1、2019 年甘肃省金昌市中考数学二模试卷一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共计 30 分每小题只有一项是符合题目要求的1 （3 分）5 的相反数是（ ）A5 B5 C D2 （3 分）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水 300 000 吨将 300 000 用科学记数法表示应为（ ）A0.310 6 B310 5 C310 6 D3010 43 （3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 3a2a 6 B （a 3） 2a 5 C （ab 2） 3ab 6 Da+2a3a4 （3 分）下列美丽的图案中，既是
2、轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5 （3 分）如图，把一块含有 45的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上如果120，那么2 的度数是（ ）A15 B20 C25 D306 （3 分）一元二次方程 x2+x20 根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D无法确定7 （3 分）分式方程 的解是（ ）Ax1 Bx1 Cx3 Dx 38 （3 分）某超市一月份的营业额为 36 万元，三月份的营业额为 48 万元，设每月的平均增长率为 x，则可列方程为（ ）A48（
3、1x） 236 B48（1+x） 236第 2 页（共 25 页）C36（1x） 248 D36（1+x） 2489 （3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，在下列五个结论中：2a b0； abc0；a+b+c0；ab+ c0；4a+2b+c0，错误的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10 （3 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在 CB 的延长线上，连接 ED 交 AB于点 F， AFx（0.2x 0.8） ，ECy则在下面函数图象中，大致能反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ）A BC D二、填空题：
4、本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，把答案写在题中横线上11 （4 分）分解因式：x 2y4y 12 （4 分）不等式 2x+93（x+2）的正整数解是 13 （4 分）函数 y 的自变量 x 的取值范围是 14 （4 分）如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为 米第 3 页（共 25 页）15 （4 分）如图，在O 中，弦 AB，CD 相交于点 P若A40，APD75，则B
5、 16 （4 分）如图，在ABC 中，DE BC， ，ADE 的面积是 8，则ABC 的面积为 17 （4 分）如图，已知函数 yax+b 和 ykx 的图象交于点 P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是 18 （4 分）现定义运算“” ，对于任意实数 a、b，都有 aba 23a+b，如：353 233+5 ，若 x26，则实数 x 的值是 三、解答题（一）：本大题共 5 小题，共 38 分，解答时，应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤19 （6 分）计算：|1 |+（ ）
6、 3 2cos30+（3） 0第 4 页（共 25 页）20 （6 分）先化简，再求值： （m 1 ） ，其中 m 21 （8 分）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，ABC 的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） （1）画出ABC 绕点 C 顺时针旋转 90后的A 1B1C；（2）求边 AC 旋转时所扫过区域的面积22 （8 分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 40cm，灯罩 BC 长为 30cm，底座厚度为 2cm，灯臂与底座构成的 BAD60使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30，此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多
7、少 cm？（结果精确到0.1cm，参考数据： 1.732 ）23 （10 分）已知反比例函数 y1 的图象与一次函数 y2ax+b 的图象交于点 A（1，4）和点 B（ m，2） ，（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得 y1y 2 成立的自变量 x 的取值范围；（3）如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称，求ABC 的面积第 5 页（共 25 页）四、解答题（二）：本大题共 5 小题，共 50 分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤24 （8 分）如图，袋子里装有 4 个球，大小形状完全一样，上面分别标有 ，0，从中任意取 2 个球（1）用树状图或列表法列出所有可
8、能的结果（请用字母 A、B、C、D 表示）（2）求取到的 2 个球上的数字都是有理数的概率25 （10 分）学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A 级：对学习很感兴趣； B 级：对学习较感兴趣；C 级：对学习不感兴趣） ，并将调查结果绘制成图和图 的统计图（不完整） 请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生；（2）将图 补充完整；（3）求出图中 C 级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近 8000 名八年级
9、学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括 A 级和 B 级）？26 （8 分）如图，已知：ABCD，BEAD，垂足为点 E，CFAD ，垂足为点 F，并且AE DF求证：四边形 BECF 是平行四边形第 6 页（共 25 页）27 （10 分）如图，AB 是 O 的直径，AC 是弦，直线 EF 经过点 C，ADEF 于点D，DACBAC（1）求证：EF 是O 的切线；（2）求证：AC 2ADAB 28 （14 分）如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1，0） ，B （3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上
10、是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使PBC 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标及PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由第 7 页（共 25 页）2019 年甘肃省金昌市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共计 30 分每小题只有一项是符合题目要求的1 （3 分）5 的相反数是（ ）A5 B5 C D【分析】根据相反数的定义直接求得结果【解答】解：5 的相反数是 5故选：B【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不
11、同的两个数互为相反数，0 的相反数是 02 （3 分）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水 300 000 吨将 300 000 用科学记数法表示应为（ ）A0.310 6 B310 5 C310 6 D3010 4【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：300 000310 5，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法
12、的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 3a2a 6 B （a 3） 2a 5 C （ab 2） 3ab 6 Da+2a3a【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案【解答】解：A、a 3a2a 5，故此选项错误；B、 （a 3） 2a 6，故此选项错误；C、 （ab 2） 3a 3b6，故此选项错误；D、a+2a3a，正确故选：D第 8 页（共 25 页）【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则
13、是解题关键4 （3 分）下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：从左数第一、四个是轴对称图形，也是中心对称图形第二是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形故选：B【点评】本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合5 （3 分）如图，把一块含有 45的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上如果120，那么2 的度数是（ ）A15
14、 B20 C25 D30【分析】根据两直线平行，内错角相等求出3，再求解即可【解答】解：直尺的两边平行，120，3120，2452025故选：C【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键6 （3 分）一元二次方程 x2+x20 根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D无法确定第 9 页（共 25 页）【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式b 24ac 的值的符号就可以了【解答】解：a1，b1，c2，b 24ac1+890方程有两个不相等的实数根故选：A【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用总结：一元二次方
15、程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根7 （3 分）分式方程 的解是（ ）Ax1 Bx1 Cx3 Dx 3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：4x3x+3，解得：x3，经检验 x3 是分式方程的解故选：C【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根8 （3 分）某超市一月份的营业额为 36 万元，三月份的营业额为 48 万元，设每月的平均增长率为 x，
16、则可列方程为（ ）A48（1x） 236 B48（1+x） 236C36（1x） 248 D36（1+x） 248【分析】三月份的营业额一月份的营业额（1+增长率） 2，把相关数值代入即可【解答】解：二月份的营业额为 36（1+x） ，三月份的营业额为 36（1+x）（1+x）36（1+x） 2，即所列的方程为 36（1+x） 248，第 10 页（共 25 页）故选：D【点评】考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键9 （3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，在下列五个结论中：2a b0； abc0；a+b+c0；ab+ c0；4a
17、+2b+c0，错误的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，利用图象将 x1，1，2 代入函数解析式判断 y 的值，进而对所得结论进行判断【解答】解：由函数图象开口向下可知，a0，由函数的对称轴 x 1，故 1，a0，b2a，所以 2ab0，正确； a 0，对称轴在 y 轴左侧，a，b 同号，图象与 y 轴交于负半轴，则 c0，故abc0；正确；当 x1 时，ya+b+ c0，正确；当 x1 时，yab+c0，错误；当 x2 时，y4a+2b+ c0，错误；故错误的有 2
18、 个故选：B第 11 页（共 25 页）【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，将 x1，1，2 代入函数解析式判断 y 的值是解题关键10 （3 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在 CB 的延长线上，连接 ED 交 AB于点 F， AFx（0.2x 0.8） ，ECy则在下面函数图象中，大致能反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ）A BC D【分析】通过相似三角形EFBEDC 的对应边成比例列出比例式 ，从而得到 y 与 x 之间函数关系式，从而推知该函数图象【解答】解：根据题意知，BF1x，BE y1，且EFBEDC，则 ，即 ，所以 y （
19、0.2x 0.8） ，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分A、D 的图象都是直线的一部分，B 的图象是抛物线的一部分，C 的图象是双曲线的一部分故选：C【点评】本题考查了动点问题的函数图象解题时，注意自变量 x 的取值范围二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，把答案写在题中横线上11 （4 分）分解因式：x 2y4y y（x+2） （x2） 【分析】先提取公因式 y，然后再利用平方差公式进行二次分解【解答】解：x 2y4y ，第 12 页（共 25 页）y（x 24） ，y（x+2） （x2） 故答案为：y（x +2） （x 2） 【点评】本题考查了提公因式法，公式
20、法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键12 （4 分）不等式 2x+93（x+2）的正整数解是 1，2，3 【分析】先解不等式，求出其解集，再根据解集判断其正整数解【解答】解：2x+93（x +2） ，去括号得，2x+93x +6，移项得，2x3x 69，合并同类项得，x3，系数化为 1 得，x3，故其正整数解为 1，2，3故答案为：1，2，3【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，会解不等式是解题的关键13 （4 分）函数 y 的自变量 x 的取值范围是 且 x1 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，就可以求解
21、【解答】解：根据题意得：解得：x 且 x1【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数14 （4 分）如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为 5 米第 13 页（共 25 页）【分析】易得：ABMOCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长【解答】解：根据题意，易得MBAMCO ，根据相似三角形的性质可知 ，即 ，解得 AM5m
22、则小明的影长为 5 米【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长15 （4 分）如图，在O 中，弦 AB，CD 相交于点 P若A40，APD75，则B 35 【分析】根据三角形内角与外角的关系可得C754035，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案【解答】解：A40，APD75，C754035，B35，故答案为：35【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半16 （4 分）如图，在ABC 中，DE BC， ，ADE 的面积是 8，则
23、ABC 的面积为 18 第 14 页（共 25 页）【分析】根据相似三角形的判定，可得ADEABC，根据相似三角形的性质，可得答案【解答】解；在ABC 中，DE BC，ADEABC ， （ ） 2 ，S ABC 18，故答案为：18【点评】本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质17 （4 分）如图，已知函数 yax+b 和 ykx 的图象交于点 P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解【解答】解：函数 yax +b 和 ykx 的图象的交点 P 的坐标为（1，1） ，关于 的二
24、元一次方程组的解是 故答案为 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次第 15 页（共 25 页）函数图象的交点坐标18 （4 分）现定义运算“” ，对于任意实数 a、b，都有 aba 23a+b，如：353 233+5 ，若 x26，则实数 x 的值是 1 或 4 【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到 x 的值【解答】解：根据题中的新定义将 x26 变形得：x23x+26，即 x23x40，因式分解得：（x4） （x +1）0，解得：x 14，x 21，则实数 x 的值是1 或 4故答案为：1 或 4【点评】此
25、题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为 0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0转化为两个一元一次方程来求解三、解答题（一）：本大题共 5 小题，共 38 分，解答时，应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤19 （6 分）计算：|1 |+（ ） 3 2cos30+（3） 0【分析】本题涉及绝对值、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数 4 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式 182 +1 18 +18【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型
26、解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算20 （6 分）先化简，再求值： （m 1 ） ，其中 m 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 m 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式 ，第 16 页（共 25 页）当 m 时，原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键21 （8 分）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，ABC 的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） （1）画出ABC 绕点 C 顺时针旋转 90后的A 1B1C；（2）求
27、边 AC 旋转时所扫过区域的面积【分析】 （1）根据题意可以画出相应的图形；（2）根据题意可知边 AC 旋转时所扫过区域是以点 C 为圆心， CA4 为半径，圆形角为 90的扇形，从而利用扇形面积公式可以解答本题【解答】解：（1）如右图所示，（2）由题意可得，边 AC 旋转时所扫过区域的面积是 S 扇形 CAA1 4【点评】本题考查作图旋转变换、扇形面积的计算，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，求出扇形的面积22 （8 分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 40cm，灯罩 BC 长为 30cm，底座厚度为 2cm，灯臂与底座构成的 BAD60使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与
28、水平线所成的角为 30，此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm？（结果精确到0.1cm，参考数据： 1.732 ）第 17 页（共 25 页）【分析】根据 sin30 ，求出 CF 的长，根据 sin60 ，再求出 BF 的长，即可得出 CE 的长【解答】解：由题意得：ADCE，过点 B 作 BF CE，BGEA，灯罩 BC 长为 30cm，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30，CFFB，即三角形 CFB 为直角三角形，sin30 ，CF15cm，在直角三角形 ABG 中，sin60 ， ，解得：BG20 ，又ADCBFDBGD 90，四边形 BFDG 为矩形，FDBG
29、，CECF+FD+ DECF+ BG+ED15+20 +251.6（cm） 答：此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是 51.6cm【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键23 （10 分）已知反比例函数 y1 的图象与一次函数 y2ax+b 的图象交于点 A（1，4）第 18 页（共 25 页）和点 B（m，2） ，（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得 y1y 2 成立的自变量 x 的取值范围；（3）如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称，求ABC 的面积【分析】 （1）先根据点 A 的坐标求出反比例函数的解析式为 y1 ，再求出 B 的
30、坐标是（2，2） ，利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值 x 的取值范围 x2 或 0x1（3）根据坐标与线段的转换可得出：AC 、BD 的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答案【解答】解：（1）函数 y1 的图象过点 A（1，4） ，即 4 ，k4，即 y1 ，又点 B（m，2）在 y1 上，m2，B（2，2） ，又一次函数 y2ax +b 过 A、B 两点，即 ，解之得 y 22x+2综上可得 y1 ，y 22x +2（2）要使 y1y 2，即函数 y1 的图象总在函数 y2 的图象
31、上方，第 19 页（共 25 页）如图所示：当 x2 或 0x1 时 y1y 2（3）由图形及题意可得：AC8， BD3，ABC 的面积 SABC ACBD 8312【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式以及三角形面积的求法，这里体现了数形结合的思想四、解答题（二）：本大题共 5 小题，共 50 分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤24 （8 分）如图，袋子里装有 4 个球，大小形状完全一样，上面分别标有 ，0，从中任意取 2 个球（1）用树状图或列表法列出所有可能的结果（请用字母 A、B、C、D 表示）（2）求取到的 2 个球上的数字都是有理数的概率【
32、分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图即可求得取到的 2 个球上的数字都是有理数的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）画树状图得：则共有 12 种等可能的结果；第 20 页（共 25 页）（2）取到的 2 个球上的数字都是有理数的有 2 种情况，P（两个都是有理数） 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比25 （10 分）学生的学业负担过重会严重影响
33、学生对待学习的态度为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A 级：对学习很感兴趣； B 级：对学习较感兴趣；C 级：对学习不感兴趣） ，并将调查结果绘制成图和图 的统计图（不完整） 请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了 200 名学生；（2）将图 补充完整；（3）求出图中 C 级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近 8000 名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括 A 级和 B 级）？【分析】 （1）根据 A 级人数除以 A 级所占的百分比，可得抽测的总人数；（2）根据抽测
34、总人数减去 A 级、B 级人数，可得 C 级人数，根据 C 级人数，可得答案；（3）根据圆周角乘以 C 级所占的百分比，可得答案；（4）根据学校总人数乘以 A 级与 B 级所占百分比的和，可得答案【解答】解：（1）此次抽样调查中，共调查了 5025%200 名学生，故答案为：200；（2）C 级人数为 20050120 30（人） ，第 21 页（共 25 页）条形统计图 ；（3）C 级所占圆心角度数： 360（125%60%）36015% 54（4）达标人数约有 8000（25%+60% ）6800（人） 【点评】本题考查了条形统计图，观察统计图获得有效信息是解题关键26 （8 分）如图，已
35、知：ABCD，BEAD，垂足为点 E，CFAD ，垂足为点 F，并且AE DF求证：四边形 BECF 是平行四边形【分析】通过全等三角形（AEBDFC）的对应边相等证得 BECF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得 BECF则四边形 BECF 是平行四边形【解答】证明：BEAD ，CFAD，AEB DFC90，ABCD，AD，在AEB 与DFC 中，AEB DFC（ASA） ，BECFBEAD ，CF AD，第 22 页（共 25 页）BECF四边形 BECF 是平行四边形【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
36、27 （10 分）如图，AB 是 O 的直径，AC 是弦，直线 EF 经过点 C，ADEF 于点D，DACBAC（1）求证：EF 是O 的切线；（2）求证：AC 2ADAB 【分析】 （1）连接 OC，证明 OCAD ，从而可得 OCEF，根据切线的判定即可求出得证；（2）连接 BC，证明ACBADC，从而可得 ，即 AC2AD AB；【解答】解：（1）连接 OC，OAOC，BACOCA，DACBAC ，OCADAC，OCAD，ADEF，OCEF ，OC 为半径，EF 是O 的切线；（2）连接 BC，AB 为O 的直径，ADEF，BCAADC90，DACBAC，ACBADC，第 23 页（共
37、25 页） ，即 AC2ADAB ；【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，涉及勾股定理，切线的判定，圆周角定理等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识28 （14 分）如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1，0） ，B （3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使PBC 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标及PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由【分析】
38、 （1）根据题意可知，将点 A、B 代入函数解析式，列得方程组即可求得 b、c 的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边 AC 的长是定值，要想QAC 的周长最小，即是 AQ+CQ 最小，所以此题的关键是确定点 Q 的位置，找到点 A 的对称点 B，求得直线 BC 的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）存在，设得点 P 的坐标，将BCP 的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点 P 的坐标【解答】解：（1）将 A（1，0） ，B（3，0）代 yx 2+bx+c 中得，第 24 页（共 25 页） 抛物线解析式为：yx 22x +3；（2）存在理由如下：由题知 A、B 两
39、点关于抛物线的对称轴 x1 对称，直线 BC 与 x1 的交点即为 Q 点，此时AQC 周长最小，yx 22x +3，C 的坐标为：（0，3） ，直线 BC 解析式为：y x+3，Q 点坐标即为 ，解得 ，Q（1，2） ；（3）存在理由如下：设 P 点（x ，x 22x+3） （3x0） ，S BPC S 四边形 BPCOS BOC S 四边形 BPCO ，若 S 四边形 BPCO 有最大值，则 SBPC 就最大，S 四边形 BPCOS BPE +S 直角梯形 PEOC， BEPE+ OE（PE+OC ） （x+3） （x 22x +3）+ （x） （x 22x+3+3） ，当 x 时，S 四边形 BPCO 最大值 ，S BPC 最大 ，当 x 时，x 22x +3 ，点 P 坐标为（ ， ） 第 25 页（共 25 页）【点评】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用