1、2019 年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设 i 为虚数单位，则复数 zi （2i）的共轭复数 （ ）A1+2i B12i C1+2i D12i2 （5 分）已知集合 Ax| 1x6，集合 Bx|x 24，则 A（ RB）（ ）A x| 1x2 Bx|1x2 C x|2x6 D x|2x63 （5 分）在样本的频率直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积的和的 ，且样本容量为 200，则中间一组的频数
2、为（ ）A0.2 B0.25 C40 D504 （5 分）设向量 与向量 垂直，且 （2，k） ， （6，4） ，则下列下列与向量 + 共线的是（ ）A （1，8） B （16，2） C （1，8） D （16，2）5 （5 分）设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若公差 d 1，S 9S 410，则 S17（ ）A34 B36 C68 D726 （5 分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为 ，则其体积为（ ）A B C D7 （5 分）阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年）不仅是著名的物理
3、学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为 ，面积为12，则椭圆 C 的方程为（ ）A B第 2 页（共 22 页）C D8 （5 分）函数 f（x ）在（，+）单调递增，且为奇函数已知 f（1）2，f （2）3，则满足3f（x3） 2 的 x 的取值范围是（ ）A （1，4） B （0，5） C （1，5） D （0，4）9 （5 分）某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度
4、在 1953 内，则称这批轮胎基本合格已知这批轮胎的宽度分别为 195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为（ ）A B C D10 （5 分）函数 的部分图象不可能为（ ）A BC D11 （5 分）若函数 f（x ）x 3ke x 在（0，+ ）上单调递减，则 k 的取值范围为（ ）A0，+ ） B C D12 （5 分）已知直线 x2a 与双曲线 C： （a0，b0）的一条渐近线交于点P，双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1，F 2，且 cosPF 2F1 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D二、填空题：本大
5、题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13 （5 分）若函数 f（x ）log 2（x+a）的零点为2，则 a 第 3 页（共 22 页）14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 15 （5 分）在四棱锥 PABCD 中，PA 与矩形 ABCD 所在平面垂直，AB 3，AD ，PA ，则直线 PC 与平面 PAD 所成角的正切值为 16 （5 分）在数列a n中，a n+12（a nn+3 ） ，a 11，若数列 anpn+ q）为等比数列，其中 p，q 为
6、常数，则 ap+q 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）在ABC 中，AC3，C120（1）若 AB7，求 BC 边的长；（2）若 cosA sinB，求ABC 的面积18 （12 分） 最强大脑是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120 分以上才有机会入围某重点高校准备
7、调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各 100 名，然后对这 200 名学生进行脑力测试规定：分数不小于 120 分为“入围学生” ，分数小于 120 分为“未入围学生”已知男生入围 24 人，女生未入围 80 人（1）根据题意，填写下面的 22 列联表，并根据列联表判断是否有 90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关性别 入围人数 未入围人数 总计男生 24女生 80总计（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取 11 名学生（）求这 11 名学生中女生的人数；（）若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数） ，求这 11 名学生中女
8、生测试分数的平均分的最小值第 4 页（共 22 页）附：K 2 ，其中 na+b+c+dP（K 2k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1底面A1B1C1， ACAB ，ACAB4，AA 16，点 E，F 分别为 CA1 与 AB 的中点（1）证明：EF平面 BCC1B1（2）求三棱锥 B1AEF 的体积20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+1 与抛物线 C：x 24y 交于 A，B 两点（1）
9、证明：AOB 为钝角三角形（2）若直线 l 与直线 AB 平行，直线 l 与抛物线 C 相切，切点为 P，且PAB 的面积为16，求直线 l 的方程21 （12 分）已知函数 f（x ） x2（a+1）x+alnx（1）当 a4 时，求 f（x ）的单调区间；（2）已知 a（1，2，bR，函数 g（x）x 3+bx2（2 b+4）x+lnx若 f（x）的极小值点与 g（x）的极小值点相等，证明：g（x）的极大值不大于 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中
10、，以坐标原点 O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 24cos6sin+120（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）过曲线 C 上一动点 P 分别作极轴、直线 cos 1 的垂线，垂足分别为 M，N，求|PM |+|PN|的最大值第 5 页（共 22 页）选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|x +1|+|2x| k（1）当 k4 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若不等式 对 xR 恒成立，求 k 的取值范围第 6 页（共 22 页）2019 年广东省高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，
11、共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设 i 为虚数单位，则复数 zi （2i）的共轭复数 （ ）A1+2i B12i C1+2i D12i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：zi（2i）1+2i， 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2 （5 分）已知集合 Ax| 1x6，集合 Bx|x 24，则 A（ RB）（ ）A x| 1x2 Bx|1x2 C x|2x6 D x|2x6【分析】求出集合 B 的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可【解答】解：Bx| x2
12、4x|2x2，则 RBx| x2 或 x2，则 A（ RB）x |2x 6，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键3 （5 分）在样本的频率直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积的和的 ，且样本容量为 200，则中间一组的频数为（ ）A0.2 B0.25 C40 D50【分析】设其他 8 组的频率数和为 m，则由题意得：m + m200，由此能求出中间一组的频数【解答】解：在样本的频率直方图中，共有 9 个小长方形，中间一个长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积的和的 ，且样
13、本容量为 200，设其他 8 组的频率数和为 m，第 7 页（共 22 页）则由题意得：m+ m200，解得 m150，中间一组的频数为 50故选：D【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）设向量 与向量 垂直，且 （2，k） ， （6，4） ，则下列下列与向量 + 共线的是（ ）A （1，8） B （16，2） C （1，8） D （16，2）【分析】根据 即可得出 ，从而得出 k3，从而可求出 ，从而可找出与 共线的向量【解答】解： ； ；k3； ； ；（16，2）与 共线故选：B【点评】考查向量垂直的充要条件，向
14、量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理5 （5 分）设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若公差 d 1，S 9S 410，则 S17（ ）A34 B36 C68 D72【分析】数列a n是等差数列，S 9S 4105a 1+（36d6d）5（a 1+6d）5a 7，所以 a72，所以 a9a 7+2d2+24，S 17 17a 9，将 a9 代入可得 S17【解答】解：因为数列a n是等差数列，且 S9S 410，所以 105a 1+（36d6d）5（a 1+6d）5a 7，所以 a72，第 8 页（共 22 页）所以 a9a 7+2d2+2 4，S17 17a 917
15、468故选：C【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和公式，通项公式，属于基础题6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为 ，则其体积为（ ）A B C D【分析】首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果【解答】解：将三视图还原可知该几何体为球体的 ，S3 + ，r ，几何体的体积为： 故选：A【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型7 （5 分）阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名
16、的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为 ，面积为12，则椭圆 C 的方程为（ ）第 9 页（共 22 页）A BC D【分析】利用已知条件列出方程组，求出 a，b，即可得到椭圆方程【解答】解：由题意可得： ，解得 a4，b3，因为椭圆的焦点坐标在 y 轴上，所以椭圆方程为： 故选：A【点评】本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力8 （5 分）函数 f（x ）在（，+）单调递增，且为奇函数已知 f（1）2，f （2）3，则满足3f（x3） 2 的 x 的取值范围
17、是（ ）A （1，4） B （0，5） C （1，5） D （0，4）【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【解答】解：f（x ）是奇函数，且（1）2，f（2） 3，f（2）3，则不等式3f（x 3）2 等价为 f（2）f （x3） f（1） ，f（x）是增函数，2x31 得 1x 4，即 x 的取值范围是（1，4） ，故选：A【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键9 （5 分）某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度在 1953 内，
18、则称这批轮胎基本合格已知这批轮胎的宽度分别为 195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为（ ）第 10 页（共 22 页）A B C D【分析】基本事件总数 n 10，至少有 2 个轮胎的宽度在 1953 内包含的基本事件个数 mC 7，由此能求出这批轮胎基本合格的概率【解答】解：某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，从这批轮胎中随机选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度在 1953 内，则称这批轮胎基本合格这批轮胎的宽度分别为 195，196，190，194，200，基本事件总数 n 10，至少有 2 个轮胎的宽度在 1953 内包
19、含的基本事件个数 m 7，这批轮胎基本合格的概率为 p 故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10 （5 分）函数 的部分图象不可能为（ ）A BC D【分析】根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论【解答】解：A由图象知函数的周期 T2，则 2 得 1，此时 f（x）2sin（x ） 2cosx 为偶函数，对应图象为 A，故 A 图象可能B由图象知函数的周期 T （ ） ，即 ，得3 ，第 11 页（共 22 页）当 3 时，此时 f（x ）2sin（3x ） ，f（ ）2sin （3 ）2sin2，即
20、 B 图象不可能，当 3 时，此时 f（x ）2sin （3x+ ） ，f（ ）2sin （3 + ）2sin 2，即 B 图象不可能，C由图象知函数的周期 T4 ，则 4 得 ，当 时，此时 f（x ）2sin（ x）2sin x，f （）2sin 1，即此时 C 图象不可能，当 时，此时 f（x ）2sin （ x）2sin x，f （）2sin 1，即此时 C 图象可能，D由图象知函数的周期 ，即 t，则 得 2，此时 f（x）2sin（2x ） ，f （ ）2sin（2 ）2sin 2，即 D图象可能，综上不可能的图象是 B，故选：B【点评】本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周
21、期性求出 以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键注意本题的 有可能是复数11 （5 分）若函数 f（x ）x 3ke x 在（0，+ ）上单调递减，则 k 的取值范围为（ ）A0，+ ） B C D【分析】令 f（x ）0 在（0，+）上恒成立得 k 在（0，+）上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出 k 的范围【解答】解：函数 f（x ）x 3ke x 在（0，+ ）上单调递减，f（x）3 x2ke x0 在（ 0，+ ）上恒成立，k 在（0，+）上恒成立，第 12 页（共 22 页）令 g（x） ，x 0，则 ，当 0x2 时，g（x ）0，此时 g（x ）单调递增，x2 时，
22、g（x ）0，g（x）单调递减故当 x2 时，g（x ）取得最大值 g（2） ，则 k ，故选：C【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题12 （5 分）已知直线 x2a 与双曲线 C： （a0，b0）的一条渐近线交于点P，双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1，F 2，且 cosPF 2F1 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得 P 的坐标，求得直线 PF2 的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值【解答】解：双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1（c ，0） ，F 2（c，0） ，cosP
23、F 2F1，可得 sinPF 2F1 ，即有直线 PF2 的斜率为 tanPF 2F1 ，由直线 x2a 与双曲线 C： （a0，b0）的一条渐近线 y x 交于点 P，可得 P（2a，2b） ，可得 ，即有 4b215（4a 24ac+c 2）4（c 2a 2） ，化为 11c260ac+64 a20，第 13 页（共 22 页）由 e 可得 11e260e +64 0，解得 e 或 e4，由 2ac0，可得 c2a，即 e2，可得 e4 舍去故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题
24、5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13 （5 分）若函数 f（x ）log 2（x+a）的零点为2，则 a 3 【分析】根据题意，由函数零点的定义可得 f（2）log 2（a2）0，解可得 a 的值，即可得答案【解答】解：根据题意，若函数 f（x ）log 2（x+a）的零点为2，则 f（2）log 2（a2）0，即 a21，解可得 a3，故答案为：3【点评】本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 【分析】设 z ，作出不等式组对应得平面区域，利用 z 得几何意义即可得到结论【
25、解答】解：设 z ，则 k 得几何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平面区域如图：则由图象可知 OA 的斜率最大，由 ，解得 A（3，4） ，则 OA 得斜率 k ，则 的最大值为 故答案为： 第 14 页（共 22 页）【点评】本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应用，根据 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键15 （5 分）在四棱锥 PABCD 中，PA 与矩形 ABCD 所在平面垂直，AB 3，AD ，PA ，则直线 PC 与平面 PAD 所成角的正切值为 【分析】推导出 CDAD，CDPA ，从而 CD平面 PAD，进而CPD 是直线
26、PC 与平面 PAD 所成角，由此能求出直线 PC 与平面 PAD 所成角的正切值【解答】解：在四棱锥 PABCD 中，PA 与矩形 ABCD 所在平面垂直，CDAD，CDPA，ADPAA，CD平面 PAD，CPD 是直线 PC 与平面 PAD 所成角，AB3，AD ，PA ，直线 PC 与平面 PAD 所成角的正切值：tanCPD 故答案为： 【点评】本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系第 15 页（共 22 页）等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题16 （5 分）在数列a n中，a n+12（a nn+3 ） ，a 11，若数列 anpn+
27、 q）为等比数列，其中 p，q 为常数，则 ap+q 2 【分析】首先求出数列的通项公式，进一步求出结果【解答】解：数列a n中，a n+12（a nn+3 ） ，a 11，若数列a npn+q）为等比数列，则： ，所以：a n+1p（n+1）+ q2（a npn+q）解得：p2，q2，故：数列a npn+q是以1+221 为首项，2 为公比的等比数列所以： ，整理得： 故：a p+qa 48+8 2 2，故答案为：2【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
28、.第 1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）在ABC 中，AC3，C120（1）若 AB7，求 BC 边的长；（2）若 cosA sinB，求ABC 的面积【分析】 （1）直接利用余弦定理和一元二次方程的解的应用求出结果（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】解：（1）由余弦定理得 AB2BC 2+AC22BCACcos C，代入数据整理得 BC2+3BC400，解得 BC5（BC8 舍去） （2）由 cos A sin B 及 C120，第 16 页（共 22 页）
29、得 cos（60B） sin B，展开得 cos B+ sin B sin B0，即 sin B cos B，tan B ，所以 B30从而 A60B30，即 AB30，所以 BCAC3故ABC 的面积为 33sin120 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18 （12 分） 最强大脑是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120 分以上才有机会入围某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与
30、性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各 100 名，然后对这 200 名学生进行脑力测试规定：分数不小于 120 分为“入围学生” ，分数小于 120 分为“未入围学生”已知男生入围 24 人，女生未入围 80 人（1）根据题意，填写下面的 22 列联表，并根据列联表判断是否有 90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关性别 入围人数 未入围人数 总计男生 24女生 80总计（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取 11 名学生（）求这 11 名学生中女生的人数；（）若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数） ，求这 11 名学生中女生测试分数的平均分的最
31、小值第 17 页（共 22 页）附：K 2 ，其中 na+b+c+dP（K 2k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【分析】 （1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2） （）根据分层抽样原理计算被抽到的女生人数；（）由题意计算所求平均分的最小值【解答】解：（1）填写列联表如下：性别 入围人数 未入围人数 总计男生 24 76 100女生 20 80 100总计 44 156 200（4 分）因为 K2 的观测值 k 2.706，（6 分）所以没有 90%以上的把握
32、认为脑力测试后是否为 “入围学生”与性别有关（7 分）（2） （）这 11 名学生中，被抽到的女生人数为 20 5（9 分）（）因为入围的分数不低于 120 分，且每个女生的测试分数各不相同，每个人的分数都是整数，所以这 11 名学生中女生的平均分的最小值为 （120+121+122+123+124）122（12 分）【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样原理与平均数的计算问题，是基础题19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1底面A1B1C1， ACAB ，ACAB4，AA 16，点 E，F 分别为 CA1 与 AB 的中点（1）证明：EF
33、平面 BCC1B1（2）求三棱锥 B1AEF 的体积第 18 页（共 22 页）【分析】 （1）连接 BC1证明 EFBC 1，然后证明 EF平面 BCC1B1（2）说明 AC平面 ABB1A1，求出 E 到平面 ABB1A1 的距离，通过 求解体积即可【解答】 （1）证明：如图，连接 BC1 （1 分）在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，E 为 AC1 的中点 （2 分）又因为 F 为 AB 的中点，所以 EFBC 1 （3 分）又 EF平面 BCC1B1，BC 1平面 BCC1B1，所以 EF平面 BCC1B1 （5 分）（或先证面面平行，再证线面平行，也是常见的方法，阅卷时应同样给分 ）
34、（2）解：因为 ACAB，AA 1AC ，AA 1ABA，所以 AC平面 ABB1A1， （7 分）又 AC4，E 为 A1C 的中点，所以 E 到平面 ABB1A1 的距离为： 42 （9 分）因为AB 1F 的面积为： 266， （10 分）所以 264 （12 分）【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+1 与抛物线 C：x 24y 交于 A，B 两第 19 页（共 22 页）点（1）证明：AOB 为钝角三角形（2）若直线 l 与直线 AB 平行，直线 l 与
35、抛物线 C 相切，切点为 P，且PAB 的面积为16，求直线 l 的方程【分析】 （1）设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，联立 ，得 x24kx40，利用韦达定理以及向量的数量积证明AOB 为钝角三角形（2）求出|AB|y 1+y2+p4k 2+4，结合函数的导数，利用斜率关系，求出点 P 到直线ykx +1 的距离，写出|AB|，利用PAB 的面积，转化求解即可【解答】 （1）证明：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立 ，得x24kx40， （1 分）则 x1x24， （2 分）所以 y1y2 1， （3 分）从而 x 1x2+y1y230， （4 分
36、）则AOB 为钝角，故AOB 为钝角三角形 （5 分）（得到 x1x2，y 1y2 的值分别给（1 分） ；若只是得到其中一个，且得到 30，可以共给（3 分） ） （2）解：由（1）知，x 1+x24k ，y 1+y2k（x 1+x2）+2 4k2+2， （6 分）则|AB| y1+y2+p4k 2+4 （7 分）由 x24y，得 y ，y' ，设 P（x 0，y 0） ，则 x02k，y 0k 2，则点 P 到直线 ykx+1 的距离 d （9 分）从而PAB 的面积 Sd| AB| 2（k 2+1） 16， （10 分）解得 k ， （11 分）故直线 l 的方程为 y x3 （
37、12 分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力第 20 页（共 22 页）21 （12 分）已知函数 f（x ） x2（a+1）x+alnx（1）当 a4 时，求 f（x ）的单调区间；（2）已知 a（1，2，bR，函数 g（x）x 3+bx2（2 b+4）x+lnx若 f（x）的极小值点与 g（x）的极小值点相等，证明：g（x）的极大值不大于 【分析】 （1）当 a4 时，f（x ）x 2+3x4ln x，定义域为（0，+） f'（x）x+3 即可得出单调区间（2）f'（x ） ，g'（x）3x 2+2bx（2b
38、+4）+ 令 p（x）3x 2+（2b+3）x1由 a（1，2，可得f（x）的极小值点为 a，则 g（x）的极小值点为 a，可得 p（a）0，b ，此时 g（x）的极大值为 g（1）1+b（2b+4）代入利用函数的单调性即可得出【解答】 （1）解：当 a4 时，f（x ）x 2+3x4ln x，定义域为（0，+） f'（x）x+3 当 x1 时，f' （x）0，f（x）单调递增，则 f（x）的单调递增区间为（ 1，+） ；当 0x1 时，f'（x）0，f（x ）单调递减，则 f（x）的单调递减区间为（ 0，1） （2）证明：f'（x ） ，g'（x） 3
39、x2+2bx（2b+4 ）+ 令 p（x）3x 2+（2b+3 ）x 1因为 a（1，2，所以 f（x）的极小值点为 a，则 g（x）的极小值点为 a，所以 p（a）0，即 3a2+（2b+3）a10，即 b ，此时 g（x）的极大值为 g（1）1+b（2b+4）3b3 a 因为 a（1，2，所以 a 3 故 g（x）的极大值不大于 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题第 21 页（共 22 页）（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐
40、标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 24cos6sin+120（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）过曲线 C 上一动点 P 分别作极轴、直线 cos 1 的垂线，垂足分别为 M，N，求|PM |+|PN|的最大值【分析】 （1）由 24 cos 6sin+120，得 x2+y24x6y+120，即（x2）2+（y3） 21，此即为曲线 C 的直角坐标方程（2）由（1）可设 P 的坐标为（2+cos ，3+sin） ，02，求出| PM|和|PN |后相加，用三角函数的性质求得最大值【
41、解答】解：（1）由 24cos 6 sin+120，得 x2+y24x6y+120，即（x2） 2+（y 3） 21，此即为曲线 C 的直角坐标方程（2）由（1）可设 P 的坐标为（2+cos ，3+sin） ，02，则|PM |3+sin ，又直线 cos 1 的直角坐标方程为 x1，所以|PN |2+cos+13+cos，所以|PM|+|PN|6+ sin（ + ） ，故当 时，|PM|+|PN|取得最大值为 6+ 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|x +1|+|2x| k（1）当 k4 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）
42、若不等式 对 xR 恒成立，求 k 的取值范围【分析】 （1）k4 时，利用分类讨论思想求出不等式 f（x）0 的解集，再求它们的并集；（2）利用绝对值不等式的性质求出 f（x ）的最小值，再把不等式 化为3k ，求不等式的解集即可第 22 页（共 22 页）【解答】解：（1）k4 时，函数 f（x）|x +1|+|2x | 4，不等式 f（x）0 化为|x+1|+|2x |4，当 x1 时，不等式化为x1+2x 4，解得 x 1，当1x2 时，不等式化为 x+1+2x34 恒成立，则1x2，当 x2 时，不等式化为 x+1+x24，解得 2x ，综上所述，不等式 f（x ）0 的解集为（ ， ） ；（2）因为 f（x ）|x +1|+|2x| k|x+1+2 x|k3k，所以 f（x）的最小值为 3k；又不等式 对 xR 恒成立，所以 3k ，所以 ，解得3k1，所以 k 的取值范围是 3，1 【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题