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2019年山西省晋城市高考数学二模试卷(理科)(b卷)含答案解析

1、2019 年山西省晋城市高考数学二模试卷(理科) (B 卷)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)若集合 Ax| x32a,Bx|(xa+1) (xa)0,ABR,则 a 的取值范围为(  )A2,+ ) B (, C ,+) D (,22 (5 分)已知 mR,复数 z11+3i ,z 2m+2i,且 为实数,则 m(  )A B C3 D33 (5 分)设等比数列a n的前 n 项和为 Sn若 S23,S 415,则 S6(  )A31 B32 C63 D644 (5 分

2、) 九章算术是我国古代第一部数学专著,它有如下问题:“今有圆堡瑽(cong) ,周四丈八尺,高一丈一尺问积几何? 意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡,底面周长为 4 丈 8 尺,高 1 丈 1 尺问它的体积是多少?”注:1 丈10 尺,取3) (  )A704 立方尺 B2112 立方尺 C2115 立方尺 D2118 立方尺5 (5 分)已知向量 , 满足 2 + (1,2m) , (1,m) ,且 在 方向上的投影是,则实数 m(  )A B C2 D26 (5 分)若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )A240 B264 C274 D2827

3、 (5 分)函数 f(x )A sin(x+) (其中 A0,0)的部分图象如图所示,将函数第 2 页(共 26 页)f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到 yg(x)的图象,则下列说法正确的是(  )A函数 g(x)为奇函数B函数 g(x)的单调递增区间为 +k, +k(kZ )C函数 g(x)为偶函数D函数 g(x)的图象的对称轴为直线 xk + (k Z)8 (5 分)某学校对 100 间学生公寓的卫生情况进行综合评比,依考核分数分为A,B ,C ,D 四个等级,其中分数在60,70)为 D 等级;分数在70,80)为 C 等级;分数在80,90)为 B 等级;分数在 90,

4、100为 A 等级,考核评估后,得其频率分布折线图如图所示,估计这 100 间学毕公寓评估得分的平均数是(  )A80.25 B80.45 C80.5 D80.659 (5 分)定义 ,由集合(x,y)|0 x2,0y1 确定的区域记作 Q,由曲线 C:y minx,2x+3)和 x 轴围成的封闭区域记作 M,向区域 内投掷 12000 个点,则落入区域 M 的点的个数为(  )A4500 B4000 C3500 D300010 (5 分)已知 f(x )是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+5)f(x3) ,如果当x0,4)时,f(x )log 2( x+2) ,则 f(

5、766)(    )A3 B3 C2 D2第 3 页(共 26 页)11 (5 分)已知双曲线 的右焦点为 F,直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直,直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A,B,若 ,则该双曲线的离心率为(  )A B C D12 (5 分)已知函数 f(x )x 23x+5,g(x)axlnx,若对x(0,e) ,x1,x 2(0,e )且 x1x 2,使得 f(x)g(x i) (i 1, 2) ,则实数 a 的取值范围是(  )A BC D二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中

6、的横线上13 (5 分)已知 mZ,二项式( m+x) 4 的展开式中 x2 的系数比 x3 的系数大 16,则 m      14 (5 分)已知实数 x,y 满足 则目标函数 zx+2y1 的最小值为     15 (5 分)已知抛物线 y22px(p0)经过点 M(l ,2) ,直线 l 与抛物线交于相异两点A,B ,若MAB 的内切圆圆心为( 1,t) ,则直线 l 的斜率为     16 (5 分)数列a n满足 a13,且对于任意的 nN*都有     三、本大题共 5 小题,共 70 分,应

7、写出必要的文字说明,证明过程和演算步骤。17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 2sin2(B+C)3cosA 0(1)求角 A 的大小;,求边长 c18 (12 分)一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端某种植户对一块地的 n(nN*)个坑进行播种,每个坑播 3 粒种子,每粒种子发芽的概率第 4 页(共 26 页)均为 ,且每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种(1)当 n 取何值时,有 3 个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?(2)当 n4 时,用 X 表示要补播

8、种的坑的个数,求 X 的分布列与数学期望19 (12 分)在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中,BADBCD90,ADC60且ADCD,BB 1平面 ABCD,BB 12AB2(1)证明:ACB 1D(2)求 BC1 与平面 B1C1D 所成角的正弦值20 (12 分)已知椭圆 C1: 1(ab0)的离心率为 ,椭圆 C2:1(ab0)经过点 (1)求椭圆 l 的标准方程;(2)设点 M 是椭圆 C1 上的任意一点,射线 MO 与椭圆 C2 交于点 N,过点 M 的直线 l与椭圆 C1 有且只有一个公共点,直线 l 与椭圆 C2 交于 A,B 两个相异点,证明:NAB 面积为定值21 (1

9、2 分)已知函数 f(x )lnx,g(x) (1)若曲线 yg(x )在(2,g(2) )处的切线方程是 yax1,求函数 g(x )在0,3上的值域;第 5 页(共 26 页)(2)当 x0 时,记函数 若函数 yh(x)有三个零点,求实数 a 的取值范围()选考题,共 10 分,请考生从第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4 一4:坐标系与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 , ( 为参数) ,以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)

10、求圆 C 的极坐标方程;(2)设曲线 l1,的极坐标方程为 ,曲线 l2 的极坐标方程为,求三条曲线 C,l 1,l 2 所围成图形的面积选修 4 一 5,不等式选讲23已知函数 f(x )|x +a|+|2x5|(a0) (1)当 a2 时,解不等式 f(x )5;(2)当 xa, 2a2时,不等式 f(x )|x+4|恒成立,求实数 a 的取值范围第 6 页(共 26 页)2019 年山西省晋城市高考数学二模试卷(理科) (B 卷)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)若集合 Ax|

11、 x32a,Bx|(xa+1) (xa)0,ABR,则 a 的取值范围为(  )A2,+ ) B (, C ,+) D (,2【分析】赞颂求出集合 A 和 B,利用并集定义能求出 a 的取值范围【解答】解:集合 Ax| x32a,B x|(xa+1) (x a)0x|xa1 或 xa ,ABR,32aa1,解得 a ,a 的取值范围为 ) 故选:C【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查并集、不等式的性质等知识,考查运算求解,是基础题2 (5 分)已知 mR,复数 z11+3i ,z 2m+2i,且 为实数,则 m(  )A B C3 D3【分析】把 z11+3 i,z

12、2m+2 i 代入 ,再由复数代数形式的乘除运算化简,利用虚部为 0 求得 m 值【解答】解:z 11+3 i,z 2m+2 i, (1+3i) (m2i)(m+6)+ (3m2)i,则 3m20,即 m 故选:A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题3 (5 分)设等比数列a n的前 n 项和为 Sn若 S23,S 415,则 S6(  )A31 B32 C63 D64第 7 页(共 26 页)【分析】由等比数列的性质可得 S2,S 4S 2,S 6S 4 成等比数列,代入数据计算可得【解答】解:S 2a 1+a2,S 4S 2a 3+a4(a 1+a

13、2)q 2,S 6S 4a 5+a6(a 1+a2)q 4,所以 S2,S 4S 2,S 6S 4 成等比数列,即 3,12,S 615 成等比数列,可得 1223(S 615) ,解得 S663故选:C【点评】本题考查等比数列的性质,得出 S2,S 4S 2,S 6S 4 成等比数列是解决问题的关键,属基础题4 (5 分) 九章算术是我国古代第一部数学专著,它有如下问题:“今有圆堡瑽(cong) ,周四丈八尺,高一丈一尺问积几何? 意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡,底面周长为 4 丈 8 尺,高 1 丈 1 尺问它的体积是多少?”注:1 丈10 尺,取3) (  )A704 立方尺

14、 B2112 立方尺 C2115 立方尺 D2118 立方尺【分析】根据底面周长计算底面半径,代入体积公式计算即可【解答】解:设圆柱形城堡的底面半径为 r 尺,高为 h11 尺,则 2r48 尺,r8,城堡的体积 Vr 2h3 64112112 立方尺故选:B【点评】本题考查了圆柱的体积计算,属于基础题5 (5 分)已知向量 , 满足 2 + (1,2m) , (1,m) ,且 在 方向上的投影是,则实数 m(  )A B C2 D2【分析】利用向量的和与差求出向量 ,然后利用 在 方向上的投影是 ,列出方程求解 m 即可【解答】解:向量 , 满足 2 + (1,2m) , (1,m

15、) ,可得 (0, ) 在 方向上的投影是 ,第 8 页(共 26 页)可得: ,解得 m2故选:D【点评】本题考查平面向量的数量积的应用,是基本知识的考查6 (5 分)若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )A240 B264 C274 D282【分析】判断几何体的形状,然后求解几何体的表面积即可【解答】解:几何体是以俯视图为底面的五棱柱,底面看作是边长为 6 的正方形与一个所在组成,如图:则该几何体的表面积为:(10+6+6+3+5)6+266+34264故选:B【点评】本题考查空间几何体的表面积的求法三视图的应用,是基本知识的考查7 (5 分)函数 f(x )A

16、 sin(x+) (其中 A0,0)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到 yg(x)的图象,则下列说法正确的是(  )第 9 页(共 26 页)A函数 g(x)为奇函数B函数 g(x)的单调递增区间为 +k, +k(kZ )C函数 g(x)为偶函数D函数 g(x)的图象的对称轴为直线 xk + (k Z)【分析】先确定函数 f(x )Asin(x+)的解析式,再根据函数 f(x)Asin( x+)图象的平移,得到 g(x) ,然后逐项分析即可【解答】解:依题意,A3, ,所以 T,所以 2,又33sin(2 +) ,所以 2k , (k Z) ,所以 f

17、(x)3sin(2x ) 将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度,得 g(x)3sin(2x+ ) 奇偶性,显然 g(x)不是奇函数也不是偶函数,A,C 错单调性,由 2x+ 2k ,2k+ ,得 g(x)的单调递增区间为 +k,+k(kZ)B 对对称性,由 2x+ 得,x , (k Z)故 D 错故选:B【点评】本题考查了正弦型函数的解析式的求法、对称性、奇偶性、单调性,考查分析解决问题的能力,考查计算能力,属于中档题8 (5 分)某学校对 100 间学生公寓的卫生情况进行综合评比,依考核分数分为A,B ,C ,D 四个等级,其中分数在60,70)为 D 等级;分数在70,80)为 C

18、等级;分数在80,90)为 B 等级;分数在 90,100为 A 等级,考核评估后,得其频率分布折线图如图所示,估计这 100 间学毕公寓评估得分的平均数是(  )第 10 页(共 26 页)A80.25 B80.45 C80.5 D80.65【分析】取每个区间的中点作为该区间的变量,频率作为权重,加权平均即可【解答】解:设分数为变量 X,则 (650.015+750.040+850.020+950.025)1080.5故选:C【点评】本题考查了利用频率分布直方图估计平均数,属于基础题9 (5 分)定义 ,由集合(x,y)|0 x2,0y1 确定的区域记作 Q,由曲线 C:y min

19、x,2x+3)和 x 轴围成的封闭区域记作 M,向区域 内投掷 12000 个点,则落入区域 M 的点的个数为(  )A4500 B4000 C3500 D3000【分析】根据题意求出对应区域的面积比,得出对应的概率值,再计算对应的频数值【解答】解:试验包含的所有事件对应的集合Q (x,y)|0x2,0y1,则 SQ212,满足条件的事件为 A(x,y)|0x 2,0y1,且 minx,2x+3,即 A(x,y)| ,画出函数的图象,如图所示;根据图象,计算所求的概率为 P ,所以落入区域 M 的点的个数为 12000 4500(个) 故选:A第 11 页(共 26 页)【点评】本题

20、考查了简单线性规划和几何概型的概率计算问题,是中档题10 (5 分)已知 f(x )是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+5)f(x3) ,如果当x0,4)时,f(x )log 2( x+2) ,则 f(766)(    )A3 B3 C2 D2【分析】根据 f(x +5)f(x3)即可得出 f(x+8)f(x) ,即 f(x)的周期为 8,再根据 x0,4)时, f(x)log 2(x+2)及 f(x)为 R 上的偶函数即可求出 f(766)f(2)2【解答】解:f(x +5)f(x3) ;f(x+8)f(x ) ;f(x)的周期为 8;又 x0,4)时, f(x)log

21、 2(x+2) ,且 f(x)是 R 上的偶函数;f(766)f(2+968)f(2)f (2)log 24 2故选:D【点评】考查偶函数的定义,周期函数的定义,以及已知函数求值的方法11 (5 分)已知双曲线 的右焦点为 F,直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直,直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A,B,若 ,则该双曲线的离心率为(  )A B C D【分析】不妨设直线 l 的斜率为 ,直线 l 的方程为 y (xc) ,联立直线方程与双曲线方程,化为关于 y 的一元二次方程,求出两交点纵坐标,由题意列等式求解第 12 页(共 26 页)【解答】解:如图,不妨设直线

22、 l 的斜率为 , 直线 l 的方程为 y ( xc) ,联立 ,得(b 2a 2)c 2y22ab 3cy+a2b40 由题意,方程得(b 2a 2)c 2y22ab 3cy+a2b40 的两根异号,则 ab,此时 0, 0则 ,即 a2ba 24b 24(c 2a 2) ,4c 25a 2,即 e 故选:B【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查计算能力,是中档题12 (5 分)已知函数 f(x )x 23x+5,g(x)axlnx,若对x(0,e) ,x1,x 2(0,e )且 x1x 2,使得 f(x)g(x i) (i 1, 2) ,则实数 a 的取值范围是(  )A BC

23、D第 13 页(共 26 页)【分析】对x(0,e ) ,f(x)的值域为 ,5) ,g(x)a ,推导出a0,g(x) ming( )1+lna,作出函数 g(x)在(0,e)上的大致图象,数形结合由求出实数 a 的取值范围【解答】解:函数 f(x )x 23x+5,g(x)axlnx,x(0,e) ,f(x) minf( ) ,f(x) maxf(0)5,对x(0,e ) ,f(x)的值域为 ,5) ,g(x)a ,当 a0 时,g(x)0,与题意不符,a0,令 g(x)0,得 x ,则 (0,e) ,g(x) ming( )1+lna,作出函数 g(x)在(0,e )上的大致图象,如图,

24、观察图形得到:,解得 实数 a 的取值范围是 , ) 故选:C【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上13 (5 分)已知 mZ,二项式( m+x) 4 的展开式中 x2 的系数比 x3 的系数大 16,则 m 2 第 14 页(共 26 页)【分析】求出二项式的通项公式,求出对应项的系数,建立方程进行求解即可【解答】解:展开式的通项公式为 Tk+1C m4k xk,则展开式中 x2 的系数为 C m2,x 3 的系数

25、为 C m,若展开式中 x2 的系数比 x3 的系数大 16,即 C m2C m16,即 6m24m160,得 3m22m80得(m2) (3m+4)0 得 m2 或 m (舍) ,故答案为:2【点评】本题主要考查二项式定理的应用,求出通项公式以及对应项的系数,建立方程是解决本题的关键14 (5 分)已知实数 x,y 满足 则目标函数 zx+2y1 的最小值为 4 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值【解答】解:作出实数 x,y 满足 对应的平面区域;由 zx +2y1,得 y x+ + ,平移直线 y x+ + ,由图象可知当直线 y x+ +

26、经过点 A 时,直线 y x+ + 的截距最小,此时 z 最小由 ,得 A(1,1) ,此时 z 的最小值为 z1214,故答案为:4第 15 页(共 26 页)【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法15 (5 分)已知抛物线 y22px(p0)经过点 M(l ,2) ,直线 l 与抛物线交于相异两点A,B ,若MAB 的内切圆圆心为( 1,t) ,则直线 l 的斜率为 1 【分析】代入 M 的坐标,解方程可得抛物线方程,设出 A,B 的坐标,以及直线 l 的方程,联立抛物线方程,运用韦达定理,由题意可得 kMA+kMB0,由直线的斜率公式,化简整理,结合

27、恒成立思想,解方程可得直线的斜率【解答】解:抛物线 y22px(p0)经过点 M(l ,2) ,可得 2p4,即抛物线为 y24x,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,直线 l 的方程设为 ykx+m,联立抛物线方程可得 k2x2+(2km4)x+m 20,可得 x1+x2 ,x 1x2 ,直线 l 与抛物线交于相异两点 A,B,若MAB 的内切圆圆心为(1,t) ,即 x1 为AMB 的对称轴,可得 kMA+kMB0,即有 + 0,即为(x 21) (kx 1+m2)+(x 11) (kx 2+m2)0,化为 2kx1x2+42m+(m2k) (x 1+x2)0,即为 2k

28、+42m+(m2k) ( )0,第 16 页(共 26 页)化为(k+1)m+(k 2k2)0,由 k+10,且 k2k 20,可得 k1故答案为:1【点评】本题考查抛物线的方程和运用,考查韦达定理和直线的斜率公式的运用,化简整理的运算能力,属于中档题16 (5 分)数列a n满足 a13,且对于任意的 nN*都有    【分析】由题意可得 an+1a n+n+2,再由数列恒等式 an a1+(a 2a 1)+(a 3a 2)+(a na n1 ) ,结合等差数列的求和公式,以及裂项相消求和,计算可得所求和【解答】解:由题意可得 an+1a n+n+2,则 ana 1+(a

29、 2a 1)+ (a 3a 2)+ +(a na n1 )3+3+4+n+1 3+ (n1) (n+4) (n+1) (n+2) ,可得 2( ) ,则 + + 2( + + )2( ) 故答案为: 【点评】本题考查熟练度通项公式的求法,注意运用数列恒等式,以及等差数列的求和公式,考查数列的裂项相消求和,化简整理的运算能力,属于基础题三、本大题共 5 小题,共 70 分,应写出必要的文字说明,证明过程和演算步骤。17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 2sin2(B+C)3cosA 0(1)求角 A 的大小;,求边长 c【分析】 (1)由三角形内角和定理

30、,诱导公式,同角三角函数基本关系式化简已知等式可得(2cosA 1) (cos A+2)0,结合范围 cosA(0,1 ) ,可求 cosA ,结合范围A( 0,) ,可求 A 的值第 17 页(共 26 页)(2)利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值,在ABC 中,由正弦定理可解得 c 的值【解答】 (本题满分为 12 分)解:(1)因为 A+B+C, 2sin2(B+C)3cosA0,所以:2sin 2A3cosA0,2(1cos 2A)3cosA0,2 分所以:2cos 2A+3cosA20,即(2cos A1) (cosA+2)0,4 分因为:cosA (0,1) ,所以:co

31、sA ,5 分因为:A(0,) ,所以:A 6 分(2)因为 sinCsin (A +B)sinAcosB +cosAsinB + ,9 分又在ABC 中,由正弦定理 ,可得: ,解得:c12 分【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,诱导公式,同角三角函数基本关系式,两角和的正弦函数公式,正弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题18 (12 分)一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端某种植户对一块地的 n(nN*)个坑进行播种,每个坑播 3 粒种子,每粒种子发芽的概率均为 ,且每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽

32、,则不需要进行补播种,否则要补播种(1)当 n 取何值时,有 3 个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?(2)当 n4 时,用 X 表示要补播种的坑的个数,求 X 的分布列与数学期望【分析】 (1)将有 3 个坑需要补种表示成 n 的函数,考查函数随 n 的变化情况,即可得到 n 为何值时有 3 个坑要补播种的概率最大(2)n4 时,X 的所有可能的取值为 0,1,2,3,4分别计算出每个变量对应的概率,列出分布列,求期望即可第 18 页(共 26 页)【解答】解:(1)对于一个坑而言,要补种的概率为 + 有 3 个坑需要补种的概率为: ,要使 最大,只须 ,解得 5n7,nN *,故 n5

33、,6,7 ,所以当 n 为 5 或 6 时,有 3 个坑要补播种的概率最大最大概率为 (2)n4 时,要补播种的坑的个数 X 的所有的取值分别为0,1,2,3,4,XB(4, ) ,P(X0) ,P(X1) ,P(X2) ,P(X 3) ,P(X4) 所以随机变量 X 的分布列为:X 0 1 2 3 4P     所以 X 的数学期望 E(X )4 2【点评】本题考查了古典概型的概率求法,离散型随机变量的概率分布,二项分布,主要考查简单的计算,属于中档题19 (12 分)在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中,BADBCD90,ADC60且ADCD,BB 1平面 ABCD

34、,BB 12AB2(1)证明:ACB 1D(2)求 BC1 与平面 B1C1D 所成角的正弦值第 19 页(共 26 页)【分析】 (1)根据三角形相似证明 ACBD,结合 ACBB 1 可得 AC平面 BB1D,故而 ACB 1D;(2)建立空间坐标系,求出平面 B1C1D 的法向量 ,通过计算 与 的夹角得出所求线面角的大小【解答】 (1)证明:设 AC, BD 交于点 O,ADCD,DACDCA ,又BADBCD,BACBCA ,AB AC ,ABDCBD,ADBCDB,AOD COD,AODCOD90,ACBD,又 BB1平面 ABCD,AC平面 ABCD,ACBB 1,又 BDBB

35、1B,AC平面 BDB1,又 B1D平面 BDB1,ACB 1D(2)解:由(1)可知ADB ADC30,ABO60,OB AB ,BD2AB2,OD ,OCOA 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,则 B( ,0,0) ,D( , 0,0) ,C 1(0, ,2) ,B 1( ,0,2) ,第 20 页(共 26 页) ( , ,2) , (2,0,2) , ( , ,0) ,设平面 B1C1D 的法向量为 (x,y,z) ,则 , ,令 y1 可得 ( ,1, ) ,cos BC 1 与平面 B1C1D 所成角的正弦值为 |cos | 【点评】本题考查了线面垂直的判定和

36、性质,考查空间向量与二面角的计算,属于中档题20 (12 分)已知椭圆 C1: 1(ab0)的离心率为 ,椭圆 C2:1(ab0)经过点 (1)求椭圆 l 的标准方程;(2)设点 M 是椭圆 C1 上的任意一点,射线 MO 与椭圆 C2 交于点 N,过点 M 的直线 l与椭圆 C1 有且只有一个公共点,直线 l 与椭圆 C2 交于 A,B 两个相异点,证明:NAB 面积为定值【分析】 (1)由 C1 的离心率为 ,得 a23b 2,将点( )代入,得 ,联立求得 a21, ,则椭圆 l 的标准方程可求;(2)当直线 l 的斜率不存在时,点 M 为(1,0)或(1,0) ,由对称性不妨取第 21

37、 页(共 26 页)M(1,0) ,由(1)知椭圆 C2 的方程,得到 N( ,0) ,将 x1 代入椭圆 C2 的方程,得 y ,再由三角形面积公式求NAB 面积;当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 ykx+ m,联立直线方程与椭圆方程利用弦长公式求得|AB|,设 M(x 0,y 0) ,N(x 3,y 3) , ,由 M,N 分别在两椭圆上列式求得,可得 ,从而|NM| ,点 O 到直线 l 的距离 d,可得点 N 到直线 l 的距离为 代入三角形面积公式可得NAB 面积为定值 【解答】 (1)解:C 1 的离心率为 , ,即 a23b 2,将点( )代入 ,得 ,联立以上两式可得,a

38、21, 椭圆 l 的标准方程为 ;(2)证明:当直线 l 的斜率不存在时,点 M 为(1,0)或(1,0) ,由对称性不妨取 M(1,0) ,由(1)知椭圆 C2 的方程为 ,则 N( ,0 ) ,将 x1 代入椭圆 C2 的方程,得 y ;当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 ykx+m 联立 ,得(1+3k 2)x 2+6kmx+3m210由题意,得(6km) 24(1+3k 2) (3m 21)0,整理得 3m21+3k 2联立 ,得(1+3k 2)x 2+6kmx+3m230第 22 页(共 26 页)设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则 , |AB| 设 M(x 0

39、,y 0) ,N(x 3,y 3) , ,可得 x3x 0,y 3y 0, , ,解得 或 (舍) ,从而|NM| 又点 O 到直线 l 的距离 d ,点 N 到直线 l 的距离为 综上,NAB 面积为定值 【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,属难题21 (12 分)已知函数 f(x )lnx,g(x) (1)若曲线 yg(x )在(2,g(2) )处的切线方程是 yax1,求函数 g(x )在0,3上的值域;(2)当 x0 时,记函数 若函数 yh(x)有三个零点,求实数 a 的取值范围第 23 页(共 26 页)【分析】 (1)根据题意知 g(2)

40、+8(1a)16+8a+72a1,求得 a0,由此写出 g(x)的解析式,再求 g(x)在0,3上的值域;(2)讨论(i)a0 时,g( x)2x 28x+7,判断此时函数 yh(x)有三个零点;(ii)a0 时,利用 g(x)判断函数的单调性,求出函数的极值,得出函数yh(x)有三个零点时 a 的取值范围;(iii )a0 时,利用 g(x)求出函数的极值点,讨论函数的单调性,从而求出函数yh(x)有三个零点时 a 的取值【解答】解:(1)因为 g(x) x3+2(1a)x 28 x+8a+7,所以 g(2) +8(1a)16+8a+7 2a1,解得 a0,所以 g(x)2x 28x +7;

41、且 g(0)7,g(3)1,g(2)1;所以 g(x)在0 ,3上的值域为 1,7;(2) (i)当 a0 时,g(x )2x 28x+7,由 g(x)0,得 x2 (1,+) ,此时函数 yh(x )有三个零点,符合题意;(ii)当 a0 时,g(x)2ax 2+4(1a)x 82a(x2) (x+ ) ,由 g(x)0,得 x2,当 x(0,2)时, g(x)0,当 x(2,+)时,g(x)0,若函数 yh(x )有三个零点,则需满足 g(1)0 且 g(2)0,解得 0a ;(iii )当 a0 时,g(x)2ax 2+4(1a)x82a(x2) (x+ ) ,由 g(x)0 得 x12

42、,x 2 ,当 2,即 a1 时,因为 g(x) 极大值 g(2) a10,此时函数yh(x)至多有一个零点,不符合题意;当 2,即 a1 时,因为 g(x)0,此时函数 yh(x)至多有两个零点,不符合题意;当 2,即 1a0 时,若 g(1)0,则函数 yh(x)至多有两个零点,不符合题意;第 24 页(共 26 页)若 g(1)0,得 a ,因为 g( ) (8a 3+7a2+8a+ ) ,所以 g( )0,此时函数 yh(x )有三个零点,符合题意;若 g(1)0,得 a0,由 g( ) (8a 3+7a2+8a+ ) ,记 m(a)8a 3+7a2+8a+ ,则 m(a)24a 2+

43、14a+80,所以 m(a)m( )0,此时函数 yh(x )有四个零点,不符合题意;综上所述,满足条件的实数 a 的取值范围是 0, ) 【点评】本题考查了函数零点的应用问题,也考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题,是难题()选考题,共 10 分,请考生从第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4 一4:坐标系与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 , ( 为参数) ,以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C 的极坐标方程;(

44、2)设曲线 l1,的极坐标方程为 ,曲线 l2 的极坐标方程为,求三条曲线 C,l 1,l 2 所围成图形的面积【分析】 (1)由条件得圆 C 的直角坐标方程为:( x ) 2+(y1) 21,得x2+y22 2y0,将 xcos ,y sin 代入,得 22 cos2sin0,即2 cos+2sin,则 4sin( + ) ,所以圆 C 的极坐标方程为 4sin(+ ) ;(2)利用极径的几何意义得三角形的边长,再用面积公式可得【解答】解(1)由条件得圆 C 的直角坐标方程为:(x ) 2+(y1) 24,得 x2+y22 2y 0,将 xcos ,y sin 代入,得2 2 cos2sin

45、 0,第 25 页(共 26 页)即 2 cos+2sin,则 4sin( + ) ,所以圆 C 的极坐标方程为 4sin (+ ) (2)由条件知曲线 l1 和 l2 是过原点 O 的两条射线设 l1 和 l2 分别与圆 C 交于异于点O 的点 A 和点 B,将 代入圆 C 的极坐标方程,得 A(4, ) ,所以 OA4;将 代入圆 C 的极坐标方程,得 B(2 , ) ,所以 OB2 ,由(1)得圆 C 的圆心为 C( ,1) ,其极坐标为 C(2, ) ,故射线 l2 经过圆心C,所以COA ,ACB2COA ,所以 SCOA OCOAsinCOA OAOCsin ,扇形 CAB 的面积为 22 ,故三条曲线 C,l 1,l 2 所围成图形的面积为 + 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题选修 4 一 5,不等式选讲23已知函数 f(x )|x +a|+|2x5|(a0) (1)当 a2 时,解不等式 f(x )5;(2)当 xa, 2a2时,不等式 f(x )|x+4|恒成立,求实数 a 的取值范围【分析】 (1)a2 时,利用分段讨论思想求出不等式 f(x)5 的解