1、2019 年山西省晋城市高考数学二模试卷（理科） （B 卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若集合 Ax| x32a，Bx|（xa+1） （xa）0，ABR，则 a 的取值范围为（ ）A2，+ ） B （， C ，+） D （，22 （5 分）已知 mR，复数 z11+3i ，z 2m+2i，且 为实数，则 m（ ）A B C3 D33 （5 分）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn若 S23，S 415，则 S6（ ）A31 B32 C63 D644 （5 分
2、） 九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cong） ，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？ 意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为 4 丈 8 尺，高 1 丈 1 尺问它的体积是多少？”注：1 丈10 尺，取3） （ ）A704 立方尺 B2112 立方尺 C2115 立方尺 D2118 立方尺5 （5 分）已知向量 ， 满足 2 + （1，2m） ， （1，m） ，且 在 方向上的投影是，则实数 m（ ）A B C2 D26 （5 分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A240 B264 C274 D2827
3、 （5 分）函数 f（x ）A sin（x+） （其中 A0，0）的部分图象如图所示，将函数第 2 页（共 26 页）f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到 yg（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数 g（x）为奇函数B函数 g（x）的单调递增区间为 +k， +k（kZ ）C函数 g（x）为偶函数D函数 g（x）的图象的对称轴为直线 xk + （k Z）8 （5 分）某学校对 100 间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A，B ，C ，D 四个等级，其中分数在60，70）为 D 等级；分数在70，80）为 C 等级；分数在80，90）为 B 等级；分数在 90，
4、100为 A 等级，考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这 100 间学毕公寓评估得分的平均数是（ ）A80.25 B80.45 C80.5 D80.659 （5 分）定义 ，由集合（x，y）|0 x2，0y1 确定的区域记作 Q，由曲线 C：y minx，2x+3）和 x 轴围成的封闭区域记作 M，向区域 内投掷 12000 个点，则落入区域 M 的点的个数为（ ）A4500 B4000 C3500 D300010 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x+5）f（x3） ，如果当x0，4）时，f（x ）log 2（ x+2） ，则 f（
5、766）（ ）A3 B3 C2 D2第 3 页（共 26 页）11 （5 分）已知双曲线 的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（x ）x 23x+5，g（x）axlnx，若对x（0，e） ，x1，x 2（0，e ）且 x1x 2，使得 f（x）g（x i） （i 1， 2） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A BC D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中
6、的横线上13 （5 分）已知 mZ，二项式（ m+x） 4 的展开式中 x2 的系数比 x3 的系数大 16，则 m 14 （5 分）已知实数 x，y 满足 则目标函数 zx+2y1 的最小值为 15 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）经过点 M（l ，2） ，直线 l 与抛物线交于相异两点A，B ，若MAB 的内切圆圆心为（ 1，t） ，则直线 l 的斜率为 16 （5 分）数列a n满足 a13，且对于任意的 nN*都有 三、本大题共 5 小题，共 70 分，应
7、写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤。17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 2sin2（B+C）3cosA 0（1）求角 A 的大小；，求边长 c18 （12 分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端某种植户对一块地的 n（nN*）个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率第 4 页（共 26 页）均为 ，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种（1）当 n 取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2）当 n4 时，用 X 表示要补播
8、种的坑的个数，求 X 的分布列与数学期望19 （12 分）在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，BADBCD90，ADC60且ADCD，BB 1平面 ABCD，BB 12AB2（1）证明：ACB 1D（2）求 BC1 与平面 B1C1D 所成角的正弦值20 （12 分）已知椭圆 C1： 1（ab0）的离心率为 ，椭圆 C2：1（ab0）经过点 （1）求椭圆 l 的标准方程；（2）设点 M 是椭圆 C1 上的任意一点，射线 MO 与椭圆 C2 交于点 N，过点 M 的直线 l与椭圆 C1 有且只有一个公共点，直线 l 与椭圆 C2 交于 A，B 两个相异点，证明：NAB 面积为定值21 （1
9、2 分）已知函数 f（x ）lnx，g（x） （1）若曲线 yg（x ）在（2，g（2） ）处的切线方程是 yax1，求函数 g（x ）在0，3上的值域；第 5 页（共 26 页）（2）当 x0 时，记函数 若函数 yh（x）有三个零点，求实数 a 的取值范围（）选考题，共 10 分，请考生从第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4 一4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）
10、求圆 C 的极坐标方程；（2）设曲线 l1，的极坐标方程为 ，曲线 l2 的极坐标方程为，求三条曲线 C，l 1，l 2 所围成图形的面积选修 4 一 5，不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +a|+|2x5|（a0） （1）当 a2 时，解不等式 f（x ）5；（2）当 xa， 2a2时，不等式 f（x ）|x+4|恒成立，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 26 页）2019 年山西省晋城市高考数学二模试卷（理科） （B 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若集合 Ax|
11、 x32a，Bx|（xa+1） （xa）0，ABR，则 a 的取值范围为（ ）A2，+ ） B （， C ，+） D （，2【分析】赞颂求出集合 A 和 B，利用并集定义能求出 a 的取值范围【解答】解：集合 Ax| x32a，B x|（xa+1） （x a）0x|xa1 或 xa ，ABR，32aa1，解得 a ，a 的取值范围为 ） 故选：C【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查并集、不等式的性质等知识，考查运算求解，是基础题2 （5 分）已知 mR，复数 z11+3i ，z 2m+2i，且 为实数，则 m（ ）A B C3 D3【分析】把 z11+3 i，z
12、2m+2 i 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用虚部为 0 求得 m 值【解答】解：z 11+3 i，z 2m+2 i， （1+3i） （m2i）（m+6）+ （3m2）i，则 3m20，即 m 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn若 S23，S 415，则 S6（ ）A31 B32 C63 D64第 7 页（共 26 页）【分析】由等比数列的性质可得 S2，S 4S 2，S 6S 4 成等比数列，代入数据计算可得【解答】解：S 2a 1+a2，S 4S 2a 3+a4（a 1+a
13、2）q 2，S 6S 4a 5+a6（a 1+a2）q 4，所以 S2，S 4S 2，S 6S 4 成等比数列，即 3，12，S 615 成等比数列，可得 1223（S 615） ，解得 S663故选：C【点评】本题考查等比数列的性质，得出 S2，S 4S 2，S 6S 4 成等比数列是解决问题的关键，属基础题4 （5 分） 九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cong） ，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？ 意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为 4 丈 8 尺，高 1 丈 1 尺问它的体积是多少？”注：1 丈10 尺，取3） （ ）A704 立方尺
14、 B2112 立方尺 C2115 立方尺 D2118 立方尺【分析】根据底面周长计算底面半径，代入体积公式计算即可【解答】解：设圆柱形城堡的底面半径为 r 尺，高为 h11 尺，则 2r48 尺，r8，城堡的体积 Vr 2h3 64112112 立方尺故选：B【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题5 （5 分）已知向量 ， 满足 2 + （1，2m） ， （1，m） ，且 在 方向上的投影是，则实数 m（ ）A B C2 D2【分析】利用向量的和与差求出向量 ，然后利用 在 方向上的投影是 ，列出方程求解 m 即可【解答】解：向量 ， 满足 2 + （1，2m） ， （1，m
15、） ，可得 （0， ） 在 方向上的投影是 ，第 8 页（共 26 页）可得： ，解得 m2故选：D【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查6 （5 分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A240 B264 C274 D282【分析】判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可【解答】解：几何体是以俯视图为底面的五棱柱，底面看作是边长为 6 的正方形与一个所在组成，如图：则该几何体的表面积为：（10+6+6+3+5）6+266+34264故选：B【点评】本题考查空间几何体的表面积的求法三视图的应用，是基本知识的考查7 （5 分）函数 f（x ）A
16、 sin（x+） （其中 A0，0）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到 yg（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）第 9 页（共 26 页）A函数 g（x）为奇函数B函数 g（x）的单调递增区间为 +k， +k（kZ ）C函数 g（x）为偶函数D函数 g（x）的图象的对称轴为直线 xk + （k Z）【分析】先确定函数 f（x ）Asin（x+）的解析式，再根据函数 f（x）Asin（ x+）图象的平移，得到 g（x） ，然后逐项分析即可【解答】解：依题意，A3， ，所以 T，所以 2，又33sin（2 +） ，所以 2k ， （k Z） ，所以 f
17、（x）3sin（2x ） 将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度，得 g（x）3sin（2x+ ） 奇偶性，显然 g（x）不是奇函数也不是偶函数，A，C 错单调性，由 2x+ 2k ，2k+ ，得 g（x）的单调递增区间为 +k，+k（kZ）B 对对称性，由 2x+ 得，x ， （k Z）故 D 错故选：B【点评】本题考查了正弦型函数的解析式的求法、对称性、奇偶性、单调性，考查分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题8 （5 分）某学校对 100 间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A，B ，C ，D 四个等级，其中分数在60，70）为 D 等级；分数在70，80）为 C
18、等级；分数在80，90）为 B 等级；分数在 90，100为 A 等级，考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这 100 间学毕公寓评估得分的平均数是（ ）第 10 页（共 26 页）A80.25 B80.45 C80.5 D80.65【分析】取每个区间的中点作为该区间的变量，频率作为权重，加权平均即可【解答】解：设分数为变量 X，则 （650.015+750.040+850.020+950.025）1080.5故选：C【点评】本题考查了利用频率分布直方图估计平均数，属于基础题9 （5 分）定义 ，由集合（x，y）|0 x2，0y1 确定的区域记作 Q，由曲线 C：y min
19、x，2x+3）和 x 轴围成的封闭区域记作 M，向区域 内投掷 12000 个点，则落入区域 M 的点的个数为（ ）A4500 B4000 C3500 D3000【分析】根据题意求出对应区域的面积比，得出对应的概率值，再计算对应的频数值【解答】解：试验包含的所有事件对应的集合Q （x，y）|0x2，0y1，则 SQ212，满足条件的事件为 A（x，y）|0x 2，0y1，且 minx，2x+3，即 A（x，y）| ，画出函数的图象，如图所示；根据图象，计算所求的概率为 P ，所以落入区域 M 的点的个数为 12000 4500（个） 故选：A第 11 页（共 26 页）【点评】本题
20、考查了简单线性规划和几何概型的概率计算问题，是中档题10 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x+5）f（x3） ，如果当x0，4）时，f（x ）log 2（ x+2） ，则 f（766）（ ）A3 B3 C2 D2【分析】根据 f（x +5）f（x3）即可得出 f（x+8）f（x） ，即 f（x）的周期为 8，再根据 x0，4）时， f（x）log 2（x+2）及 f（x）为 R 上的偶函数即可求出 f（766）f（2）2【解答】解：f（x +5）f（x3） ；f（x+8）f（x ） ；f（x）的周期为 8；又 x0，4）时， f（x）log
21、 2（x+2） ，且 f（x）是 R 上的偶函数；f（766）f（2+968）f（2）f （2）log 24 2故选：D【点评】考查偶函数的定义，周期函数的定义，以及已知函数求值的方法11 （5 分）已知双曲线 的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】不妨设直线 l 的斜率为 ，直线 l 的方程为 y （xc） ，联立直线方程与双曲线方程，化为关于 y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解第 12 页（共 26 页）【解答】解：如图，不妨设直线
22、 l 的斜率为 ， 直线 l 的方程为 y （ xc） ，联立 ，得（b 2a 2）c 2y22ab 3cy+a2b40 由题意，方程得（b 2a 2）c 2y22ab 3cy+a2b40 的两根异号，则 ab，此时 0， 0则 ，即 a2ba 24b 24（c 2a 2） ，4c 25a 2，即 e 故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）x 23x+5，g（x）axlnx，若对x（0，e） ，x1，x 2（0，e ）且 x1x 2，使得 f（x）g（x i） （i 1， 2） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A BC
23、D第 13 页（共 26 页）【分析】对x（0，e ） ，f（x）的值域为 ，5） ，g（x）a ，推导出a0，g（x） ming（ ）1+lna，作出函数 g（x）在（0，e）上的大致图象，数形结合由求出实数 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x ）x 23x+5，g（x）axlnx，x（0，e） ，f（x） minf（ ） ，f（x） maxf（0）5，对x（0，e ） ，f（x）的值域为 ，5） ，g（x）a ，当 a0 时，g（x）0，与题意不符，a0，令 g（x）0，得 x ，则 （0，e） ，g（x） ming（ ）1+lna，作出函数 g（x）在（0，e ）上的大致图象，如图，
24、观察图形得到：，解得 实数 a 的取值范围是 ， ） 故选：C【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）已知 mZ，二项式（ m+x） 4 的展开式中 x2 的系数比 x3 的系数大 16，则 m 2 第 14 页（共 26 页）【分析】求出二项式的通项公式，求出对应项的系数，建立方程进行求解即可【解答】解：展开式的通项公式为 Tk+1C m4k xk，则展开式中 x2 的系数为 C m2，x 3 的系数
25、为 C m，若展开式中 x2 的系数比 x3 的系数大 16，即 C m2C m16，即 6m24m160，得 3m22m80得（m2） （3m+4）0 得 m2 或 m （舍） ，故答案为：2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求出通项公式以及对应项的系数，建立方程是解决本题的关键14 （5 分）已知实数 x，y 满足 则目标函数 zx+2y1 的最小值为 4 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【解答】解：作出实数 x，y 满足 对应的平面区域；由 zx +2y1，得 y x+ + ，平移直线 y x+ + ，由图象可知当直线 y x+ +
26、经过点 A 时，直线 y x+ + 的截距最小，此时 z 最小由 ，得 A（1，1） ，此时 z 的最小值为 z1214，故答案为：4第 15 页（共 26 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法15 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）经过点 M（l ，2） ，直线 l 与抛物线交于相异两点A，B ，若MAB 的内切圆圆心为（ 1，t） ，则直线 l 的斜率为 1 【分析】代入 M 的坐标，解方程可得抛物线方程，设出 A，B 的坐标，以及直线 l 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，由题意可得 kMA+kMB0，由直线的斜率公式，化简整理，结合
27、恒成立思想，解方程可得直线的斜率【解答】解：抛物线 y22px（p0）经过点 M（l ，2） ，可得 2p4，即抛物线为 y24x，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线 l 的方程设为 ykx+m，联立抛物线方程可得 k2x2+（2km4）x+m 20，可得 x1+x2 ，x 1x2 ，直线 l 与抛物线交于相异两点 A，B，若MAB 的内切圆圆心为（1，t） ，即 x1 为AMB 的对称轴，可得 kMA+kMB0，即有 + 0，即为（x 21） （kx 1+m2）+（x 11） （kx 2+m2）0，化为 2kx1x2+42m+（m2k） （x 1+x2）0，即为 2k
28、+42m+（m2k） （ ）0，第 16 页（共 26 页）化为（k+1）m+（k 2k2）0，由 k+10，且 k2k 20，可得 k1故答案为：1【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查韦达定理和直线的斜率公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题16 （5 分）数列a n满足 a13，且对于任意的 nN*都有 【分析】由题意可得 an+1a n+n+2，再由数列恒等式 an a1+（a 2a 1）+（a 3a 2）+（a na n1 ） ，结合等差数列的求和公式，以及裂项相消求和，计算可得所求和【解答】解：由题意可得 an+1a n+n+2，则 ana 1+（a
29、 2a 1）+ （a 3a 2）+ +（a na n1 ）3+3+4+n+1 3+ （n1） （n+4） （n+1） （n+2） ，可得 2（ ） ，则 + + 2（ + + ）2（ ） 故答案为： 【点评】本题考查熟练度通项公式的求法，注意运用数列恒等式，以及等差数列的求和公式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题三、本大题共 5 小题，共 70 分，应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤。17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 2sin2（B+C）3cosA 0（1）求角 A 的大小；，求边长 c【分析】 （1）由三角形内角和定理
30、，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得（2cosA 1） （cos A+2）0，结合范围 cosA（0，1 ） ，可求 cosA ，结合范围A（ 0，） ，可求 A 的值第 17 页（共 26 页）（2）利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，在ABC 中，由正弦定理可解得 c 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）因为 A+B+C， 2sin2（B+C）3cosA0，所以：2sin 2A3cosA0，2（1cos 2A）3cosA0，2 分所以：2cos 2A+3cosA20，即（2cos A1） （cosA+2）0，4 分因为：cosA （0，1） ，所以：co
31、sA ，5 分因为：A（0，） ，所以：A 6 分（2）因为 sinCsin （A +B）sinAcosB +cosAsinB + ，9 分又在ABC 中，由正弦定理 ，可得： ，解得：c12 分【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端某种植户对一块地的 n（nN*）个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为 ，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽
32、，则不需要进行补播种，否则要补播种（1）当 n 取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2）当 n4 时，用 X 表示要补播种的坑的个数，求 X 的分布列与数学期望【分析】 （1）将有 3 个坑需要补种表示成 n 的函数，考查函数随 n 的变化情况，即可得到 n 为何值时有 3 个坑要补播种的概率最大（2）n4 时，X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，4分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可第 18 页（共 26 页）【解答】解：（1）对于一个坑而言，要补种的概率为 + 有 3 个坑需要补种的概率为： ，要使 最大，只须 ，解得 5n7，nN *，故 n5
33、，6，7 ，所以当 n 为 5 或 6 时，有 3 个坑要补播种的概率最大最大概率为 （2）n4 时，要补播种的坑的个数 X 的所有的取值分别为0，1，2，3，4，XB（4， ） ，P（X0） ，P（X1） ，P（X2） ，P（X 3） ，P（X4） 所以随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 所以 X 的数学期望 E（X ）4 2【点评】本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题19 （12 分）在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，BADBCD90，ADC60且ADCD，BB 1平面 ABCD
34、，BB 12AB2（1）证明：ACB 1D（2）求 BC1 与平面 B1C1D 所成角的正弦值第 19 页（共 26 页）【分析】 （1）根据三角形相似证明 ACBD，结合 ACBB 1 可得 AC平面 BB1D，故而 ACB 1D；（2）建立空间坐标系，求出平面 B1C1D 的法向量 ，通过计算 与 的夹角得出所求线面角的大小【解答】 （1）证明：设 AC， BD 交于点 O，ADCD，DACDCA ，又BADBCD，BACBCA ，AB AC ，ABDCBD，ADBCDB，AOD COD，AODCOD90，ACBD，又 BB1平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACBB 1，又 BDBB
35、1B，AC平面 BDB1，又 B1D平面 BDB1，ACB 1D（2）解：由（1）可知ADB ADC30，ABO60，OB AB ，BD2AB2，OD ，OCOA 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 B（ ，0，0） ，D（ ， 0，0） ，C 1（0， ，2） ，B 1（ ，0，2） ，第 20 页（共 26 页） （ ， ，2） ， （2，0，2） ， （ ， ，0） ，设平面 B1C1D 的法向量为 （x，y，z） ，则 ， ，令 y1 可得 （ ，1， ） ，cos BC 1 与平面 B1C1D 所成角的正弦值为 |cos | 【点评】本题考查了线面垂直的判定和
36、性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题20 （12 分）已知椭圆 C1： 1（ab0）的离心率为 ，椭圆 C2：1（ab0）经过点 （1）求椭圆 l 的标准方程；（2）设点 M 是椭圆 C1 上的任意一点，射线 MO 与椭圆 C2 交于点 N，过点 M 的直线 l与椭圆 C1 有且只有一个公共点，直线 l 与椭圆 C2 交于 A，B 两个相异点，证明：NAB 面积为定值【分析】 （1）由 C1 的离心率为 ，得 a23b 2，将点（ ）代入，得 ，联立求得 a21， ，则椭圆 l 的标准方程可求；（2）当直线 l 的斜率不存在时，点 M 为（1，0）或（1，0） ，由对称性不妨取第 21
37、 页（共 26 页）M（1，0） ，由（1）知椭圆 C2 的方程，得到 N（ ，0） ，将 x1 代入椭圆 C2 的方程，得 y ，再由三角形面积公式求NAB 面积；当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 ykx+ m，联立直线方程与椭圆方程利用弦长公式求得|AB|，设 M（x 0，y 0） ，N（x 3，y 3） ， ，由 M，N 分别在两椭圆上列式求得，可得 ，从而|NM| ，点 O 到直线 l 的距离 d，可得点 N 到直线 l 的距离为 代入三角形面积公式可得NAB 面积为定值 【解答】 （1）解：C 1 的离心率为 ， ，即 a23b 2，将点（ ）代入 ，得 ，联立以上两式可得，a
38、21， 椭圆 l 的标准方程为 ；（2）证明：当直线 l 的斜率不存在时，点 M 为（1，0）或（1，0） ，由对称性不妨取 M（1，0） ，由（1）知椭圆 C2 的方程为 ，则 N（ ，0 ） ，将 x1 代入椭圆 C2 的方程，得 y ；当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 ykx+m 联立 ，得（1+3k 2）x 2+6kmx+3m210由题意，得（6km） 24（1+3k 2） （3m 21）0，整理得 3m21+3k 2联立 ，得（1+3k 2）x 2+6kmx+3m230第 22 页（共 26 页）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， |AB| 设 M（x 0
39、，y 0） ，N（x 3，y 3） ， ，可得 x3x 0，y 3y 0， ， ，解得 或 （舍） ，从而|NM| 又点 O 到直线 l 的距离 d ，点 N 到直线 l 的距离为 综上，NAB 面积为定值 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题21 （12 分）已知函数 f（x ）lnx，g（x） （1）若曲线 yg（x ）在（2，g（2） ）处的切线方程是 yax1，求函数 g（x ）在0，3上的值域；（2）当 x0 时，记函数 若函数 yh（x）有三个零点，求实数 a 的取值范围第 23 页（共 26 页）【分析】 （1）根据题意知 g（2）
40、+8（1a）16+8a+72a1，求得 a0，由此写出 g（x）的解析式，再求 g（x）在0，3上的值域；（2）讨论（i）a0 时，g（ x）2x 28x+7，判断此时函数 yh（x）有三个零点；（ii）a0 时，利用 g（x）判断函数的单调性，求出函数的极值，得出函数yh（x）有三个零点时 a 的取值范围；（iii ）a0 时，利用 g（x）求出函数的极值点，讨论函数的单调性，从而求出函数yh（x）有三个零点时 a 的取值【解答】解：（1）因为 g（x） x3+2（1a）x 28 x+8a+7，所以 g（2） +8（1a）16+8a+7 2a1，解得 a0，所以 g（x）2x 28x +7；
41、且 g（0）7，g（3）1，g（2）1；所以 g（x）在0 ，3上的值域为 1，7；（2） （i）当 a0 时，g（x ）2x 28x+7，由 g（x）0，得 x2 （1，+） ，此时函数 yh（x ）有三个零点，符合题意；（ii）当 a0 时，g（x）2ax 2+4（1a）x 82a（x2） （x+ ） ，由 g（x）0，得 x2，当 x（0，2）时， g（x）0，当 x（2，+）时，g（x）0，若函数 yh（x ）有三个零点，则需满足 g（1）0 且 g（2）0，解得 0a ；（iii ）当 a0 时，g（x）2ax 2+4（1a）x82a（x2） （x+ ） ，由 g（x）0 得 x12
42、，x 2 ，当 2，即 a1 时，因为 g（x） 极大值 g（2） a10，此时函数yh（x）至多有一个零点，不符合题意；当 2，即 a1 时，因为 g（x）0，此时函数 yh（x）至多有两个零点，不符合题意；当 2，即 1a0 时，若 g（1）0，则函数 yh（x）至多有两个零点，不符合题意；第 24 页（共 26 页）若 g（1）0，得 a ，因为 g（ ） （8a 3+7a2+8a+ ） ，所以 g（ ）0，此时函数 yh（x ）有三个零点，符合题意；若 g（1）0，得 a0，由 g（ ） （8a 3+7a2+8a+ ） ，记 m（a）8a 3+7a2+8a+ ，则 m（a）24a 2+
43、14a+80，所以 m（a）m（ ）0，此时函数 yh（x ）有四个零点，不符合题意；综上所述，满足条件的实数 a 的取值范围是 0， ） 【点评】本题考查了函数零点的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是难题（）选考题，共 10 分，请考生从第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4 一4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（
44、2）设曲线 l1，的极坐标方程为 ，曲线 l2 的极坐标方程为，求三条曲线 C，l 1，l 2 所围成图形的面积【分析】 （1）由条件得圆 C 的直角坐标方程为：（ x ） 2+（y1） 21，得x2+y22 2y0，将 xcos ，y sin 代入，得 22 cos2sin0，即2 cos+2sin，则 4sin（ + ） ，所以圆 C 的极坐标方程为 4sin（+ ） ；（2）利用极径的几何意义得三角形的边长，再用面积公式可得【解答】解（1）由条件得圆 C 的直角坐标方程为：（x ） 2+（y1） 24，得 x2+y22 2y 0，将 xcos ，y sin 代入，得2 2 cos2sin
45、 0，第 25 页（共 26 页）即 2 cos+2sin，则 4sin（ + ） ，所以圆 C 的极坐标方程为 4sin （+ ） （2）由条件知曲线 l1 和 l2 是过原点 O 的两条射线设 l1 和 l2 分别与圆 C 交于异于点O 的点 A 和点 B，将 代入圆 C 的极坐标方程，得 A（4， ） ，所以 OA4；将 代入圆 C 的极坐标方程，得 B（2 ， ） ，所以 OB2 ，由（1）得圆 C 的圆心为 C（ ，1） ，其极坐标为 C（2， ） ，故射线 l2 经过圆心C，所以COA ，ACB2COA ，所以 SCOA OCOAsinCOA OAOCsin ，扇形 CAB 的面积为 22 ，故三条曲线 C，l 1，l 2 所围成图形的面积为 + 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4 一 5，不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +a|+|2x5|（a0） （1）当 a2 时，解不等式 f（x ）5；（2）当 xa， 2a2时，不等式 f（x ）|x+4|恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）a2 时，利用分段讨论思想求出不等式 f（x）5 的解