1、2018 年甘肃省天水一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| （x8） （x +2）0 ，Bx|x30，则 A（ RB）（ ）A （3，8） B3，8） C （2，3 D （2，3）2 （5 分）设 i 为虚数单位， aR，若 是纯虚数，则 a（ ）A2 B2 C1 D13 （5 分）已知条件 p： ，条件 q： ，则 p 是 q 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分
2、）已知 是锐角，若 ，则 cos2（ ）A B C D5 （5 分）已知数列a n是公比为 q 的等比数列，且 a1， a3，a 2 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A2 B C D16 （5 分）设向量 满足 ，则 （ ）A6 B C10 D7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 2 页（共 25 页）A64 B32 C96 D488 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（2， 2） ，且 P（4）0.8，则P（0 2）等于（ ）A0.6 B0.4 C0.3 D0.29 （5 分） 九章算术上有这
3、样一道题：“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ”假设墙厚 16 尺，现用程序框图描述问题，则输出 n（ ）A2 B4 C6 D810 （5 分）函数 的图象大致为（ ）第 3 页（共 25 页）A BC D11 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足 bc， ，若点 O 是ABC 外一点，AOB （0） ，OA2，OB 1，则平面四边形 OACB 面积的最大值
4、是（ ）A B C3 D12 （5 分）设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px （p0）上任意一点，M是线段 PF 上的点，且 |PM|2|MF |，则直线 OM 的斜率的最大值为（ ）A B C D1二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）设实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是 14 （5 分） （1+x） （1x ） 6 的展开式中，x 3 的系数是 （用数字作答）15 （5 分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问
5、到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 16 （5 分）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 6cm，该纸片上的正方形 ABCD 的中心为O，E， F，G， H 为圆 O 上的点，ABE，BCF，CDG，ADH 分别是以AB， BC，CD ，DA 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 AB，BC，CD，DA 为折痕折起ABE，BCF，CDG ，ADH ，使得 E， F，G ，H 重合，得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥
6、的外接球的体积为 第 4 页（共 25 页）三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且有（1）求角 C 的大小；（2）当 c2 时，求 SABC 的最大值18 （12 分）四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，侧面 PAD底面ABCD， BCD60， ，E 是 BC 中点，点 Q 在侧棱 PC 上（）求证：ADPB ；（）若 Q 是 PC 中点，求二面角 EDQC 的余弦值；（）是否存在 Q，使 PA 平面 DEQ？若
7、存在，求出 的值；若不存在，说明理由19 （12 分）第 23 届冬季奥运会于 2018 年 2 月 9 日至 2 月 25 日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时） 0，1） 1， 2） 2， 3） 3， 4） 4， 5） 5，6）收看人数 14 30 16 28 20 12（1）若将每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的教职工定义为“体育达人” ，否则定义为“非体育达人” ，请根据频数分布表补全 22 列联表：男 女 合计第 5 页（共 25 页）体育达人 40
8、 非体育达人 30 合计 并判断能否有 90%的把握认为该校教职工是否为 “体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名“体育达人”中选取 2 名作冬奥会知识讲座记其中女职工的人数为 ，求的 分布列与数学期望附表及公式：P（ K2k0）0.15 0.10 0.05
9、 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 F1（ ，0） ，圆F2：x 2+y22 x130，点 Q 是圆上一动点，线段 F1Q 的中垂线与线段 F2Q 交于点P（1）求动点 P 的轨迹 E 的方程；（2）若直线 l 与曲线 E 相较于 A，B 两点，且存在点 D（4，0） （其中 A，B，D 不共线），使得ADB 被 x 轴平分，证明：直线 l 过定点21 （12 分）已知函数 （1）当 a1 时，试判断函数 f（x ）的单调性；（2）若 a1e
10、，求证：函数 f（x）在1，+ ）上的最小值小于 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2（1+2sin 2）3，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）已知点 P 是曲线 C 上一点，求点 P 到直线 l 的最小距离选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 2|+2|x1|第 6 页（共 25 页）（）求不等式 f（x ）4 的解集；（）若
11、不等式 f（x ）2m 27m +4 对于xR 恒成立，求实数 m 的取值范围第 7 页（共 25 页）2018 年甘肃省天水一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| （x8） （x +2）0 ，Bx|x30，则 A（ RB）（ ）A （3，8） B3，8） C （2，3 D （2，3）【分析】解不等式求得集合 A、B，根据补集与交集的定义写出 A（ RB） 【解答】解：集合 Ax| （x8） （x +2）0 x|2x8，B x|
12、x30x| x3， RBx| x3，A（ RB）x |2x 3（2，3 故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2 （5 分）设 i 为虚数单位， aR，若 是纯虚数，则 a（ ）A2 B2 C1 D1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值【解答】解： 是纯虚数， ，解得 a1故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）已知条件 p： ，条件 q： ，则 p 是 q 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式
13、的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可第 8 页（共 25 页）【解答】解：由 ，得 ，即 ，即 ，得 x ，由 得1x1，则 p 是 q 的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条件是解决本题的关键4 （5 分）已知 是锐角，若 ，则 cos2（ ）A B C D【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 cos（ ）的值，再利用二倍角公式cos2sin（2 ）的值【解答】解：已知 是锐角，若 ，cos（ ） ，则 cos2sin（ 2）sin（2 ）2sin（ ）cos （ ）2 ，故选：D【点评】本题主
14、要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题5 （5 分）已知数列a n是公比为 q 的等比数列，且 a1， a3，a 2 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A2 B C D1【分析】a 1，a 3，a 2 成等差数列得 2a3a 1+a2，利用数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程，易求【解答】解：由题意 2a3a 1+a2，2a 1q2a 1q+a1，2q 2q+1，q1 或 q故选：C第 9 页（共 25 页）【点评】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求 q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练6 （5 分）设向量 满足 ，则 （
15、 ）A6 B C10 D【分析】利用数量积运算性质即可得出【解答】解：向量 满足 ， 3，解得 2则 4 故选：D【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A64 B32 C96 D48【分析】根据三视图知该几何体是长方体挖去一个四棱锥，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是长方体，挖去一个四棱锥，结合图中数据，计算该几何体的体积为VV 长方体 V 四棱锥 446 44664故选：A第 10 页（共 25 页）【点评】本题考查了利用三视图求几何体的体积问题，
16、是基础题8 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（2， 2） ，且 P（4）0.8，则P（0 2）等于（ ）A0.6 B0.4 C0.3 D0.2【分析】据随机变量 X 服从正态分布 N（2， 2） ，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴 x2，根据正态曲线的特点，得到 P（02） P（04） ，得到结果【解答】解：随机变量 X 服从正态分布 N（2， 2） ，2，得对称轴是 x2P（4）0.8P（4）P（0）0.2，P（04）0.6 P（02）0.3故选：C【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为 x，并在 x
17、 时取最大值 从 x 点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近 x 轴，但永不与 x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的9 （5 分） 九章算术上有这样一道题：“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ”假设墙厚 16 尺，现用程序框图描述问题，则输出 n（ ）第 11 页（共 25 页）A2 B4 C6 D8【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值
18、，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，S2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，a ，n2，S ，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，a ，n4，S ，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，a ，n8，S16+ ，满足退出循环的条件；故输出 n 值为 8，故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10 （5 分）函数 的图象大致为（ ）A BC D第 12 页（共 25 页）【分析】利用函数的导数，判断函数的单调性，判断函数的极值，判断选项即可【解答
19、】解：函数 ，可得：y ，x0 时，函数是增函数，x0 时是减函数，x0 是函数的极大值点，函数的图象只有 C 满足故选：C【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的导数的应用考查计算能力以及数形结合的应用11 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足 bc， ，若点 O 是ABC 外一点，AOB （0） ，OA2，OB 1，则平面四边形 OACB 面积的最大值是（ ）A B C3 D【分析】由 ，化为 sinCsinA，又 bc ，可得ABC 是等边三角形，设该三角形的边长为 a，则 SOACB 12sin+ a2，利用余弦定理、两角和差的正弦公
20、式及其单调性即可得出【解答】解：由 ，化为 sinBcosAsin AsinAcosB，sin（A+B ）sinA，sinCsin A， A，C （0， ） CA，又 bc ，ABC 是等边三角形，设该三角形的边长为 a，则：a 21 2+2222cos 则 SOACB 12sin+ a2sin+ （1 2+2222cos）2sin（ ）+ ，当 时， SOACB 取得最大值 故选：B【点评】本题考查了两角和差的正弦公式及其单调性、余弦定理、三角形的面积计算公第 13 页（共 25 页）式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分）设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线
21、y22px （p0）上任意一点，M是线段 PF 上的点，且 |PM|2|MF |，则直线 OM 的斜率的最大值为（ ）A B C D1【分析】由题意可得 F（ ，0） ，设 P（ ，y 0） ，要求 kOM 的最大值，设 y00，运用向量的加减运算可得 + （ + ， ） ，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值【解答】解：由题意可得 F（ ，0） ，设 P（ ，y 0） ，显然当 y00，k OM0；当 y00，k OM0要求 kOM 的最大值，设 y00，则 + + + （ ） + （ + ， ） ，可得 kOM ，当且仅当 y022p 2，取得等号故选：C【点评】本
22、题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）设实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是 【分析】由约束条件作出可行域，利用 的几何意义，即可行域内的动点与定点（3，1）连线的斜率得答案第 14 页（共 25 页）【解答】解：由实数 x，y 满足 作出可行域如图，A（2，0） ，联立 ，解得 B（2，6） 则 1+ ，的几何意义为可行域内的动点与定点（3，1）连线的斜率k PA ，k PB 11+ 的取值范围是 ，2故答案为： ，
23、2【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14 （5 分） （1+x） （1x ） 6 的展开式中，x 3 的系数是 5 （用数字作答）【分析】根据（1x） 6 展开式的通项公式，求得（1+x） （1x ） 6 展开式中 x3 的系数【解答】解：（1x） 6 展开式的通项公式为 Tr+1 （x） r，（1+x） （1x ） 6 的展开式中，x 3 的系数是（1） 3+ （1） 220+155故答案为：5【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题15 （5 分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主
24、招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 乙 第 15 页（共 25 页）【分析】分别假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲、乙、丙，根据这三位同学中只有一人说的是假话，能判断与申请了北京大学的自主招生考试的同学【解答】解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，则甲、乙、丙三人说的都是真话，不满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意故申请了北京大学的自
25、主招生考试的同学是乙故答案为：乙【点评】本题考查申请了北京大学的自主招生考试的同学的判断，考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化思想，是基础题16 （5 分）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 6cm，该纸片上的正方形 ABCD 的中心为O，E， F，G， H 为圆 O 上的点，ABE，BCF，CDG，ADH 分别是以AB， BC，CD ，DA 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 AB，BC，CD，DA 为折痕折起ABE，BCF，CDG ，ADH ，使得 E， F，G ，H 重合，得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的体积为 &
26、nbsp; 【分析】根据题意，设正方形 ABCD 的边长为 x，E，F ， G，H 重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，即可求解 x，从而求解四棱锥的外接球的体积【解答】解：连接 OE 交 AB 与 I，E ，F，G，H 重合为 P，得到一个正四棱锥，设正方形 ABCD 的边长为 x第 16 页（共 25 页）则 OI ，IE6 由四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，可得 ，解得：x4设外接球的球心为 Q，半径为 R，可得 OC ，OP ， 该四棱锥的外接球的体积 V 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键三、解答题（本大题共 5
27、 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且有（1）求角 C 的大小；（2）当 c2 时，求 SABC 的最大值【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出 C 的值（2）利用（1）的结论，余弦定理和三角形的面积即及基本不等式求出结果【解答】解：（1）由 及正弦定理，得 ，即 ，即 第 17 页（共 25 页）因为在ABC 中，0A，0C，所以 sinA0，所以 ，得 （2）由余弦定理，得 ，即 ，故 ，当且仅当 时，取等号所以 ，即 SABC 的最大值为 【点评】本题考
28、查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，基本不等式的应用18 （12 分）四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，侧面 PAD底面ABCD， BCD60， ，E 是 BC 中点，点 Q 在侧棱 PC 上（）求证：ADPB ；（）若 Q 是 PC 中点，求二面角 EDQC 的余弦值；（）是否存在 Q，使 PA 平面 DEQ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由【分析】 （）取 AD 中点 O，连接 OP，OB ，BD推导出 POAD ，BOAD 从而AD平面 POB由此能证明 ADPB （）以 O 为坐标原点，建立空间直角坐
29、标系 Oxyz 利用向量法能求出二面角第 18 页（共 25 页）EDQC 的余弦值（）设 ，Q （x，y，z） ，推导出 ，利用向量法能求出当 时，PA平面 DEQ【解答】 （本小题满分 14 分）证明：（）取 AD 中点 O，连接 OP，OB ，BD因为 PAPD ，所以 POAD因为菱形 ABCD 中，BCD60，所以 ABBD所以 BOAD 因为 BOPO O，且 BO，PO平面 POB，所以 AD平面 POB所以 ADPB解：（）由（）可知，BOAD ，POAD ，因为侧面 PAD底面 ABCD，且平面 PAD底面 ABCDAD ，所以 PO底面 ABCD以 O 为坐标原点，如图建立
30、空间直角坐标系 Oxyz则 ，因为 Q 为 PC 中点，所以 所以 ，所以平面 DEQ 的法向量为 因为 ，设平面 DQC 的法向量为 ，第 19 页（共 25 页）则 ，即 令 ，则 ，即 所以 由图可知，二面角 EDQC 为锐角，所以余弦值为 （）设由（）可知 设 Q（x，y，z） ，则 ，又因为 ，所以 ，即 所以在平面 DEQ 中， ，所以平面 DEQ 的法向量为 ，又因为 PA平面 DEQ，所以 ，即（1）+ （1） （21）0，解得 所以当 时，PA平面 DEQ【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位
31、置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）第 23 届冬季奥运会于 2018 年 2 月 9 日至 2 月 25 日在韩国平昌举行，期间正第 20 页（共 25 页）值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时） 0，1） 1， 2） 2， 3） 3， 4） 4， 5） 5，6）收看人数 14 30 16 28 20 12（1）若将每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的教职工定义为“体育达人” ，否则定义为“非体育达人” ，请根据频数分布表补全 22 列联表
32、：男 女 合计体育达人 40 20 60 非体育达人 30 30 60 合计 70 50 120 并判断能否有 90%的把握认为该校教职工是否为 “体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名“体育达人”中选取 2 名作冬奥会知识讲座记其中女职工的人数为 ，求的 分布列与数学期望附表及公式：P（ K2k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
33、 7.879 10.828【分析】 （1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量 的可能取值，计算对应的概率值，再写出 的分布列，求出数学期望【解答】解：（1）由题意填写列联表，如下：男 女 合计体育达人 40 20 60非体育达人 30 30 60合计 70 50 120计算 k2 的观测值为 ，第 21 页（共 25 页）所以有 90%的把握认为该校教职工是 “体育达人”与“性别”有关；（2）由题意知抽取的 6 名“体育达人”中有 4 名男职工，2 名女职工，所以 的可能取值为 0，1，2；且 ， ， ，所以 的分布列为： 0 1 2P数学期望为 【点评】
34、本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 F1（ ，0） ，圆F2：x 2+y22 x130，点 Q 是圆上一动点，线段 F1Q 的中垂线与线段 F2Q 交于点P（1）求动点 P 的轨迹 E 的方程；（2）若直线 l 与曲线 E 相较于 A，B 两点，且存在点 D（4，0） （其中 A，B，D 不共线），使得ADB 被 x 轴平分，证明：直线 l 过定点【分析】 （1）化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，画出图形，数形结合可得|PF1|+|PF2|4|F 1F2|，故点 P 的轨迹是以 F1、F 2 为焦
35、点，长轴长为 4 的椭圆，由此求出动点的轨迹方程；（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l：xny+t联立直线方程与椭圆方程，化为关于 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 A，B 的纵坐标的和与积，结合斜率关系求得 t 值；当直线 l 的斜率为 0 时，取 A（2，0） ，B（2，0） ，满足ODA ODB 综上，可得直线 l 过定点第 22 页（共 25 页）【解答】 （1）解：化圆 F2：x 2+y22 x130 为 ，可得 F2（ ） ，半径为 4由题意可得：|PF 1|+|PF2|QF 2|4，动点 P 的轨迹 E 是
36、以 F1，F 2 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，方程为： ；（2）证明：如图，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l：xny+t 联立 ，得（n 2+4）y 2+2nty+t240， 设直线 DA、DB 的斜率分别为 k1，k 2，则由ODA ODB 得， 02ny 1y2+（t4） （y 1+y2）0，联立，得 n（t1）0故存在 t1 满足题意，此时直线方程为 xny+1，直线过定点（1，0） ；当直线 l 的斜率为 0 时，直线为 x 轴，取 A（2，0） ，B（2，0） ，满足ODA ODB综上，直线 l 过定点（1，0） 第 2
37、3 页（共 25 页）【点评】本题考查椭圆轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题21 （12 分）已知函数 （1）当 a1 时，试判断函数 f（x ）的单调性；（2）若 a1e，求证：函数 f（x）在1，+ ）上的最小值小于 【分析】 （1）求得 f（x ）的导数，设 g（x）f'（x ）e xx+a，求得导数和单调性，可得 f（x）在 a1 的单调性；（2）由（1）的单调性，可得存在 t（1，+） ，使得 f（t）0，即 ett +a0，即ate t，所以函数 f（x）在1，t）上单调递减，在（t ，+）上单调递増，可得f（x）的最小值，令
38、 ，求得导数，判断单调性，即可得证【解答】解：（1）由题意可得 f（x ）e xx+a，设 g（x）f' （x）e xx+a，则 g'（x）e x1，所以当 x0 时 g'（x ）0，f '（x）在（0，+）上单调递增，当 x0 时 g'（x ）0，f' （x）在（，0）上单调递减，所以 f（x） f'（0）1+a，因为 a1，所以 1+a0，即 f'（x）0，所以函数 f（x）在 R 上单调递増；（2）证明：由（1）知 f'（x ）在1 ，+）上单调递増，因为 a1e，所以 f'（1）e1+a0，所以存在 t（1
39、，+） ，使得 f（t ）0，即 ett +a0，即 ate t，所以函数 f（x）在 1，t）上单调递减，在（t，+）上单调递増，所以当 x1， +）时，第 24 页（共 25 页），令 ，则 h'（x）x（1e x）0 恒成立，所以函数 h（x）在（1，+）上单调递减，所以 ，所以 ，即当 x1，+）时 ，故函数 f（x）在 1，+ ）上的最小值小于 【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查构造函数法，以及转化思想，运算能力和推理能力，是一道综合题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）
40、在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2（1+2sin 2）3，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）已知点 P 是曲线 C 上一点，求点 P 到直线 l 的最小距离【分析】 （1）直接利用转换关系把极坐标方程和参数方程转换为直角坐标方程，（2）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换求出结果【解答】解：（1）由曲线 C 的极坐标方程得： 2+22sin23，曲线 C 的直角坐标方程为： ，直线 l 的普通方程为：y x6（2）设曲线 C 上任意一点 P 为 ，则
41、点 P 到直线 l 的距离为 ，【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程参数方程和直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 2|+2|x1|第 25 页（共 25 页）（）求不等式 f（x ）4 的解集；（）若不等式 f（x ）2m 27m +4 对于xR 恒成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （）讨论 x 的范围：x1，1x 2，x2，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象即可求得 m 值；（）f（x） 2m27m +4 对于 xR 恒成立，可得 f（x） min2m 27m +4，解得【解答】解：（）依题意，f（x ）|x2|+2|x1| 故不等式 f（x） 4 的解集为（，0）（0，+） （）由（）可得，当 x1 时，f （x）取最小值 1，f（x）2m 27m +4 对于x R 恒成立，f（x） min2 m27m +4，2m 27m+30，解之得 ，实数 m 的取值范围是（ ， 3） 【点评】本题考查分段函数的图象和性质，考查最值的求法，注意运用图象和基本不等式，考查变形和化简整理的运算能力，属于中档题