1、2018 年山西省晋城市高考数学二模试卷（文科） （B 卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 A1， 0，1，2 ，By|y 2 x，x A，则 AB 中元素个数为（ ）A8 B7 C6 D52 （5 分）设复数 z 满足 z（3i）1i ，则 z（ ）A i B i C i D i3 （5 分）已知向量 （1，x 2） ， （2，y 22） ，若 ， 共线，则 xy 的最大值为（ ）A2 B C1 D4 （5 分）若二次函数 f（x ）k（x+1） （x2）的图象与坐
2、标轴的交点是椭圆 C： +1（ab0）的顶点或焦点，则 k（ ）A B C D5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则 t 的值变动时，输出的 x 值不可能是（ ）第 2 页（共 26 页）A13 B11 C9 D56 （5 分）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就现作出圆 x2+y22 的一个内接正八边形，使该正八边形的其中 4 个顶点在坐标轴上，则下列 4 条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（ ）Ax
3、+（ 1）y 0 B （1 ）xy+ 0Cx （ +1）y + 0 D （ 1 ）x y+ 07 （5 分）如图，是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是底边为 4，高为 2 的等腰三角形，俯视图是边长为 2 的正方形，则该几何体的体积为（ ）第 3 页（共 26 页）A B C D8 （5 分）若 f（x ） + 的最小值与 g（x） （a0）的最大值相等，则 a 的值为（ ）A1 B C2 D29 （5 分）已知数据 1，2，3，4，x（0x5）的平均数与中位数相等，从这 5 个数中任取 2 个，则这 2 个数字之积大 5 的概率为（ ）A B C D
4、10 （5 分）已知函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，0 ）满足 f（ +x）f（ x ） ，且直线 2x+2y10 与坐标轴的交点都在 f（x）的图象上，则（ ）AA1， 2k （kZ） BA ，2k（kZ）CA1， （2k +1）（k Z） DA ，（2k+1）（k Z）11 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0） ，点 P（x 0，y 0）是直线bxay +2a0 上任意一点，若圆（x x 0） 2+（yy 0） 2 1 与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ）A （1，2 B （1， ） C （2，+） D ，+
5、）12 （5 分）已知在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E 是 AB 中点，点 F 是 B1C1 中点，若正方体 ABCDA 1B1C1D1 的内切球与直线 EF 交于点 G，H ，且 GH3，若点 Q 是棱BB1 上一个动点，则 AQ+D1Q 最小值为（ ）A6 B6 C3 D6二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知实数 x，y 满足条 ，则 的最小值是 14 （5 分）已知 a0，f（x） ，若存在 xR，使得 f（x 0）3，则实数 a 的取值范围是 15 （5 分）设 ann（n
6、+1） ，利用 n（n+1） 求出数列a n的第 4 页（共 26 页）前 n 项和 Sn ，设 bnn（n+1） （n+2） ，类比这种方法可以求得数列b n的前 n 项和 Tn 16 （5 分）如图，在ABC 中，D，F 分别为 BC，AC 的中点，ADBF，若sin2C sin BACsin ABC，则 cosC 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知等比数列a n的公比 q1，前 n 项和为Sn，a 1+a3 ，a 11，a 21，a 31 分别是一个等差数列的第 1 项，第 2 项，第 5项（
7、）求数列a n的通项公式；（）设 bna nlgan，求数列 bn的前 n 项和 Tn18 （12 分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济” ，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单数就会增加，如表是某餐饮店从外卖数据中抽取的 5 天的日平均气温与外卖订单数日平均气温（） 2 4 6 8 10外卖订单数（份） 50 85 115 140 160（）经过数据分析，一天内平均气温 x（）与该店外卖订单数 y（份）成线性相关关系，试建立 y 关于 x的回归方程，并预测平均气温为12时该店的外卖订单数（结果四舍五入保留整数）（）天气预报预测未来一周内（七天） ，有 3 天日
8、平均气温不高于10，若把这 7天的预测数据当成真实数据，则从这 7 天中任意选取 2 天，求恰有 1 天外卖订单数不低于 160 份的概率附注：回归方程 x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 第 5 页（共 26 页）， 19 （12 分）如图，在几何体 ABCDEF 中，底面 CDEF 是平行四边形，AB CD，AB 1，CD 2，DE2 ，DF 4，DB2，DB平面 CDEF，CE 与 DF交于点 O（）求证：OB平面 ACF；（）求三棱锥 BDEF 的表面积20 （12 分）已知点 F（4，0） ，点 Q 是直线 x4 上的动点，过点 Q 作 y 轴的垂线与线段 FQ 的垂直平分
9、线交于点 P（）求点 P 的轨迹 C 的方程；（）若直线 l：y x+m 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 M 是曲线 C 上一点，且点 M 的横坐标 t（1，4） ，若 MAMB，求实数 m 的取值范围21 （12 分）已知函数 f（x ） + ，a R（）若函数 f（x ）在 x1 处的切线 l 过原点，求 a 的值及切线 l 的方程；（）若 a2，且存在 tR 使得 f（t）k ，求整数 k 的最大值 （参考数据：ln 0.223）选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为
10、极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos +2sin（）若直线 l 过点（2，0） ，求直线 l 的极坐标方程；（）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|OA|+|OB|的最大值选修 4-5：不等式选讲第 6 页（共 26 页）23已知 f（x） x2+|x2| （）解不等式 f（x ）2|x |；（）若 f（x） a 2+2b2+3c2 对任意 xR 恒成立，求证：ac+2bc 第 7 页（共 26 页）2018 年山西省晋城市高考数学二模试卷（文科） （B 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
11、题目要求的1 （5 分）设集合 A1， 0，1，2 ，By|y 2 x，x A，则 AB 中元素个数为（ ）A8 B7 C6 D5【分析】先求出集合 B，再求出 AB，由此能求出 AB 中元素个数【解答】解：集合 A 1，0，1，2 ，By|y 2 x， xA，B ，1， 2，4，AB1，0， ，1，2，4 ，AB 中元素个数为 6故选：C【点评】本题考查并集中元素个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2 （5 分）设复数 z 满足 z（3i）1i ，则 z（ ）A i B i C i D i【分析】把已知等式变形，利用复数
12、代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 z（3i） 1i ，得 z 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3 （5 分）已知向量 （1，x 2） ， （2，y 22） ，若 ， 共线，则 xy 的最大值为（ ）A2 B C1 D【分析】由 ， 共线，利用向量共线定理可得：2x 2+y22，令 xcos ，y sin，第 8 页（共 26 页）可得 xy sin2【解答】解：向量 （1，x 2） ， （2，y 22） ， ， 共线，y 22（2）x 20，解得： 1，令 xcos ，y sin，则 xycos sin sin2 xy 的最大值为 故选：D【点评】
13、本题考查了向量共线定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 （5 分）若二次函数 f（x ）k（x+1） （x2）的图象与坐标轴的交点是椭圆 C： +1（ab0）的顶点或焦点，则 k（ ）A B C D【分析】求出二次函数与 x 轴的交点，得到 a，c，然后求解 b，即可求解二次函数x0 时的 y 值，然后求解 k 即可【解答】解：二次函数 f（x ）k（x+1） （x2）的图象与坐标轴的交点是椭圆 C： + 1（ab0）的顶点或焦点，可得 c1，a2，则 b ，所以 2k，解得 k 故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质，二次函数的简单性质的应用，考查计算能力5
14、 （5 分）执行如图所示的程序框图，则 t 的值变动时，输出的 x 值不可能是（ ）第 9 页（共 26 页）A13 B11 C9 D5【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：由程序框图可知：x2 时，满足 x 是偶数，x 3，x3 时，不满足 x 是偶数，x5，此时若 t5，则输出 x 值为 5；若 t5，则 x 6，x6 时，满足 x 是偶数，x 7，x7 时，不满足 x 是偶数，x9，此时若 5t9，则输出 x 值为 9；若 t9，则 x 10，x10 时，满足 x 是偶数，x 11，x11
15、时，不满足 x 是偶数，x 13，此时若 9t13，则输出 x 值为 13；故 t 的值变动时，输出的 x 值不可能是 11，故选：B第 10 页（共 26 页）【点评】本小题通过程序框图考查学生的逻辑推理能力，要求学生将程序框图读懂，并且理解程序框图的相关作用，本小题是一道基本题6 （5 分）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就现作出圆 x2+y22 的一个内接正八边形，使该正八边形的其中 4 个顶点在坐标轴上，则下列 4 条直线中不是该正八边形
16、的一条边所在直线的为（ ）Ax+（ 1）y 0 B （1 ）xy+ 0Cx （ +1）y + 0 D （ 1 ）x y+ 0【分析】由题意画出图形，把四个选项化为直线方程的截距式，由直线在坐标轴上截距绝对值的最小值为 即可得到 C 不是该正八边形的一条边所在直线【解答】解：如图，化 A 为直线方程的截距式： ，化 B 为直线方程的截距式： ，化 C 为直线方程的截距式： ，化 D 为直线方程的截距式： 由图可知，直线在坐标轴上截距绝对值的最小值为 C 不是该正八边形的一条边所在直线故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程截距式的应用，是中档题7 （5 分）如图，是某
17、几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是底边为 4，高为 2 的等腰三角形，俯视图是边长为 2 的正方形，则该几何体的体积为（ ）第 11 页（共 26 页）A B C D【分析】作出几何体的直观图，将三棱锥分解成两个小三棱锥计算体积【解答】解：几何体为不规则放置的三棱锥 ABCD，其中，AB，CD 异面垂直，ACBC ，ADBD ，ABCD，取 AB 的中点 M，连接 CM，DM ，则 ABCM，ABDM，故而 AB平面 CDM，由主视图可知 SCDM 4 ，由侧视图可知 AB4，几何体的体积 V SCDM AB 故选：B【点评】本题考查了棱锥的结构特征，三视图与体积计算，属于中档
18、题8 （5 分）若 f（x ） + 的最小值与 g（x） （a0）的最大值相等，则 a 的值为（ ）A1 B C2 D2【分析】由 f（x ）在2 ，+ ）递增，可得 f（2）为最小值，由 g（x）在a，+）递减，可得 g（a）取得最大值，解方程可得 a 的值第 12 页（共 26 页）【解答】解：f（x ） + + ，可得 f（x）在2，+ ）递增，即有：x2 时，f（x）取得最小值 2，由 g（x） （a0）在a，+）递减，可得 xa 时，g（x）取得最大值 ，由题意可得 2 ，解得 a2，故选：C【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，考查方程思想和运算能力，
19、属于中档题9 （5 分）已知数据 1，2，3，4，x（0x5）的平均数与中位数相等，从这 5 个数中任取 2 个，则这 2 个数字之积大 5 的概率为（ ）A B C D【分析】根据中位数与平均数的定义求出 x 的值，再用列举法计算概率的值【解答】解：数据 1，2，3，4，x（0x5） ，若中位数是 2 时，则平均数为（1+2+3+4+x）2，解得 x0，不合题意；若中位数是 3 时，则平均数为（1+2+3+4+x）3，解得 x5，不合题意；若中位数是 2.5 时，则平均数为（1+2+3+4+x）2.5，解得 x2.5，满足题意；从 1，2，2.5，3，4 这 5 个数中任取 2
20、个，基本事件数是 10，满足这 2 个数字之积大 5 的基本事件是第 13 页（共 26 页）（2，3） ， （2，4） ， （2.5，3） ， （2.5，4） ， （3，4）共 5 个，所求的概率值为 P 故选：C【点评】本题考查了中位数与平均数的计算问题，也考查了列举法求概率的问题，是基础题10 （5 分）已知函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，0 ）满足 f（ +x）f（ x ） ，且直线 2x+2y10 与坐标轴的交点都在 f（x）的图象上，则（ ）AA1， 2k （kZ） BA ，2k（kZ）CA1， （2k +1）（k Z） DA ，（2k+1）（k Z）【分
21、析】由题意可得 sin1，且还满足 Asin ，Asin（ +）0，由此求得A 和 的值【解答】解：函数 f（x）Asin （ x+） （A0， 0，0）满足 f（ +x）f（ x） ，故函数 f（x）图象的对称轴为 x ，故有 f（ ）Asin A，即 sin1直线 2x+2y 10 与坐标轴的交点（0， ） 、 （ ，0）都在 f（x）的图象上，故有 Asin ，Asin（ +）0，A ，sin 1，sin（ +）0， k + ，k Z，即 （2k+1），故选：D【点评】本题主要考查诱导公式、正弦函数的图象和性质的综合应用，属于中档题11 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0） ，点
22、 P（x 0，y 0）是直线bxay +2a0 上任意一点，若圆（x x 0） 2+（yy 0） 2 1 与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ）A （1，2 B （1， ） C （2，+） D ，+）【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线 bxay+2a0 与直线 bxay0 的第 14 页（共 26 页）距离 d ，根据圆（xx 0） 2+（y y 0） 21 与双曲线 C 的右支没有公共点，可得 d1，解得即可【解答】解：双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y x，即bxay0，P（x 0，y 0）是直线 bxay+2a0
23、上任意一点，则直线 bxay+2a0 与直线 bxay0 的距离 d 圆（xx 0） 2+（y y 0） 21 与双曲线 C 的右支没有公共点，d1， 1，即 e 2，故 e 的取值范围为（2，+） ，故选：C【点评】本题考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，属于中档题12 （5 分）已知在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E 是 AB 中点，点 F 是 B1C1 中点，若正方体 ABCDA 1B1C1D1 的内切球与直线 EF 交于点 G，H ，且 GH3，若点 Q 是棱BB1 上一个动点，则 AQ+D1Q 最小值为（ ）A6 B6 C3 D6【分析】
24、画出截面图形，设出棱长，通过求解三角形求出棱长，然后利用展开求解AQ+D1Q 最小值【解答】解：在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E 是 AB 中点，点 F 是 B1C1 中点，若正方体 ABCDA 1B1C1D1 的内切球与直线 EF 交于点 G，H ，则经过 E，F 与球心 O 的截面图形的一部分如图：设正方体的棱长为：2a，则OGOHa，OEOF ，GH3，EF a可得 OE2（ ） 2a 2（ ） 2，即：2a 2 a 2 ，解得 a 第 15 页（共 26 页）点 Q 是棱 BB1 上一个动点，要求 AQ+D1Q 最小值，只需把平面 AA1B1B 沿 BB1 旋转到与BB
25、1D1D 在一个平面内，连接 AD1，如图：AD 1 就是 AQ+D1Q 最小值：即 故选：B【点评】本题考查棱柱的特征，几何体的内切球，空间点线面距离的最小值的求法，考查空间想象能力以及计算能力二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知实数 x，y 满足条 ，则 的最小值是 1 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：可知 x2，则 z |2+ |，第 16 页（共 26 页）设 k ，则 k 的几何意义为区域内的点到 P（0，3）的斜率，由图象可知 PA 的斜率最小，由 ，解得 A（2，1） ，
26、此时 k1，则 z|21|1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键14 （5 分）已知 a0，f（x） ，若存在 xR，使得 f（x 0）3，则实数 a 的取值范围是 0a ，或 a8 【分析】由已知中函数的解析式，分类讨论满足 f（x 0）3 的 x0 值，进而可得答案【解答】解：若 x0a，则由 f（x 0）3 得：x 0 ，若 x0a，则由 f（x 0）3 得：x 08，故当 0a ，或 a8 时，存在 xR，使得 f（x 0）3，故答案为：0a ，或 a8【点评】本题考查的知识点是函数的值，分类讨论思想，难度中档第
27、17 页（共 26 页）15 （5 分）设 ann（n+1） ，利用 n（n+1） 求出数列a n的前 n 项和 Sn ，设 bnn（n+1） （n+2） ，类比这种方法可以求得数列b n的前 n 项和 Tn 【分析】求得 bnn（n+1） （n+2） ，由数列的求和方法：裂项相消求和，计算可得所求和【解答】解：b nn（n+1） （n+2） ，可得数列b n的前 n 项和 Tn 12340+23451234+34562345+n（n+1） （n+2） （n+3 ）（n1）n（n+1） （n+2） ，故答案为： 【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意运用类
28、比，考查运算能力，属于基础题16 （5 分）如图，在ABC 中，D，F 分别为 BC，AC 的中点，ADBF，若sin2C sin BACsin ABC，则 cosC 【分析】设 AD 与 BF 交于 H，可得 H 为ABC 的重心，可设ABc ，BCa，CAb，BH2m ，FH m，AH 2n，HFn，分别运用直角三角形的勾股定理和正弦定理、余弦定理，计算即可得到所求值【解答】解：设 AD 与 BF 交于 H，可得 H 为ABC 的重心，可设 ABc，BCa，CAb ，BH2m，FH m，AH 2n，HF n，由勾股定理可得 4m2+4n2c 2，4m2+n2 a2
29、， 第 18 页（共 26 页）m2+4n2 b2， 可得 3n2c 2 a2，4 可得 3n2 b2 c2，可得 5c2a 2b 2，由 sin2C sinBAC sinABC，可得 c2 ab，则 cosC ，故答案为： 【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，直角三角形的勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知等比数列a n的公比 q1，前 n 项和为Sn，a 1+a3 ，a 11，a 21，a 31 分别是一个等差数列的第 1 项，第 2 项，第 5项（）求数列a n的通项公式；（）设 bna nlga
30、n，求数列 bn的前 n 项和 Tn【分析】 （I）等比数列a n的公比 q1，前 n 项和为 Sn，a 1+a3 ，可得 ，化为：a 11由 a11，a 21，a 31 分别是一个等差数列的第 1 项，第 2 项，第 5 项可得 a31a 11+4（a 21）（a 11），化为：第 19 页（共 26 页）a33a 1+4a2，代入通项公式解得 q，即可得出 an （）b na nlgan（n1） 3n1 利用错位相减法即可得出【解答】解：（I）等比数列 an的公比 q1，前 n 项和为 Sn，a 1+a3 ， ，化为：a 11a 11，a 21，a 31 分别是一个等差数列的第 1 项，第
31、 2 项，第 5 项a 31a 11+4（a 21）（a 11），化为：a 3 3a1+4a2，q 23+4q，q1，解得 q3a n3 n1 （）b na nlgan（n1） 3n1 数列b n的前 n 项和 Tn0+3+23 2+333+（n1）3 n1 3Tn3 2+233+（n2）3 n1 +（n1）3 n，2T n3+3 2+3n1 （n1）3 n （n1）3 n，化为：T n 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济” ，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外
32、卖上门，外卖商家的订单数就会增加，如表是某餐饮店从外卖数据中抽取的 5 天的日平均气温与外卖订单数日平均气温（） 2 4 6 8 10外卖订单数（份） 50 85 115 140 160（）经过数据分析，一天内平均气温 x（）与该店外卖订单数 y（份）成线性相关关系，试建立 y 关于 x的回归方程，并预测平均气温为12时该店的外卖订单数（结果四舍五入保留整数）（）天气预报预测未来一周内（七天） ，有 3 天日平均气温不高于10，若把这 7第 20 页（共 26 页）天的预测数据当成真实数据，则从这 7 天中任意选取 2 天，求恰有 1 天外卖订单数不低于 160 份的概率附注：回归方程 x+
33、中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 【分析】 （）根据表中数据计算 、 ，求出回归系数，写出线性回归方程，利用方程计算 x12 时 的值即可；（）根据题意知随机变量 （2， ） ，计算 P（1）的值即可【解答】解：（）根据表中数据，计算 （246810）6， （50+85+115+140+160）110， （t i ） （y i ）4 （60）+2 （25）+05+（2）30+（4）50550；4 2+22+02+（ 2） 2+（4） 240； ， 110+ （6） ；线性回归方程为 x+ ，x12 时， （12）+ 193，预测平均气温为12时该店的外卖订单数为 193；（）根据题意
34、知，随机变量 （2， ） ，则 P（1） （1 ） ，第 21 页（共 26 页）故所求的概率为 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了二项分布的概率计算问题，是基础题19 （12 分）如图，在几何体 ABCDEF 中，底面 CDEF 是平行四边形，AB CD，AB 1，CD 2，DE2 ，DF 4，DB2，DB平面 CDEF，CE 与 DF交于点 O（）求证：OB平面 ACF；（）求三棱锥 BDEF 的表面积【分析】 （）取 CF 的中点 G，连接 OG，AG又点 O 为 DF 的中点，可得OG CD，利用已知可得 AB OG可得四边形 ABOE 为平行四边形，可得OBAE
35、再利用线面平行的判定定理即可证明结论（）由 CD2，DE2 CF，DF4，可得 CD2+DF2DE 2于是 CDDF又DB平面 CDEF，以 FD，DC，DB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出三棱锥 BDEF 的表面积【解答】证明：（）取 CF 的中点 G，连接 OG，AG又点 O 为 DF 的中点，OG CD，又 ABCD，AB1，CD2，AB OG四边形 ABOE 为平行四边形，OBAE又 OB平面 ACF，AE平面 ACF，OB平面 ACF（）解：CD2，DE 2 CF，DF4，CD 2+DF2DE 2CDF90，CDDF连结 BF，又 DB平面
36、CDEF，S BDF 4，第 22 页（共 26 页） 4， 2 ， 2 ，三棱锥 BDEF 的表面积：SS BDF +SDEF +SBDE +SBDF 8+4 【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题20 （12 分）已知点 F（4，0） ，点 Q 是直线 x4 上的动点，过点 Q 作 y 轴的垂线与线段 FQ 的垂直平分线交于点 P（）求点 P 的轨迹 C 的方程；（）若直线 l：y x+m 与曲线 C 交于 A，B 两
37、点，点 M 是曲线 C 上一点，且点 M 的横坐标 t（1，4） ，若 MAMB，求实数 m 的取值范围【分析】 （）P 到直线 x4 与 F 的距离相等，从而 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点，以x4 为准线的抛物线，由此能求出 C 的方程（）联立 ，可得 x2+（2m 16）x+m 20由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合已知条件能求出实数 m 的取值范围【解答】解：（）由题意，P 到直线 x4 与 F 的距离相等，可知 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点，以 x4 为准线的抛物线，则 C 的方程为 y216x；（）如图，联立 ，可得 x2+（2m 16）x+m 20第 23
38、 页（共 26 页）由（2m16） 24m 264m+256 0，得 m4设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，M（t，y t） ， （1t4） 16tx 1+x216 2m， ，y1+y2x 1+x2+2m16，m 2+m（162m）+ m216m， ，由 MAMB，得 （x 1t） （x 2t ）+（y 1y t） （y 2y t） m 2（162m ）t+t2+16m16y t+16t0即（m+t） 216（4 m）0，m ，t（1，4） ，m4即实数 m 的取值范围是（，4【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查抛物线、根的判别式、韦达定理、向量
39、的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ） + ，a R（）若函数 f（x ）在 x1 处的切线 l 过原点，求 a 的值及切线 l 的方程；（）若 a2，且存在 tR 使得 f（t）k ，求整数 k 的最大值 （参考数据：ln 0.223）第 24 页（共 26 页）【分析】 （I）切点 P（1，2） ，f（x） + +，由 f（1） 1+a，可得：y 2（a1） （x1） ，由函数 f（x）在 x1处的切线 l 过原点，可得2 （a1） ，解得 a（II）a2，函数 f（x ） + ，存在 tR 使得 f（t ）k，可得 k
40、f （t）maxf （ t） + （t0） ，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】解：（I）切点 P（ 1，2） ，f（x） + + ，f（1）1+a，可得：y2（a1） （x 1） ，函数 f（x）在 x1 处的切线 l 过原点，2（a1） ，解得 a3切线方程为：y22（x 1） ，即 2xy0（II）a2，函数 f（x ） + ，存在 tR 使得 f（t）k ，kf（t） maxf（t） + （t0） ，f（t） + 令 g（x）24lntt，g（ t） 10，函数 g（x）在（0，+）上单调递减，g（ ）24ln 2 40.2231.250，g（1）1，存在 t0（1， ）
41、，使得 24lnt 0t 00，且函数 f（t）在（0，t 0）内单调递增，在（t 0，+）内单调递减 第 25 页（共 26 页）kf（t 0）1+ + + 整数 k 的最大值为 2【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、研究切线方程、函数极值点存在问题、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos +2sin（）若直线 l 过点（2，0） ，求直线 l 的极坐标方程；（）
42、若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|OA|+|OB|的最大值【分析】 （）利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（）利用直线和曲线的位置关系，整理成一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果【解答】解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） ，则：直线经过定点（1，1） 由于直线 l 经过定点（2，0） ，故：直线的斜率 k1，则：直线的方程为：x+y 20直线的极坐标方程为： （）曲线 C 的极坐标方程为 2cos+2sin 转换为直角坐标方程为：x 2+y22x +2y，把直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） ，代入曲线的方程得到：（1+tcos
43、） 2+（1+tsin ） 22（1+ tcos）+2（1+tsin ） ，整理得：t 2+2 4，解得：t ，故：|OA|+|OB|的最大值为 2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二第 26 页（共 26 页）次方程根与系数的关系的应用选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） x2+|x2| （）解不等式 f（x ）2|x |；（）若 f（x） a 2+2b2+3c2 对任意 xR 恒成立，求证：ac+2bc 【分析】 （）去掉绝对值，分类讨论，求得不等式 f（x）2|x| 的解集；（）可得 f（x ） a2+2b2+3c2 ，利用基本不等式即可证明【解答】解：（1）不等式 f（ x）2|x| x2+|x2| 2|x| 或 或 ，x2 或 1x2 或 x0原不等式解集为：x| x2 或 1x 2 或 x0 （2）f（x） x2+|x2| 当 x2 时，x 2+x24，当 x2 时，x 2x +2 ，f（x） ，则 f（x）a 2+2b2+3c2 对任意 xR 恒成立a 2+2b2+3c2 ，又 a2+2b2+3c2（a 2+b2）+2b 2+2c22ac+4bc，ac+2bc 【点评】本题主要考查利用绝对值不等式的基本性质求解和证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想