1、2018 年贵州省贵阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）复数 Z 的共轭复数为 ，且 （2+i）5（i 是虚数单位） ，则在复平面内，复数Z 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）设集合 P（x，y）|y k，Q（x，y）|y 2x，已知 PQ，那么 k 的取值范围是（ ）A （，0） B （0，+） C （，0 D （1，+）3 （5 分）如图，在三角形 ABC 中，BE 是 AC 边上的中线，O 是 BE
2、 边的中点，若 ， ，则 （ ）A + B + C + D +4 （5 分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）A B C D5 （5 分）已知 sin（） ，且 （ ） ，则 tan（2 ）（ ）A B C D6 （5 分）已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m 的是（ ）A 且 m B 且 m Cmn 且 n Dm n 且 n7 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，
3、则下列不等式恒成立的是（ ）Ax3 By4 Cx+2y8 D2x y+10第 2 页（共 26 页）8 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）是奇函数，且在（0，+）内是增函数，又 f（3）0，则 f（x ） 0 的解集是（ ）A （3，0）（3，+） B （，3）（0，3）C （，3）（3，+ ） D （3，0 ）（0，3）9 （5 分）若函数 f（x ）Asin（x ） （A0，0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（ ）A B C D10 （5 分）元朝时，著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗
4、，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 x0，问一开始输入的 x（ ）A B C D11 （5 分）已知二次函数 f（ x）ax 2+bx+1 的导函数为 f（x） ，f（0）0，f （x）与x 轴恰有一个交点则使 f（1） kf（0）恒成立的实数 k 的取值范围为（ ）第 3 页（共 26 页）Ak2 Bk2 Ck Dk12 （5 分）如图，已知梯形 ABCD 中|AB |2|CD| ，点 E 在线段 AC 上，且 ，双曲线过 C，D，E 三点，以 A，B 为焦点；则双曲线离心率 e 的值为（ ）A B C
5、 D2二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）x（x ） 7 的展开式中，x 4 的系数是 14 （5 分） 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马” ，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为 ，则图中 x 15 （5 分）设圆 C 的圆心在双曲线 （a0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆 C 被直线 l： 截得的弦长等于 2，则 a 16 （5
6、 分）在ABC 中，A，B，C 所对的边为 a，b，c， sinB2sinA，c3，则ABC 面积的最大值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）S n 为数列a n的前 n 项和，a 13，且 Sna n+n21， （nN*） （I）求数列 an的通项公式：第 4 页（共 26 页）（）设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn18 （12 分）已知如图 1 所示，在边长为 12 的正方形 AAA 1A1，中，BB 1CC 1AA 1，且 AB3，BC 4，AA 1 分别交 BB1，CC 1
7、于点 P， Q，将该正方形沿 BB1，CC 1，折叠，使得 AA 1 与 AA1 重合，构成如图 2 所示的三棱柱 ABCA 1B1C1，在该三棱柱底边 AC 上有一点 M，满足 AMkMC （0k1） ；请在图 2 中解决下列问题：（I）求证：当 k 时，BM平面 APQ；（）若直线 BM 与平面 APQ 所成角的正弦值为 ，求 k 的值19 （12 分）甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪 80 元，每销售一件产品提成 1 元；乙公司规定底薪 120 元，日销售量不超过 45件没有提成，超过 45 件的部分每件提成 8 元（I）请将两家公司各一名推销员的
8、日工资 y（单位：元）分别表示为日销售件数 n 的函数关系式；（II）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去 100 天的销售情况进行统计，得到如下条形图若记甲公司该推销员的日工资为 X，乙公司该推销员的日工资为 Y（单位：元） ，将该频率视为概率，请回答下面问题：某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由第 5 页（共 26 页）20 （12 分）已知椭圆 C1： （ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，F 2 也为抛物线 C2：y 24x 的焦点，点 P 为 C1，C 2 在第一象限的交点，且|PF
9、2| （I）求椭圆 C1 的方程；（II）延长 PF2，交椭圆 C1 于点 Q，交抛物线 C2 于点 R，求三角形 F1QR 的面积21 （12 分）已知函数 f（x ）axlnx （a 是常数，且（a0）（I）求函数 f（x ）的单调区间；（）当 yf（ x）在 x1 处取得极值时，若关于 x 的方程 f（x）+2xx 2+b 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围（）求证：当 n2，nN*时（1+ ） （1+ ）（1 ）e请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在极坐标系中，直线 l：pcos2
10、，曲线 C 上任意一点到极点 O 的距离等于它到直线 l 的距离（I）求曲线 C 的极坐标方程；（I）若 P，Q 是曲线 C 上两点，且 OPOQ，求 的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） 2|x+1|+|x 2|（1）求 f（x）的最小值 m；（2）若 a，b，c 都是正实数，且满足 a+b+cm ，求证： 第 6 页（共 26 页）第 7 页（共 26 页）2018 年贵州省贵阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）复数 Z 的共轭复数为
11、，且 （2+i）5（i 是虚数单位） ，则在复平面内，复数Z 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数的运算法则可得 ，z，利用几何意义即可得出【解答】解： （2+i）5 ， （2+i ） （2i）5（2i） ，可得 2iz2+i复数 Z 对应的点（2，1）位于第一象限故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2 （5 分）设集合 P（x，y）|y k，Q（x，y）|y 2x，已知 PQ，那么 k 的取值范围是（ ）A （，0） B （0，+） C （，0 D （1，+）【分析】根据集
12、合的定义与性质，求出 k 的取值范围【解答】解：集合 P（x，y）|y k，Q（x，y）|y2 x0，且 PQ，k 的取值范围是 k0故选：C【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题3 （5 分）如图，在三角形 ABC 中，BE 是 AC 边上的中线，O 是 BE 边的中点，若 ， ，则 （ ）第 8 页（共 26 页）A + B + C + D +【分析】利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出【解答】解：在三角形 ABC 中，BE 是 AC 边上的中线， ，O 是 BE 边的中点， ， 故选：D【点评】熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键4 （5 分）甲
13、、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）A B C D【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为 则甲获得冠军的概率为故选：D【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分
14、步的（分几步） ，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解5 （5 分）已知 sin（） ，且 （ ） ，则 tan（2 ）（ ）A B C D【分析】根据诱导公式化简已知条件求得 sin，再由 的范围利用同角三角函数间的基本关系求出 cos，把所求的式子利用诱导公式化简，再切化弦，将 sin 和 cos 的值代入计算即可第 9 页（共 26 页）【解答】解：由 sin（）sin ，又 （ ，0） ，得 cos ，则 tan（2 ）tan（） tan 故选：B【点评】本题考查了诱导公式与同角三角函数间的基本关系应用问题，是基础题，求cos 的值时应注意 的取值范围6 （5 分）已知 m
15、 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m 的是（ ）A 且 m B 且 m Cmn 且 n Dm n 且 n【分析】在 A 中，m 与 平行或 m；在 B 中，m 与 平行、相交或 m；在 C 中，m 与 平行、相交或 m；在 D 中，由线面垂直的判定定理得 m【解答】解：由 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，知：在 A 中， 且 m，则 m 与 平行或 m，故 A 错误；在 B 中， 且 m，则 m 与 平行、相交或 m，故 B 错误；在 C 中，mn 且 n，则 m 与 平行、相交或 m，故 C
16、 错误； 在 D 中，mn 且 n，由线面垂直的判定定理得 m，故 D 正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等7 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则下列不等式恒成立的是（ ）Ax3 By4 Cx+2y8 D2x y+10【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行判断即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则 C（2，3） ，B（2，5） ，则 x3，y4 不成立，作出直线 x+2y80，和 2xy+10，由图象可知 2xy +10
17、不成立，恒成立的是 x+2y80，第 10 页（共 26 页）故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键8 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）是奇函数，且在（0，+）内是增函数，又 f（3）0，则 f（x ） 0 的解集是（ ）A （3，0）（3，+） B （，3）（0，3）C （，3）（3，+ ） D （3，0 ）（0，3）【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，作出函数的草图，利用数形结合进行求解即可【解答】解：f（x ）是奇函数，且在（0，+）内是增函数，f（x）在（ ，0）内是增函数，f（3）f（3）0，f（3）0则对应的函数图象如图（草
18、图）则当3x0 或 x3 时，f（x）0，当 0x3 或 x3 时，f（x）0，即 f（x）0 的解集是（ ，3）（0，3） ，故选：B第 11 页（共 26 页）【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系利用数形结合进行求解是解决本题的关键9 （5 分）若函数 f（x ）Asin（x ） （A0，0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（ ）A B C D【分析】由函数 f（x ）的部分图象求出 A、T 和 的值，写出 f（x）的解析式，再根据定积分的定义计算图中阴影部分的面积【解答】解：由函数 f（x ）Asin（x ）的部分图象知，A1， （ ） ，T
19、， 2，f（x）sin（2x ） ；令 f（x）0，得 2x k ，k Z；解得 x + ，k Z；取 k0 时，x ；图中阴影部分的面积为第 12 页（共 26 页） sin（2x ）dx cos（2x ） cos0 cos（ ） 故选：C【点评】本题考查了利用 yAsin （ x+）的部分图象求函数解析式以及定积分的计算问题，中档题10 （5 分）元朝时，著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 x0，问一开始输入的 x（ ）A B C D【分析
20、】与店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店把壶里的酒加 1 倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，三遇店和，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是 3 次，等量关系为：第一次加酒1+（2一遇店和朋友后剩的酒量1）+（2二遇店和朋友后剩的酒量1）0，把相关数值代入即可求解【解答】解：由题意，解方程：22（2x1）1 10，解得 x ，第 13 页（共 26 页）故选：B【点评】考查用一元一次方程解决古代数学问题，得到酒的数量为 0 的等量关系是解决本题的关键；难点是理解题意11 （5 分）已知二次函数 f（ x）ax 2+bx+1 的导函数为 f（x） ，f（0）0，f （x）与x 轴恰有一个交点则使
21、 f（1） kf（0）恒成立的实数 k 的取值范围为（ ）Ak2 Bk2 Ck Dk【分析】首先对 f（x ）求导，得出 f（x）2ax +b，再利用 f（0）0，可得出b0；利用 f（x ）与 x 轴恰有一个交点，可得出0，得到 a 与 b 的关系式，即可用a 表示 b，f（1）kf（0）恒成立，FE 分离参数，再利用基本不等式即可求出其最小值【解答】解：f（x ）ax 2+bx+1，f（x）2 ax+b，f（0）b，又 f（0）0，b0又已知 f（x）与 x 轴恰有一个交点，b 24a0，a ，f（1）a+b +1 +b+1 +b+1kb，k + +1， + 2 1，当且仅当即
22、 b2 时取等号，k1+12，故选：A【点评】本题综合考查了二次函数、导数、基本不等式，熟练掌握它们的性质及使用方法是解决问题的关键12 （5 分）如图，已知梯形 ABCD 中|AB |2|CD| ，点 E 在线段 AC 上，且 ，双曲线过 C，D，E 三点，以 A，B 为焦点；则双曲线离心率 e 的值为（ ）第 14 页（共 26 页）A B C D2【分析】以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的坐标系，求出 C 的坐标，根据向量的运算求出点 E 的坐标，代入双曲线方程即可求出【解答】解：由|AB|2| CD|，以 AB 所在的直线为 x
23、 轴，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的坐标系，设双曲线的方程为 1，由双曲线是以 A，B 为焦点，A（c，0） ， B（c ，0） ，把 x c，代入 1，可得 yb ，即有 C（ c， b ） ，又设 A（c， 0） ， （ c，b ） ，设 E（x ，y） ， （x+c， y） ， ，（x+c，y） （ c，b ） ，第 15 页（共 26 页）解得 x c，y b ） ，可得 E（ c， b ） ，代入双曲线的方程可得 （ 1）1，即 e2（ 1） ，即 e27，即 e ，故选：B【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及向量的运算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题二、填
24、空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）x（x ） 7 的展开式中，x 4 的系数是 84 【分析】求出（x ） 7 的展开式的 x3 的系数，即可得到结论【解答】解：（x ） 7 的通项为令 72r3，得 r2（x ） 7 的展开式的 x3 的系数为 84x（x ） 7 的展开式中，x 4 的系数是 84故答案为：84第 16 页（共 26 页）【点评】本题考查二项展开式，考查特殊项的学生，考查学生的计算能力，属于基础题14 （5 分） 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马” ，
25、已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为 ，则图中 x 【分析】如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体，其直观图如下图所示，分别利用体积计算公式即可得出【解答】解：如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体，其直观图如下图所示：该几何体的体积为 1 1x+ 12x，解得 x 故答案为： 【点评】本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图与体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题15 （5 分）设圆 C 的圆心在双曲线 （a0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切
26、，若圆 C 被直线 l： 截得的弦长等于 2，则 a 第 17 页（共 26 页）【分析】先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆 C 被直线 l：截得的弦长等于 2，求出 a 与圆心到直线 l： 的距离 d 之间的等量关系即可求出 a【解答】解：设圆心坐标为（ ，0） ，因为双曲线的渐近线y x xay 0由圆与双曲线的渐近线相切得圆心到直线的距离等于半径，即得r ，又因为圆 C 被直线 l： 截得的弦长等于 2，故圆心到直线 l： 的距离 d1 a22 又 a0，故 a 故答案为 【点评】本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，直线的方程，直线与圆
27、的位置关系以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力16 （5 分）在ABC 中，A，B，C 所对的边为 a，b，c， sinB2sinA，c3，则ABC 面积的最大值为 3 【分析】由已知利用正弦定理可得：b2a，由余弦定理可解得：cosB ，利用同角三角函数基本关系式可求 sinB ，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：sinB2sinA，由正弦定理可得：b2a，又c3，由余弦定理可得：4a 2a 2+92a3cos B，解得：cosB ，可得：sinB ，第 18 页（共 26 页）S ABC acsin
28、B 3，当且仅当 a 时等号成立，ABC 面积的最大值为 3故答案为：3【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）S n 为数列a n的前 n 项和，a 13，且 Sna n+n21， （nN*） （I）求数列 an的通项公式：（）设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （）利用数列的递推关系式，求数列a n的通项公式（）化简数列 bn ，利用裂项消项法求数列的和即可【解答】解：
29、（I）由 Sna n+n21 得 Sn+1a n+1+（n+1 ） 21，得 an+1S n+1S na n+1+（n+1） 21（a n+n21）整理得 an2n+1，（）由 an2n+1 可知 bn ，则数列b n的前 n 项和Tnb 1+b2+b3+ 【点评】本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想18 （12 分）已知如图 1 所示，在边长为 12 的正方形 AAA 1A1，中，BB 1CC 1AA 1，且 AB3，BC 4，AA 1 分别交 BB1，CC 1 于点 P， Q，将该正方形沿 BB1，CC 1，折叠，使得 AA 1 与
30、AA1 重合，构成如图 2 所示的三棱柱 ABCA 1B1C1，在该三棱柱底边 AC 上有一点 M，满足 AMkMC （0k1） ；请在图 2 中解决下列问题：（I）求证：当 k 时，BM平面 APQ；（）若直线 BM 与平面 APQ 所成角的正弦值为 ，求 k 的值第 19 页（共 26 页）【分析】 （I）过 M 作 MNCQ，交 AQ 于 N，连接 PN 则 MNPB，从而 MNPQ 共面且平面 MNPQ 交平面 APQ 于 PN，四边形 MNPB 为平行四边形，从而 BMPN，由此能证明 BM平面 APQ（II）以 BA，BC，BB 1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求
31、出 k 的值【解答】证明：（I）在图（ 2）中，过 M 作 MNCQ，交 AQ 于 N，连接 PN，则 MNPBMNPQ 共面且平面 MNPQ 交平面 APQ 于 PN，k ，AMkMC ， ，又 CQ7，MNPBAB 3，四边形 MNPB 为平行四边形，BMPN，PN平面 APQ，BM 平面 APQ，BM平面 APQ解：（II）AB3，BC4，AC5，AC 2AB 2+BC2，AB BC 由图 1 知，PBAB 3，QC7，分別以 BA，BC，BB 1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（3，0，0） ，C（0，4， 0） ，P （0，0，3） ，Q（0，4，7） ，（0，4，0
32、） ， （3，0，3） ， （3，4，7） ，设平面 APQ 的法向量为 （a，b，c） ，则 ，令 a1，得 （1，1，1） ，由 AMkMC，得 M（ ） ，直线 BM 与平面 APQ 所成角的正弦值为 ，第 20 页（共 26 页） ，解得 k 或 k （舍） 故 k 的值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪 80 元，每销售一件产品提成 1 元；乙公司规定底薪 120 元，日销售量不超
33、过 45件没有提成，超过 45 件的部分每件提成 8 元（I）请将两家公司各一名推销员的日工资 y（单位：元）分别表示为日销售件数 n 的函数关系式；（II）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去 100 天的销售情况进行统计，得到如下条形图若记甲公司该推销员的日工资为 X，乙公司该推销员的日工资为 Y（单位：元） ，将该频率视为概率，请回答下面问题：某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由第 21 页（共 26 页）【分析】 （I）由题意能求出甲公司一名推销员的日工资 y（单位：元）与销售件数 n 的关系
34、式和乙公司一名推销员的日工资 y（单位：元） 与销售件数 n 的关系式（）记甲公司一名推销员的日工资为 X（单位：元） ，由条形图可得 X 的分布列，记乙公司一名推销员的日工资为 Y（单位：元） ，由条形图可得 Y 的分布列，从而求出E（X）125，E （Y）136，由此得到仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司【解答】解：（I）由题意得，甲公司一名推销员的日工资 y（单位：元）与销售件数 n的关系式为：y80+n，nN乙公司一名推销员的日工资 y（单位：元） 与销售件数 n 的关系式为：y （）记甲公司一名推销员的日工资为 X（单位：元） ，由条形图可得 X 的分布列为：X 122 124
35、 126 128 130P 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1记乙公司一名推销员的日工资为 Y（单位：元） ，由条形图可得 Y 的分布列为：X 120 128 144 160P 0.2 0.3 0.4 0.1E（X）1220.2+1240.4+1260.2+1280.1+130 0.1125，E（Y） 1200.2+1280.3+1440.4+1600.1136，第 22 页（共 26 页）仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司【点评】本题考查条形图的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题20 （12 分）已知椭圆 C1： （
36、ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，F 2 也为抛物线 C2：y 24x 的焦点，点 P 为 C1，C 2 在第一象限的交点，且|PF 2| （I）求椭圆 C1 的方程；（II）延长 PF2，交椭圆 C1 于点 Q，交抛物线 C2 于点 R，求三角形 F1QR 的面积【分析】 （）根据右焦点 F2 也是拋物线 C2：y 24x 的焦点可得 c1，再求出点 P 的坐标，代入椭圆方程，以及根据 a2b 21，联立可解得 a24，b 23，问题得以解决，（）求出直线 PF2 方程分别与椭圆和抛物线联立，求出|PQ|，| PR|，可得|QR|，再根据点到直线的距离公式，即可求出三角形的面积【解答
37、】解：（I）F 2 也为抛物线抛物线 C2：y 24x 的焦点，c1，由线段|PF 2| ，得 xP+1 ，P 的坐标为（ ， ） ，代入椭圆方程得 + 1又 a2b 21，联立可解得 a24，b 23，所以椭圆 C 的方程为 + 1，（）由（）知 P（ ， ） ，所以直线 PF2 方程为：y2 （x1） ，联立直线方程和椭圆方程可得 33x264x+280，Q（ ， ） ，|PQ | | | ，联立直线方程相抛物线方程可得 6x213x+60，|PR| +2|QR | ，第 23 页（共 26 页）F 1 到直线 PF2 的距离为 ，三角形 F1QR 的面积为 【点评】本题考查椭圆方程的求法
38、三角形的面积，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线与椭圆位置关系，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）axlnx （a 是常数，且（a0）（I）求函数 f（x ）的单调区间；（）当 yf（ x）在 x1 处取得极值时，若关于 x 的方程 f（x）+2xx 2+b 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围（）求证：当 n2，nN*时（1+ ） （1+ ）（1 ）e【分析】 （）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系即可得到（）函数 yf（x）在 x1 处取得极值，可得 f（1）0，解得 a0关于 x 的方程 f（x）+2xx 2+b 化为 x23x+lnx+b0令 g（x
39、）x 23x+lnx+b， （x ，2 ） 利用导数研究其单调性极值与最值，关于 x 的方程 f（x）+2xx 2+b 在 ，2 上恰有两个不相等的实数根，必须满足则 ，解得即可（）由（）和（）可知当 a1 时，f（x ）f（1） ，即 lnxx1，可得当 x1时，lnxx1，令 x1+ （n2，nN *） ，则 ln（1+ ） ，利用“累加求和” 、对数的运算性质、放缩、 “裂项求和”即可得出【解答】解：（I）：f（x ）a （x 0） ，若 0x ，则 f（x）0，若 x ，则 f（x）0，f（x）的单调递减区间是（0， ） ，单调递增区间是（ ，+） （II）函数 yf（x ）在 x1
40、处取得极值，f（1）0，解得 a0，第 24 页（共 26 页）f（x）xlnx，关于 x 的方程 f（x）+2xx 2+b 化为 x23x +lnx+b0，令 g（x）x 23x +lnx+b， （ x ，2 ） ，g（x）2x 3+ ，令 g（x）0，解得 x 或 1，令 g（x）0，解得 1x 2，此时函数 g（x ）单调递增，令 g（x）0，解得 x 1，此时函数 g（x ）单调递减，关于 x 的方程 f（x）+2xx 2+b 在 ，2 上恰有两个不相等的实数根，则 ，即 ，解得 +ln2b2，实数 b 的取值范围是 +ln2，2）证明（）由（）和（）可知当 a1 时，f（x ）f（1
41、） ，即 lnxx1，当 x1 时，lnx x 1，令 x1+ （n2，nN *） 则 ln（1+ ） 依次取 n2，3，n累加求和可得 ln（1+ ）+ln （1+ ）+ln（1+ ） + + ，当 n2 时， ， + + + + 1 + + 11，ln（1+ ） +ln（1+ ）+ln（1+ ）ln （1+ ） （1+ ）（1+ ）1lne，当 n2，nN*时（1+ ） （1+ ）（1 ）e【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、 “累加求和” 、对数的运算第 25 页（共 26 页）性质、放缩、 “裂项求和”等基础知识与基本技能方法，考查了等价问题转化方法，考查了推理能力和
42、计算能力，属于难题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在极坐标系中，直线 l：pcos2，曲线 C 上任意一点到极点 O 的距离等于它到直线 l 的距离（I）求曲线 C 的极坐标方程；（I）若 P，Q 是曲线 C 上两点，且 OPOQ，求 的最大值【分析】 （）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程进行转换（）利用三角函数关系式的恒等变换，在整理成正弦型函数，最后求出最大值【解答】解：（）直线 l： pcos2，转换为直角坐标方程为 x2，曲线 C 上任意一点到极点 O 的距离等于它到直线 l 的距离所以
43、：设点 M（， ）是曲线 C 上任意一点，则 cos +2，即： ：（II） 设 P（ 1，） ，Q（ ） ，则 故 的最大值为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） 2|x+1|+|x 2|（1）求 f（x）的最小值 m；（2）若 a，b，c 都是正实数，且满足 a+b+cm ，求证： 【分析】 （1）由题意可得 f（ x）|x+1|+（|x+1|+|x2| ） ，运用绝对值的含义和性质，即可得到 x1 时取得最小值 m；第 26 页（共 26 页）（2）运用基本不等式可得 +a2 2b， +b2c， +c2a，累加即可得证【解答】解：（1）f（x ）2|x+1|+|x2|x +1|+（| x+1|+|x2|）0+|x+1x+2|0+3 3，当且仅当 x1 时取得等号，即有 f（x）的最小值为 3，即 m3；（2）证明：a，b，c 都是正实数，且满足 a+b+c3，则 +a2 2b，同理可得 +b2c，+c2a，上面三式相加可得 + + +a+b+c2a+2b+2c，可得 + + a+b+ c，则 【点评】本题考查绝对值不等式的性质和不等式的证明，注意运用基本不等式，以及累加法和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题