猜两道“生活”类试题；方案 2：连猜三道“生活”类试题设职工甲猜中一道“科技”类试题的概率为 0.5，猜中一道“生活”类试题的概率为0.6（1）你认为职工甲选择哪种方案通过竞猜的可能性大？并说明理由（2）职工甲选择哪一种方案所得平均分高？并说明理由20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y 2 2px（p
9、0）的准线为 l，其焦点为 F，点 B 是抛物线 C 上横坐标为 的一点，若点 B 到 l 的距离等于| BO|（1）求抛物线 C 的方程，（2）设 A 是抛物线 C 上异于顶点的一点，直线 AO 交直线 l 于点 M，抛物线 C 在点 A处的切线 m 交直线 l 于点 N，求证：以点 N 为圆心，以|MN|为半径的圆经过 x 轴上的两个定点21 （12 分）已知函数 （1）求证： ；（2）用 maxp，q表示 p，q 中的最大值，记 h（x）max f（x ） ，g（x），讨论函数h（x）零点的个数（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计
10、分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C 和直线 l 的普通方程，（2）设 M（1，0） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，若|AM| 2|MB|，求直线 l 的斜率选修 4-5：不等式选讲第 6 页（共 25 页）23已知函数 f（x ）|2x +1|+|2x1| ，且不等式 f（x）4 的解集为 M（1）求 M；（2）若 xM， yM，求证： 第 7 页（共 25 页）2019 年四川省华文大教育联盟高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、
11、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设全集 UR，集合 ，则 UA（ ）A0，+ ） B （，0 C （0，+） D （，0）【分析】求出集合 A 中函数的值域，然后求出集合 A 在 U 上的补集即可【解答】解：设全集 UR，集合 0 ，+ ） ，则 UA（，0） ，故选：D【点评】本题考查学生理解补集的定义，会进行补集的运算，是一道基础题2 （5 分）若 a 以为实数，则复数 z（a+i） （1+ai）在复平面内对应的点在（ ）A实轴上 B虚轴上 C第一象限 D第二象限【分析】直接利用
12、复数代数形式的乘除运算得答案【解答】解：z（a+ i） （1+ai）（a 2+1）i ，复数 z（a+ i） （1+ai）在复平面内对应的点的坐标为（0，a 2+1） ，在虚轴上故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）国家统计局统计了我国近 10 年（2009 年 2018 年）的 GDP（GDP 是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标）增速的情况，并绘制了下面的折线统计图第 8 页（共 25 页）根据该折线统计图，下面说法错误的是（ ）A这 10 年中有 3 年的 GDP 增速在 9.
13、00%以上B从 2010 年开始 GDP 的增速逐年下滑C这 10 年 GDP 仍保持 6.5%以上的中高速增长D2013 年2018 年 GDP 的增速相对于 2009 年2012 年，波动性较小【分析】根据折现统计图即可判断各选项【解答】解：由图可知，这 10 年中有 3 年的 GDP 增速在 9.00%以上，故 A 正确，由图可知，从 2010 年开始 GDP 的增速逐年下滑，故 B 错误，由图可知，这 10 年 GDP 仍保持 6.5%以上的中高速增长，故 C 正确，由图可知 2013 年2018 年 GDP 的增速相对于 2009 年 2012 年，波动性较小，故 D正确，故选：B【
14、点评】本题考查了统计图识别和应用，关键是认清图形，属于基础题4 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则B（ ）A45 B45或 135 C30 D30或 150【分析】由已知可得 b ，由正弦定理可得 sinB 的值，根据大边对大角可求 B 为锐角，利用特殊角的三角函数值可求 B 的值【解答】解：在ABC 中， ，可得：b ，第 9 页（共 25 页）由正弦定理 ，可得：sinB ，bc，B 为锐角，B45故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题5 （5
15、 分）函数 的大致图象是（ ）A BC D【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，以及极限思想进行判断即可【解答】解：f（x ）f（x） ，即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 B，当 x0 时，f（ x）0，排除 D，当 x+，f（x）+0 ，排除 C，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键6 （5 分）2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是素数，素数对（p，p+2）称为
16、孪生素数在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ）第 10 页（共 25 页）A B C D【分析】求出满足椭圆的所有素数，找出孪生素数的个数，即可求解概率【解答】解：在不超过 30 的素数中所有的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29；共 10 个在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的个数 4 个，即（3，5） （5，7） ， （11，13） ， （17，19） ，在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是： ，故选：D【点评】本题考查古典概型概率的求法，
17、正确求解素数是解题的关键7 （5 分）执行如图的程序框图，若输入 a1，则输出的 S（ ）A1 B1 C3 D2【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，k 值，当 k0 时，程序终止即可得到结论【解答】解：执行程序框图，可得：a1，S0，k4满足判断框内的条件，执行循环体，S4，a1，k3满足判断框内的条件，执行循环体，S1，a1，k2满足判断框内的条件，执行循环体，S3，a1，k1满足判断框内的条件，执行循环体，S2，a1，k0第 11 页（共 25 页）此时，不满足判断框内的条件，退出循环输出 S 的值为2故选：D【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考
18、查，比较基础8 （5 分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ，过点 F2 作 x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 P，线段PF2 的中点 M 到原点的距离为 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ）Ay2x B Cy4x D【分析】设出渐近线方程，求得 P 的坐标，由中点坐标公式可得 M 的坐标，由两点的距离公式可得 a，b 的关系，进而得到渐近线方程【解答】解：过点 F2 作 x 轴的垂线，与双曲线的渐近线 y x 在第一象限的交点为P，可得 P（c， ） ，线段 PF2 的中点 M 为（c， ） ，由中点 M 到原点的距离为 ，可得 c2
19、+ 2c 2，即有 b2a，可得双曲线的渐近线方程为 y2x故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题9 （5 分）如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC2，且异面直线 BD1 与 AA1 所成角的余弦值为 ，则该长方体外接球体积为（ ）A24 B C D8【分析】利用所给余弦值及长宽求得高，进而得到体对角线长，即外接球的直径，得解第 12 页（共 25 页）【解答】解：异面直线 BD1 与 AA1 所成角的余弦值为 ，cosDD 1B ，ABBC2，BD2 ，在BDD 1 中，求得 DD14，长方体的体对角线
20、长为 2 ，即为外接球的直径，故外接球的体积为： ，故选：B【点评】此题考查了长方体外接球问题，难度不大10 （5 分）已知函数 ，若 x1x 2，且 f（x 1）f（x 2） ，则当 x1x20 时，| x1x 2|的取值范围是（ ）A （0， ） B C D【分析】由三角函数图象的作法及三角函数图象的性质得：函数 yf（x）的图象关于直线 x 对称，则 x1+x2 ，不妨设 x1x 2，则 x1 x 2，又当 x1x20时，0x 2 ，|x 1x 2| x2（ ）2x 2 （ ，得解【解答】解：由题意有：函数 的图象关于直线 x对称，则 x1+x2 ，不妨设 x1 x2，则
21、x1 x 2，又当 x1x20 时，0x 2 ，|x1 x2|x 2（ ） 2x2 （ ，即|x 1x 2|的取值范围是：（ ，故选：D第 13 页（共 25 页）【点评】本题考查了三角函数图象的性质及三角函数图象的作法，属中档题11 （5 分）若定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（2x）f（x） ，且当 x1 时，则满足 f（a1）f （a）的 a 的取值范围是（ ）A （2，+） B C （3，+） D【分析】定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（2x）f（x） ，可得函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称当 x1 时， ，可得 f（x） 0，函数 f（x）在（，1）上
22、单调递增因此函数 f（x ）在（1，+）上单调递减根据满足f（a1）f（a） ，可得：a11，或 1a11（a 1） ，即可得出【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（2x）f（x） ，可得函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称当 x1 时， ，则 f（x） 0，函数 f（x）在（，1）上单调递增因此函数 f（x）在（ 1，+）上单调递减由满足 f（a1）f（a） ，可得：a11，或 1a1 1（a1） ，解得 a2，或 2因此 a 的取值范围是（ ，+） 故选：D第 14 页（共 25 页）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、
23、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题12 （5 分）如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ，P 是椭圆 C 上一点，O 为坐标原点，若F 1PF260，且 ，则椭圆 C 的离心率是（ ）A B C D【分析】通过余弦定理以及双曲线的定义，列出方程然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：由题意可得 POF1，得 POF2，4c2PF 12+PF222PF 1PF2cos60+代入 可得：PF 1PF2 a22c 2，由PF1+PF22a，PF 12+PF22+2PF1PF24a 2，整理可得：2c 2+ a2+2（ a22c 2）4a 2；可
24、得 c2 a2；解得 ，e ，第 15 页（共 25 页）可得 e 故选：C【点评】本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 ， 满足 ，则向量 的夹角的大小为 30 【分析】利用向量的数量积以及已知条件，转化求解即可【解答】解：向量 ， 满足 ，可得 1，可得 ，可得 cos ，则向量 的夹角的大小为：30故答案为：30【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力14 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 的最大值为 3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几
25、何意义进行求解即可【解答】解：作出实数 x，y 满足不等式组 对应的平面区域如图：设 zx y，得 yxz 表示，斜率为 1 纵截距为z 的一组平行直线，平移直线 yxz，当直线 yxz 经过点 B 时，直线 yxz 的截距最小，此时 z 最大，解得 B（ ， ）此时 zmax + 3第 16 页（共 25 页）故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用 z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 0 2，点 是角 终边上一点，则 的值是 【分析】根据三角函数的定义，计算 tan的值
26、，再根据 的取值范围求得 的值【解答】解：由 1tan 0，1+tan 0， 为第一象限角，又 02 ，且 tan tan（ + ）tan ，则 的值是 故答案为： 【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题16 （5 分）如图，已知圆锥的顶点为 S，底面圆 O 的两条直径分别为 AB 和 CD，且AB CD，若平面 SAD平面 SBCl 现有以下四个结论：AD平面 SBC；lAD；若 E 是底面圆周上的动点，则SAE 的最大面积等于SAB 的面积；l 与平面 SCD 所成的角为 45第 17 页（共 25 页）其中正确结论的序号是 【分析】利用直线与平面的性质判断直线与
27、平面平行，直线与直线的平行，三角形的面积的最值的求法，直线与平面所成角判断选项的正误即可【解答】解：已知圆锥的顶点为 S，底面圆 O 的两条直径分别为 AB 和 CD，且ABCD，若平面 SAD平面 SBCl ，所以 ABCD 是正方形所以 ADBC，BC 平面 SBC，所以 AD平面 SBC；正确；因为 l，AD 平面 SAD，l，BC 平面 SBC，AD平面 SBC，所以 lAD；正确；若 E 是底面圆周上的动点，当ASB90时，则SAE 的最大面积等于SAB 的面积；当ASB90时，SAE 的最大面积等于两条母线的夹角为 90的截面三角形的面积，所以不正确；因为 lAD，l 与平面 SC
28、D 所成的角就是 AD 与平面所成角，就是ADB45所以正确；故答案为：【点评】本题考查直线与平面的位置关系的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在等比数列a n中，公比 q0，其前 n 项和为 Sn，且 S23，S 415第 18 页（共 25 页）（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bnlog 2an+1，若数列b n的前 n 项和为 Tn，则 是否成等比数列？并说明理由【分析】 （1）
29、由 q0，S 23，S 415可得q1， 3， 15，解得 a1，q即可得出 an（2）b nlog 2an+1n，数列b n的前 n 项和为 Tn 假设 是成等比数列，代入即可证明【解答】解：（1）由 q0，S 23，S 415可得 q1， 3，15，解得 a11，q2可得 an2 n1 （2）b nlog 2an+1n，数列b n的前 n 项和为 Tn 假设 是成等比数列，则 n 2（n+1） 2，此等式恒成立，因此假设成立即 是成等比数列【点评】本题考查了等差数列以及等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1
30、C1 中，AB侧面 BCC1B1，ACAB 1（1）求证：平面 ABC1平面 AB1C；（2）若 ABBC 2，BCC 160，求二面角 BAC 1B 1 的余弦值第 19 页（共 25 页）【分析】 （1）设 BC1B 1CG ，连结 AG，推导出 ABB 1C，从而 B1C平面 ABC1，由此能证明平面 ABC1平面 AB1C（2）以 G 为坐标原点，GC 1 为 x 轴，GB 1 为 y 轴，过 G 作平面 BCC1B1 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 BAC 1B 1 的余弦值【解答】证明：（1）如图，设 BC1B 1CG ，连结 AG，三棱柱的侧面 BC
31、C1B1 是平行四边形， G 是 B1C 的中点，ACAB 1，AB 1C 是等腰三角形，B 1CAG，AB侧面 BCC1B1，且 B1C平面 BCC1B1，ABB 1C，又ABAG A，B 1C平面 ABC1，又B 1C平面 AB1C，平面 ABC1平面 AB1C（2）由（1）知 B1C平面 ABC1，B 1CBC 1，以 G 为坐标原点，GC 1 为 x 轴， GB1 为 y 轴，过 G 作平面 BCC1B1 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，由 B1CBC 1，得到四边形 BCC1B1 是菱形，ABBC2， BCC 160，GBGC 11，GCB 1G ，则 G（0，0，0） ，C
32、1（1，0，0） ，B 1（0， ，0） ，A（1，0，2） ， （2，0，2） ， （1， ，0） ，设平面 AB1C1 的法向量 （x，y，z） ，由 ，取 x1，得 （1， ，1） ，由（1）知 （0， ，0）是平面 ABC1 的法向量，设二面角 BAC 1B 1 的平面角为 ，则 cos ，二面角 BAC 1B 1 的余弦值为 第 20 页（共 25 页）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查利用向量求二面角的平面角等基础知识，还考查了空间向量的坐标运算，考查运算求解能力及方程思想，属于中档题19 （12 分）在某公司举行的一次真假游戏的有奖竞猜中，设置了“科技”和“生活”这两类试题，规
33、定每位职工最多竞猜 3 次，每次竞猜的结果相互独立猜中一道“科技”类试题得 4 分，猜中一道“生活”类试题得 2 分，两类试题猜不中的都得 0 分将职工得分逐次累加并用 X 表示，如果 X 的值不低于 4 分就认为通过游戏的竞猜，立即停止竞猜，否则继续竞猜，直到竞猜完 3 次为止竞猜的方案有以下两种：方案 1：先猜一道“科技”类试题，然后再连猜两道“生活”类试题；方案 2：连猜三道“生活”类试题设职工甲猜中一道“科技”类试题的概率为 0.5，猜中一道“生活”类试题的概率为0.6（1）你认为职工甲选择哪种方案通过竞猜的可能性大？并说明理由（2）职工甲选择哪一种方案所得平均分高？并说明理由【分析】
34、 （1）利用相互独立事件的概率公式计算概率比较可得；（2）计算两种方案下的期望比较可得【解答】解：猜中一道“科技“类试题记作事件 A，猜错一道”科技“类试题记作事件；猜中一道”生活“类试题记作事件 B，猜错一道”生活“类试题记作 ，则 P（A）0.5，P （ ）0.5，P（B）0.6，P （ ）0.4（1）若职工甲选择方案 1，通过竞猜的概率为：P（X4）P（A）+P（ BB）0.5+0.50.60.60.68；若职工甲选择方案 2，通过竞猜的概率为：P（X4）P（BB）+P（ BB）+P（B B）0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.60.648因为 0.680.648，所以职工
35、甲选择方案 1，通过竞猜的可能性大（2）职工甲选择方案 1，所得平均分高，理由如下：若职工甲选择方案 1，X 的可能取值为 0，2，4，则 P（X0）P （ ）P（ ）P（ ）P （ ）0.50.40.40.08；第 21 页（共 25 页）P（X2）P（ B ）+ P（ B）P（ ）P （B）P（ ）+P（ ）P（ ）P（B）0.50.60.40.24；P（X4）0.68，数学期望 E（X）00.08+20.24+40.683.2若职工甲选择方案 2，X 的可能取值为 0，2，4，则 P（X0） 0.430.064，P（X2） 0.60.420.288，P（X4）0.648，数学期望 E（X
36、）00.064+20.288+40.6483.168，因为 3.23.168，所以职工甲选择方案 1 所得平均分高【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y 2 2px（p0）的准线为 l，其焦点为 F，点 B 是抛物线 C 上横坐标为 的一点，若点 B 到 l 的距离等于| BO|（1）求抛物线 C 的方程，（2）设 A 是抛物线 C 上异于顶点的一点，直线 AO 交直线 l 于点 M，抛物线 C 在点 A处的切线 m 交直线 l 于点 N，求证：以点 N 为圆心，以|MN|为半径的圆经过 x 轴上的两个定点【分析】
37、（1）根据题意可得线段 OF 的中点的横坐标为 ，即可求出 p 的值，（2）设切线 m 的方程为 ykx+b，由 ，根据判别式可求出 b 与 k 的关系，即可求出点 A 的坐标，可得直线 OA 的方程，即可求出点 N，M 的坐标，即可求出【解答】解：（1）由题意得|BF |BO|，则BOF 为等腰三角形，点 B 的横坐标为 ，线段 OF 的中点的横坐标为 ，从而点 F 的横坐标为 1，即 1，即 p2，故抛物线 C 的方程为 y24x证明：（2）设切线 m 的方程为 ykx+b，第 22 页（共 25 页）由 ，得 k2x2+2（kb2）x+b 20， （*）由题意可得4（kb2） 24k 2
38、b20，即 b ，故方程（*）的根为 x ，从而 A（ ， ） ，直线 OA 的方程为 y2kx，由 ，可得 N（1， k ） ，由 ，可得 M（1， 2k） ，故点 N 为圆心，以| MN|为半径的圆的方程为（x+1） 2+（y +k） 2（k+ ） 2，令 y0，可得（x +1） 2+（ k） 2（k + ）2，解得 x1 或 x3，故圆 N 经过 x 轴上的两个顶点（1，0）和（3，0）【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 （1）求证： ；（2）用 maxp，q表示 p，q 中的最大值，记 h（x）ma
39、x f（x ） ，g（x），讨论函数h（x）零点的个数【分析】 （1）作差构造函数，用导数方法证明最小值大于等于 0；（2）利用分类讨论思想和导数方法以及零点存在性定理可得【解答】解：（1）证明：设 （x ）f（x） （ 1） 2+alnx+ 1，定义域为（0，+） ，则 （x） ，当 0x1 时，（x）0；当 x1 时， （x）0，故 （x）在（0，1）内是递减函数，在（1，+）内递增函数，所以 x1 是 （x ）的极小值点，也是 （x）的最小值点，所以 （x ）（x） min （1）0，所以 f（x） （ 1） 2+a第 23 页（共 25 页）（2）函数 f（x ）的定义域为（0，+）
40、，f（x） ，当 0x1 时，f（x）0；当 x1 时，f （x）0，所以 f（x）在（ 0，1）内是递减函数，在（1，+）内是递增函数，所以 x1 是 f（ x）的极小值点，也是 f（x ）的最小值点，即 f（x） minf （1）a，若 a0，则 f（x ）g（x） + ，当 0x1 时，f（x）g（x） ；当 x1 时，f （x）g（x） ；当 x1 时，f（x）g（x） ，所以 h（x） ，于是 h（x）只有一个零点 x1当 a0 时，则当 0x1 时，f （x）g（x） ，此时 h（x）f（x）a0；当 x1 时，f（x）a0， g（x）0，此时 h（x）0所以 h（x）没有零点当
41、a0 时，则当 0x1 时，根据（1）知：f （x） （ 1） 2+a，而 01，所以 f（ ） （2 +11） 2+a0，又因为 f（x） minf（1）a0，所以 f（x）在（0，1）上有一个零点 x0，从而一定存在 c（x 0，1） ，使得 f（c ）g（c） ，即 + +a0，所以 a+ ，当 xc 时，g（x ）f（x ） + 1 + + （ +2）0，所以 g（x）f（x） ，从而 h（x） ，于是 h（x）有两个零点 x0 和 1当 a0 时，h（x ）有两个零点综上：当 a0 时，h（x）有一个零点；当 a0 时，h（x）没有零点；当 a0 时，h（x）有两个零点【点评】本题考
42、查了利用导数研究函数的最值，属难题第 24 页（共 25 页）（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C 和直线 l 的普通方程，（2）设 M（1，0） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，若|AM| 2|MB|，求直线 l 的斜率【分析】 （1）根据平方关系式消去参数 可得曲线 C 的普通方程为： + 1，消去参数 t 得直线 l 的普通方程为：xsin yc
43、ossin 0（2）根据参数的几何意义以及由|AM |2|MB| ，得 t1 2t2，可得【解答】解：（1）根据平方关系式消去参数 可得曲线 C 的普通方程为：+ 1，消去参数 t 得直线 l 的普通方程为：xsin ycossin 0（2）显然 M（1，0）在直线 l 上，将直线 l 的参数方程代入 + 1，整理得（3+sin 2）t 2+6tcos90，设 A，B 对应的参数为 t1，t 2，则 t1+t2 ，t 1t2 ，由|AM |2|MB|，得 t12t 2，代入上式，得 ，消去 t2，解得 tan ，所以直线 l 的斜率为 或 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修
44、4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1|+|2x1| ，且不等式 f（x）4 的解集为 M（1）求 M；第 25 页（共 25 页）（2）若 xM， yM，求证： 【分析】 （1）去绝对值，即可求得等式 f（x ）4 的解集为 M（2）当 a、bM 时，可得 则 0|x |1，0|y |1，利用放缩法即可证明【解答】解：（1）函数 f（x）|2x+1|+|2x1| ，且不等式 f（x）4，则|2x+1|+|2x1| 4，则 ，或 或 ，解得1x 或 x ，或 x x1，即不等式 f（x） 4 的解集为 M 是1，1证明（2）由题意可得 x1，1，y 1，1，则 0|x| 1，0|y|1，不妨设|x| |y|，则 + + 1【点评】本题主要考查绝对值的不等式的解法，用放缩法证明不等式，属于中档题