1、2018年山西省晋城市高考数学二模试卷（理科） （B 卷）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）设集合 Ax| x2x 20 ，Bx|x 10 ，则 AB（ ）A （1，1） B （，1） C （，2） D （1，2）2 （5 分）设复数 z 满足 3+i，则 （ ）A + i B i C i D + i3 （5 分）已知点 P 是ABC 所在平面内一点，且 ， ，则 （ ）A2 B1 C1 D24 （5 分）把不超过实数 x 的最大整数记作x，则函数 f（ x）x称作取整函数，又叫高斯函数在1，4上任取 x，则x 的概率
2、为（ ）A B C D5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则 t 的值变动时，输出的 x 值不可能是（ ）A13 B11 C9 D5第 2 页（共 27 页）6 （5 分）已知点 F1，F 2 是双曲线 C： 1（a0）的左，右焦点，点 P 是以F1F2 为直径的圆与双曲线 C 的一个交点，若PF 1F2 的面积为 4，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）Ay x By x Cy x Dy x7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A28 B24+4 C8+20 D8+4 +88
3、（5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（2x）f（x） ，且 x1 时，f（x）2 x+，若 f（log a2a） 6（a0 且 a1） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，1）（1，2） B （0， ）（2，+）C （0， ）（1，2） D （ ，1） （2，+）9 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 ，若 zmx +y，z 的取值范围为集合A，且 A ，6，则实数 m 的取值范围是（ ）A ， B ， C ， D ，610 （5 分）已知数列a n满足 0a n1，a 148a 12+40，且数列 an2+ 是以 8 为公差的等差数列设a
4、n的前 n 项和为 Sn，则满足 Sn 10 的 n 的最小值为（ ）A122 B121 C61 D60第 3 页（共 27 页）11 （5 分）已知 f（x ）A cosx，若直线 y2x 与 f（x）的图象有 3 个交点，且交点横坐标的最大值为 t，则（ ）AA（2，） ， （t）tant1BA（2，+ ） ， （ t ）tant1CA（2，） ， （t）tant1DA（2，+） ， （t ）tant112 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，ABAC，DB DC，AB+DB4，AB BD，则三棱锥ABCD 外接球的体积的最小值为（ ）A B C D二、填
5、空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）已知 f（x ） ，若 f（1a）f（1+a） （a0） ，则实数 a 的值为 14 （5 分）已知（3+x） n 的展开式中所有偶数项系数之和为 496，则展开式中第 3 项的系数为 15 （5 分）已知 A，B 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，若椭圆 C 上存在点 P，使得直线PA， PB 斜率的绝对值和为 1，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 16 （5 分）已知四边形 ABCD 中，ABBCCD DA1，设ABD 与BCD 面积分别为
6、 S1，S 2，则 S12+S22 的最大值为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）已知数列a n满足 a1a 3，a n+1 ，设 bn2 nan（）求数列b n的通项公式；（）求数列a n的前 n 项和 Sn18 （12 分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济” ，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单数就会增加，如表是某餐饮店从外卖数据中抽取的 5 天的日平均气温与外卖订单数第 4 页（共 27 页）日平均气温（） 2 4 6 8 10外卖订单数（份） 50 85 115 140 160（）经过数据分析，一天
7、内平均气温 x（）与该店外卖订单数 y（份）成线性相关关系，试建立 y 关于 x的回归方程，并预测平均气温为12时该店的外卖订单数（结果四舍五入保留整数）（）天气预报预测未来一周内（七天） ，恰有 3 天日平均气温不高于10，若把这7 天的预报数据作为真实数据，从这 7 天中任意选取 3 天，预测外卖订单数不低于 160份的天数为 X，求 X 的分布与期望附注：回归方程 x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 19 （12 分）如图，在几何体 ABCDEF 中，底面 CDEF 是平行四边形，AB CD，AB 1，CD 2，DE2 ，DF 4，DB平面 CDEF，CE 与 DF 交于点
8、O（）求证：OB平面 ACF；（）若平面 CAF 与平面 DAF 所成的锐二面角余弦值为 ，求线段 DB 的长度20 （12 分）已知动圆 M 与直线 x+30 相切，且与圆 x2+y28x +150 外切（）求动圆 M 圆心轨迹 C 的方程；（）若直线 l：y x+m 与曲线 C 交于 A，B 两点，且曲线 C 上存在两点 D，E 关于直线 l 对称，求实数 m 的取值范围及|AB |DE|的取值范围21 （12 分）已知 f（x ）e xax，g（x）ax 2e （1）若 f（x）的图象在 x1 处的切线与 g（x）的图象也相切，求实数 a 的值；（2）若 F（x） f（x）g
9、（x）有两个不同的极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，求证：第 5 页（共 27 页）选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos +2sin（）若直线 l 过点（2，0） ，求直线 l 的极坐标方程；（）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|OA|+|OB|的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） x2+|x2| （）解不等式 f（x ）2|x |；（）若 f（x） a 2+2b2+3c2（a0，b0，c0
10、）对任意 xR 恒成立，求证：c 第 6 页（共 27 页）2018 年山西省晋城市高考数学二模试卷（理科） （B 卷）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）设集合 Ax| x2x 20 ，Bx|x 10 ，则 AB（ ）A （1，1） B （，1） C （，2） D （1，2）【分析】化简集合 A，B，根据并集的定义即可求出【解答】解：集合 Ax| x2x 20 （1，2） ，Bx|x10（，1） ，则 AB（，2） ，故选：C【点评】本题考查集合的并集的概念及其运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2 （5 分）设复数 z
11、 满足 3+i，则 （ ）A + i B i C i D + i【分析】把已知等式变形求得 z，则 可求【解答】解： 3+i，zi（3+i） z，即 z ，则 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）已知点 P 是ABC 所在平面内一点，且 ， ，则 （ ）A2 B1 C1 D2【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算法则即可求出 的值【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；以 AB、AC 为邻边作平行四边形 ABDC，第 7 页（共 27 页）连接 AD，交 BC 于点 O，则 ，又 ， ，四边形 A
12、PBO 是平行四边形； ，且 ， ，2故选：A【点评】本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题4 （5 分）把不超过实数 x 的最大整数记作x，则函数 f（ x）x称作取整函数，又叫高斯函数在1，4上任取 x，则x 的概率为（ ）A B C D【分析】把 x 的范围分类，结合定义求出满足x 的 x 的范围，由测度比为长度比得答案【解答】解：当 x1，2）时， x1， ，2） ，则 1，满足x ；当 x2，3）时， x2， 2， ） ，则 2，满足x ；当 x3，4）时， x3， ，2 ） ，则 2，不满足x ；当 x4 时，x4， 2 ，则 2，不满足x 综上，满足x 的
13、x1，3） ，则x 的概率为 故选：D【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查运用求解能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题第 8 页（共 27 页）5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则 t 的值变动时，输出的 x 值不可能是（ ）A13 B11 C9 D5【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：由程序框图可知：x2 时，满足 x 是偶数，x 3，x3 时，不满足 x 是偶数，x5，此时若 t5，则输出 x 值为 5；若 t5，则 x 6，x6 时，满足 x 是偶数，x 7，x7 时，不满
14、足 x 是偶数，x9，此时若 5t9，则输出 x 值为 9；若 t9，则 x 10，x10 时，满足 x 是偶数，x 11，x11 时，不满足 x 是偶数，x 13，此时若 9t13，则输出 x 值为 13；故 t 的值变动时，输出的 x 值不可能是 11，第 9 页（共 27 页）故选：B【点评】本小题通过程序框图考查学生的逻辑推理能力，要求学生将程序框图读懂，并且理解程序框图的相关作用，本小题是一道基本题6 （5 分）已知点 F1，F 2 是双曲线 C： 1（a0）的左，右焦点，点 P 是以F1F2 为直径的圆与双曲线 C 的一个交点，若PF 1F2 的面积为 4，则双曲线 C 的渐近线方
15、程为（ ）Ay x By x Cy x Dy x【分析】由题意可得以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y22a+1，再由由，求出点 P 的纵坐标，再根据三角形的面积公式即可求出 a的值，再根据渐近线的定义即可求出【解答】解：点 F1，F 2 是双曲线 C： 1（a0）的左，右焦点，c 2a+1+a2a+1 ，则以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y22a+1，由 ，解得 y ，PF 1F2 的面积为 4，4 2 ，解得 a4，双曲线 C 的渐近线方程 y x，故选：D【点评】本题考查了双曲线的简单性质和渐近线方程，考查了转化能力和运算能力，属于中档题7 （5 分）如图，网格
16、纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）第 10 页（共 27 页）A28 B24+4 C8+20 D8+4 +8【分析】作出几何体的直观图，根据三视图尺寸计算各个表面的面积即可【解答】解：由三视图可知几何体为斜三棱柱，ABCA 1B1C1，由俯视图可知侧面 BCC1B1 为矩形， BC2，CC 14， 248，由主视图可知ABC 的边 BC 上的高为 2 ，S ABC 2 ，设 A 在平面 BCC1B1 上的射影为 M，过 M 作 MNCC 1，连接 AN，由侧视图可知 AM2，MN1，AN ， 4 4 ，几何体的表面积为 8+2 +4
17、28+4 +8 故选：D【点评】本题考查了几何体的三视图与表面积计算，属于中档题8 （5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（2x）f（x） ，且 x1 时，f（x）2 x+，若 f（log a2a） 6（a0 且 a1） ，则实数 a 的取值范围是（ ）第 11 页（共 27 页）A （ ，1）（1，2） B （0， ）（2，+）C （0， ）（1，2） D （ ，1） （2，+）【分析】由已知可得 f（x ）关于直线 x1 对称，把 f（x）的图象左移 1 个单位，可得偶函数 g（x） ，判断其单调性，把 f（log a2a）6 转化为 g（|log a2|）g（1
18、）求解【解答】解：由 f（2x ）f（x） ，得 f（x）关于直线 x1 对称，令 g（x）f（ x+1） 则函数 g（x）为偶函数，且在（0，+）上为增函数，则 f（log a2a）6f（log a2+1）6g（log a2）g（1）g（|log a2|） g（1）|log a2|11log a21若 0a1，则 0a ；若 a1，则 a2实数 a 的取值范围是（0， ）（2，+） 故选：B【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数奇偶性性质的应用，是中档题9 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 ，若 zmx +y，z 的取值范围为集合A，且 A ，6，则实数 m 的取值范围
19、是（ ）A ， B ， C ， D ，6【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，求出最优解，然后推出 m 的范围【解答】解：实数 x，y 满足约束条件 的可行域如图：由可行域可得A（3，4） ，B （1，0） ，C（0，1） zmx+y，z 的取值范围为集合 A，且 A ，6，目标函数的最大值只能在 A 处取得，第 12 页（共 27 页）可知 A（3，4） ，所以 63m +4，解得 m ，目标函数的最小值，在 B 处取得，最优解是 B，可得 ，即 m ，结合选项可得 m ， 故选：A【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键10
20、（5 分）已知数列a n满足 0a n1，a 148a 12+40，且数列 an2+ 是以 8 为公差的等差数列设a n的前 n 项和为 Sn，则满足 Sn 10 的 n 的最小值为（ ）A122 B121 C61 D60【分析】由已知求得 a1，再由数列a n2+ 是以 8 为公差的等差数列可得，由此求得数列前几项，归纳数列通项公式，求出 Sn，由 Sn10 求得 n 的最小值【解答】解：由 a148a 12+40，得 ， ，0a n1， 又数列a n2+ 是以 8 为公差的等差数列，第 13 页（共 27 页）a n2+ 8n ，则 ，解得 ，解得 ，归纳可得 ，S na 1+
21、a2+an 由 Sn10，得 ，即 ，则 2n+1121，得 n60n 的最小值为 61故选：C【点评】本题考查数列递推式，考查利用归纳法求解数列的通项公式，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题11 （5 分）已知 f（x ）A cosx，若直线 y2x 与 f（x）的图象有 3 个交点，且交点横坐标的最大值为 t，则（ ）AA（2，） ， （t）tant1BA（2，+ ） ， （ t ）tant1CA（2，） ， （t）tant1DA（2，+） ， （t ）tant1【分析】由函数 f（x ）的图象与直线 y2x 的图象都关于点（ ，0）对称得到直线 y2x 在 有一个切点，
22、利用导数得到 ，将两式平方再相加得 A24+（2t） 2 结合 t 的范围可得到 A2，再将两式相除化简即可得出答案【解答】解：f（x ）A cosx，若直线 y2x 与 f（x）的图象有 3 个交点，且交点横坐标的最大值为 t，且直线 y2x 与函数 f（x ）Acosx 的一个交点为第 14 页（共 27 页）（ ，0） ，在同一坐标系作出函数 f（x ）Acos x 与直线 y2x 的图象如下图所示，由于函数 f（x） Acosx 与直线 y2x 都关于点 对称，则直线 y2x 与函数 f（x）Acos x 的图象在 和上各有一个切点，A22 2+（2t） 24+ （ 3） 24+4 2
23、4 2 下面考虑直线 y2x 与函数f（x）Acosx 在 相切于点（t，f （t） ） ，对函数 yf （x ）求导得f（x）Asin x，则 ，将上述两式分别平方再相加得 A24+（2t ） 24+（2 ，所以，A2，两式相除得 ，所以， （2t ）tant 2，即 ，故选：B【点评】本题考察余弦函数的图象与函数的零点问题，关键在于从中发掘出直线与函数在 xt 处相切的条件，属于中等题12 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，ABAC，DB DC，AB+DB4，AB BD，则三棱锥第 15 页（共 27 页）ABCD 外接球的体积的最小值为（ ）A B C D【分析】由三角形全等
24、可得ABDACD90，故而 AD 为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出 AD 关于 AB 的函数，求出 AD 的最小值即可得出答案【解答】解：ABAC，DBDC，AD 为公共边，ABDACD，又 ABBD ，即ABD90，ACD90，设 AD 的中点为 O，则 OAOB ODOC，O 为棱锥 ABCD 的外接球的球心AB+BD4，AD 2AB 2+（4AB） 22AB 28AB+162（AB2） 2+8，当 AB2 时，AD 2 取得最小值 8，即 AD 的最小值为 2 ，棱锥外接球的最小半径为 AD ，外接球的最小体积为 V 故选：C【点评】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，
25、属于中档题二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）已知 f（x ） ，若 f（1a）f（1+a） （a0） ，则实数 a 的值为 1 【分析】由已知可得 1a1，1+a1，则 f（1a）2a，f （1+a） ，若f（1a）f（1+a） ，即 2a ，解得答案【解答】解：a0第 16 页（共 27 页）1a1，1+a1，f（1a）1a+12a ，f（1+a） 若 f（1a）f（1+a） ，即 2a解得：a1，故答案为：1【点评】本题考查的知识点是函数求值，方程思想，难度中档14 （5 分）已知（3+x） n 的展开式中所有偶数项系数之和为 496，则展开式中第
26、3 项的系数为 270 【分析】由（3+x） n ，分别取 x1，x1，联立后结合展开式中所有偶数项系数之和为 496 求得 n 值，进一步可得展开式中第 3 项的系数【解答】解：设（3+x） n ，取 x1，得 ，取 x1，得 a0a 1+a2+（1） nan2 n，联立可得（ 3+x） n 的展开式中所有偶数项系数之和为 ，解得：2 n32，即 n5（3+x） n（3+x） 5，则 ，展开式中第 3 项的系数为 270故答案为：270【点评】本题考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题15 （5 分
27、）已知 A，B 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，若椭圆 C 上存在点 P，使得直线PA， PB 斜率的绝对值和为 1，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ，1） 【分析】设椭圆的方程，利用点差法求得 ，根据直线斜率公式及基本不第 17 页（共 27 页）等式求得 1，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率的取值范围【解答】解：假设椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆方程： （ab0） ，设A（x 0， y0） ，则 B（x 0，y 0） ，P（x P，y P） ，由 ， ，两式相减整理得： ，则|k PA|+|kPB| |+| |2 ，则 1，即 ，椭圆的离心率 e ，则 e1，椭圆
28、的离心率的取值范围 ，1） ，故答案为： ，1） 【点评】本题考查椭圆的离心率的应用，考查“点差法”及基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题16 （5 分）已知四边形 ABCD 中，ABBCCD DA1，设ABD 与BCD 面积分别为 S1，S 2，则 S12+S22 的最大值为 【分析】直接利用已知条件，建立等量关系式，利用三角形的面积公式和余弦定理及三角函数关系式的恒等变换求出结果【解答】解：四边形 ABCD 中，ABBCCD DA1，设ABD 与BCD 面积分别为 S1，S 2，则： ， 在ABD 中，利用余弦定理：BD 2AD 2+AB22ADABcosA
29、，所以： 在BCD 中，利用余弦定理：BD 2CD 2+CB22CDCBcosC，所以：BD 222cosC所以： 第 18 页（共 27 页） + ， + ， ，当 ， ，即： ，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式的应用，余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）已知数列a n满足 a1a 3，a n+1 ，设 bn2 nan（）求数列b n的通项公式；（）求数列a n的前 n 项和 Sn【分析】 （I）数列a n满足，a n+1 ，可得 a2 a1 ，a 3 ，又 a1a 3，联立解得 a11由
30、 2n+1an+12 nan3，可得 bn+1b n3利用等差数列的通项公式即可得出（）由 bn2 nan3n1可得 an ，再利用错位相减法即可得出【解答】解：（I）数列a n满足，a n+1 ，a 2 a1 ，a 3 ，又 a1a 3，联立解得 a11设 bn2 nan则 2n+1an+12 nan3，即 bn+1b n3又 b12数列b n是等差数列，公差为 3，首项为 2b n2+3（n1）3n1第 19 页（共 27 页）（）b n2 nan3n1a n 数列a n的前 n 项和 Sn + + ， + + ， 1+3 1+3 ，可得：S n5 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通
31、项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济” ，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单数就会增加，如表是某餐饮店从外卖数据中抽取的 5 天的日平均气温与外卖订单数日平均气温（） 2 4 6 8 10外卖订单数（份） 50 85 115 140 160（）经过数据分析，一天内平均气温 x（）与该店外卖订单数 y（份）成线性相关关系，试建立 y 关于 x的回归方程，并预测平均气温为12时该店的外卖订单数（结果四舍五入保留整数）（）天气预报预测未来一周内（七天） ，恰有 3 天日平均气温不高于10
32、，若把这7 天的预报数据作为真实数据，从这 7 天中任意选取 3 天，预测外卖订单数不低于 160份的天数为 X，求 X 的分布与期望附注：回归方程 x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 【分析】 （）根据表中数据计算 、 ，求出回归系数，写出线性回归方程；（）由题意知随机变量 X 服从超几何分布，计算 X 的分布列与数学期望值第 20 页（共 27 页）【解答】解：（）根据表中数据，计算 （246810）6， （50+85+115+140+160）110，（x i ） （ yi ）4 （60）+2（25）+05+ （2）30+（4）50550，4 2+22+02+（ 2） 2+（
33、4） 240； ， 110+ （6） ；线性回归方程为 x+ ，x12 时， （12）+ 193，预测平均气温为12时该店的外卖订单数为 193；（）根据题意知，随机变量 X 服从超几何分布，且 X 的可能取值为 0，1，2，3；则 P（X0） ，P（X1） ，P（X2） ，P（X3） ；X 的分布为：X 0 1 2 3P第 21 页（共 27 页）数学期望为 EX0 +1 +2 +3 【点评】本题考查了线性回归方程与离散型随机变量的分布列和数学期望问题，是中档题19 （12 分）如图，在几何体 ABCDEF 中，底面 CDEF 是平行四边形，AB CD，AB 1，CD 2，DE2 ，DF 4
34、，DB平面 CDEF，CE 与 DF 交于点O（）求证：OB平面 ACF；（）若平面 CAF 与平面 DAF 所成的锐二面角余弦值为 ，求线段 DB 的长度【分析】 （）取 CF 的中点 E，连接 OE，AE又点 O 为 DF 的中点，可得OE CD，利用已知可得 OE可得四边形 ABOE 为平行四边形，可得OBAE再利用线面平行的判定定理即可证明结论（）由 CD2，DE2 CF，DF4，可得 CD2+DF2DE 2于是 CDDF又DB平面 CDEF，以 FD，DC，DB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设 B（0，0，t） ，A（0，1，t） 设平面 ADF 的法向量
35、为 （x 1，y 1，z 1） ，则 0设平面 ACF 的法向量为 （x 2，y 2，z 2） ，则 0根据平面 CAF 与平面 DAF 所成的锐二面角余弦值为 ，可得|cos | ，解得 t 即可得出【解答】 （）证明：取 CF 的中点 E，连接 OE，AE又点 O 为 DF 的中点，OECD，又 ABCD，AB1，CD2 OE四边形 ABOE 为平行四边形，OBAE第 22 页（共 27 页）又 OB平面 ACF，AE平面 ACF，OB平面 ACF；（）解：CD2，DE 2 CF，DF4，CD 2+DF2DE 2CDF90，CDDF又 DB平面 CDEF，以 FD， DC，DB 所在直线分
36、别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系可得：D（0，0，0） ，C（0，2，0） ，F（4，0，0） ，B（0，0，t） ，A（0，1，t） ，（0，1，t） ， （ 4，0，0） ， （0，1，T） ， （4，1，t ） 设平面 ADF 的法向量为 （x 1，y 1，z 1） ，则 0，可得： ，取 （0，t，1） 设平面 ACF 的法向量为 （x 2，y 2，z 2） ，则 0，可得： ，取 （t，2t ，2） 平面 CAF 与平面 DAF 所成的锐二面角余弦值为 ，|cos | ，解得 t2 或 由平面 CAF 与平面 DAF 所成二面角为锐二面角，因此取 t2DB【点评】本题考
37、查了空间位置关系与空间角、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题第 23 页（共 27 页）20 （12 分）已知动圆 M 与直线 x+30 相切，且与圆 x2+y28x +150 外切（）求动圆 M 圆心轨迹 C 的方程；（）若直线 l：y x+m 与曲线 C 交于 A，B 两点，且曲线 C 上存在两点 D，E 关于直线 l 对称，求实数 m 的取值范围及|AB |DE|的取值范围【分析】 （）动圆 M 与直线 x2 相切，且与定圆 C：（x3） 2+y21，可以看到动圆的圆心 M 到 C（3，0）的距离与到直线 x3 的距离相等，由抛物线的定义
38、知，点 M 的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，E（x 3，y 3） ，D（x 4，y 4） ，由 ，消 y 可得x2+（2m16）x+ m20，由0，解得 m4设直线 DE 的方程为：yx+t，线段DE 的中点为 M（x 0，y 0） 联立 ，化为：x 2（2t+16）x+t 20，0，解得t4利用根与系数的关系、中点坐标公式可得： M（t+8，8）代入直线 yx+m，进而得出 m 的取值范围|AB| 8 | DE|8 8 可得|AB| DE|8 8 利用单调性即可得出范围【解答】解：（）由题意动圆 M 与直线 x3 相切，且与定圆（ x4
39、） 2+y21 外切，动点 M 到（4，0）的距离与到直线 x4 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以（ 4，0）为焦点直线 x4 为准线的抛物线故所求 M 的轨迹方程为 y216x，（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，E（x 3，y 3） ，D（x 4，y 4） ，由 ，消 y 可得 x2+（2m 16）x+m 20，（2m16） 24m 20，解得 m4x 1+x2（ 2m16） ，x 1x2m 2设直线 DE 的方程为：yx+t，线段 DE 的中点为 M（x 0，y 0） 联立 ，化为：x 2（2t +16）x+t 20，第 24 页（共 27 页）（2t
40、+16） 24t 20，解得 t4x3x4t 2x 3+x42t+162x 0，解得 x0t +8y 0x 0+t8，M（t+8 ，8）代入直线 yx+m ，可得：8t+8+m，解得 t16m16m4，解得 m12，与 m4 联立解得 m12综上所述：m 的取值范围为（ ，12） ，|AB| 8 |DE| 8 8 |AB| |DE|8 8 8（ ） 令 u + ，s 82m，解得 m 12，解得 s32u + ，s 32u + 0，函数 u（s）在（32，+ ）上单调递增，u 4 ，0|AB| DE| 32 |AB| |DE|的取值范围是（0，32 ） 综上可得：实数 m 的取值范围为（ ，1
41、2） ，|AB| DE|的取值范围是（0，32 ） 【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题21 （12 分）已知 f（x ）e xax，g（x）ax 2e （1）若 f（x）的图象在 x1 处的切线与 g（x）的图象也相切，求实数 a 的值；（2）若 F（x） f（x）g（x）有两个不同的极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，求证：【分析】 （1）利用 f（1）ea，f'（1）ea，求得 f（x ）的图象在 x1 处的切线第 25 页（共 27 页）方程 y（ea）x
42、，与 g（x）ax 2e 联立得，ax 2（ea）xe0，结合（ea） 2+4ea0，解得 a（2）F（x） f（x）g（x）e xax 2ax +e，F'（x）e x2ax a，可得 a0，此时 x1，x 2（x 1 x2）是 F'（x）e x2axa 的两个变号零点，由题意知，两式相减得 ，由，设 ，则 t0，即证 t0 时， 恒成立，设 h（t）e te t 2t，利用导数即可证明【解答】解：（1）因为 f（x）e xax，所以 f'（x）e xa 所以 f（1）ea，f' （1）ea，所以 f（x）的图象在 x1 处的切线方程为 y（ea）（ea） （x
43、1） ，即 y（ea）x ，与 g（x）ax 2e 联立得，ax 2（ea）xe0，因为直线 y（e a）x 与 g（ x）的图象相切，所以（ea） 2+4ea0，解得 ae（2）F（x） f（x）g（x）e xax 2ax +e，F'（x）e x2ax a，若 a0，F'（x）是增函数，F'（x）0 最多有一个实根，F（x）最多有一个极值点，不满足题意，所以 a0，此时 x1，x 2（x 1 x2）是 F'（x）e x2axa 的两个变号零点，由题意知 ，两式相减得 ，由 ，设 ，则 t0，要证 ，即证 t0 时， 恒成立，即 恒成立，即 ete t 2t 0
44、 恒成立，设 h（t）e te t 2t，则 h'（t ）e t+et 20，所以 h（t）在（，0）上是增函数，所以 h（t）h（0）0，第 26 页（共 27 页）所以 t0 时，e te t 2t0 恒成立，即 【点评】本题考查了导数的几何意义、函数的恒成立问题，极值点偏移问题的处理技巧，属于中档题选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos +2sin（）若直线 l 过点（2，0） ，求直线 l 的极坐标方程；（）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|OA|+|OB|的最大值【分析】 （）利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（）利用直线和曲线的位置关系，整理成一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果【解答】解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） ，则：直线经过定点（1，1） 由于直线 l 经过定点（2，0） ，故：直线的斜率 k1，则：直线的方程为：x+y 20直线的极坐标方程为： （）曲线 C 的极坐标方程为 2cos+2s