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2018年四川省乐山市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

1、2018 年四川省乐山市高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1 (5 分)设全集 Ux |xN*,x6,集合 M1,3,N 3 ,5,则 U(MN)(  )A1 ,4 B1 ,5 C2 ,5 D2 ,42 (5 分)设复数 z 满足 z(1+i)i (i 为虚数单位) ,则|z| (  )A B C1 D3 (5 分)已知命题 p:对任意 xR,总有 x20,q:x 1 是不等式 x0 的解,则下列命题为真命题的是(  )Ap(q) B (p)q C (p)(q

2、) Dpq4 (5 分)在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 P,则满足APB90的概率为(  )A B1 C D15 (5 分)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是(  )A B C D86 (5 分)我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升问,米几何?”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 S1.5(单位:升) ,则输入 k 的值为(  )第 2 页(共 24 页)A4.5 B6 C7.5 D97 (5 分)已知函数

3、f(x )Asin(x+)+b 的一部分图象如图所示,如果A0, 0, | ,则(  )AA4 Bb4 C 1 D 8 (5 分)已知函数 f(x ) ,则不等式 f(x+2)f (x 2+2x)的解集是(  )A (2,1) B (0,1)C (,2)(1,+ ) D (1,+ )9 (5 分)已知抛物线 C:y 22px(p0)的焦点为 F,点 M(x 0,2 )是抛物线 C 上一点,以 M 为圆心,|MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为 2 ,则等 p 于(  )A2 B3 C4 D510 (5 分)已知数列a n中,前 n 项和为 Sn,且 an ,则

4、的最大值为(  )第 3 页(共 24 页)A3 B1 C3 D111 (5 分)已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 2 ,则这个四棱锥的外接球的体积为(  )A B C16 D3212 (5 分)已知函数 yxe x+x2+2x+a 恰有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为(  )A (, +1 B (, +1) C ( +1,+) D ( ,+)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上。13 (5 分)已知某商场新进 3000 袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从中抽取 150 袋检查,若第一组

5、抽出的号码是 11,则第六十一组抽出的号码为     14 (5 分)已知向量 (2,3) , (4,m ) ,若( )( ) ,则实数 m      15 (5 分)已知双曲线 C: 的右焦点为 F2,点 A(2,1)是双曲线C 上的一点,点 B 与点 A 关于原点对称,若 AF 2B , ,则双曲线C 的标准方程为     16 (5 分)在首项都为 2 的数列a n,b n中,a 2b 24,2a n+1a n+an+2,b n+1b n2 n,b n+2b n32 n1,且 bnZ,则数列 的前 n 项和为 &nbs

6、p;   三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知asin2BbsinA(1)求 B;(2)若 b3 ,ABC 的面积为 ,求ABC 的周长18 (12 分)某单位 N 名员工参加 “社区低碳你我他”活动他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间按年龄分组:第 1 组25,30) ,第 2 组30 ,35 ) ,第 3 组35,40) ,第 4 组40,45 ) ,第 5 组45,50 ,得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布第 4 页(共 24 页

7、)表区间 25,30) 30,35) 35,40) 40,45 ) 45,50人数 25 a b(1)求正整数 a,b,N 的值;(2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第1,2,3 组的人数分别是多少?(3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,PA AB2,E 为 PA 的中点, BAD60()求证:PC平面 EBD;()求三棱锥 PEDC 的体积20 (12 分)如图所示,在直角坐标系 xOy

8、 中,点 P(1, )到抛物线C:y 2 2px(p0)的准线的距离为 ,点 M(t ,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 的中点 Q(m ,n)在直线 OM 上(1)求曲线 C 的方程及 t 的值;第 5 页(共 24 页)(2)记 d ,求 d 的最大值21 (12 分)已知 f(x ) (1)求 f(x)的单调区间;(2)令 g(x)ax 22lnx,则 g(x)1 时有两个不同的根,求 a 的取值范围;(3)存在 x1,x 2(1,+)且 x1x 2,使| f(x 1)f (x 2)| k|lnx 1lnx 2|成立,求 k的取值范围请考生在第 22、23

9、两题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分。22 (10 分)已知圆 C 的极坐标方程为 2cos,直线 l 的参数方程为 (t为参数) ,点 A 的极坐标为( , ) ,设直线 l 与圆 C 交于点 P、Q 两点(1)写出圆 C 的直角坐标方程;(2)求|AP| AQ|的值23设函数 f(x )2|x 1|+ x1,g(x)16x 28x+1,记 f(x)1 的解集为M,g( x)4 的解集为 N(1)求 M;(2)当 xM N 时,证明: 第 6 页(共 24 页)2018 年四川省乐山市高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共

10、60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1 (5 分)设全集 Ux |xN*,x6,集合 M1,3,N 3 ,5,则 U(MN)(  )A1 ,4 B1 ,5 C2 ,5 D2 ,4【分析】求出全集,结合集合的并集和补集的定义进行计算即可【解答】解:全集 Ux |xN*,x61 ,2,3,4,5,则 MN1 , 3,5,则 U(M N)2,4,故选:D【点评】本题主要考查集合的基本运算,利用补集和并集的定义是解决本题的关键2 (5 分)设复数 z 满足 z(1+i)i (i 为虚数单位) ,则|z| (  )A B C1 D【分析】先求出复数 z,然后

11、利用求模公式可得答案【解答】解:由 z(1+ i)i 得 z + i,则则|z| ,故选:B【点评】本题考查复数代数形式的运算、复数求模,属基础题3 (5 分)已知命题 p:对任意 xR,总有 x20,q:x 1 是不等式 x0 的解,则下列命题为真命题的是(  )Ap(q) B (p)q C (p)(q) Dpq【分析】分别判断 p,q,p,q 真假,再利用复合命题的判断方法判断【解答】解:命题 p:对任意 xR,总有 x20,q:x1 是不等式 x0 的解,p 为真命题,q 为假命题p 为假命题,q 为真命题根据复合命题的真假判断:pq 为真命题第 7 页(共 24 页)故选:A

12、【点评】本题考查了复合命题的真假判断,属于容易题4 (5 分)在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 P,则满足APB90的概率为(  )A B1 C D1【分析】以 AB 为直径作半圆,则符合条件的 P 点落在正方形内部,半圆外部,根据面积比求出概率【解答】解:在正方形 ABCD 内作以 AB 为直径的半圆,则当 P 落在阴影部分区域(不含边界)时,APB90,p 1 故选:B【点评】本题考查了几何概型的概率计算,正确作出几何图形是解题关键5 (5 分)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是(  )A B C D8【分

13、析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥,由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高,则其侧面积和体积可求【解答】解:因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四棱锥,其主视图为原图形中的三角形 PEF,如图,由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长 AB2,第 8 页(共 24 页)高 PO2,则四棱锥的斜高 PE 所以该四棱锥侧面积 S4 2 4 ,故选:B【点评】本题考查了棱锥的体积,考查了三视图,解答的关键是能够由三视图得到原图形,是基础题6 (5 分)我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升问,米几何?”如图是解

14、决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 S1.5(单位:升) ,则输入 k 的值为(  )A4.5 B6 C7.5 D9【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 n,S 的值,当 n4 时,不满足条第 9 页(共 24 页)件 n4,退出循环,输出 S 的值为 ,即可解得 k 的值【解答】解:模拟程序的运行,可得n1,Sk满足条件 n4,执行循环体,n2,Sk ,满足条件 n4,执行循环体,n3,S ,满足条件 n4,执行循环体,n4,S ,此时,不满足条件 n4,退出循环,输出 S 的值为 ,由题意可得: 1.5,解得:k6故选:B【点评】算法和程序框图是新课标新增的内

15、容,在近两年的新课标地区高考都考查到了,这启示我们要给予高度重视,属于基础题7 (5 分)已知函数 f(x )Asin(x+)+b 的一部分图象如图所示,如果A0, 0, | ,则(  )AA4 Bb4 C 1 D 【分析】根据最值求出 A 和 b,由周期求得 ,再根据五点法作图求得 的值,可得结论【解答】解:根据函数 f(x )Asin(x+)+b 的一部分图象可得A+b4,A+b0,求得 b2,A2,再根据 ,可得 2,再根据五点法作图可得 2 + ,求得 ,第 10 页(共 24 页)故选:D【点评】本题主要考查由函数 f(x )Asin(x+)+b 的一部分图象求解析式,根据

16、最值求出 A 和 b,由周期求得 ,属于基础题8 (5 分)已知函数 f(x ) ,则不等式 f(x+2)f (x 2+2x)的解集是(  )A (2,1) B (0,1)C (,2)(1,+ ) D (1,+ )【分析】判断函数 f(x )在 R 上的单调性,化不等式为 x+2x 2+2x,由二次不等式的解法可得解集【解答】解:函数 f(x ) ,可得 x0,f( x)递增;x0 时,f (x)递增;且 x0 时函数连续,则 f(x)在 R 上递增,不等式 f(x+2)f(x 2+2x) ,可化为 x+2x 2+2x,即 x2+x20,解得 x1 或 x2,则原不等式的解集为(,2

17、)(1,+) ,故选:C【点评】本题考查分段函数的运用:解不等式,注意运用函数的单调性,考查转化思想和运算能力,属于中档题9 (5 分)已知抛物线 C:y 22px(p0)的焦点为 F,点 M(x 0,2 )是抛物线 C 上一点,以 M 为圆心,|MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为 2 ,则等 p 于(  )A2 B3 C4 D5【分析】利用以 M 为圆心、 |MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为 2 ,结合 M 在抛物线上,求出 p 即可【解答】解:由抛物线的定义可得:|MF |x 0+ p,第 11 页(共 24 页)以 M 为圆心,|MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为

18、 2 , ,又点 M 在抛物线上,82 px0,由得 p 2,x 02,故选:A【点评】本题考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用,属于中档题10 (5 分)已知数列a n中,前 n 项和为 Sn,且 an ,则 的最大值为(  )A3 B1 C3 D1【分析】根据数列的递推公式可得 1+ ,再根据数列的函数特征即可求出【解答】解:由题意可知,S n an,当 n2 时,a nS nS n1 an an1 ,可化为为 1+ ,由于数列 单调递减,可得当 n2 时, 取的最大值 2,故 的最大值为 3,故选:C【点评】本题考查了数列的递推公式和数列的函数特征,

19、属于中档题11 (5 分)已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 2 ,则这个四棱锥的外接球的体积为(  )A B C16 D32【分析】先画出图形,正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心,然后根据勾股定理解出球的半径,最后根据球的体积公式解之即可第 12 页(共 24 页)【解答】解:如图,设正四棱锥底面的中心为 O,则在直角三角形 ABC 中,AC AB4,AOCO2,在直角三角形 PAO 中,PO 2,正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为 2,正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心,且球半径 r2,球的体积 V r3 故选:B【点评】本题主要考查球的体积,球的内接体问题,考查计

20、算能力和空间想象能力,属于中档题12 (5 分)已知函数 yxe x+x2+2x+a 恰有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为(  )A (, +1 B (, +1) C ( +1,+) D ( ,+)【分析】利用函数的零点就是方程法根,转化求解函数 g(x)的值域,然后推出 a 的范围即可【解答】解:函数 yxe x+x2+2x+a 恰有两个不同的零点,就是 xex+x2+2x+a0 恰有两个不同的实数解,设:g(x)xe x+x2+2x,则 g(x)e x+xex+2x+2,(x+1) (e x+2) ,x1,g(x )0,函数是减函数,x 1,g(x)0,函数是增函数,函数

21、的最小值为:g(1)1 ,第 13 页(共 24 页)则 a1+ 函数 yxe x+x2+2x+a 恰有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为:( , +1) 故选:B【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上。13 (5 分)已知某商场新进 3000 袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从中抽取 150 袋检查,若第一组抽出的号码是 11,则第六十一组抽出的号码为 1211 【分析】系统抽样中各组抽出的数据间隔相同,为等差数列,可用数列知识求

22、解【解答】解:3000 袋奶粉,用系统抽样的方法从抽取 150 袋,每组中有 20 袋,第一组抽出的号码是 11,则第六十一组抽出的号码为 11+60201211故答案为:1211【点评】本题考查系统抽样的知识,属基本题系统抽样中各组抽出的数据间隔相同,为等差数列14 (5 分)已知向量 (2,3) , (4,m ) ,若( )( ) ,则实数 m 6 【分析】根据向量的坐标公式进行求解,结合向量共线的公式进行求解即可【解答】解: (2,3) , (4,m ) , (2,3)+2(4,m)(6,2m +3) ,(2,3)(4,m )(6,3m ) ,若( )( ) ,则 6(3m)(6)( 2

23、m+3)0,得 186m+12m+18 0,即 6m36,得 m6,故答案为:6【点评】本题主要考查向量共线的应用,根据条件求出向量坐标,结合共线的坐标公式是解决本题的关键第 14 页(共 24 页)15 (5 分)已知双曲线 C: 的右焦点为 F2,点 A(2,1)是双曲线C 上的一点,点 B 与点 A 关于原点对称,若 AF 2B , ,则双曲线C 的标准方程为  y 2 1 【分析】设双曲线的左焦点为 F1,则四边形 AF1BF2 是平行四边形,利用余弦定理和双曲线的性质化简 求出 b,代入点 A 的坐标求出 a 即可【解答】解:设双曲线的左焦点为 F1,连接 AF1,BF 1

24、,由对称性可知四边形 AF1BF2 是平行四边形,F 1AF2 , ,设|AF 2| m,则 |AF1|2a+m,在AF 1F2 中,由余弦定理可得:4c2m 2+(m+2a) 2m(m+2a) ,化简得:4c 24a 2m 2+2ma,即 4b2m(m+2a) ,又 m(m+2a) ,b1把 A(2,1)代入双曲线方程 y 21 可得 a22双曲线 C 的标准方程为: y 21故答案为: y 21【点评】本题考查了双曲线的简单性质,属于中档题16 (5 分)在首项都为 2 的数列a n,b n中,a 2b 24,2a n+1a n+an+2,b n+1b n2 n第 15 页(共 24 页)

25、,b n+2b n32 n1,且 bnZ,则数列 的前 n 项和为 2 n1 【分析】由 2an+1a n+an+2,可得:数列a n为等差数列a 12,a 24利用等差数列的通项公式可得 an由 bn+1b n2 n ,可得 bn+2b n+12 n+1+ ,可得bn+2b n32 n+ 又 bn+2b n32 n1,且 bnZ,可得 bn+2b n32 n,又b12,b 24,利用累加求和方法即可得出【解答】解:由 2an+1a n+an+2,可得:数列a n为等差数列a 12,a 24公差 d2,a n2+2(n1)2nb n+1b n2 n ,b n+2b n+12 n+1+ ,b n

26、+2b n32 n+ 又 bn+2b n32 n1,且 bnZ,b n+2b n32 n,又 b12,b 24,n2k1(k2)时,b n(b nb n2 )+(b n2 b n4 )+(b 3b 1)+b13(2 n2 +2n4 +23+2)+23 +22 2k1 2 n,n1 时也成立n2k(k1)时,b n(b nb n2 )+(b n2 b n4 )+(b 4b 2)+b23(2 n2 +2n4 +24+4)+43 +44 k2 n综上可得:b n2 n 2 n1 则数列 的前 n 项和 2 n1故答案为:2 n1【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、累加求和方法、

27、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知第 16 页(共 24 页)asin2BbsinA(1)求 B;(2)若 b3 ,ABC 的面积为 ,求ABC 的周长【分析】 (1)根据正弦定理和二倍角公式可得 cosB ,得出 B ;(2)根据余弦定理求出 a+c,从而得出三角形的周长【解答】解:(1)由正弦定理 可得 asinBbsin A,又 asin2BbsinA,sinBsin2B2sinBcosB,sinB0,co

28、sB ,故而 B (2)S ABC acsinB ac ,ac6,由余弦定理得:a 2+c2b 22accosB6,(a+c) 22ac b 26,a+c6,ABC 的周长是 a+b+c6+3 【点评】本题考查了正弦定理,余弦定理的应用,属于中档题18 (12 分)某单位 N 名员工参加 “社区低碳你我他”活动他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间按年龄分组:第 1 组25,30) ,第 2 组30 ,35 ) ,第 3 组35,40) ,第 4 组40,45 ) ,第 5 组45,50 ,得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布表区间 25,30) 30,35) 35,40) 40,

29、45 ) 45,50人数 25 a b(1)求正整数 a,b,N 的值;(2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第1,2,3 组的人数分别是多少?(3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率第 17 页(共 24 页)【分析】 (1)根据小矩形的高 ,故频数比等于高之比,由此可得 a、b 的值;(2)计算分层抽样的抽取比例为 ,用抽取比例乘以每组的频数,可得每组抽取人数;(3)利用列举法写出从 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件,分别计算总个数与恰有1 人在第 3 组的个数,根据古典概型

30、概率公式计算【解答】解:(1)由频率分布直方图可知,25,30)与30 ,35)两组的人数相同,a25 人且 人总人数 人(2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6人,每组抽取的人数分别为:第 1 组的人数为 ,第 2 组的人数为 ,第 3 组的人数为 ,第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人(3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A,第 2 组的 1 人为 B,第 3 组的 4 人分别为C1,C 2,C 3,C 4,则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为:(A,B) , (A, C1) , (A ,C 2) ,

31、(A,C 3) , (A,C 4) , (B,C 1) , (B,C 2) , (B,C 3) ,(B,C 4) , (C 1,C 2) , (C 1,C 3) , (C 1,C 4) , (C 2,C 3) , (C 2,C 4) , (C 3,C 4) ,共有15 种其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为:(A,C 1) , (A,C 2) , (A ,C 3) , (A,C 4) ,第 18 页(共 24 页)(B,C 1) , (B,C 2) , (B,C 3) , (B ,C 4) ,共有 8 种所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 【点评】本题考查了频率分布直方图及古典概

32、型的概率计算,解答此类题的关键是读懂频率分布直方图的数据含义,小矩形的高 19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,PA AB2,E 为 PA 的中点, BAD60()求证:PC平面 EBD;()求三棱锥 PEDC 的体积【分析】 ()连接 AC,BD 相交于点 O,连接 OE由三角形中位线定理可得OECP,再由线面平行的判定可得 PC平面 BDE;()由 E 为 PA 的中点,可求PCE 的面积,证出 DO 是三棱锥 DPCE 的高并求得DO1,然后利用等积法求得三棱锥 PEDC 的体积【解答】 ()证明:连接 AC,BD,设 AC 与 B

33、D 相交于点 O,连接 OE由题意知,底面 ABCD 是菱形,则 O 为 AC 的中点,又 E 为 AP 的中点, OECP,OE平面 BDE,PC平面 BDE,PC平面 BDE;()解:E 为 PA 的中点, ,四边形 ABCD 是菱形,ACBD ,又PA平面 ABCD,PABD ,第 19 页(共 24 页)又 PAACA,DO平面 PAC,即 DO 是三棱锥 DPCE 的高,DO1,则 【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题20 (12 分)如图所示,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, )到抛物线C:y 2 2px(

34、p0)的准线的距离为 ,点 M(t ,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 的中点 Q(m ,n)在直线 OM 上(1)求曲线 C 的方程及 t 的值;(2)记 d ,求 d 的最大值【分析】 (1)根据 P 到准线的距离得出 p 的值,再把 M 点代入抛物线得出 t 的值;(2)根据 OM 方程得出 mn,根据斜率公式得出 AB 的斜率与 m 的关系,得出直线AB 的方程,利用弦长公式计算| AB|,化简 d 即可得出 d 的最大值【解答】解:(1)抛物线的准线为:x ,P(1, )到准线的距离为 1+ ,即 p 第 20 页(共 24 页)抛物线 C 的方程为:y

35、 2x又 M(t,1)在抛物线上,t 1(2)由(1)知 M(1,1) ,从而 mn,即 Q(m,m ) ,依题意可知直线 AB 斜率存在,且不为 0,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,直线 AB 的斜率为 k,由 可得(y 1+y2) (y 1y 2)x 1x 2,即 ,k 直线 AB 的方程为:y m (xm) ,即 x2my+2m 2m0,联立方程组 ,消去 x 得:y 22my+2m 2m0,4m 24(2m 2m)4m4m 20,0m 1y1+y22m,y 1y22m 2m,|AB| 2 ,d 2 2 1当且仅当 m1m 即 m 时取等号d 的最大值为 1【点评】本

36、题考查了抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,属于中档题21 (12 分)已知 f(x ) (1)求 f(x)的单调区间;(2)令 g(x)ax 22lnx,则 g(x)1 时有两个不同的根,求 a 的取值范围;(3)存在 x1,x 2(1,+)且 x1x 2,使| f(x 1)f (x 2)| k|lnx 1lnx 2|成立,求 k的取值范围【分析】 (1)求导 f(x ) ,从而讨论导数的正负,以确定函数的单调性;第 21 页(共 24 页)(2)化简可得 a f(x ) ,从而由(1)作函数的图象,从而解得;(3)不妨设 x1x 21,从而化不等式为函数 h(x )f(x)+klnx 在

37、(1,+)上存在单调减区间,从而可得 h(x)f (x)+ + 0 在(1,+)上有解,从而解得【解答】解:(1)f(x ) ,f(x) ,故 x(0,1)时, f(x ) 0,x(1,+)时,f(x ) 0,故 f(x)在(0 ,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减;(2)g(x)ax 22lnx 1,a f(x ) ,作函数 f(x)的图象如下,f(1) 1,结合图象可知,a 的取值范围为(0,1) ;(3)不妨设 x1x 21,f(x)在(1 ,+)上单调递减,ylnx 在(1,+)上单调递增;|f( x1)f(x 2)| k |lnx1lnx 2|可化为f(x 2)f(x 1)k (

38、lnx 1lnx 2) ,f(x 2)+klnx 2f(x 1)+klnx 1,即函数 h(x)f(x)+klnx 在(1,+)上存在单调减区间,即 h(x)f(x)+ + 0 在(1,+)上有解,即 m(x)kx 24lnx 0 在(1,+)上有解,即 k 在(1,+)上有解,第 22 页(共 24 页)( ) ,当 x 时, 0;故( ) max ;k 【点评】本题考查了导数综合应用及数形结合的思想应用,同时考查了学生由繁化简的能力请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分。22 (10 分)已知圆 C 的极坐标方程为 2cos,直线 l 的参数方程为 (t为

39、参数) ,点 A 的极坐标为( , ) ,设直线 l 与圆 C 交于点 P、Q 两点(1)写出圆 C 的直角坐标方程;(2)求|AP| AQ|的值【分析】 (1)根据直角坐标和极坐标的互化公式 xcos、y sin,把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程(2)由题意可得点 A 在直线 (t 为参数)上,把直线的参数方程代入曲线 C 的方程可得 t2+ t 0由韦达定理可得 t1t2 ,根据参数的几何意第 23 页(共 24 页)义可得|AP| AQ|t 1t2|的值【解答】解:(1)圆 C 的极坐标方程为 2cos 即 22 cos,即 (x 1)2+y21,表示以 C(1,0)为圆心、半径等

40、于 1 的圆(2)点 A 的直角坐标为( , ) ,点 A 在直线 (t 为参数)上把直线的参数方程代入曲线 C 的方程可得 t2+ t 0由韦达定理可得 t1t2 0,根据参数的几何意义可得 |AP|AQ| t1t2| 【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法,参数的几何意义,属于基础题23设函数 f(x )2|x 1|+ x1,g(x)16x 28x+1,记 f(x)1 的解集为M,g( x)4 的解集为 N(1)求 M;(2)当 xM N 时,证明: 【分析】 (1)由绝对值的含义,去绝对值,解不等式,最后求并集,即可得到所求解集;(2)由二次不等式的解法,可得

41、N,由交集的定义可得 x 的范围,进而得到 f(x) ,再由配方法,即可得到证明【解答】 (1)解:f(x )2|x1|+x 1当 x1 时,由 f(x)3x31 得 x ,故 1x ;当 x1 时,由 f(x)1x1 得 x0,故 0x 1所以 f(x)1 的解集为 Mx|0x ;(2)证明:由 g(x)16x 28x +14 得 ,解得 因此 Nx| ,故 第 24 页(共 24 页)当 xMN 时,f(x )1 x,于是 x2f(x)+xf(x ) 2xf(x)x+f(x)xf(x)x(1x ) 当且仅当 x 时,上式等号成立【点评】本题考查绝对值不等式的解法,不等式的证明,考查分类讨论思想方法和二次函数的最值的求法,考查运算能力,属于中档题