1、2019 年广东省广州市白云区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分）计算 20 的结果是（ ）A0 B1 C2 D2 （3 分）下列运算正确的是（ ）A （ab） 2a 2b 2 B （a+b） 2a 2+b2Ca 2b2（ab） 4 D （a 3） 2 a63 （3 分）下列调查方式，合适的是（ ）A要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B要了解广州电视台“今日报道 ”栏目的收视率，采用普查方式C要了解我国 15 岁少年身高情况，采用普查方式D要选出某
2、校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式4 （3 分）若分式 的值为 0，则 x 的值为（ ）A1 B0 C1 D15 （3 分）解方程 + 时，去分母后得到的方程是（ ）A3（x5）+2 （x1）1 B3（x5）+2x11C3（x5） +2（x 1）6 D3（x5 ）+2 x166 （3 分）下列函数中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大的是（ ）Ay2x+1 By Cy2x 2+1 Dy 2x7 （3 分）如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 E 重合，折痕为线段 DF，已知矩形ABCD 的面积为 6，四边形 CDEF 的面积为 4，则
3、AC（ ）A B C D8 （3 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，过点 C 作 CEBD，交 AB 延长线于点 E，第 2 页（共 28 页）对角线 AC、BD 相交于点 O，下列结论中，错误的是（ ）AAOBCODBAOB ACBC四边形 BDCE 是平行四边形DS AOD S BOC9 （3 分）在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是（ ）A BC D10 （3 分）k0，函数 ykxk 与 y 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A BC D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
4、第 3 页（共 28 页）11 （3 分）计算：6ab 23ab 12 （3 分）不等式组 的解集是 13 （3 分）如图，如果 AEBD，CD20，CE36，AC27，那么 BC 14 （3 分）某样本数据分成 5 组，第 1 组和第 2 组的频率之和为 0.3，第 3 组的频率是0.14，第 4 组和第 5 组的频率相等，那么第 5 组的频率是 15 （3 分）一张试卷只有 25 道选择题，答对一题得 4 分，答错倒扣 1 分，某学生解答了全部试题共得 70 分，他答对了 &nb
5、sp; 道题16 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 垂直平分 BD，BAD120，AB 4，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AC 上一动点，则 EF+BF 的最小值是 三、解答题（本大题共 9 小题，共 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （9 分）计算：2sin30 （ ） 1 18 （9 分）如图，在ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，且 DFBE 求证：四边形 AECF 是平行四边形19 （10 分）已知 a、b（ab）是方程 x25x+40 的两个不相等的实数根，求 第 4 页（共 2
6、8 页）的值20 （10 分）现需了解 2019 年各月份中 5 至 14 日广州市每天最低气温的情况：图是 3月份的折线统计图 （数据来源于 114 天气网）（1）图 是 3 月份的频数分布直方图，根据图 提供的信息，补全图 中的频数分布直方图；（2）3 月 13 日与 10 日这两天的最低气温之差是 ；（3）图 是 5 月份的折线统计图用 S 表示 5 月份的方差；用 S 表示 3 月份的方差，比较大小：S S ；比较 3 月份与 5 月份， 月份的更稳定21 （12 分）某商场销售产品 A，第
7、一批产品 A 上市 40 天内全部售完该商场对第一批产品 A 上市后的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：图中的折线表示日销售量 w 与上市时间 t 的关系；图 中的折线表示每件产品 A 的销售利润 y 与上市时间 t的关系（1）观察图，试写出第一批产品 A 的日销售量 w 与上市时间 t 的关系；（2）第一批产品 A 上市后，哪一天这家商店日销售利润 Q 最大？日销售利润 Q 最大是多少元？（日销售利润每件产品 A 的销售利润日销售量）22 （12 分）某校初三（1）班综合实践小组去某地测量人工湖的长，如图 A、D 是人工湖边的两座雕塑，AB、BC 是小路，小东同学进行如下测量： D
8、点在 A 点的正北方向，B第 5 页（共 28 页）点在 A 点的北偏东 60方向，C 点在 B 点的北偏东 45方向，C 点在 D 点正东方向，且测得 AB20 米，BC40 米，求 AD 的长 （结果保留根号）23 （12 分）如图，O 的半径为 5，点 A 在O 上，过点 A 的直线 l 与O 相交于点B，AB6，以直线 l 为图象的一次函数解析式为 ykx8k （k 为常数且 k0） （1）求直线 l 与 x 轴交点的坐标；（2）求点 O 到直线 AB 的距离；（3）求直线 AB 与 y 轴交点的坐标24 （14 分）如图，ABC 表示一块含有 60角的直角三角板，60所对的边 BC
9、的长为 6，以斜边 AB 所在直线为 x 轴，AB 边上的高所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系等腰直角DEF 的直角顶点 F 初始位置落在 y 轴的负半轴，斜边 DE 始终在 x 轴上移动，且 DE6抛物线 yax 2+bx+c 经过 A、B、C 三点（1）求 a、b、c；（2）DEF 经过怎样的平移后，点 E 与点 B 重合？求出点 E 与点 B 重合时，点 F 的坐标；（3）DEF 经过怎样的平移后， E 与直线 AC 和 BC 均相切？（参考数据： ， ）第 6 页（共 28 页）25 （14 分）已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，在 CD 的延长线上任取一点 E，以CE 为边
10、作正方形 CEFG，使正方形 ABCD 与正方形 CEFG 分居在 CD 的两侧，连接AF，取 AF 的中点 M，连接 EM、DM，DM 的延长线交 EF 于点 N（1）求证：ADMFNM；（2）判断DEM 的形状，并加以证明；（3）如图 ，将正方形 CEFG 绕点 C 按逆时针方向旋转 n（30n45）后，其他条件不变， （2）中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由第 7 页（共 28 页）2019 年广东省广州市白云区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1
11、 （3 分）计算 20 的结果是（ ）A0 B1 C2 D【分析】根据：a 01（a0）可得结论【解答】解：2 01，故选：B【点评】本题考查了零指数幂的计算，比较简单，熟练掌握公式是关键2 （3 分）下列运算正确的是（ ）A （ab） 2a 2b 2 B （a+b） 2a 2+b2Ca 2b2（ab） 4 D （a 3） 2 a6【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则分别判断得出答案【解答】解：A、 （ab） 2a 22ab+b 2，故此选项错误；B、 （a+b） 2a 2+2ab+b2，故此选项错误；C、a 2b2（ab） 2，故此选项错误；D、 （a 3
12、） 2a 6，正确故选：D【点评】此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键3 （3 分）下列调查方式，合适的是（ ）A要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B要了解广州电视台“今日报道 ”栏目的收视率，采用普查方式C要了解我国 15 岁少年身高情况，采用普查方式D要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费第 8 页（
13、共 28 页）和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查【解答】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验；B、要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可；C、要了解我国 15 岁少年身高情况，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可；D、要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，必须选用普查；故选：D【点评】本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析4 （3 分）若分式 的值为 0，则 x
14、的值为（ ）A1 B0 C1 D1【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不等于零，进而得出答案【解答】解：分式 的值为 0，x 210，x10，解得：x1故选：A【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键5 （3 分）解方程 + 时，去分母后得到的方程是（ ）A3（x5）+2 （x1）1 B3（x5）+2x11C3（x5） +2（x 1）6 D3（x5 ）+2 x16【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案【解答】解：等式两边同时乘以 6 可得：3（x5）+2（x1）6，故选：C【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用分式的运算法则
15、，本题属于基础题型6 （3 分）下列函数中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大的是（ ）第 9 页（共 28 页）Ay2x+1 By Cy2x 2+1 Dy 2x【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断【解答】解：A、y 2x +1，一次函数，k 0，故 y 随着 x 增大而减小，故 A 错误；B、y ，k20，在每个象限里， y 随 x 的增大而减小，故 B 错误；C、y 2x 2+1（x0） ，二次函数，a0，故当图象在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而减小；而在对称轴左侧（x0） ，y 随着 x 的增大而增大，故 C 错误；D、
16、y2x，一次函数，k0，故 y 随着 x 增大而增大，故 D 正确故选：D【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性） ，是一道难度中等的题目7 （3 分）如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 E 重合，折痕为线段 DF，已知矩形ABCD 的面积为 6，四边形 CDEF 的面积为 4，则 AC（ ）A B C D【分析】根据四边形 CDEF 是正方形，即可得出 CD 2，根据矩形 ABCD 的面积为 6，即可得出 AD3，再根据勾股定理即可得到 AC 的长【解答】解：由折叠可得，DEFDCFCDE90，四边形 CDEF 是矩形，由折叠可得，CDDE，
17、四边形 CDEF 是正方形，CD 2，又矩形 ABCD 的面积为 6，AD3，RtACD 中， AC ，故选：C第 10 页（共 28 页）【点评】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等8 （3 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，过点 C 作 CEBD，交 AB 延长线于点 E，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列结论中，错误的是（ ）AAOBCODBAOB ACBC四边形 BDCE 是平行四边形DS AOD S BOC【分析】根据梯形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可【
18、解答】解：CDAB，AOBCOD，故 A 正确；CDBE ，DBCE，四边形 BDCE 是平行四边形，故 C 正确；ABC 的面积BOC 的面积+ AOB 的面积ADB 的面积AOD 的面积+AOB 的面积，AOD 的面积 BOC 的面积，故 D 正确；AOBCOD，DOCOCEACB，故 B 错误；故选：B【点评】此题考查相似三角形的判定，关键是根据梯形的性质和相似三角形的判定和性质解答9 （3 分）在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是（ ）第 11 页（共 28 页）A BC D【分析】具体折一折，从中发挥想象力，可得正确的答案【解答】解：由带有各种符号的面
19、的特点及位置，可知只有选项 D 符合故选：D【点评】考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置10 （3 分）k0，函数 ykxk 与 y 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A BC D【分析】分两种情况讨论，当 k0 时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出 k0 时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案【解答】解：当 k0 时，ykxk 过一、三、四象限； y 过一、三象限；当 k0 时，ykxk 过一、二、四象象限； y 过二、四象限观察图形可知，只有 A 选项符合题意故选：A【点评】本题主要考查了反比例函数的
20、图象和一次函数的图象，熟悉两函数中 k 和 b 的符号对函数图象的影响是解题的关键第 12 页（共 28 页）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）计算：6ab 23ab 2b 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式2b，故答案为：2b【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型12 （3 分）不等式组 的解集是 x0 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 x0 得 x0，解不等式 3x+50 得 x ，所
21、以不等式组的解集为 x0，故答案为：x0【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键13 （3 分）如图，如果 AEBD，CD20，CE36，AC27，那么 BC 15 【分析】根据平行线分线段成比例解答即可【解答】解：AEBD ，CD20，CE36，AC27， ，即 ，解得：BC15，故答案为：15第 13 页（共 28 页）【点评】此题考查平行线分线段成比例，关键是根据平行线分线段成比例解答14 （3 分）某样本数据分成 5 组，第 1 组和第 2 组的频率之和为 0.3，第 3 组
22、的频率是0.14，第 4 组和第 5 组的频率相等，那么第 5 组的频率是 0.28 【分析】直接利用 5 各小组的频率之和为 1，进而得出答案【解答】解：某样本数据分成 5 组，第 1 组和第 2 组的频率之和为 0.3，第 3 组的频率是 0.14，第 4 组和第 5 组的频率和为：10.30.140.56，第 4 组和第 5 组的频率相等，第 5 组的频率是：0.28故答案为：0.28【点评】此题主要考查了频率的意义，正确得出第 4 组和第 5 组的频率和是解题关键15 （3 分）一张试卷只有 25 道选择题，答对一题得 4 分，答错倒扣 1 分，某学生解答了全部试题共得 70 分，他答
23、对了 19 道题【分析】设他做对了 x 道题，则小英做错了（25x）道题，根据总得分4做对的题数1做错的题数，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设他做对了 x 道题，则他做错了（25x）道题，根据题意得：4x（25x ）70，解得：x19故答案为：19【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据总得分4做对的题数1做错的题数列出关于 x 的一元一次方程是解题的关键16 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 垂直平分 BD，BAD120，AB 4，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AC 上一动点，则 EF+BF 的最小值是 2 第 14
24、 页（共 28 页）【分析】连接 DF，过 E 作 EGBD 于 G，当 E，F，D 三点共线时，EF+BF 的最小值等于 DE 的长，利用勾股定理求得 DE 的长，即可得出 EF+BF 的最小值【解答】解：如图所示，连接 DF，过 E 作 EGBD 于 G，AC 垂直平分 BD，FBFD ，ABAD，EF+BFEF+ FD，当 E，F，D 三点共线时， EF+BF 的最小值等于 DE 的长，BAD120，ABD30，又AB4，点 E 是 AB 的中点，EG BE1，AH AB2，BG ，BH2 ，GH ，DH2 ，DG3 ，RtDEG 中，DE 2 ，故答案为：2 【点评】本题主要考查了最短
25、路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点三、解答题（本大题共 9 小题，共 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （9 分）计算：2sin30 （ ） 1 【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案第 15 页（共 28 页）【解答】解：原式2 （2）61+263【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18 （9 分）如图，在ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，且 DFBE 求证：四边形 AECF 是平行四边形【分析】在ABCD 中，
26、AD BC，又 BEDF，可得 AF EC，得出 AF 平行且等于EC，根据平行四边形的判定，可得出四边形 AECF 是平行四边形【解答】证明：四边形 ABCD 平行四边形ADBC又BEDF ，AFEC又AFEC，四边形 AECF 是平行四边形【点评】此题主要要掌握平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键19 （10 分）已知 a、b（ab）是方程 x25x+40 的两个不相等的实数根，求 的值【分析】利用平方差公式可将原式化简成 a+b，再根据方程的系数结合根的判别式可得出 a+b5，此题得解【解答】解： ， ，a+ba、b（ab）是方程 x25x+40 的两个
27、不相等的实数根，a+b5，第 16 页（共 28 页）原式a+b5【点评】本题考查了根与系数的关系以及平方差公式，利用平方差公式将原式化简成a+b 是解题的关键20 （10 分）现需了解 2019 年各月份中 5 至 14 日广州市每天最低气温的情况：图是 3月份的折线统计图 （数据来源于 114 天气网）（1）图 是 3 月份的频数分布直方图，根据图 提供的信息，补全图 中的频数分布直方图；（2）3 月 13 日与 10 日这两天的最低气温之差是 3 ；（3）图 是 5 月份的折线统计图用 S 表示 5 月份的方差；用 S 表示 3 月份的方差，比较大小：S S ；比较 3 月
28、份与 5 月份， 3 月份的更稳定【分析】 （1）最低气温 14的有 3 天，据此补充频数分布直方图；（2）3 月 13 日与 10 日这两天的最低气温之差是 15123（） ；（3）根据折线统计图分布，可知 3 月份最低气温波动比 3 月份最低气温波动小，所以所以 S32S ，3 月份更稳定【解答】解：（1）最低气温 14的有 3 天，所以补充频数分布直方图如下：（2）3 月 13 日与 10 日这两天的最低气温之差是 15123（） ，故答案为 3；第 17 页（共 28 页）（3）根据折线统计图分布，可知 3 月份最低气温波动比 3 月份最低气温波动小，所以所以 S32S ，3 月份更稳
29、定，故但为，3【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据21 （12 分）某商场销售产品 A，第一批产品 A 上市 40 天内全部售完该商场对第一批产品 A 上市后的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：图中的折线表示日销售量 w 与上市时间 t 的关系；图 中的折线表示每件产品 A 的销售利润 y 与上市时间 t的关系（1）观察图，试写出第一批产品 A 的日销售量 w 与上市时间 t 的关系；（2）第一批产品 A 上市后，哪一天这家商店日销售利润 Q 最大？日销售利润 Q 最大是多少元？（日销售利润每件
30、产品 A 的销售利润日销售量）【分析】 （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得第一批产品 A 的日销售量 w 与上市时间 t 的关系；（2）根据函数图象中的数据可以求得第一批产品 A 上市后，哪一天这家商店日销售利润 Q 最大，并求出 Q 的最大值【解答】解：（1）由图可得，当 0t30 时，可设日销售量 wkt，点（30，60）在图象上，6030kk2，即 w 2t；当 30t40 时，可设日销售量 wk 1t+b点（30，60）和（40，0）在图象上，第 18 页（共 28 页） ，解得，k 16，b240，w6t+240 综上所述，日销售量 w ；即当 0t30 时，日销售量 w2t；
31、当 30t 40 时，日销售量 w6t +240；（2）由图 知，当 t30（天）时，日销售量 w 达到最大，最大值 w60，又由图 知，当 t30（天）时，产品 A 的日销售利润 y 达到最大，最大值 y60（元/件） ，当 t30（天）时，日销售量利润 Q 最大，最大日销售利润 Q60603600（元） ，答：第一批产品 A 上市后 30 天，这家商店日销售利润 Q 最大，日销售利润 Q 最大是3600 元【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答22 （12 分）某校初三（1）班综合实践小组去某地测量人工湖的长，如图 A、D 是人工湖
32、边的两座雕塑，AB、BC 是小路，小东同学进行如下测量： D 点在 A 点的正北方向，B点在 A 点的北偏东 60方向，C 点在 B 点的北偏东 45方向，C 点在 D 点正东方向，且测得 AB20 米，BC40 米，求 AD 的长 （结果保留根号）【分析】过点 B 作 BFAD、BECD，垂足分别为 E、 F，已知 ADAF+FD，则分别求得 AF、DF 的长即可求得 AD 的长【解答】解：过点 B 作 BFAD、BECD，垂足分别为 E、F在 Rt ABF 中，FAB60，AB20，AFABcosFAB20 10在 Rt BCE 中，EBC 45，BC40，第 19 页（共 28 页）BE
33、BCcos EBC40 20 在矩形 BEDF 中， FDBE20 ，ADAF+FD10+20 答：AD 的长为（10+20 ）米【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线23 （12 分）如图，O 的半径为 5，点 A 在O 上，过点 A 的直线 l 与O 相交于点B，AB6，以直线 l 为图象的一次函数解析式为 ykx8k （k 为常数且 k0） （1）求直线 l 与 x 轴交点的坐标；（2）求点 O 到直线 AB 的距离；（3）求直线 AB 与 y 轴交点的坐标【分析】 （1）令 y0，得 k
34、x8k0，解出即可；（2）作 ODAB，垂足为 D可知点 O 到直线 AB 的距离为线段 OD 的长度，利用勾股定理可得 OD 的长；（3）介绍两种方法：方法一，先根据勾股定理计算 DN 的长，证明 RtOMDRtNOD，列比例式求 OM的长，可得结论；方法二：先得OND30根据 30 度的正切列式可得 OM 的长，可得结论第 20 页（共 28 页）【解答】解：（1）令 y0，得 kx8k0，k0，解得 x8，直线 l 与 x 轴的交点 N 的坐标为（8，0） （2）连接 OB，过点 O 作 ODAB，垂足为 D点 O 到直线 AB 的距离为线段 OD 的长度， O 的半径为 5，OB5又A
35、B6，BD AB 3在 Rt OBD 中，ODB 90 ，OD 4答：点 O 到直线 AB 的距离为 4（3）由（1）得 N 的坐标为（ 8，0） ，ON8由（2）得 OD4方法一：在 RtODN 中，DN 4 又OMD +MOD90，NOD +MOD 90，OMD NODODM ODN，RtOMDRtNOD， OM NO 8 直线 AB 与 y 轴的交点为（0， ） 方法二：在 RtOND 中，sinOND 第 21 页（共 28 页）OND30在 RtOMN 中，tan30OM ONtanOND ，OM 8tan30 直线 AB 与 y 轴的交点为（0， ） 【点评】此题考查了一次函数的综
36、合题，考查了待定系数法和解直角三角形，三角形相似的性质和判定，同时也利用了垂径定理和勾股定理解决问题，难度适中24 （14 分）如图，ABC 表示一块含有 60角的直角三角板，60所对的边 BC 的长为 6，以斜边 AB 所在直线为 x 轴，AB 边上的高所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系等腰直角DEF 的直角顶点 F 初始位置落在 y 轴的负半轴，斜边 DE 始终在 x 轴上移动，且 DE6抛物线 yax 2+bx+c 经过 A、B、C 三点（1）求 a、b、c；（2）DEF 经过怎样的平移后，点 E 与点 B 重合？求出点 E 与点 B 重合时，点 F 的坐标；（3）DEF 经过怎样的
37、平移后， E 与直线 AC 和 BC 均相切？（参考数据： ， ）【分析】 （1）通过解直角三角形可求出点 A，B，C 的坐标，根据点 A，B，C 的坐标，第 22 页（共 28 页）利用待定系数法可求出 a，b，c 的值；（2）求出当等腰直角DEF 的直角顶点 F 在 y 轴负半轴时点 E，F 的坐标，结合点 B的坐标可得出将DEF 沿 x 轴正方向（向右）平移（3 3）个单位长度可使点 E 与点 B 重合，再结合点 F 的坐标即可得出平移后点 F 的坐标；（3）设P 的半径为 r， P 与直线 AC 和 BC 都相切，分两种情况考虑：圆心 P1 在直线 AC 的右侧时，过点 P1 作 P1
38、Q1AC，垂足为 Q1，作 P1R1BC，垂足为 R1，则四边形 Q1CR1P1 是正方形，设 Q1CCR 1R 1P1P 1Q1r 1，在 RtP 1R1B 中通过解直角三角形 BR1 r1，进而可得出 BC（ +1）r 1，结合 BC6 可求出 r1 的值，由BR1 r1，结合 OP1OB BP1 可求出点 P1 的坐标，再结合点 E 的坐标即可得出把DEF 沿 x 轴负方向（向左）平移（3 3）个单位长度可使E 与直线 AC 和 BC 均相切； 当圆心 P2 在直线 AC 的左侧时，过点 P2 作 P2Q2AC，垂足为 Q2，作P2R2BC，垂足为 R2，则四边形 Q2CR2P2 是正方
39、形，同理，可求出点 P2 的坐标，再结合点 E 的坐标即可得出把DEF 沿 x 轴负方向（向左）平移（9+3 ）个单位长度可使E 与直线 AC 和 BC 均相切综上，此题得解【解答】解：（1）在 RtABC 中，CAB60，ACB90，BC6，ABC30，OCBCsinABC6sin303，点 C 的坐标为（0，3） ；在 Rt COB 中， OC3，OBC30，OBOCcotOBC3cot303 ，点 B 的坐标为（3 ，0） ；在 Rt AOC 中， OC3，CAO60，AOOCcotCAO3cot60 ，点 A 的坐标为（ ，0） 将 A（ ，0） ，B（3 ，0） ，C （0，3）代入
40、 yax 2+bx+c，得：，解得： ，a ，b ，c3（2）当等腰直角DEF 的直角顶点 F 在 y 轴负半轴时，DE 6，第 23 页（共 28 页）OEOF DE 63，点 F 起始位置的坐标为（0，3） ，点 E 起始位置的坐标为（3，0） 点 B 的坐标为（3 ，0） ，BEOB OE3 3，DEF 沿 x 轴正方向（向右）平移（3 3）个单位长度，可使点 E 与点 B 重合，当点 E 与点 B 重合时，点 F 的坐标为（3 3，3） （3）设P 的半径为 r， P 与直线 AC 和 BC 都相切，有两种情况：圆心 P1 在直线 AC 的右侧时，过点 P1 作 P1Q1AC ，垂足为
41、 Q1，作 P1R1BC，垂足为 R1，如图所示ACB90，四边形 Q1CR1P1 是矩形 P1 与 AC、BC 相切于点 Q1、R 1，R 1P1P 1Q1，矩形 Q1CR1P1 是正方形设 Q1CCR 1R 1P1P 1Q1r 1，在 RtP 1R1B 中，BR 1R 1P1cotCBAr 1cot30 r1，BCCR 1+BR1r 1+ r1（ +1）r 1，又BC6，（ +1）r 16，r 1 3（ 1）3 3P 1B2R 1P12r 12（3 3）6 6，OP 1OB BP 13 （ 6 6）63 ，P 1 的坐标为（63 ，0） OE3，EP 1OE OP 13（6 3 ）3 3，
42、把DEF 沿 x 轴负方向（向左）平移（3 3）个单位长度，可使E 与直线 AC和 BC 均相切；当圆心 P2 在直线 AC 的左侧时，过点 P2 作 P2Q2AC，垂足为 Q2，作 P2R2BC，垂足为 R2，如图所示第 24 页（共 28 页）ACB90，R 2CQ290， P2 与 AC、BC 相切于点 Q2、R 2，矩形 Q2CR2P2 是正方形设 Q2CCR 2R 2P2P 2Q2r 2，在 RtP 2R2B 中，BR 2R 2P2cotCBAr 2cot30 r2，BCBR 2CR 2 r2 r 2（ 1）r 2，又BC6，（ 1）r 26，r 2 3（ +1）3 +3，P 2B2
43、R 2P22r 22（3 +3）6 +6，OP 2BP 2OB6 +63 6+3 ，P 2 的坐标为（63 ，0） OE3，OP 26+3 ，EP 2OE +OP23+（6+3 ）9+3 ，把DEF 沿 x 轴负方向（向左）平移（9+3 ）个单位长度，可使E 与直线 AC 和BC 均相切综上所述，把DEF 沿 x 轴负方向（向左）平移（3 3）或（9+3 ）个单位长度，可使 E 与直线 AC 和 BC 均相切第 25 页（共 28 页）【点评】本题考查了解直角三角形、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形、正方形的判定与性质以及平移的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求
44、出 a，b，c 的值；（2）利用等腰直角三角形的性质求出点 E，F 的坐标；（3）分两种情况求出点 P 的坐标（即点 E 移动到的位置） 25 （14 分）已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，在 CD 的延长线上任取一点 E，以CE 为边作正方形 CEFG，使正方形 ABCD 与正方形 CEFG 分居在 CD 的两侧，连接AF，取 AF 的中点 M，连接 EM、DM，DM 的延长线交 EF 于点 N（1）求证：ADMFNM；（2）判断DEM 的形状，并加以证明；（3）如图 ，将正方形 CEFG 绕点 C 按逆时针方向旋转 n（30n45）后，其他条件不变， （2）中的结论还成立吗？如果成立
45、，请加以证明；如果不成立，请说明理由【分析】 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定解答即可；（2） 根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可；在 MN 上截取 MPMD，连结 EP、FP，延长 FP 与 DC 延长线交于点 H，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定解答即可【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 和四边形 CGFE 是正方形，第 26 页（共 28 页）CEFE，ADDC ，CEF90，AD EF 12在AMD 和FMN 中，AMDFMN（ASA）（2）答：DEM 是等腰直角三角形由（1）得AMDFMN，MD MN，ADFN在正方形 ABCD 中
46、，ADDC，DCNF，又ECEF，ECDCEFNF，即 EDEN 又DEN90，DEN 是等腰直角三角形EMMD，MEMD DEM 是等腰直角三角形；（3）答：仍然成立如图，在 MN 上截取 MPMD，连结 EP、FP，延长 FP 与 DC 延长线交于点 H在AMD 和FMP 中，第 27 页（共 28 页）AMDFMP （SAS） 34，ADPF ，又四边形 ABCD、四边形 CGFE 均为正方形，CEFE，ADDC ，ADC90，CEFADCEFGECG90DCPF 34，ADFH HADC90G90，56，GCH180H5，GFH 180 G6，GCHGFHGCH+DCEGFH +PFE90，DCEPFE，在DCE 和PFE 中，DCEPFE（SAS） EDEP，DECPEF