1、2018 年四川省乐山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设全集 Ux |xN*，x6，集合 M1，3，N 3 ，5，则 U（MN）（ ）A1 ，4 B1 ，5 C2 ，5 D2 ，42 （5 分）设复数 z 满足 z（1+i）i （i 为虚数单位） ，则|z| （ ）A B C1 D3 （5 分）已知命题 p：对任意 xR，总有 x20，q：x 1 是不等式 x0 的解，则下列命题为真命题的是（ ）Ap（q） B （p）q C （p）（q
2、） Dpq4 （5 分）在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 P，则满足APB90的概率为（ ）A B1 C D15 （5 分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A B C D86 （5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S1.5（单位：升） ，则输入 k 的值为（ ）第 2 页（共 24 页）A4.5 B6 C7.5 D97 （5 分）已知函数
3、f（x ）Asin（x+）+b 的一部分图象如图所示，如果A0， 0， | ，则（ ）AA4 Bb4 C 1 D 8 （5 分）已知函数 f（x ） ，则不等式 f（x+2）f （x 2+2x）的解集是（ ）A （2，1） B （0，1）C （，2）（1，+ ） D （1，+ ）9 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，点 M（x 0，2 ）是抛物线 C 上一点，以 M 为圆心，|MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为 2 ，则等 p 于（ ）A2 B3 C4 D510 （5 分）已知数列a n中，前 n 项和为 Sn，且 an ，则
4、的最大值为（ ）第 3 页（共 24 页）A3 B1 C3 D111 （5 分）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 2 ，则这个四棱锥的外接球的体积为（ ）A B C16 D3212 （5 分）已知函数 yxe x+x2+2x+a 恰有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （， +1 B （， +1） C （ +1，+） D （ ，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上。13 （5 分）已知某商场新进 3000 袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取 150 袋检查，若第一组
5、抽出的号码是 11，则第六十一组抽出的号码为 14 （5 分）已知向量 （2，3） ， （4，m ） ，若（ ）（ ） ，则实数 m 15 （5 分）已知双曲线 C： 的右焦点为 F2，点 A（2，1）是双曲线C 上的一点，点 B 与点 A 关于原点对称，若 AF 2B ， ，则双曲线C 的标准方程为 16 （5 分）在首项都为 2 的数列a n，b n中，a 2b 24，2a n+1a n+an+2，b n+1b n2 n，b n+2b n32 n1，且 bnZ，则数列 的前 n 项和为 &nbs
6、p; 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知asin2BbsinA（1）求 B；（2）若 b3 ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长18 （12 分）某单位 N 名员工参加 “社区低碳你我他”活动他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间按年龄分组：第 1 组25，30） ，第 2 组30 ，35 ） ，第 3 组35，40） ，第 4 组40，45 ） ，第 5 组45，50 ，得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布第 4 页（共 24 页
7、）表区间 25，30） 30，35） 35，40） 40，45 ） 45，50人数 25 a b（1）求正整数 a，b，N 的值；（2）现要从年龄较小的第 1，2，3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第1，2，3 组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人在第 3 组的概率19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，PA AB2，E 为 PA 的中点， BAD60（）求证：PC平面 EBD；（）求三棱锥 PEDC 的体积20 （12 分）如图所示，在直角坐标系 xOy
8、 中，点 P（1， ）到抛物线C：y 2 2px（p0）的准线的距离为 ，点 M（t ，1）是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 的中点 Q（m ，n）在直线 OM 上（1）求曲线 C 的方程及 t 的值；第 5 页（共 24 页）（2）记 d ，求 d 的最大值21 （12 分）已知 f（x ） （1）求 f（x）的单调区间；（2）令 g（x）ax 22lnx，则 g（x）1 时有两个不同的根，求 a 的取值范围；（3）存在 x1，x 2（1，+）且 x1x 2，使| f（x 1）f （x 2）| k|lnx 1lnx 2|成立，求 k的取值范围请考生在第 22、23
9、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。22 （10 分）已知圆 C 的极坐标方程为 2cos，直线 l 的参数方程为 （t为参数） ，点 A 的极坐标为（ ， ） ，设直线 l 与圆 C 交于点 P、Q 两点（1）写出圆 C 的直角坐标方程；（2）求|AP| AQ|的值23设函数 f（x ）2|x 1|+ x1，g（x）16x 28x+1，记 f（x）1 的解集为M，g（ x）4 的解集为 N（1）求 M；（2）当 xM N 时，证明： 第 6 页（共 24 页）2018 年四川省乐山市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共
10、60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设全集 Ux |xN*，x6，集合 M1，3，N 3 ，5，则 U（MN）（ ）A1 ，4 B1 ，5 C2 ，5 D2 ，4【分析】求出全集，结合集合的并集和补集的定义进行计算即可【解答】解：全集 Ux |xN*，x61 ，2，3，4，5，则 MN1 ， 3，5，则 U（M N）2，4，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用补集和并集的定义是解决本题的关键2 （5 分）设复数 z 满足 z（1+i）i （i 为虚数单位） ，则|z| （ ）A B C1 D【分析】先求出复数 z，然后
11、利用求模公式可得答案【解答】解：由 z（1+ i）i 得 z + i，则则|z| ，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的运算、复数求模，属基础题3 （5 分）已知命题 p：对任意 xR，总有 x20，q：x 1 是不等式 x0 的解，则下列命题为真命题的是（ ）Ap（q） B （p）q C （p）（q） Dpq【分析】分别判断 p，q，p，q 真假，再利用复合命题的判断方法判断【解答】解：命题 p：对任意 xR，总有 x20，q：x1 是不等式 x0 的解，p 为真命题，q 为假命题p 为假命题，q 为真命题根据复合命题的真假判断：pq 为真命题第 7 页（共 24 页）故选：A
12、【点评】本题考查了复合命题的真假判断，属于容易题4 （5 分）在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 P，则满足APB90的概率为（ ）A B1 C D1【分析】以 AB 为直径作半圆，则符合条件的 P 点落在正方形内部，半圆外部，根据面积比求出概率【解答】解：在正方形 ABCD 内作以 AB 为直径的半圆，则当 P 落在阴影部分区域（不含边界）时，APB90，p 1 故选：B【点评】本题考查了几何概型的概率计算，正确作出几何图形是解题关键5 （5 分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A B C D8【分
13、析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形 PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长 AB2，第 8 页（共 24 页）高 PO2，则四棱锥的斜高 PE 所以该四棱锥侧面积 S4 2 4 ，故选：B【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题6 （5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解
14、决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S1.5（单位：升） ，则输入 k 的值为（ ）A4.5 B6 C7.5 D9【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 n4 时，不满足条第 9 页（共 24 页）件 n4，退出循环，输出 S 的值为 ，即可解得 k 的值【解答】解：模拟程序的运行，可得n1，Sk满足条件 n4，执行循环体，n2，Sk ，满足条件 n4，执行循环体，n3，S ，满足条件 n4，执行循环体，n4，S ，此时，不满足条件 n4，退出循环，输出 S 的值为 ，由题意可得： 1.5，解得：k6故选：B【点评】算法和程序框图是新课标新增的内
15、容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题7 （5 分）已知函数 f（x ）Asin（x+）+b 的一部分图象如图所示，如果A0， 0， | ，则（ ）AA4 Bb4 C 1 D 【分析】根据最值求出 A 和 b，由周期求得 ，再根据五点法作图求得 的值，可得结论【解答】解：根据函数 f（x ）Asin（x+）+b 的一部分图象可得A+b4，A+b0，求得 b2，A2，再根据 ，可得 2，再根据五点法作图可得 2 + ，求得 ，第 10 页（共 24 页）故选：D【点评】本题主要考查由函数 f（x ）Asin（x+）+b 的一部分图象求解析式，根据
16、最值求出 A 和 b，由周期求得 ，属于基础题8 （5 分）已知函数 f（x ） ，则不等式 f（x+2）f （x 2+2x）的解集是（ ）A （2，1） B （0，1）C （，2）（1，+ ） D （1，+ ）【分析】判断函数 f（x ）在 R 上的单调性，化不等式为 x+2x 2+2x，由二次不等式的解法可得解集【解答】解：函数 f（x ） ，可得 x0，f（ x）递增；x0 时，f （x）递增；且 x0 时函数连续，则 f（x）在 R 上递增，不等式 f（x+2）f（x 2+2x） ，可化为 x+2x 2+2x，即 x2+x20，解得 x1 或 x2，则原不等式的解集为（，2
17、）（1，+） ，故选：C【点评】本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题9 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，点 M（x 0，2 ）是抛物线 C 上一点，以 M 为圆心，|MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为 2 ，则等 p 于（ ）A2 B3 C4 D5【分析】利用以 M 为圆心、 |MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为 2 ，结合 M 在抛物线上，求出 p 即可【解答】解：由抛物线的定义可得：|MF |x 0+ p，第 11 页（共 24 页）以 M 为圆心，|MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为
18、 2 ， ，又点 M 在抛物线上，82 px0，由得 p 2，x 02，故选：A【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题10 （5 分）已知数列a n中，前 n 项和为 Sn，且 an ，则 的最大值为（ ）A3 B1 C3 D1【分析】根据数列的递推公式可得 1+ ，再根据数列的函数特征即可求出【解答】解：由题意可知，S n an，当 n2 时，a nS nS n1 an an1 ，可化为为 1+ ，由于数列 单调递减，可得当 n2 时， 取的最大值 2，故 的最大值为 3，故选：C【点评】本题考查了数列的递推公式和数列的函数特征，
19、属于中档题11 （5 分）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 2 ，则这个四棱锥的外接球的体积为（ ）A B C16 D32【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的体积公式解之即可第 12 页（共 24 页）【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为 O，则在直角三角形 ABC 中，AC AB4，AOCO2，在直角三角形 PAO 中，PO 2，正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为 2，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径 r2，球的体积 V r3 故选：B【点评】本题主要考查球的体积，球的内接体问题，考查计
20、算能力和空间想象能力，属于中档题12 （5 分）已知函数 yxe x+x2+2x+a 恰有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （， +1 B （， +1） C （ +1，+） D （ ，+）【分析】利用函数的零点就是方程法根，转化求解函数 g（x）的值域，然后推出 a 的范围即可【解答】解：函数 yxe x+x2+2x+a 恰有两个不同的零点，就是 xex+x2+2x+a0 恰有两个不同的实数解，设：g（x）xe x+x2+2x，则 g（x）e x+xex+2x+2，（x+1） （e x+2） ，x1，g（x ）0，函数是减函数，x 1，g（x）0，函数是增函数，函数
21、的最小值为：g（1）1 ，第 13 页（共 24 页）则 a1+ 函数 yxe x+x2+2x+a 恰有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为：（ ， +1） 故选：B【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上。13 （5 分）已知某商场新进 3000 袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取 150 袋检查，若第一组抽出的号码是 11，则第六十一组抽出的号码为 1211 【分析】系统抽样中各组抽出的数据间隔相同，为等差数列，可用数列知识求
22、解【解答】解：3000 袋奶粉，用系统抽样的方法从抽取 150 袋，每组中有 20 袋，第一组抽出的号码是 11，则第六十一组抽出的号码为 11+60201211故答案为：1211【点评】本题考查系统抽样的知识，属基本题系统抽样中各组抽出的数据间隔相同，为等差数列14 （5 分）已知向量 （2，3） ， （4，m ） ，若（ ）（ ） ，则实数 m 6 【分析】根据向量的坐标公式进行求解，结合向量共线的公式进行求解即可【解答】解： （2，3） ， （4，m ） ， （2，3）+2（4，m）（6，2m +3） ，（2，3）（4，m ）（6，3m ） ，若（ ）（ ） ，则 6（3m）（6）（ 2
23、m+3）0，得 186m+12m+18 0，即 6m36，得 m6，故答案为：6【点评】本题主要考查向量共线的应用，根据条件求出向量坐标，结合共线的坐标公式是解决本题的关键第 14 页（共 24 页）15 （5 分）已知双曲线 C： 的右焦点为 F2，点 A（2，1）是双曲线C 上的一点，点 B 与点 A 关于原点对称，若 AF 2B ， ，则双曲线C 的标准方程为 y 2 1 【分析】设双曲线的左焦点为 F1，则四边形 AF1BF2 是平行四边形，利用余弦定理和双曲线的性质化简 求出 b，代入点 A 的坐标求出 a 即可【解答】解：设双曲线的左焦点为 F1，连接 AF1，BF 1
24、，由对称性可知四边形 AF1BF2 是平行四边形，F 1AF2 ， ，设|AF 2| m，则 |AF1|2a+m，在AF 1F2 中，由余弦定理可得：4c2m 2+（m+2a） 2m（m+2a） ，化简得：4c 24a 2m 2+2ma，即 4b2m（m+2a） ，又 m（m+2a） ，b1把 A（2，1）代入双曲线方程 y 21 可得 a22双曲线 C 的标准方程为： y 21故答案为： y 21【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于中档题16 （5 分）在首项都为 2 的数列a n，b n中，a 2b 24，2a n+1a n+an+2，b n+1b n2 n第 15 页（共 24 页）
25、，b n+2b n32 n1，且 bnZ，则数列 的前 n 项和为 2 n1 【分析】由 2an+1a n+an+2，可得：数列a n为等差数列a 12，a 24利用等差数列的通项公式可得 an由 bn+1b n2 n ，可得 bn+2b n+12 n+1+ ，可得bn+2b n32 n+ 又 bn+2b n32 n1，且 bnZ，可得 bn+2b n32 n，又b12，b 24，利用累加求和方法即可得出【解答】解：由 2an+1a n+an+2，可得：数列a n为等差数列a 12，a 24公差 d2，a n2+2（n1）2nb n+1b n2 n ，b n+2b n+12 n+1+ ，b n
26、+2b n32 n+ 又 bn+2b n32 n1，且 bnZ，b n+2b n32 n，又 b12，b 24，n2k1（k2）时，b n（b nb n2 ）+（b n2 b n4 ）+（b 3b 1）+b13（2 n2 +2n4 +23+2）+23 +22 2k1 2 n，n1 时也成立n2k（k1）时，b n（b nb n2 ）+（b n2 b n4 ）+（b 4b 2）+b23（2 n2 +2n4 +24+4）+43 +44 k2 n综上可得：b n2 n 2 n1 则数列 的前 n 项和 2 n1故答案为：2 n1【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、累加求和方法、
27、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知第 16 页（共 24 页）asin2BbsinA（1）求 B；（2）若 b3 ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长【分析】 （1）根据正弦定理和二倍角公式可得 cosB ，得出 B ；（2）根据余弦定理求出 a+c，从而得出三角形的周长【解答】解：（1）由正弦定理 可得 asinBbsin A，又 asin2BbsinA，sinBsin2B2sinBcosB，sinB0，co
28、sB ，故而 B （2）S ABC acsinB ac ，ac6，由余弦定理得：a 2+c2b 22accosB6，（a+c） 22ac b 26，a+c6，ABC 的周长是 a+b+c6+3 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题18 （12 分）某单位 N 名员工参加 “社区低碳你我他”活动他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间按年龄分组：第 1 组25，30） ，第 2 组30 ，35 ） ，第 3 组35，40） ，第 4 组40，45 ） ，第 5 组45，50 ，得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布表区间 25，30） 30，35） 35，40） 40，
29、45 ） 45，50人数 25 a b（1）求正整数 a，b，N 的值；（2）现要从年龄较小的第 1，2，3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第1，2，3 组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人在第 3 组的概率第 17 页（共 24 页）【分析】 （1）根据小矩形的高 ，故频数比等于高之比，由此可得 a、b 的值；（2）计算分层抽样的抽取比例为 ，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；（3）利用列举法写出从 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有1 人在第 3 组的个数，根据古典概型
30、概率公式计算【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，25，30）与30 ，35）两组的人数相同，a25 人且 人总人数 人（2）因为第 1，2，3 组共有 25+25+100150 人，利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6人，每组抽取的人数分别为：第 1 组的人数为 ，第 2 组的人数为 ，第 3 组的人数为 ，第 1，2，3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人（3）由（2）可设第 1 组的 1 人为 A，第 2 组的 1 人为 B，第 3 组的 4 人分别为C1，C 2，C 3，C 4，则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为：（A，B） ， （A， C1） ， （A ，C 2） ，
31、（A，C 3） ， （A，C 4） ， （B，C 1） ， （B，C 2） ， （B，C 3） ，（B，C 4） ， （C 1，C 2） ， （C 1，C 3） ， （C 1，C 4） ， （C 2，C 3） ， （C 2，C 4） ， （C 3，C 4） ，共有15 种其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为：（A，C 1） ， （A，C 2） ， （A ，C 3） ， （A，C 4） ，第 18 页（共 24 页）（B，C 1） ， （B，C 2） ， （B，C 3） ， （B ，C 4） ，共有 8 种所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 【点评】本题考查了频率分布直方图及古典概
32、型的概率计算，解答此类题的关键是读懂频率分布直方图的数据含义，小矩形的高 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，PA AB2，E 为 PA 的中点， BAD60（）求证：PC平面 EBD；（）求三棱锥 PEDC 的体积【分析】 （）连接 AC，BD 相交于点 O，连接 OE由三角形中位线定理可得OECP，再由线面平行的判定可得 PC平面 BDE；（）由 E 为 PA 的中点，可求PCE 的面积，证出 DO 是三棱锥 DPCE 的高并求得DO1，然后利用等积法求得三棱锥 PEDC 的体积【解答】 （）证明：连接 AC，BD，设 AC 与 B
33、D 相交于点 O，连接 OE由题意知，底面 ABCD 是菱形，则 O 为 AC 的中点，又 E 为 AP 的中点， OECP，OE平面 BDE，PC平面 BDE，PC平面 BDE；（）解：E 为 PA 的中点， ，四边形 ABCD 是菱形，ACBD ，又PA平面 ABCD，PABD ，第 19 页（共 24 页）又 PAACA，DO平面 PAC，即 DO 是三棱锥 DPCE 的高，DO1，则 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题20 （12 分）如图所示，在直角坐标系 xOy 中，点 P（1， ）到抛物线C：y 2 2px（
34、p0）的准线的距离为 ，点 M（t ，1）是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 的中点 Q（m ，n）在直线 OM 上（1）求曲线 C 的方程及 t 的值；（2）记 d ，求 d 的最大值【分析】 （1）根据 P 到准线的距离得出 p 的值，再把 M 点代入抛物线得出 t 的值；（2）根据 OM 方程得出 mn，根据斜率公式得出 AB 的斜率与 m 的关系，得出直线AB 的方程，利用弦长公式计算| AB|，化简 d 即可得出 d 的最大值【解答】解：（1）抛物线的准线为：x ，P（1， ）到准线的距离为 1+ ，即 p 第 20 页（共 24 页）抛物线 C 的方程为：y
35、 2x又 M（t，1）在抛物线上，t 1（2）由（1）知 M（1，1） ，从而 mn，即 Q（m，m ） ，依题意可知直线 AB 斜率存在，且不为 0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线 AB 的斜率为 k，由 可得（y 1+y2） （y 1y 2）x 1x 2，即 ，k 直线 AB 的方程为：y m （xm） ，即 x2my+2m 2m0，联立方程组 ，消去 x 得：y 22my+2m 2m0，4m 24（2m 2m）4m4m 20，0m 1y1+y22m，y 1y22m 2m，|AB| 2 ，d 2 2 1当且仅当 m1m 即 m 时取等号d 的最大值为 1【点评】本
36、题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题21 （12 分）已知 f（x ） （1）求 f（x）的单调区间；（2）令 g（x）ax 22lnx，则 g（x）1 时有两个不同的根，求 a 的取值范围；（3）存在 x1，x 2（1，+）且 x1x 2，使| f（x 1）f （x 2）| k|lnx 1lnx 2|成立，求 k的取值范围【分析】 （1）求导 f（x ） ，从而讨论导数的正负，以确定函数的单调性；第 21 页（共 24 页）（2）化简可得 a f（x ） ，从而由（1）作函数的图象，从而解得；（3）不妨设 x1x 21，从而化不等式为函数 h（x ）f（x）+klnx 在
37、（1，+）上存在单调减区间，从而可得 h（x）f （x）+ + 0 在（1，+）上有解，从而解得【解答】解：（1）f（x ） ，f（x） ，故 x（0，1）时， f（x ） 0，x（1，+）时，f（x ） 0，故 f（x）在（0 ，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；（2）g（x）ax 22lnx 1，a f（x ） ，作函数 f（x）的图象如下，f（1） 1，结合图象可知，a 的取值范围为（0，1） ；（3）不妨设 x1x 21，f（x）在（1 ，+）上单调递减，ylnx 在（1，+）上单调递增；|f（ x1）f（x 2）| k |lnx1lnx 2|可化为f（x 2）f（x 1）k （
38、lnx 1lnx 2） ，f（x 2）+klnx 2f（x 1）+klnx 1，即函数 h（x）f（x）+klnx 在（1，+）上存在单调减区间，即 h（x）f（x）+ + 0 在（1，+）上有解，即 m（x）kx 24lnx 0 在（1，+）上有解，即 k 在（1，+）上有解，第 22 页（共 24 页）（ ） ，当 x 时， 0；故（ ） max ；k 【点评】本题考查了导数综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了学生由繁化简的能力请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。22 （10 分）已知圆 C 的极坐标方程为 2cos，直线 l 的参数方程为 （t为
39、参数） ，点 A 的极坐标为（ ， ） ，设直线 l 与圆 C 交于点 P、Q 两点（1）写出圆 C 的直角坐标方程；（2）求|AP| AQ|的值【分析】 （1）根据直角坐标和极坐标的互化公式 xcos、y sin，把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程（2）由题意可得点 A 在直线 （t 为参数）上，把直线的参数方程代入曲线 C 的方程可得 t2+ t 0由韦达定理可得 t1t2 ，根据参数的几何意第 23 页（共 24 页）义可得|AP| AQ|t 1t2|的值【解答】解：（1）圆 C 的极坐标方程为 2cos 即 22 cos，即 （x 1）2+y21，表示以 C（1，0）为圆心、半径等
40、于 1 的圆（2）点 A 的直角坐标为（ ， ） ，点 A 在直线 （t 为参数）上把直线的参数方程代入曲线 C 的方程可得 t2+ t 0由韦达定理可得 t1t2 0，根据参数的几何意义可得 |AP|AQ| t1t2| 【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，参数的几何意义，属于基础题23设函数 f（x ）2|x 1|+ x1，g（x）16x 28x+1，记 f（x）1 的解集为M，g（ x）4 的解集为 N（1）求 M；（2）当 xM N 时，证明： 【分析】 （1）由绝对值的含义，去绝对值，解不等式，最后求并集，即可得到所求解集；（2）由二次不等式的解法，可得
41、N，由交集的定义可得 x 的范围，进而得到 f（x） ，再由配方法，即可得到证明【解答】 （1）解：f（x ）2|x1|+x 1当 x1 时，由 f（x）3x31 得 x ，故 1x ；当 x1 时，由 f（x）1x1 得 x0，故 0x 1所以 f（x）1 的解集为 Mx|0x ；（2）证明：由 g（x）16x 28x +14 得 ，解得 因此 Nx| ，故 第 24 页（共 24 页）当 xMN 时，f（x ）1 x，于是 x2f（x）+xf（x ） 2xf（x）x+f（x）xf（x）x（1x ） 当且仅当 x 时，上式等号成立【点评】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查分类讨论思想方法和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题