1、2019 年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）若复数 zm（m1）+（m 1）i 是纯虚数，其中 m 是实数，则 （ ）Ai Bi C2i D2i2 （5 分）已知全集 UR， Mx|x 1 ，N x|x（x+2）0，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A x| 1x0 Bx|1x0 C x|2x1 D x|x13 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S39，S 636，则 a6+a7+a8（ ）A63 B4
2、5 C39 D274 （5 分）为保证树苗的质量，林业管理部门在每年 3 月 12 日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度（单位长度：cm） ，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（ ）A甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐5 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，准线 l 与 x 轴
3、的交点为 A，M 是抛物线 C 上的点，且 MFx 轴，若以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2，则p（ ）A2 B2 C4 D46 （5 分）在ABC 中，| | | |，| | |3，则 （ ）A3 B3 C D第 2 页（共 25 页）7 （5 分）已知命题 p：若 a0.2 0.2，b1.2 0.2，clog 1.20.2，则 acb：命题q：“x 20” 是“x20”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bp（q） C （p）（q） D （p）q8 （5 分）若函数 f（x ）Asin（x+） （其中 A0，| | ）图
4、象的一个对称中心为（，0） ，其相邻一条对称轴方程为 x ，该对称轴处所对应的函数值为1，为了得到 g（x ） cos2x 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位长度B向左平移 个单位长度C向左平移 个单位长度D向右平移 个单位长度9 （5 分）已知数列a n是 1 为首项，2 为公差的等差数列， bn是 1 为首项，2 为公比的等比数列，设 cna ，T nc 1+c2+cn， （nN*） ，则当 Tn2019 时，n 的最大值是（ ）A9 B10 C11 D1210 （5 分）在同一直角坐标系中，函数 yax 2x + 与 ya 2x32ax 2+
5、x+a（a R）的图象不可能的是（ ）A BC D11 （5 分）已知双曲线 C： （a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 e，过点 F1 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点，若第 3 页（共 25 页）0，且F 1AF2150，则 e2（ ）A72 B7 C7 D712 （5 分）定义在（0，+）上的函数 f（x ）满足 xf'（x）+10，f（3）ln 3，则不等式 f（e x）+x0 的解集为（ ）A （e 3，+） B （0，e 3） C （ln 3，+ ） D （ln3，e 3）二、填空题：本大题
6、共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 zx+y 的最小值为 14 （5 分）设定义在 R 上的函数满足 f（x）f （x+2） ，当 x1，1）时，f（x），则 f（ ） 15 （5 分）已知 Sn 为数列a n的前 n 项和，a 11，S nSn+1a n+1（nN*） ，则 a10 16 （5 分）已知三棱锥 D ABC 的体积为 2，ABC 是等腰直角三角形，其斜边 AC2，且三棱锥 DABC 的外接球的球心 O 恰好是 AD 的中点，则球 O
7、的体积为 三、解答题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题21 题为必考题每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（2a+c）cosB+bcosC0（1）求角 B 的大小；（2）若 a3，点 D 在 AC 边上，且 BDAC，BD ，求 c 边的长18 （12 分） 汉字听写大会不断创收视新高，为了避免“书写危机” ，弘扬传统文化，某市大约 10 万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取 50 名市民的听写测试情况，发现被
8、测试市民正确书写汉字的个数全部在 160 到 184 之间，将测试结果按如下方式分成六组：第 1 组160，164） ，第 2 组164 ， 168） ，第 6 组180，184） ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若电视台记者要从抽取的市民中选 1 人进行采访，求被采访人恰好在第 2 组或第6 组的概率；第 4 页（共 25 页）（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；（3）已知第 4 组市民中有 3 名男性，组织方要从第 4 组中随机抽取 2 名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有 1 名女性市民的概率19 （12 分）如图，D 是 AC 的中点，四边形 BD
9、EF 是菱形，平面 BDEF平面ABC， FBD60，ABBC，AB BC （1）若点 M 是线段 BF 的中点，证明：BF平面 AMC；（2）求六面体 ABCEF 的体积20 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F 2，左顶点为A，上顶点为 B，离心率为 ，ABF 1 的面积为 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，求 MNF 2 内切圆半径的最大值第 5 页（共 25 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）e xa（x+1） ，a R（1）求函数 f（x ）的单调区间和极值；（2）设 g（x）f（
10、x）+ ，且 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） （x 1x 2）是曲线 yg（x）上的任意两点，若对任意的 a1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为cos（ ） t（ tR） （1）求曲线 C1 的普通方程及曲线 C2 的直角坐标方程；（2）若 2，当曲线 C1 与曲线 C2 有两个公共点时，求 t 的取值范围选修 45：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x |+|2x
11、+3|+m（m R） （1）当 m2 时，求不等式 f（x）3 的解集；（2）若x（，0） ，都有 f（x）x+ 恒成立，求 m 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）若复数 zm（m1）+（m 1）i 是纯虚数，其中 m 是实数，则 （ ）Ai Bi C2i D2i【分析】由纯虚数的定义可得 m0，故 ，化简可得【解答】解：复数 zm（m1）+（m 1）i 是纯虚数，故 m（m1）0
12、 且（m1）0，解得 m0，故 zi，故 i故选：A【点评】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题2 （5 分）已知全集 UR， Mx|x 1 ，N x|x（x+2）0，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A x| 1x0 Bx|1x0 C x|2x1 D x|x1【分析】由图可得图中阴影部分为 N（ UM） ，求解一元二次不等式，再由交集与补集的混合运算求解【解答】解：图中阴影部分为 N（ UM） ，Mx|x1， UM x|x1，又 Nx|x（x+2）0x|2x 0 ，N（ UM）x |1x0，故选：A【点评】本题考查利用图示法表示集合的关系及其运算，考查一元二次不等式的解法，
13、是基础题3 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S39，S 636，则 a6+a7+a8（ ）A63 B45 C39 D27第 7 页（共 25 页）【分析】设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由题意列方程组求出 a1、d，再计算 a6+a7+a8 的值【解答】解：设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由 S39，S 636，得 ，解得 a11，d2；a 6+a7+a83a 1+18d3+3639故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前 n 项和公式应用问题，是基础题4 （5 分）为保证树苗的质量，林业管理部门在每年 3 月 12 日植树节前
14、都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度（单位长度：cm） ，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（ ）A甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐【分析】本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差
15、判断哪种树苗长的整齐【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得： 27 30第 8 页（共 25 页）S 甲 2S 乙 2故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐故选：D【点评】茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，10 高考应该会有有关内容数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散
16、，表示数据离散度越大，其标准差越大5 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A，M 是抛物线 C 上的点，且 MFx 轴，若以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2，则p（ ）A2 B2 C4 D4【分析】求出直线 AM 的方程，根据垂径定理列方程得出 p 的值【解答】解：把 x 代入 y22px 可得 yp，不妨设 M 在第一象限，则 M（ ，p） ，又 A（ ，0） ，直线 AM 的方程为 yx+ ，即 xy+ 0，原点 O 到直线 AP 的距离 d ，以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2， ，解得 p
17、2 故选：B【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题6 （5 分）在ABC 中，| | | |，| | |3，则 （ ）A3 B3 C D【分析】由题意，画出图形，利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关系，求出OC，得到ABC 的形状即可求得【解答】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在ABC 中，| | | |，| | |3，如图，设|OC| x，则| OA| x，所以第 9 页（共 25 页）|AO|2+|OC|2|AC| 2 即 3x2+x29，解得 x ，所以|BC |3，所以ABC 为等边三角形，所以 33 ；故选：C【点评】本题考查向量加法的平
18、行四边形法则，向量数量积的计算公式；关键是正确判断三角形的形状7 （5 分）已知命题 p：若 a0.2 0.2，b1.2 0.2，clog 1.20.2，则 acb：命题q：“x 20” 是“x20”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bp（q） C （p）（q） D （p）q【分析】直接利用指数和对数的性质判断出命题 p 为假命题，命题 q 为真命题，进一步利用真值表求出结果【解答】解：命题 p：若 a0.2 0.2，b1.2 0.2，clog 1.20.2，则：b1.2 0.21，0a0.2 0.21，clog 1.20.20，故：bac故命题 p 为假命题命
19、题 q：“x20”是“x 20”的必要不充分条件，故命题 q 是真命题则：（p）q 为真命题故选：D第 10 页（共 25 页）【点评】本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的性质的应用，真值表的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8 （5 分）若函数 f（x ）Asin（x+） （其中 A0，| | ）图象的一个对称中心为（，0） ，其相邻一条对称轴方程为 x ，该对称轴处所对应的函数值为1，为了得到 g（x ） cos2x 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位长度B向左平移 个单位长度C向左平移 个单位长度D向右平移 个单位长度【分析】由函数
20、的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 f（x）的解析式，再根据函数 yAsin（x+ ）的图象变换规律，诱导公式，得出结论【解答】解：根据已知函数 f（x ）Asin（x+）（其中 A0，| ）的图象过点（ ，0） ， （ ， 1） ，可得 A1， ，解得： 2再根据五点法作图可得 2 + ，可得： ，可得函数解析式为：f（x ）sin（2x+ ） 故把 f（x）sin（2x + ）的图象向左平移 个单位长度，可得 ysin （2 x+ + ） cos2x 的图象，故选：B【点评】本题主要考查由函数 yAsin （ x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐
21、标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题第 11 页（共 25 页）9 （5 分）已知数列a n是 1 为首项，2 为公差的等差数列， bn是 1 为首项，2 为公比的等比数列，设 cna ，T nc 1+c2+cn， （nN*） ，则当 Tn2019 时，n 的最大值是（ ）A9 B10 C11 D12【分析】由题设知 an2n1，b n2 n1 ，由Tna b1+ab2+abna 1+a2+a4+a2n1 2 n+1n2 和 Tn2019，得2n+1n22019，由此能求出当 Tn2019 时 n
22、的最大值【解答】解：a n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，a n2n1，b n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，b n2 n1 ，T nc 1+c2+cna b1+ab2+abna 1+a2+a4+a2n1（211）+（221）+（2 41）+（22 n1 1）2（1+2+4+2 n1 ）n2 n2 n+1n2，T n2019，2 n+1n22019，解得：n9则当 Tn2019 时，n 的最大值是 9故选：A【点评】本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性，综合性强，难度大，易出错10 （5 分）在同一直
23、角坐标系中，函数 yax 2x + 与 ya 2x32ax 2+x+a（a R）的图象不可能的是（ ）第 12 页（共 25 页）A BC D【分析】讨论 a 的值，当 a0 时，知 D 可能，当 a0 时，求出函数 ax2x+ 的对称轴 x ，利用求导函数求出函数 ya 2x32ax 2+x+a 的极值点为 x 与 x ，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项【解答】解：当 a0 时，函数 yax 2x + 的图象是第二，四象限的角平分线，而函数 ya 2x32ax 2+x+a 的图象是第一，三象限的角平分线，故 D 符合要求；当 a0
24、 时，函数 yax 2x + 图象的对称轴方程为直线 x ，由 ya 2x32ax 2+x+a 可得： y3a 2x24ax+1，令 y0，则 x1 ，x 2 ，即 x1 和 x2 为函数 ya 2x32ax 2+x+a 的两个极值点，对称轴 x 介于 x1 和 x2 两个极值点之间，故 A、C 符合要求，B 不符合，故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键11 （5 分）已知双曲线 C： （a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 e，过点 F1 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A，B
25、两点，若0，且F 1AF2150，则 e2（ ）A72 B7 C7 D7第 13 页（共 25 页）【分析】设|BF 2|x，根据直角三角形的性质和双曲线的性质，用 x 表示出|AF1|，|AF 2|，根据 |AF2|AF 1|2a 计算 x，再根据勾股定理列方程得出 a，c 的关系，从而求出 e2 的值【解答】解： 0，ABBF 2，F 1AF2150 ，BAF 230，设|BF 2| x，则|BF 1|x+2a，|AF 2|2x，|AB | x，|AF 1| |BF1| |AB|x+2 a x，又|AF 2| |AF1| 2a，2x（x+2a x）2a，解得 x2（ 1）a|B
26、F 1| 2 a，| BF2|2（ 1）a，在 Rt BF1F2 中，由勾股定理可得：12a 2+（2 2）a 24c 2，即（72 ）a 2c 2，e 2 72 故选：A【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题12 （5 分）定义在（0，+）上的函数 f（x ）满足 xf'（x）+10，f（3）ln 3，则不等式 f（e x）+x0 的解集为（ ）A （e 3，+） B （0，e 3） C （ln 3，+ ） D （ln3，e 3）【分析】令 g（x）f（x）+lnx，x（0，+） 在（0，+）上的函数 f（x ）满足xf'（ x） +1
27、0，可得 g（x ） 0，函数 g（x）在（0，+）上单调递增，又 g（3）f（3）+ln30，进而得出解集第 14 页（共 25 页）【解答】解：令 g（x）f（x）+lnx，x（0，+） 在（0，+）上的函数 f（ x）满足 xf'（x）+10，g（x）f（x）+ 0，函数 g（x）在（0，+）上单调递增，g（3）f（3）+ln30，不等式 g（x）0g（3）的解集为：x3而不等式 f（e x）+ x0 满足： ex3，即 xln 3不等式 f（e x）+ x0 的解集为（ ln3，+） 故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查
28、了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 zx+y 的最小值为 1 【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数 z 的最小值【解答】解：画出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影部分所示；由 ，解得 B（3，2） ，设 zx +y，将直线 l：zx+ y 进行平移，第 15 页（共 25 页）当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值，z 最小值 321故答案为：1【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题14 （5 分）设定义在 R 上的函数满足 f（
29、x）f （x+2） ，当 x1，1）时，f（x），则 f（ ） 【分析】利用函数的周期性以及分段函数，转化求解函数值即可【解答】解：定义在 R 上的函数满足 f（x）f （x+2） ，所以函数的周期为 2，当 x 1，1）时， f（x） ，则 f（ ）f（4 ）f（ ）f （ ） 故答案为： 【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力15 （5 分）已知 Sn 为数列a n的前 n 项和，a 11，S nSn+1a n+1（nN*） ，则 a10 【分析】根据题意，将 SnSn+1a n+1 变形可得 SnSn+1S nS n+1，进而可得 1，分析可
30、得数列 为首项为 1，公差为 1 的等差数列，即可得Sn ，又由 a10S 10S 9，计算可得答案【解答】解：根据题意，数列a n满足 SnSn+1a n+1，即 SnSn+1S nS n+1，变形可得： 1，又由 a11，则 1，则数列 为首项为 1，公差为 1 的等差数列，则 1+（n1）n，则 Sn ，则 a10S 10S 9 ；第 16 页（共 25 页）故答案为： 【点评】本题考查数列递推公式，涉及数列的前 n 项和与通项的关系，属于基础题16 （5 分）已知三棱锥 D ABC 的体积为 2，ABC 是等腰直角三角形，其斜边 AC2，且三棱锥 DABC 的外接球的球心 O 恰好是
31、AD 的中点，则球 O 的体积为 【分析】取 AC 的中点 E，利用球心 O 与ABC 的外心的连线与平面 ABC 垂直，得到OE平面 ABC，再由中位线得出 OECD，于是得出 CD平面 ABC，根据已知条件计算出ABC 的面积，并利用锥体体积公式计算出 CD，再利用勾股定理得出 AD，即可得出球 O 的半径为 ，最后利用球体体积公式可得出答案【解答】解：如下图所示，取 AC 的中点 E，连接 OE，由于 O 为 AD 的中点，E 为 AC 的中点，则 OECD，AC 为等腰直角三角形 ABC 的斜边，所以，点 E 为ABC 外接圆圆心，且 O 为三棱锥 DABC 外接球的球心
32、，所以 OE平面 ABC，所以，CD平面 ABC，ABC 是等腰直角三角形，且斜边 AC2，所以，ABBC ，则ABC 的面积为，由锥体体积公式可得 ，CD6，所以， ，则球 O 的半径为 ，因此，球 O 的体积为 故答案为： 【点评】本题考查球体的体积的计算，解决本题的关键在于理解球心与相应面的外接圆圆心的连线与相应的底面垂直这一性质，考查计算能力与推理能力，属于中等题第 17 页（共 25 页）三、解答题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题21 题为必考题每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17 （12 分）在ABC 中，角
33、A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（2a+c）cosB+bcosC0（1）求角 B 的大小；（2）若 a3，点 D 在 AC 边上，且 BDAC，BD ，求 c 边的长【分析】 （1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出 B 的值（2）利用三角形的边的关系及余弦定理和三角形面积公式，建立等量关系式求出 c 的值【解答】 （1）由（2a+c）cosB+bcos C0 及正弦定理，可得 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC0，即 2sinAcosB+sin（B+C ）0 ，由 A+B+C 可得 sin（B+C）sin A，所以 sinA（2cosB+1）0，因为
34、 0A，sinA0，所以 （2）由 得 b2a 2+c2+acc 2+3c+9，又因为 BDAC，所以ABC 的面积 ，把 ，带入得 ，所以 ，解得 c5【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理和三第 18 页（共 25 页）角形面积公式的应用，属于基础题型18 （12 分） 汉字听写大会不断创收视新高，为了避免“书写危机” ，弘扬传统文化，某市大约 10 万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取 50 名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在 160 到 184 之间，将测试结果按如下方式分成六组：第 1 组160，164） ，第
35、 2 组164 ， 168） ，第 6 组180，184） ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若电视台记者要从抽取的市民中选 1 人进行采访，求被采访人恰好在第 2 组或第6 组的概率；（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；（3）已知第 4 组市民中有 3 名男性，组织方要从第 4 组中随机抽取 2 名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有 1 名女性市民的概率【分析】 （1）利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率（2）利用频率分布直方图能求出平均数和中位数（3）共 500.126 人，其中男生 3 人，设为 a，b，c，女生三人，设为
36、 d，e，f，利用列举法能求出至少有 1 名女性市民的概率【解答】解：（1）被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率P40.07+4 0.010.32（2 分）2）平均数（3 分）第 19 页（共 25 页）（4 分）设中位数为 x，则 0.2+0.28+（ x168）0.080.5（5 分）中位数 x +168168.25（6 分）（3）共 500.126 人，其中男生 3 人，设为 a，b，c，女生三人，设为d，e，f （7 分）则任选 2 人，可能为a，b，a，c ，a，d， a，e， a，f，b，c， b，d，b，e ， b，f，c，d，c，e， c，f， d，e ，d，f，e，f，
37、共 15 种，（9 分）其中两个全是男生的有a，b ，a，c ，b，c，共 3 种情况，（10 分）设事件 A：至少有 1 名女性，则至少有 1 名女性市民的概率 （12 分）【点评】本题考查概率、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19 （12 分）如图，D 是 AC 的中点，四边形 BDEF 是菱形，平面 BDEF平面ABC， FBD60，ABBC，AB BC （1）若点 M 是线段 BF 的中点，证明：BF平面 AMC；（2）求六面体 ABCEF 的体积【分析】 （1）直接利用转换关系，利用相面垂直的判定求出结论（2）利用分割法求出几何体
38、的体积【解答】证明：（1）连接 MD，FD 四边形 BDEF 为菱形，且FBD 60，DBF 为等边三角形第 20 页（共 25 页）M 为 BF 的中点，DM BFABBC， ，又 D 是 AC 的中点，BDAC平面 BDEF 平面 ABCBD，平面 ABC平面 BDEF，AC平面 ABC，AC平面 BDEF又 BF平面 BDEF，ACBF由 DM BF，AC BF，DMAC D ，BF平面 AMC（2） 已证 AC平面 BDEF，则 V 四棱锥 CBDEF 【点评】本题考查的知识要点：线面垂直的判定的应用，几何体的体积公式的应用20 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）的左右焦点分
39、别为 F1，F 2，左顶点为A，上顶点为 B，离心率为 ，ABF 1 的面积为 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，求 MNF 2 内切圆半径的最大值第 21 页（共 25 页）【分析】 （1）根据题意列方程组求出 a，b 的值得出椭圆方程；（2）根据根与系数的关系求出MNF 2 的最大值，再根据内切圆的性质表示出MNF 2的面积，从而得出内切圆的最大半径【解答】解：（1）依题意有 解得 ，故椭圆 C 的方程为 （2）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，设F 2MN 的内切圆半径为 r，F 2MN 的周长为，所以 根据
40、题意知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 xmy1，由 ，得（m 2+2）y 22my 10，（2m） 2+4（m 2+2）0，mR，由韦达定理得 ，令 ，则 t1， 令 ，则当 t1 时， ，f （t）单调递增，f（t）f（1）2， ，即当 t1，m0 时， 的最大值为 ，此时 ， F 2MN 内切圆半径的最大值为 【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，用半径表示出三角形的面积是解题的关键，属于中档题第 22 页（共 25 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）e xa（x+1） ，a R（1）求函数 f（x ）的单调区间和极值；（2）设 g（x）f（x）+
41、，且 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） （x 1x 2）是曲线 yg（x）上的任意两点，若对任意的 a1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围【分析】 （1）由题意求出函数的定义域，并且求出原函数的导函数，可得当 a0 时，f（x）0， f（x ）在（ ，+）上单调递增；当 a0 时，求出导函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，得到函数的单调性，从而得到函数的极值；（2）设 x1，x 2 是任意的两实数，且 x1x 2，由题设知， ，得到g（x 2）mx 2g（x 1）mx 1，构造函数 F（x）g（x ） mx ，可得 F（x）在（，+）上单调递增，得到
42、F'（x）g'（x）m 0 恒成立，分离参数后利用基本不等式求出 g'（x）的最小值，则 m 的取值范围可求【解答】解：（1）由题知定义域为（，+） ，f'（x）e xa，aR，（1 分）当 a 0 时， f（x ）0， f （x）在（，+）上单调递增，即增区间为（，+） ；则 f（x）无极值； （2 分）当 a 0 时， f'（x ）e xa0 的解为 xlna ，当 x（， lna）时，f（ x）0，f（x ）的减区间为（，lna） ；当 x（lna，+）时，f（ x）0，f（x）的增区间为（lna，+） （4 分）则 f（x）极小值为 f（lna）
43、 aa（lna+1）alna ，无极大值； （5 分）（2）设 x1，x 2 是任意的两实数，且 x1x 2，由题设知， ，故 g（x 2）mx 2g（x 1）mx 1，不妨令函数 F（x ）g（x）mx ，（8 分）则 F（x ）在（ ，+ ）上单调递增，F'（x）g'（x）m 0 恒成立，对任意的 a1，xR，m （g'（x） ） min 恒成立， m（g（x） ）第 23 页（共 25 页）min（10 分）又当 a1 时，故 m3（ 12 分）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，是中档题选修 4-
44、4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为cos（ ） t（ tR） （1）求曲线 C1 的普通方程及曲线 C2 的直角坐标方程；（2）若 2，当曲线 C1 与曲线 C2 有两个公共点时，求 t 的取值范围【分析】 （1）把已知参数方程移向平方即可得到普通方程，展开两角差的余弦，结合xcos，ysin 求得曲线 C2 的直角坐标方程；（2）画出两曲线的图形，数形结合即可求得 t 的取值范围【解答】解：（1）由 ，得 ，两式平方相加得：（x1） 2+（y1
45、） 21；由 cos（ ） t，得 ， ，即 x+yt ；（2）由 2，得曲线 C1：（x1） 2+（y1） 21（y0） 作出曲线 C1 与曲线 C2 的图象如图：第 24 页（共 25 页）由图可知，当曲线 C1 与曲线 C2 有两个公共点时，实数 t 的取值范围为（2 ，1【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，考查数形结合的解题思想方法，是中档题选修 45：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x |+|2x+3|+m（m R） （1）当 m2 时，求不等式 f（x）3 的解集；（2）若x（，0） ，都有 f（x）x+ 恒成立，求 m 的取值范围【分析】 （1）f（x ）|2x |+|2x+3|+m ，分段解不等式即可（2）f（x） |2x|+|2x+3|+m 当 时，不等式化为，当 时，不等式化为 ，利用恒成立求得 m 的取值范围【解答】解：（1）当 m 2 时，f（x）|2 x|+|2x+3|+m （2 分）当 ，解得 ；当 恒成立当 解得2此不等式的解集为