1、2017 年甘肃省兰州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 M1，0，1，2，3，Nx|x 22x0，则 MN （ ）A1 ，2 B2 ，3 C 1，0，3 D0 ，1，22 （5 分）设 i 是虚数单位，复数 （a R）的实部与虚部相等，则 a（ ）A1 B0 C1 D23 （5 分）已知等差数列a n的公差为 2，若 a1，a 3，a 4 成等比数列，则 a6（ ）A2 B0 C2 D44 （5 分）已知向量 ， ，且 与 的
2、夹角为 ，则“ ”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要5 （5 分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A2014 B2015 C2016 D20176 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z 的最大值为（ ）A3 B4 C8 D16第 2 页（共 23 页）7 （5 分）已知函数：yx 3+3x2； ； ；yxsin x，从中任取两个函数，则这两函数奇偶性相同的概率为（ ）A B C D8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是（ ）该几何体的体积为
3、 ；该几何体为正三棱锥；该几何体的表面积为 + ；该几何体外接球的表面积为 3A B C D9 （5 分）若直线 ax+by+10（a0，b0）把圆（x+4） 2+（y+1） 216 分成面积相等的两部分，则 的最小值为（ ）A10 B8 C5 D410 （5 分）已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中， ，AD1，则异面直线 B1C和 C1D 所成角的余弦值为（ ）A B C D11 （5 分）以 为焦点的抛物线 C 的准线与双曲线 x2y 22 相交于M，N 两点，若MNF 为正三角形，则抛物线 C 的方程为（ ）A B C D12 （5 分）已知
4、 f（x ）是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函数 yf（2x 2+1）+f （ x）第 3 页（共 23 页）只有一个零点，则实数 的值是（ ）A B C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）双曲线 的一条渐近线的方程为 yx，则该双曲线的离心率 e 14 （5 分）观察下列式子：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，由此可推测出一个一般性的结论：对于 nN*，1+2+n+2+1 15 （5 分）已知函数：f（x）2sin （2x+ ） ； f（x）2
5、sin（2x ） ；f （x ）2sin（ x+ ） ；f（x ）2sin（2x ） ，其中，最小正周期为 且图象关于直线x 对称的函数序号是 16 （5 分）对于正整数 n，设曲线 yx n（1x ）在 x2 的切线与平面直角坐标系的 y 轴交点的纵坐标为 an，则数列 的前 10 项等于 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（1）求角 B；（2）如果 b2，求ABC 面积的最大值18 （12 分）随着手机的发展，
6、 “微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了 50 人，他们年龄的频率分布及“使用微信交流”赞成人数如下表年龄（岁） 15，25 ） 25，35 ） 35，45 ） 45，55 ） 55，65 ） 65，75 ）频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 5 10 12 7 2 1（1）若以“年龄 45 岁为分界点” ，由以上统计数据完成下面 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为“使用微信交流 ”的态度与人的年龄有关；年龄不低于 45 岁的人 年龄低于 45 岁的人数 合计第 4 页（共 23 页）数赞成不赞成合计（2）若从年龄在55，65）
7、的被调查人中随机选取 2 人进行追踪调查，求 2 人中至少有1 人不赞成“使用微信交流”的概率参考数据：P（K 2k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（K 2 ，其中 na+b+c+d）19 （12 分）如图所示的空间几何体 ABCDEFG 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE 平面 ABCD，EFAB， EGAD，EFEG1（1）求证：平面 CFG平面 ACE；（2）在 AC 上是否一点 H，使得 EH平面 CFG？若存在，求出 CH 的长；
8、若不存在，请说明理由20 （12 分）已知函数 f（x ） f（1）x+xlnx（1）求函数 f（x ）的极值；（2）若 kZ，且 f（x）k（x1）对任意的 x（1，+）都成立，求整数 k 的最大值21 （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为F1（2 ，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 ykx（k 0）与椭圆 C 交于 P，Q 两第 5 页（共 23 页）点，直线 AP，AQ 分别与 y 轴交于点 M，N（）求椭圆 C 的方程（）以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由二、请考生在 22、23 两
9、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系中，已知点 B（1，1） ，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为（ 4 ， ） ，直线 l 的极坐标方程为 cos（ ）a，且 l 过点 A，过点 B 与直线 l 平行的直线为 l1，l 1 与曲线 C 相交于两点 M，N（）求曲线 C 上的点到直线 l 距离的最小值（）求|MN| 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|+|x+a|（）当 a3 时，解关于 x 的不等式| x1|+|x +a
10、|6（）若函数 g（x）f（x）|3+a|存在零点，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 23 页）2017 年甘肃省兰州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 M1，0，1，2，3，Nx|x 22x0，则 MN （ ）A1 ，2 B2 ，3 C 1，0，3 D0 ，1，2【分析】求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可【解答】解：由 N 中不等式变形得： x（x2）0，解得：0x2，即 N0，2，M1，0，1，2
11、，3，MN0 ， 1，2，故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分）设 i 是虚数单位，复数 （a R）的实部与虚部相等，则 a（ ）A1 B0 C1 D2【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 ，又已知复数 （aR）的实部与虚部相等，即可解得 a 的值【解答】解： ，又复数 （aR）的实部与虚部相等， ，解得 a0故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3 （5 分）已知等差数列a n的公差为 2，若 a1，a 3，a 4 成等比数列，则 a6（ ）A2 B0 C2 D4【分析】
12、运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列的通项公式即可得到所求值【解答】解：a 1，a 3，a 4 成等比数列，第 7 页（共 23 页）可得 a32a 1a4，可得（a 1+2d） 2a 1（a 1+3d） ，由等差数列a n的公差为 d2，即有（a 1+4） 2a 1（a 1+6） ，解得 a18，则 a6a 1+5d8+10 2故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，等比数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题4 （5 分）已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则“ ”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要
13、条件 D既不充分也不必要【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积运算以及向量的模求出 再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：向量 ， ，且 与 的夹角为 ，| |2| |2+| |22| | |cos22cos1，cos ，0， ，“ ”是“ ”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查了向量的坐标运算和数量积的运算以及向量的模和充要条件，属于中档题5 （5 分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）第 8 页（共 23 页）A2014 B2015 C2016 D2017【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i，s 的值，当 i0，不满足条件i0，退出循环，输
14、出 s 的值为 2016【解答】解：模拟程序的运行，可得i2017，s2017满足条件 i0，执行循环体， i2016，s2016满足条件 i0，执行循环体， i2015，s2017满足条件 i0，执行循环体， i2014，s2016观察规律可得满足条件 i0，执行循环体， i1，s2017满足条件 i0，执行循环体， i0，s2016不满足条件 i0，退出循环，输出 s 的值为 2016故选：C【点评】本题主要考查了程序框图的应用，正确写出每次循环得到的 i，s 的值是解题的关键，属于基础题6 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z 的最大值为（ ）A3 B4 C8 D
15、16第 9 页（共 23 页）【分析】先画出满足条件的平面区域，由 z 2 xy ，令 mxy，则yxm，通过读图得到直线 yxm 过（4，0）时，m 最大，从而求出 z 的最大值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由 z 2 xy ，令 mxy，则 yx m，显然直线 yxm 过（4，0）时，m 最大，m 的最大值是 4，z 的最大值是 2m2 416，故选：D【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题7 （5 分）已知函数：yx 3+3x2； ； ；yxsin x，从中任取两个函数，则这两函数奇偶性相同的概率为（ ）A B C D【分析】
16、 yx 3+3x2 是非奇非偶函数， 是偶函数， 是奇函数， yxsinx 是偶函数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果【解答】解：yx 3+3x2 是非奇非偶函数， 是偶函数， 是奇函数，yx sinx 是偶函数，第 10 页（共 23 页）从中任取两个函数，基本事件总数 n 6，这两函数奇偶性相同包含的基本事件个数 m ，这两函数奇偶性相同的概率 p 故选：D【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是（ ）该几何体的体积为 ；该几何体为正三棱锥；该几何体的表面积为
17、+ ；该几何体外接球的表面积为 3A B C D【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是长方体的一个角，结合已知中的数据，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是长方体的一个角，该几何体的体积为 ，正确；该几何体为正三棱锥，正确；该几何体的表面积为 + + ，不正确；该几何体外接球的半径为 ，表面积为 3，正确故选：B第 11 页（共 23 页）【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键9 （5 分）若直线 ax+by+10（a0，b0）把圆（x+4） 2+（y+1） 216 分成面积相等的两部分，则 的最小值为（
18、;）A10 B8 C5 D4【分析】由题意，圆心（4，1）代入直线 1：ax+by+10，可得 4a+b1，利用“1”的代换，结合基本不等式求最值，即可得出结论【解答】解：由题意，圆心（4，1）代入直线 1：ax+by+10，可得 4a+b1， （ ） （4a+b）4+ + 4+48，当且仅当 时取等号， 的最小值为 8，故选：B【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及基本不等式的运用，关键是分析得到直线1：ax+by+10 过圆的圆心10 （5 分）已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中， ，AD1，则异面直线 B1C和 C1D 所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】由题
19、意画出图形，找出异面直线 B1C 和 C1D 所成角，求解三角形得答案【解答】解：如图，连接 B1A，则 B1AC 1D，AB 1C 为异面直线 B1C 和 C1D 所成角，在AB 1C 中， ，B 1C2，AC 2，cosAB 1C 第 12 页（共 23 页）异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为 故选：A【点评】本题考查异面直线及其所成角，关键是找出异面直线所成角，是基础题11 （5 分）以 为焦点的抛物线 C 的准线与双曲线 x2y 22 相交于M，N 两点，若MNF 为正三角形，则抛物线 C 的方程为（ ）A B C D【分析】由题意，y 代入双曲线 x2y 2
20、2，可得 x ，利用MNF 为正三角形，求出 p，即可求出抛物线的方程【解答】解：由题意，y 代入双曲线 x2y 22，可得 x ，MNF 为正三角形，p 2 ，p0，p2 ，抛物线 C 的方程为 x24 y，故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力12 （5 分）已知 f（x ）是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函数 yf（2x 2+1）+f （ x）只有一个零点，则实数 的值是（ ）A B C D【分析】由题意利用函数的单调性，函数的奇偶性可得只有一个 x 的值，使 f（2x 2+1）f（x） ，即只有一个 x 的值
21、，使 2x2+1x ，由判别式等于零，求得 的值【解答】解：函数 yf（x 2）+f（k x）只有一个零点，只有一个 x 的值，使f（2x 2+1）+f（x ）0函数 f（x）是奇函数， 只有一个 x 的值，使 f（2x 2+1）f （x ） ，又函数 f（x）是 R 上的单调函数，只有一个 x 的值，使 2x2+1x，第 13 页（共 23 页）即方程 2x2x+1 0 有且只有一个解，18（+1）0，解得 ，故选：C【点评】本题考查了函数的零点，函数的单调性，函数的奇偶性，只要基础牢固，问题容易解决，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）双
22、曲线 的一条渐近线的方程为 yx，则该双曲线的离心率 e 【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到 ab 关系式，然后求解离心率【解答】解：双曲线 的一条渐近线的方程为 yx，可得 ab，则 c ，e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力14 （5 分）观察下列式子：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，由此可推测出一个一般性的结论：对于 nN*，1+2+n+2+1 n 2 【分析】由已知中11 2，1+2+1 42 2，1+2+3+2+193 2，1+2+3+4+3+2+1164 2，归纳猜想可得：1+
23、2+3+（n1）+ n+（n1）+3+2+1n 2，进而可得答案【解答】解：由已知中：11 2，1+2+1 42 2，1+2+3+2+193 2，1+2+3+4+3+2+1164 2，归纳猜想可得：1+2+3+（n1）+n+ （n1）+3+2+1 n 2，故答案为：n 2【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从第 14 页（共 23 页）已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 15 （5 分）已知函数：f（x）2sin （2x+ ） ； f（x）2sin（2x ） ；f （x ）2sin（ x+ ） ；f（x ）2sin（2x ） ，其中，最
24、小正周期为 且图象关于直线x 对称的函数序号是 【分析】利用三角函数的周期性以及图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：由于：f（x ） 2sin（2x+ ）的周期为 ，且当 x 时，f（x）0，故 f（x ）的图象不关于直线 x 对称，故排除；由于 f（x）2sin（2x ）的周期为 ，且当 x 时，f（x）2，为最大值，故 f（x）的图象关于直线 x 对称，故正确；由于 f（x）2sin（ x+ ）的周期为 4，故不满足条件，故排除 C；由于 f（x）2sin（2x ）的周期为 ，且当 x 时，f（x） ，不是最值，故 f（x ）的图象不关于直线 x 对称，故排除，故答
25、案为：【点评】本题主要考查三角函数的周期性以及图象的对称性，属于基础题16 （5 分）对于正整数 n，设曲线 yx n（1x ）在 x2 的切线与平面直角坐标系的 y 轴交点的纵坐标为 an，则数列 的前 10 项等于 55 【分析】欲求数列 的前 10 项和，必须求出在 x2 处的切线方程，须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x2 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即得直线方程进而得到切线与 y 轴交点的纵坐标最后利用对数的运算性质和等差数列的求和公式计算，从而问题解决【解答】解：ynx n1 （n+1）x n，曲线 yx n（1x ）在 x2 处的切线的斜率为 kn
26、2 n1 （n+1）2 n，切点为（2，2 n） ，第 15 页（共 23 页）所以切线方程为 y+2nk （x 2） ，令 x0 得 an（n+1）2 n，令 bnlog 2 数列b n的前 10 项和为 log22+log222+log223+log22101+2+3+10 101155故答案为：55【点评】本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等差数列的前 n 项和的公式解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点否则容易出错三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，A，B，C
27、的对边分别为 a，b，c，若（1）求角 B；（2）如果 b2，求ABC 面积的最大值【分析】 （1）根据两角和的正切公式，利用三角形内角和定理，求出 B 的值；（2）由余弦定理和基本不等式，求出ABC 面积的最大值【解答】解：（1）ABC 中，tanA+tan C （tanAtanC 1） ， ，即 tan（A+C） ；又 A+B+C ，tanB tan（A+C） ；由 B（0，） ，B ；（2）ABC 中，由余弦定理得：b2a 2+c22ac cosBa 2+c22accos a 2+c2ac4，a 2+c2ac+4；又 a2+c22ac，ac4，当且仅当 ac 2 时取“” ，第 16 页
28、（共 23 页）ABC 的面积为 S acsinB 4 ，即ABC 面积的最大值为 【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角形内角和定理、余弦定理的应用问题，是中档题18 （12 分）随着手机的发展， “微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了 50 人，他们年龄的频率分布及“使用微信交流”赞成人数如下表年龄（岁） 15，25 ） 25，35 ） 35，45 ） 45，55 ） 55，65 ） 65，75 ）频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 5 10 12 7 2 1（1）若以“年龄 45 岁为分界点” ，由以上统计数据完成下面 22 列联表
29、，并判断是否有 99%的把握认为“使用微信交流 ”的态度与人的年龄有关；年龄不低于 45 岁的人数年龄低于 45 岁的人数 合计赞成不赞成合计（2）若从年龄在55，65）的被调查人中随机选取 2 人进行追踪调查，求 2 人中至少有1 人不赞成“使用微信交流”的概率参考数据：P（K 2k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（K 2 ，其中 na+b+c+d）【分析】 （1）根据统计数据，可得 22 列联表，根据列联表中的数据，计算 K2 的值，即可得到结论；（2
30、）利用对立事件的概率公式，即可求 2 人中至少有 1 人不赞成“使用微信交流”的概率第 17 页（共 23 页）【解答】解：（1）由以上统计数据填写下面 22 列联表，如下；年龄不低于 45 岁的人年龄低于 45 岁的人 合计赞成 10 27 37不赞成 10 3 13合计 20 30 50根据公式计算 K2 9.986.635，所以有 99%的把握认为年龄 45 岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；（2）设年龄在55，65）中不赞成 “使用微信交流”的人为 A、B、C，赞成“使用微信交流”的人为 a，b，则从 5 人中随机选取 2 人有 AB，AC，Aa，Ab，BC ，Ba，Bb，Ca ，
31、Cb，ab，10 个结果；其中 2 人中至少有 1 人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa ，Ab，BC，Ba， Bb，Ca，Cb，9 个结果，所以 2 人中至少有 1 人不赞成“使用微信交流”的概率为 【点评】本题考查独立性检验，考查古典概型的概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于基础题19 （12 分）如图所示的空间几何体 ABCDEFG 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE 平面 ABCD，EFAB， EGAD，EFEG1（1）求证：平面 CFG平面 ACE；（2）在 AC 上是否一点 H，使得 EH平面 CFG？若存在，求出 CH 的长；若不存在，请说明理由【分
32、析】 （1）连接 BD 交 AC 于点 O，设 AB，AD 的中点分别为 M，N，连接 MN，运用第 18 页（共 23 页）中位线定理，以及线面垂直的判定定理，可得 FG平面 ACE，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）设平面 ACE 交 FG 于 Q，则 Q 为 FG 的中点，连接 EQ，CQ，取 CO 的中点为H，由平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定，即可得到存在点 H【解答】解：（1）证明：连接 BD 交 AC 于点 O，则 BDAC ，设 AB，AD 的中点分别为 M， N，连接 MN，则 MNBD，连接 FM，GN ，则 FMGN 且 FMGN ，所以 MNFG ，所以
33、 BDFG由于 AE平面 ABCD，所以 AEBD，所以 FGAC，FGAE ，所以 FG平面 ACE，FG 平面 CFG，所以平面 CFG平面 ACE（2）设平面 ACE 交 FG 于 Q，则 Q 为 FG 的中点，连接 EQ，CQ，取 CO 的中点为 H，则 CHEQ ， ，所以四边形 EQCH 为平行四边形，所以 EHCQ，EH平面 CFQ，CQ 平面 CFQ，所以 EH平面 CFG，所以，在 AC 上存在一点 H，使得 EH平面 CFG，且 【点评】本题考查空间面面垂直的判定，注意运用线面垂直的判定定理，考查线面平行的存在性，考查运算和推理能力，属于中档题20 （12 分）已知函数 f
34、（x ） f（1）x+xlnx（1）求函数 f（x ）的极值；（2）若 kZ，且 f（x）k（x1）对任意的 x（1，+）都成立，求整数 k 的最大值【分析】 （1）求出导函数，求出 f（1） ，得到函数的解析式以及导函数的解析式，求第 19 页（共 23 页）出函数的单调区间然后求解函数的极值（2）由 f（x） k（x1）对任意的 x（1，+）都成立，转化得 对任意的x1 都恒成立，令 ，求出导函数，令 h（x）xlnx2（x 0） ，求出导函数，判断函数 h（x）在（ 1，+）上单调递增，求出方程 h（x）0 在存在唯一实根 x0，且满足 x0（3，4） ，通过当 1xx 0 时，h（x）
35、0，即 g'（x）0，当 xx 0 时，h（x）0 即 g'（x） 0，求解函数 g（x ）的极小值g（x） min，求出整数 k 的最大值【解答】解：（1） ，则所以 f（x）x+xlnx ，f'（x）lnx+2，x（0，+ ）所以 f（x）在（ 0，e 2 ）上单调递减，在（e 2 ，+）上单调递增，所以函数 f（x）在 xe 2 处取得极小值，且极小值为 f（e 2 ）e 2 ，没有极大值（5 分）（2）由（）和题意得 对任意的 x1 都恒成立，即 对任意的x1 都恒成立，令 ，则 ，令 h（x）xlnx2（x 0）（7 分）则 h（x）1 0，所以函数 h（x）
36、在（1，+）上单调递增因为 h（3）1ln30，h（ 4）2ln 20，所以方程 h（x）0 在存在唯一实根 x0，且满足 x0（3，4） ，即有 h（x 0）x 0lnx 02 0，lnx 0x 02（9 分）当 1xx 0 时，h（x ）0，即 g'（x）0，当 xx 0 时，h（x）0 即 g'（x）0所以函数 g（x）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+）上单调递增所以所以 kg（x） minx 0（3，4） ，故整数 k 的最大值为 3（12 分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力第 20 页（共
37、 23 页）21 （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为F1（2 ，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 ykx（k 0）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 AP， AQ 分别与 y 轴交于点 M，N（）求椭圆 C 的方程（）以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由【分析】 （1）由题意可设椭圆标准方程 ，结合已知及隐含条件列关于 a，b，c 的方程组，求解方程组得到 a2，b 2 的值，则椭圆方程可求；（2）设 F（x 0，y 0） ，E（x 0，y 0） ，写出 AE、AF 所在直线方程，求出 M
38、、N 的坐标，得到以 MN 为直径的圆的方程，由圆的方程可知以 MN 为直径的圆经过定点（2，0） 【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为 ，则 ，解得：a 28，b 24椭圆 C 的方程为 ；（2）如图，设 F（x 0，y 0） ， E（x 0，y 0） ，则 ，A（ ，0） ，AF 所在直线方程 ，取 x0，得 ，N（0， ） ，AE 所在直线方程为 ，取 x0，得 y ，第 21 页（共 23 页）M（0， ） 则以 MN 为直径的圆的圆心坐标为（0， ） ，半径 r ，圆的方程为 ，即 取 y0，得 x2以 MN 为直径的圆经过定点（2，0） 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与
39、圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题二、请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系中，已知点 B（1，1） ，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为（ 4 ， ） ，直线 l 的极坐标方程为 cos（ ）a，且 l 过点 A，过点 B 与直线 l 平行的直线为 l1，l 1 与曲线 C 相交于两点 M，N（）求曲线 C 上的点到直线 l 距离的最小值（）求|MN| 的值【分析】 （I）点 A 的极坐标为（ 4 ， ） ，直
40、线 l 的极坐标方程为 cos（ ）第 22 页（共 23 页）a，代入可得 a4 直线 l 的极坐标方程为 cos（ ）4 ，展开为：（ cos+sin）4 ，即可化为直角坐标方程利用点到直线的距离公式与和差公式、三角函数的单调性即可得出（II）设 l1 的方程为：x +y+m0，把 B（1，1）代入上述方程可得直线 l1 的方程为：x+y20可得参数方程： （t 为参数） ，代入曲线 C 的普通方程1利用根与系数的关系及其|AB |t 1t 2| 即可得出【解答】解：（I）点 A 的极坐标为（ 4 ， ） ，直线 l 的极坐标方程为 cos（）a，a 4 直线 l 的极坐标方程为 cos（
41、 ）4 ，展开为： （cos+sin）4 ，化为直角坐标方程：x+y 80曲线 C 上的点到直线 l 距离 d ，当 sin（ +）1 时取等号（II）设 l1 的方程为：x +y+m0，把 B（1，1）代入上述方程可得： m2直线 l1 的方程为：x +y20可得参数方程： （t 为参数） ，代入曲线 C的普通方程 1化为：7t 2+2 t100，t 1+t2 ，t 1t2 ，|AB| |t1t 2| 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、弦长公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲第 23 页（共 23 页）23已知函数
42、f（x ）|x 1|+|x+a|（）当 a3 时，解关于 x 的不等式| x1|+|x +a|6（）若函数 g（x）f（x）|3+a|存在零点，求实数 a 的取值范围【分析】 （）当 a1 时，不等式|x 1|+|x+3|6 等价变形，可得结论；（）利用|x1|+|x +a| a+1|，即可求实数 a 的取值范围【解答】解：（）当 a3 时，不等式|x 1|+|x+3|6 可化为或 或 ，（3 分）解得 x4 或 x2，不等式 f（x） 5 的解集为 x|x4 或 x2（5 分）（）若函数 g（x）f（x）|3+a|存在零点，则|x 1|+|x+a| | a+1|，|3+a|a+1|，解得 a2【点评】本题考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础