1、2018 年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设全集 UR，A x|x+10 ，集合 B x|log2x1，则集合（ UA）B（ ）A1，2 B （0，2） C 1，+） D 1，1）2 （5 分）复数 是虚数单位，a R）是纯虚数，则 z 的虚部为（ ）A1 Bi C2 D2i3 （5 分）设 mR，则“m1”是“函数 f（x）m 2x+2x 为偶函数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要
2、条件4 （5 分）若 x0， ，则函数 f（x）cosxsinx 的增区间为（ ）A B C D5 （5 分）已知双曲线 C：x 2y 22 的左右焦点 F1，F 2，O 分别为为坐标原点，点 P 在双曲线 C 上，且| OP|2，则 （ ）A4 B C2 D6 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（ ）A2 B5 C8 D107 （5 分）设a n是任意等差数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 4n 项和分别为X，Y，Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）A2X+Z3Y B4X+Z 4
3、Y C2X+3Z 7Y D8X +Z6Y第 2 页（共 23 页）8 （5 分）椭圆 右焦点为 F，存在直线 yt 与椭圆 C 交于A，B 两点，使得 ABF 为等腰直角三角形，则椭圆 C 的离心率 e（ ）A B C D9 （5 分）甲乙等 4 人参加 4100 米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A B C D10 （5 分）如图是某桌球游戏计分程序框图，下列选项中输出数据不符合该程序的为（ ）Ai15，S120 Bi 13，S98 Ci11， S88 Di11，S8111 （5 分）已知函数 f（x ）满足 f（x）f '
4、;（x） ，在下列不等关系中，一定成立的是（ ）第 3 页（共 23 页）Aef（1）f（2） Bef（1）f（2） Cf（1） ef（2） Df（1）ef（2）12 （5 分）在ABC 中，C90，|AB| 6，点 P 满足|CP |2，则 的最大值为（ ）A9 B16 C18 D25二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分） （x 2 ） 6 展开式中的常数项为 （用数字作答）14 （5 分）曲线 yx 3 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为 15 （5 分）在四棱锥 SA
5、BCD 中，SD 底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，SDAD2，三棱柱 MNPM 1N1P1 的顶点都位于四棱锥 SABCD 的棱上，已知M，N ，P 分别是棱 AB，AD，AS 的中点，则三棱柱 MNPM 1N1P1 的体积为 16 （5 分）数列a n满足 ，若 nN+时， an+1a n，则 a1 的取值范围是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分17 （12 分）如图，在
6、平面四边形 ABCD 中，AB2 ，AC2，ADCCAB90，设DAC（1）若 60 ，求 BD 的长度；（2）若ADB30，求 tan18 （12 分）为了研究黏虫孵化的平均温度 x（单位：）与孵化天数 y 之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到如下 6 组数据：组号 1 2 3 4 5 6平均温度 15.3 16.8 17.4 18 19.5 21孵化天数 16.7 14.8 13.9 13.5 8.4 6.2第 4 页（共 23 页）他们分别用两种模型ybx+a，yce dx 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：经计算得 1964.34，（1）根据残差图
7、，比较模型， 的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）残差绝对值大于 1 的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立 y 关于 x 的线性回归方程 （系数精确到 0.1）参考公式：回归方程 x+ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， ， 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ACB A 1CC190，平面 AA1C1C平面 ABC（1）求证：CC 1A 1B；（2）若 BCAC ，求二面角 A1BC 1A 的余弦值第 5 页（共 23 页）20 （12 分）已知抛物线 E：y 24x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛
8、物线交于 A，B 两点，交 y 轴于点 C， O 为坐标原点（1）若 kOA+kOB4，求直线 l 的方程；（2）线段 AB 的垂直平分线与直线 l，x 轴，y 轴分别交于点 D，M ，N ，求 的最小值21 （12 分）设 f（x ） （1）证明：f（x ）在（0，1）上单调递减；（2）若 0ax1，证明：g（x）1(二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C1：2sin ，曲线 C2：cos 3，点 P（1， ） ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系
9、（1）求曲线 C1 和 C2 的直角坐标方程；（2）过点 P 的直线 l 交 C1 于点 A，B，交 C2 于点 Q，若| PA|+|PB| |PQ|，求 的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0，c0，d0，a 2+b2ab+1，cd1（1）求证：a+b2；（2）判断等式 能否成立，并说明理由第 6 页（共 23 页）2018 年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设全集 UR，A x|x+10 ，集合 B x|log2x1，则集合（
10、 UA）B（ ）A1，2 B （0，2） C 1，+） D 1，1）【分析】全集 UR，先求出集合 A，集合 B，从而求出 UA，由此能求出集合（ UA）B【解答】解：全集 UR， A x|x+10 x| x1 ，集合 B x|log2x1x |0 x2 ， UAx| x1，集合（ UA）Bx |0x2（0，2） 故选：B【点评】本题考查补集、交集的求法，考查不等式性质、补集、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2 （5 分）复数 是虚数单位，a R）是纯虚数，则 z 的虚部为（ ）A1 Bi C2 D2i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简
11、，再由实部等于 0 且虚部不等于 0 求解即可【解答】解： 是纯虚数， ，解得 a1，则 zi，z 的虚部为 1故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3 （5 分）设 mR，则“m1”是“函数 f（x）m 2x+2x 为偶函数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要不充分条件第 7 页（共 23 页）C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】将 m1 代入函数解析式，由偶函数的定义判断成立；再由函数为偶函数，根据定义法求出 m1，即“m1”是“函数 f（x）m 2x+2x 为偶函数”的充要条件【解答】解：若 m1，则函数 f（x）2 x+2x
12、，又 f（x）2 x +2xf（x ） ，且定义域为 R，函数 f（x）为偶函数；若函数 f（x） m2x+2x 为偶函数，则 f（x）m2 x +2xm2 x+2x f （x）恒成立，即（m1） （2 x 2 x）0，m1；综上可得， “m1”是“函数 f（x）m 2x+2x 为偶函数”的充要条件，故选：C【点评】本题考查简易逻辑，以及函数的奇偶性定义，属于中档题4 （5 分）若 x0， ，则函数 f（x）cosxsinx 的增区间为（ ）A B C D【分析】函数 f（x ） cos（x + ） ，由 2kx + 2k，k z，可得余弦函数的单调增区间，再由 x0， 进一步确
13、定它的单调递增区间【解答】解：函数 f（x ）cosx sinx cos（x+ ） ，由 2k x+ 2k ，kz，可得：2k x2k ，kz再由 x0，可得，它的单调递增区间为 ，故选：D【点评】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调增区间，属于中档题5 （5 分）已知双曲线 C：x 2y 22 的左右焦点 F1，F 2，O 分别为为坐标原点，点 P 在双曲线 C 上，且| OP|2，则 （ ）第 8 页（共 23 页）A4 B C2 D【分析】求出 P 点坐标和焦距，即可得出 【解答】解：|OP|2， P 点在圆 x2+y24 上，联立方程组 ，解得 ，由双曲线方程可知
14、a2b 22，c 24，故而 F1F22c 4， 2故选：C【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题6 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（ ）A2 B5 C8 D10【分析】可得该几何体是半径为 2 的球体的四分之一，其表面积为球面的四分之一与两个半径为 2 的半圆面积之和【解答】解：可得该几何体是半径为 2 的球体的四分之一，其表面积为球面的四分之一与两个半径为 2 的半圆面积之和则其表面积为 S ，故选：C【点评】本题考查几何体的三视图的应用，判断几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力7 （5 分）设a
15、 n是任意等差数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 4n 项和分别为X，Y，Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）A2X+Z3Y B4X+Z 4Y C2X+3Z 7Y D8X +Z6Y第 9 页（共 23 页）【分析】设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S nAn 2+Bn，可得XAn 2+Bn，Y4An 2+2Bn，Z16An 2+4Bn，代入验证即可得出【解答】解：设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S nAn 2+Bn，则 XAn 2+Bn，Y4An 2+2Bn，Z16An 2+4Bn，于是 8X+Z6Y8（An 2+Bn）+16An 2+4Bn6（4An 2+2
16、Bn）0，8X+ Z6Y，因此 D 正确经过代入验证可得：2X+Z 3Y ，4X +Z4Y，2X+3Z7Y ，故选：D【点评】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分）椭圆 右焦点为 F，存在直线 yt 与椭圆 C 交于A，B 两点，使得 ABF 为等腰直角三角形，则椭圆 C 的离心率 e（ ）A B C D【分析】直线 yt 与椭圆 C 交于 A，B 两点，使得ABF 为等腰直角三角形，列出关系式，转化求解椭圆 C 的离心率即可【解答】解：椭圆 右焦点为 F，存在直线 yt 与椭圆 C交于 A，B 两点，使得ABF 为等腰直角三角形，
17、可得： ，又 a2b 2+c2，可得 ，椭圆 C 的离心率 e ，故选：B【点评】本题考查了椭圆的简单性质，离心率的求法，属于中档题9 （5 分）甲乙等 4 人参加 4100 米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A B C D【分析】分别求出两种情况下的个数，得出概率第 10 页（共 23 页）【解答】解：甲不跑第一棒共有 18 种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：（1）若乙跑第一棒，则共有 6 种情况；（2）若乙不跑第一棒，则共有 8 种情况，甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为 故选：D【点评】本题考查了排列数公式与概率计算，属于中档题10
18、 （5 分）如图是某桌球游戏计分程序框图，下列选项中输出数据不符合该程序的为（ ）Ai15，S120 Bi 13，S98 Ci11， S88 Di11，S81【分析】假设 i11 前都是红球落袋，黑球落袋，运行程序可得当 i11 时，有两种情况，分别讨论即可得解第 11 页（共 23 页）【解答】解：假设 i11 前都是红球落袋，黑球落袋，运行程序可得：i1，s1，s 8i2，s9，s 16i3，s17，s24i11，s81如果此时黑球没有落袋，则输出 i11，s81，如果此时黑球落袋，则 s88，i12，s89，所以不可能 i11，s88，故选：C【点评】本题的关键是在运行程序时
19、，要灵活运用假设，当 i11 时，有两种情况，分别讨论即可得解，本题属于基础题11 （5 分）已知函数 f（x ）满足 f（x）f '（x） ，在下列不等关系中，一定成立的是（ ）Aef（1）f（2） Bef（1）f（2） Cf（1） ef（2） Df（1）ef（2）【分析】构造函数 g（x） ，根据函数的单调性判断即可【解答】解：令 g（x） ，故 g（x） 0，故 g（x）在 R 递减，故 g（1）g（2） ，即 ef（1）f（ 2） ，故选：A【点评】本题考查了函数的单调性问题，构造函数 g（x）是解题的关键，本题是一道基础题12 （5 分）在ABC 中，C90，|A
20、B| 6，点 P 满足|CP |2，则 的最大值为（ ）A9 B16 C18 D25【分析】用 表示出 ，根据平面向量的数量积运算公式得出结第 12 页（共 23 页）论【解答】解：C90， |AB|6， 0，| | | AB|6， （ ）（ ） + （ ）+ （ ）+4，当 与 方向相同时， （ ）取得最大值 2612， 的最大值为 16故选：B【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分） （x 2 ） 6 展开式中的常数项为 15 （用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令
21、 x 的指数为 0 求出 r 的值，将 r 的值代入通项求出展开式的常数项【解答】解：展开式的通项公式为 Tr+1（1） rC6rx123r令 123r0 得 r4展开式中的常数项为 C64 15故答案为 15【点评】解决二项展开式的特定项问题，一般利用的工具是二项展开式的通项公式14 （5 分）曲线 yx 3 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为 【分析】先求出第一象限的交点，利用定积分表示围成图形的面积，再根据对称性求出对应的面积【解答】解：由 ，解得 x0 或 x1，第一象限所围成的封闭图形的面积，积分上限为 1，积分下限为 0，曲线 yx 3 与直线 yx
22、在第一象限所围成的图形的面积是 01（xx 3）dx，计算 01（xx 3）dx （ x2 x4）| 01 ；根据对称性知，曲线 yx 3 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为：第 13 页（共 23 页）2 （x 3）dx 2 故答案为： 【点评】本题考查学生利用定积分求曲边梯形的面积，会求出原函数的能力，同时考查了数形结合的思想，是基础题15 （5 分）在四棱锥 SABCD 中，SD 底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，SDAD2，三棱柱 MNPM 1N1P1 的顶点都位于四棱锥 SABCD 的棱上，已知M，N ，P 分别是棱 AB，AD，AS 的中点，则三棱柱 MNPM 1N1P
23、1 的体积为 1 【分析】由题意画出图形，可得三棱柱 MNPM 1N1P1 的底面为直角三角形，且为直三棱柱，由已知求出底面直角三角形的边长与高，则体积可求【解答】解：由题意画出图形如图，则三棱柱 MNPM 1N1P1 的底面为直角三角形 MNP，高为侧棱 M1M，且由已知可得 PN ，MN ， ，三棱柱 MNPM 1N1P1 的体积为 故答案为：1【点评】本题考查多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题16 （5 分）数列a n满足 ，若 nN+时， an+1a n，则 a1 的取值范围是 （1，+ ） 【分析】直接利用函数的单调性求出结果【解答】解：数列a n满足 ，nN+时
24、，a n+1a n，第 14 页（共 23 页） ，即： ，所以：当 n1 时，a 11，故答案为：（1，+）【点评】本题考查：等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分17 （12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB2 ，AC2，ADCCAB90，设DAC（1）若 60 ，求 BD 的长度；（2）若ADB30，求 tan【分析】 （1）在直角三角形 ACD 中，求得
25、AD，在ABD 中，运用余弦定理可得 BD；（2）求得 AD2cos，ABD60，在ABD 中，ADB30，AB2 ，运用正弦定理和两角差的正弦公式、同角的商数关系，即可得到所求值【解答】解：（1）由 ，设DAC60，可知，ADACcos602 1在ABD 中，DAB 150，AB 2 ，AD 1，由余弦定理可知，BD2（2 ） 2+1222 1（ ）19，则 BD ；第 15 页（共 23 页）（2）由题意可知，AD2cos ，ABD60，在ABD 中，ADB 30，AB 2 ，由正弦定理可知， ，即 4 ，即有 2cos4 （ cos sin） ，4cos2 sin，整理得 tan 【点评
26、】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题18 （12 分）为了研究黏虫孵化的平均温度 x（单位：）与孵化天数 y 之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到如下 6 组数据：组号 1 2 3 4 5 6平均温度 15.3 16.8 17.4 18 19.5 21孵化天数 16.7 14.8 13.9 13.5 8.4 6.2他们分别用两种模型ybx+a，yce dx 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：第 16 页（共 23 页）经计算得 1964.34，（1）根据残差图，比较模型， 的拟合效果，应选择哪个模
27、型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）残差绝对值大于 1 的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立 y 关于 x 的线性回归方程 （系数精确到 0.1）参考公式：回归方程 x+ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， ， 【分析】 （1）根据残差图分析，得出模型残差波动小，故选模型；（2）剔除异常数据，计算剩下数据的平均数，求出回归系数，写出回归方程【解答】解：（1）根据题意知，应该选择模型；（2）剔除异常数据，即组号为 4 的数据，剩下数据的平均数为 （18618）18， （12.25613.5）12；xiyi1283.011813.5 1040.01，1964.3
28、418 21640.34；第 17 页（共 23 页） 1.97，12+1.971847.5，所以 y 关于 x 的线性回归方程为：2.0x+47.5【点评】本题考查了残差图与线性回归方程的求法与应用问题，是基础题19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ACB A 1CC190，平面 AA1C1C平面 ABC（1）求证：CC 1A 1B；（2）若 BCAC ，求二面角 A1BC 1A 的余弦值【分析】 （1）由已知结合面面垂直的性质可得 BC平面 AA1C1C，则 BCCC 1，再由A 1CC190 ，得 C1CA 1C，利用线面垂直的判定可得 C1C平面 A1BC，从而得
29、到CC1A 1B；（2）以 C 为坐标原点，分别以 ， 的方向为 x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系 Cxyz由A 1CC190，AC AA1，得 A1CAA 1不妨设BCAC AA12，可得 B（2，0，0） ，C 1（0，1， 1） ，A（0，2，0） ，A1（0，1，1） ，分别求出平面 A1BC1 与平面 ABC1 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 A1BC 1A 的余弦值【解答】 （1）证明：平面 AA1C1C平面 ABC，交线为 AC，又 BCAC，BC平面 AA1C1C，则 BCCC 1，A 1CC190 ，C 1CA 1C，又BCA 1CC，第 18 页（
30、共 23 页）C 1C平面 A1BC，而 A1B平面 A1BC，CC 1A 1B；（2）解：如图，以 C 为坐标原点，分别以 ， 的方向为 x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系 Cxyz 由A 1CC190 ，AC AA1，得 A1CAA 1不妨设 BCAC AA12，则 B（2，0，0） ，C 1（0， 1，1） ，A （0，2，0） ，A 1（0，1，1） ， （0，2，0） ， （2，1，1） ， （2，2，0） ，（2，1，1） 设平面 A1BC1 的一个法向量为 （x，y，z） ，由 ，取 x1，得 （1，0，2） 设平面 ABC1 的一个法向量为 ，由 ，取 y1，得 （1，1
31、，3） cos ，又二面角 A1BC 1A 为锐二面角，二面角 A1BC 1A 的余弦值为 【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题第 19 页（共 23 页）20 （12 分）已知抛物线 E：y 24x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，交 y 轴于点 C， O 为坐标原点（1）若 kOA+kOB4，求直线 l 的方程；（2）线段 AB 的垂直平分线与直线 l，x 轴，y 轴分别交于点 D，M ，N ，求 的最小值【分析】 （1）设直线 l 方程 xmy +1，联立方程组，根据根与系数
32、的关系表示出OA，OB 的斜率和，得出 m 的值；（2）求出 D，M，N 三点坐标，得出两个三角形的面积，利用不等式得出比值的最小值【解答】解：（1）F（1，0） ，设直线 l 的方程为 xmy+1，A（ ，y 1） ，B（ ，y 2） ，由 得 y24my40，y 1+y24m，y 1y24k OA+kOB + 4m 4m1，所以 l 的方程为 x+y10（2）由（1）可知，m0， C（0， ） ，D（2m 2+1，2m ） 直线 MN 的方程为：y2m m （x 2m 21） ，则 M（2m 2+3，0） ，N（0，2m 3+3m） ，S NDC |NC|xD| |2m3+3m+ |（2m
33、 2+1） ，SFDM |FM|yD| （ 2m2+2）2|m |2|m|（m 2+1） ， m 2+ +12，第 20 页（共 23 页）当且仅当 m2 ，即 m2 时取等号所以， 的最小值为 2【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题21 （12 分）设 f（x ） （1）证明：f（x ）在（0，1）上单调递减；（2）若 0ax1，证明：g（x）1【分析】 （1）求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可；（2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，得到函数的单调区间，从而证明结论【解答】解：（1）f（x ） 令 h（x）1 lnx ，则 h（x ） ，x0，所以 0x1 时，h
34、（x ）0，h（x ）单调递增，又 h（1）0，所以 h（x）0，即 f（x）0 ，所以 f（x ）单调递减（2）g（x）a xlna+axa 1a（a x1 lna+xa1 ） ，当 0a 时，lna1，所以 ax1 lna+xa1 x a1 a x1 由（1）得 ，所以（a1）lnx（x 1）lna，即 xa1 a x1 ，所以 g（x）0，g（x ）在（a，1）上单调递减，即 g（x）g（1）a+11当 a1 时，1lna0 令 t（x）a xxlna 1，0ax1，则 t（x）a xlnalna（a x1）lna0，所以 t（x）在（ 0，1）上单调递增，即 t（x）t（0）0，所以
35、axxlna +1第 21 页（共 23 页）所以 g（x）a x+xax a+xlna+1x（x a1 +lna）+1x（1+lna）+1 1综上，g（x）1【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题(二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C1：2sin ，曲线 C2：cos 3，点 P（1， ） ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系（1）求曲线 C1 和 C2 的直角坐标方程；（2）过点 P 的直线 l 交 C
36、1 于点 A，B，交 C2 于点 Q，若| PA|+|PB| |PQ|，求 的最大值【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果【解答】解：（1）曲线 C1： 2sin ，所以：曲线 C1 的直角坐标方程为： x2+y22y0；曲线 C2：cos 3，所以：曲线 C2 的直角坐标方程为： x3（2）P 的直角坐标为（1，0） ，设直线 l 的倾斜角为 ， （0 ） ，则直线 l 的参数方程为： （t 为参数，0 ）代入 C1 的直角坐标方程整理得，t22（sin +cos）t+10，t1+t22（
37、sin +cos）直线 l 的参数方程与 x3 联立解得，t3 ，由 t 的几何意义可知，|PA|+|PB|2（sin+cos） |PQ| ，整理得，第 22 页（共 23 页）42（sin+cos）cossin2 +cos2+1 sin（2 + ）+1，由 0 ， 2+ ，所以，当 2+ ，即 时， 有最大值 （ +1） 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0，c0，d0，a 2+b2ab+1，cd1（1）求证：a+b2；（2）判断等式 能否成立，并说明理由【分析】 （1）根据条件可得到 ，从而可得出 a+b2；（2）可判断等式不成立， ，而由 a+b2 可得出，而根据 cd1，c0，d0 即可得出 ，从而得出等式 不成立【解答】解：（1）证明：由题意得（a+b） 23ab+13（ ） 2+1，当且仅当 ab 时取等号；解得（a+b） 24，又 a，b0；a+b2；（2）不能成立；+ + ；a+b2； + 1+ ；c0，d0，cd 1；c+d + + +1；故 + c+d 不能成立第 23 页（共 23 页）【点评】考查基本不等式： 的应用，以及不等式的性质