1、2019 年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 Ax| x1，Bx|x 24，则 AB 等于（ ）A x| 2x1 Bx|1x2 C x|1x2 D x|x22 （5 分）已知复数 z （i 是虚数单位） ，则复数 z 的虚部为（ ）A B C D3 （5 分）图象关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是（ ）Af（x）cosx1 Bf（x ）x 2+2Cf（x） Df（x ）x 34 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则
2、函数 z2x+y 的最大值为（ ）A12 B C3 D155 （5 分）我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 其中“幂”即是截面积， “势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同” ，则该不规则几何体的体积为（ ）第 2 页（共 22 页）A4 B8 C8 D826 （5 分）已知实数 a2 ln2， b2+2ln 2，c（ln2） 2，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Acab Bcba Cbac Dac b7 （5
3、分）如图所示算法框图，当输入的 x 为 1 时，输出的结果为（ ）A3 B4 C5 D68 （5 分）已知 F1，F 2 是双曲线 x2y 21 的焦点，以 F1F2 为直径的圆与一条渐近线交于P，Q 两点，则F 1PQ 的面积为（ ）A B1 C D29 （5 分）若关于 x 的方程（sin x+cosx） 2+cos2xm 在区间0 ， ）上有两个根 x1，x 2，且|x1x 2| ，则实数 m 的取值范围是（ ）A0，2） B0，2 C1 ， D1 ， ）10 （5 分）设 F1，F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，直线 l 过 F1交椭圆 C 于 A
4、，B 两点，交 y 轴于 C 点，若满足 且CF 1F230，则椭圆的离心率为（ ）A B C D第 3 页（共 22 页）11 （5 分）已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点，ABC60，AC2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥 p 一 ABC 的体积为 V1，三棱锥 O 一 ABC 的体积为 V2，若 的最大值为 3，则球 O 的表面积为（ ）A B C D612 （5 分）f（x ）的定义域是（0，+） ，其导函数为 f （x） ，若 f（x） 1lnx，且 f（e ）e 2（其中 e 是自然对数的底数） ，则（ ）Af（2）2f（1）
5、B4f（3） 3f（4）C当 x0 时， f（x ）0 D当 x0 时，f （x）ex 0二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）在（ ） 8 的展开式中，常数项为 14 （5 分）已知 sin（ ） ，则 cos（2 ）的值为 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 yx+m 与曲线yasinx +bcosx（a，b，m R）相切于点（0，1） ，则 的值为 16 （5 分）如图，在圆内接四边形 ABCD 中，已知对角线 BD 为圆的直径，ABAC2，AD1则 的值为 &n
6、bsp; 三、解答题：第 1721 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）记公差不为零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a12，a 4 是 a2 与 a8 的等比中项（）求数列a n的通项公式；（）求数列 的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60，PD4， M 为 PD 的中点，E 为 AM 的中点，点 F 在线段 PB 上，且 PF3FB第 4 页（共 22 页）（）求证 EF平面 ABCD；（）若平面 PDC底面 ABCD
7、，且 PDDC，求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值19 （12 分）某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近 6 个月广告投入量 x（单位：万元）和收益 y（单位：万元）的数据如表：月份 1 2 3 4 5 6广告投入量 2 4 6 8 10 12收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67他们分别用两种模型ybx+a，yae bx 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值；xiyi x7 30 1464.24 364（）根据残差图，比较模型， 的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（）
8、残差绝对值大于 2 的数据被认为是异常数据，需要剔除：（i）剔除异常数据后求出（ ）中所选模型的回归方程：（）若广告投入量 x18 时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x n，y n） ，其回归直线 x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 第 5 页（共 22 页）20 （12 分）已知拋物线 C： x22py 经过点 P（2，1） ，其焦点为 F，M 为抛物线上除了原点外的任一点，过 M 的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点（）求抛物线 C 的方程以及焦点坐标；（）若AMF 与ABF 的面积相等，证明直线 l
9、与抛物线 C 相切21 （12 分）已知函数 f（x ）e x+ （其中 e 是自然对数的底数） （）当 t0 时，求 f（x）的最值；（）若 t0 时，f（x）在（ ）上的最小值为 1，求实数 t 的取值范围选考题：共 10 分，请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ， （t 为参数） ，在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 的极坐标方程为4sin （）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（）若
10、C1 与 C2 相交于 A，B 两点，求OAB 的面积23已知函数 f（x ）2|x +1| xa|，a R（）当 a1 时，求不等式 f（x ）0 的解集；（）若关于 x 的不等式 f（x）x 有实数解，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 22 页）2019 年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 Ax| x1，Bx|x 24，则 AB 等于（ ）A x| 2x1 Bx|1x2 C x|1x2 D x|x2【分析】求出 B 中
11、不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 B 中不等式解得：2x2，即 Bx|2x2 ，Ax|x1，ABx| 2x 1，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分）已知复数 z （i 是虚数单位） ，则复数 z 的虚部为（ ）A B C D【分析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a+bi 的形式，即可得到复数的虚部，【解答】解：复数 z 复数的虚部为： 故选：A【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，是基本知识的考查3 （5 分）图象关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是（ ）
12、Af（x）cosx1 Bf（x ）x 2+2Cf（x） Df（x ）x 3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，函数的图象关于原点对称，则该函数为奇函数，据此分析选项：对于 A，f（x）cosx 1，为偶函数，不符合题意；第 7 页（共 22 页）对于 B，f（x）x 2+2，为偶函数，不符合题意；对于 C，f（x ） ，是奇函数，但在其定义域中不是单调函数，不符合题意；对于，f（x） x3，是奇函数即其图象关于原点对称且在定义域内单调递增，符合题意；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于
13、基础题4 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则函数 z2x+y 的最大值为（ ）A12 B C3 D15【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z2x+y 得 y2x +z，平移直线 y2x +z，由图象可知当直线 y2x +z 经过点 A 时，直线 y2x +z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 ，即 A（5，2） ，代入目标函数 z2x+y 得 z25+212即目标函数 z2x+y 的最大值为 12故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数
14、第 8 页（共 22 页）学思想是解决此类问题的基本方法5 （5 分）我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 其中“幂”即是截面积， “势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同” ，则该不规则几何体的体积为（ ）A4 B8 C8 D82【分析】根据三视图，可得该几何体是正方体挖去一个半圆柱，利用三视图的数据求解即可【解答】解：由题意可得，几何体是正方体挖去一个半圆柱，如图：故它的体积为（4 ）28，故选：B【点评】本题主要考查祖暅原理，利用三视
15、图求几何体的体积，属于基础题第 9 页（共 22 页）6 （5 分）已知实数 a2 ln2， b2+2ln 2，c（ln2） 2，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Acab Bcba Cbac Dac b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：易知 12 ln2 2，2+2ln 22，0（ln2） 21，cab故选：A【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7 （5 分）如图所示算法框图，当输入的 x 为 1 时，输出的结果为（ ）A3 B4 C5 D6【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可【解答】解：当 x
16、1 时，x 1 不成立，则 yx+11+12，i0+11，y20 不成立，x2，x1 成立，y 2x4，i1+12，y20 成立，x4，x1 成立，y 2x8，i2+13，y20 成立，x8，x1 成立，y 2x16，i3+14，y20 成立x16，x1 成立，y 2x32，i4+15，y20 不成立，输出 i5，故选：C第 10 页（共 22 页）【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键8 （5 分）已知 F1，F 2 是双曲线 x2y 21 的焦点，以 F1F2 为直径的圆与一条渐近线交于P，Q 两点，则F 1PQ 的面积为（ ）A B1 C D
17、2【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出焦距，左焦点到渐近线的距离，然后求解三角形的面积【解答】解：F 1，F 2 是双曲线 x2y 21 的焦点，F 1（ ，0） ，以 F1F2 为直径的圆与一条渐近线交于 P，Q 两点，|PQ|2c2 ，左焦点到渐近线 xy 的距离为：d 1，所以则F 1PQ 的面积为： 故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力9 （5 分）若关于 x 的方程（sin x+cosx） 2+cos2xm 在区间0 ， ）上有两个根 x1，x 2，且|x1x 2| ，则实数 m 的取值范围是（ ）A0，2） B0，2 C1
18、， D1 ， ）【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果【解答】解：关于 x 的方程（sin x+cosx） 2+cos2xm 在区间0 ， ）上有两个根x1，x 2，方程即 sin2x+cos2xm1，即 sin（2x+ ） ，sin（2x+ ） 在区间 0，）上有两个根 x1，x 2，且|x 1x 2| x0， ） ， 2x+ ， ） ， ，求得 0m2，故选：B【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题10 （5 分）设 F1，F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，直线 l 过 F1第 11 页
19、（共 22 页）交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于 C 点，若满足 且CF 1F230，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【分析】利用已知条件求出 C 与 A 的坐标，把 A 点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心率【解答】解：设 F1，F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，F1， （c，0） 直线 l 过 F1 交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于 C 点，若满足 且CF 1F230，可得 C（0， ） ，则（c ， ） （cx，y） ，解得A（ ， ） 可得：即： ，e（0，1） 解得 e 故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查11 （5 分
20、）已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点，ABC60，AC2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥 p 一 ABC 的体积为 V1，三棱锥 O 一 ABC 的体积为 V2，若 的最大值为 3，则球 O 的表面积为（ ）A B C D6【分析】根据题意作出图形关键部分，利用同底三棱锥体积比等于高的比可得 R，r 之间的关系，由正弦定理可得 r，问题得解【解答】解：第 12 页（共 22 页）如图，设ABC 的外接球球心为 O，其半径为 r，球 O 的半径为 R，由题意可知， 3，可得 R ，2r ，r ， ， ，当球心 O 在三棱锥 PABC 外时，结果不变故选：B【点评】此
21、题考查了球内接几何体，同底三棱锥体积比等于高的比，正弦定理等，难度适中12 （5 分）f（x ）的定义域是（0，+） ，其导函数为 f （x） ，若 f（x） 1lnx，且 f（e ）e 2（其中 e 是自然对数的底数） ，则（ ）Af（2）2f（1） B4f（3） 3f（4）C当 x0 时， f（x ）0 D当 x0 时，f （x）ex 0【分析】构造函数 ，则 ，对其两边积第 13 页（共 22 页）分结合条件 f（e ）e 2 的解析式，采用换元法，借助二次函数的图象与性质进行分析、求解【解答】解：构造函数 ，则 ，对其两边积分得 ，又 f（e）e 2 得 ，所以 ，即 ，令
22、 tlnx ，则二次函数 的对称轴为t1，即 xe，且图象开口向下，g（2）g（1） ，即 ，故 f（2）2f（1） ，所以 A 项错误；g（3）g（4） ，所以 4f（3） 3f（4） ，故 B 项错误；根据开口向下的二次函数的图象可知，当 x0 时，f （x）0 不正确，故 C 项错误；当 x0 时，要使 f（x）ex0 成立，只需 成立，显然二次函数 在对称轴 t1 处取得最大值 e，很明显 成立，故 D 项正确；故选：D【点评】本题综合考查了导数运算法则、积分、二次函数的性质，是一道综合性很强的题目二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）在（ ） 8 的展开式中，
23、常数项为 7 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数为 0 求出 r 的值，将其值代入通项求出展开式的常数项【解答】解：二项展开式的通项为令解得 r6展开式的常数项为故答案为：7第 14 页（共 22 页）【点评】解决二项展开式的特定项问题，利用的工具是二项展开式的通项公式14 （5 分）已知 sin（ ） ，则 cos（2 ）的值为 【分析】利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可【解答】解：cos（2 ）cos （ 2 ）1+2sin 2（ ）1+2 故答案为： 【点评】本题考查二倍角的三角函数，诱导公式的应用，考查计算能力15 （5 分）在平面直
24、角坐标系 xOy 中，若直线 yx+m 与曲线yasinx +bcosx（a，b，m R）相切于点（0，1） ，则 的值为 2 【分析】根据题意，分析可得点（0，1）为直线 yx+m 与 yasin x+bcosx 的交点，则有 ，解可得 m、b 的值，求出 yasinx+bcosx ，利用导数的几何意义分析可得 y| x0 acos0 bsin01，解可得 a 的值，将 a、b、m 的值代入 中计算可得答案【解答】解：根据题意，若直线 yx+m 与曲线 yasinx+bcos x（a，b，mR）相切于点（0，1） ，则点（0，1）为直线 yx +m 与 yasinx +bcosx 的交点，则
25、有 ，解可得 m1，b1，又由 yasin x+bcosx，则 yacos xbsinx，又由 y| x0 acos0 bsin0 1，解可得 a1，则 2；故答案为：2【点评】本题考查利用导数分析曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题16 （5 分）如图，在圆内接四边形 ABCD 中，已知对角线 BD 为圆的直径，ABAC2，AD1则 的值为 第 15 页（共 22 页）【分析】先在 RtABD 中求出 cosADB，cosABD，然后在 ABC 中根据余弦定理求出 BC，再在 RtBCD 中求出cosCBD，进而利用数量积计算 的值【解答】解：在
26、RtABD 中， ，所以 BD3，在ABC 中，由余弦定理可知，AB 2AC 2+BC22ACBCcosACB，即 ，解之得 在 Rt BCD 中， ，所以 故答案为： 【点评】本题主要考查圆的性质、余弦定理、平面向量的数量积运算，综合性较强，难度较大三、解答题：第 1721 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）记公差不为零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a12，a 4 是 a2 与 a8 的等比中项（）求数列a n的通项公式；（）求数列 的前 n 项和 Tn【分析】 （）由等差数列的性质列式求得公差，则通项公式可求；（）由
27、（）写出等差数列的前 n 项和，取倒数，再由裂项相消法求解【解答】解：（）由已知， ，即（2+3d） 2（2+d） （2+7d） ，解得：d2（d0） ，a n2+2（n1）2n；第 16 页（共 22 页）（）由（）得， ， ， 【点评】本题考查等差数列的通项公式及前 n 项和，训练了裂项相消法求数列的前 n 项和，是中档题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60，PD4， M 为 PD 的中点，E 为 AM 的中点，点 F 在线段 PB 上，且 PF3FB（）求证 EF平面 ABCD；（）若平面 PDC底面 ABCD，且 PDDC，
28、求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值【分析】 （）取 MD 的中点 N，连结 EN，FN ，推导出 ENAD ，FN BD ，从而平面ENF平面 ABCD，由此能证明 EF平面 ABCD（）设 AB 的中点为 G，以 D 为坐标原点，DG 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（）取 MD 的中点 N，连结 EN，FN ，E 为 AM 的中点， ENAD ，又M 为 PD 的中点，N 为 MD 的中点，PN 3ND，PF3FB，FNBD，ENFNN，ADBDD，平面 E
29、NF平面 ABCD，EF 平面 ENF，EF平面 ABCD解：（）平面 PDC平面 ABCD，PDDC，PD 平面 ABCD，设 AB 的中点为 G，以 D 为坐标原点，DG 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间第 17 页（共 22 页）直角坐标系，则 B（ ） ，C（0， 2，0） ，P （0，0，4） ，则 （ ） ， （0，2，4） ，设平面 PBC 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 x2，得 （2，2 ， ） ，同理得平面 PAD 的法向量 （ ） ，设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为 ，则 cos ，平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余
30、弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近 6 个月广告投入量 x（单位：万元）和收益 y（单位：万元）的数据如表：月份 1 2 3 4 5 6广告投入量 2 4 6 8 10 12收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67他们分别用两种模型ybx+a，yae bx 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行第 18 页（共 22 页）残差分析，得到如图所示的残差图及一些
31、统计量的值；xiyi x7 30 1464.24 364（）根据残差图，比较模型， 的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（）残差绝对值大于 2 的数据被认为是异常数据，需要剔除：（i）剔除异常数据后求出（ ）中所选模型的回归方程：（）若广告投入量 x18 时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x n，y n） ，其回归直线 x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 【分析】 （）根据残差图分析，得出模型残差波动小，故选模型；（） （i）剔除异常数据，计算剩下数据的平均数，求出回归系数，写出回归方程；（）把 x18 代入回归方程，
32、即可求得该模型收益的预报值【解答】解：（）由于模型残差波动小，应该选择模型；（） （i）剔除异常数据，即组号为 3 的数据，剩下数据的平均数为 （766）7.2， （30631.8）29.64；206.4， 68.8第 19 页（共 22 页） ， 29.6437.28.04所选模型的回归方程为 ；（）若广告投入量 x18 时，该模型收益的预报值是 318+8.0462.04【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题20 （12 分）已知拋物线 C： x22py 经过点 P（2，1） ，其焦点为 F，M 为抛物线上除了原点外的任一点，过 M 的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交
33、于 A，B 两点（）求抛物线 C 的方程以及焦点坐标；（）若AMF 与ABF 的面积相等，证明直线 l 与抛物线 C 相切【分析】 （）把 P（2，1）代入抛物线可得 p2 和焦点坐标；（）设（x 0， ） ，由AFM 的面积等于AFB 的面积，可得|MA| AB|，由此求出 A，B 的坐标后得直线 l 的方程，再联立直线与抛物线解得交点只有一个 M，故相切【解答】解：（）抛物线 x22py 过点 P（2，1） ，42p，解得 p2，抛物线的方程为 x24y ，其焦点坐标为 （0，1） ，（）设（x 0， ） ，由AFM 的面积等于AFB 的面积，可得|MA| AB|，即 A 是 MB 的中点
34、， A（ ，0） ，B （0， ） ，直线 l 的方程为 y （x ） ，直线 l 的方程与抛物线 C 的方程联立得 ，得 x22x 0x+x020，得xx 0，y ，直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点，直线 l 与抛物线相切，且切点为 M【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题第 20 页（共 22 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）e x+ （其中 e 是自然对数的底数） （）当 t0 时，求 f（x）的最值；（）若 t0 时，f（x）在（ ）上的最小值为 1，求实数 t 的取值范围【分析】 （）先利用导数判断单调性，从而确定最值的存在情况，求出最值；（）对 t 分类讨论，再根
35、据最小值为 1 的条件，确定实数 t 的取值范围【解答】解：（）当 t0 时，f （x）e xx，则 f（ x）e x1令 f（x）0 解得 x0，函数 f（x ）在（0，+）是增函数；令 f（x）0 ，解得 x0，函数 f（x ）在（，0）是减函数；所以 f（x）有最小值，无最大值，且 f（x） maxf（0）1（）当 t0 时，由 ，所以 tx10，不符合题意；当 t0 时， 令 g（x）（tx 1） 2e x ，易知 y（tx1） 2，y e x 在 上均为增函数，所以 g（x）（tx 1） 2e x 在 上也为增函数，且 g（0）0，当 时 f（x ）0，当 x0 时，f（x ）0，故
36、 f（x） min f（0）1，符合题意；所以实数 t 的取值范围为（ ，0） 【点评】本题考查了函数的最值，同时考查了分类讨论思想，属于中档题目选考题：共 10 分，请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ， （t 为参数） ，在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 的极坐标方程为4sin （）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（）若 C1 与 C2 相交于 A，B 两点，求OAB 的面积第 21
37、页（共 22 页）【分析】 （）由曲线 C1 的参数方程能求出 C1 的普通方程，曲线 C2 的极坐标方程转化为 2 4sin，由此能求出 C2 的直角坐标方程（）原点 O 到直线 x+y30 的距离为 d ，C 2 的标准方程为 x2+（y2）24，表示圆心为 C2（0，2） ，半径 r2 的圆，C 2 到直线 x+y30 的距离 d2 ，求出|AB|2 ，由此能求出OAB 的面积【解答】解：（）曲线 C1 的参数方程为 ， （t 为参数） ，C 1 的普通方程为 x+y30，曲线 C2 的极坐标方程为 4sin ，即 24sin，C 2 的直角坐标方程为 x2+y24y0（）原点 O 到直
38、线 x+y30 的距离为 d ，C2 的标准方程为 x2+（y 2） 24，表示圆心为 C2（0，2） ，半径 r2 的圆，C2 到直线 x+y 30 的距离 d2 ，|AB| 2 ， 【点评】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题23已知函数 f（x ）2|x +1| xa|，a R（）当 a1 时，求不等式 f（x ）0 的解集；（）若关于 x 的不等式 f（x）x 有实数解，求实数 a 的取值范围【分析】 （）分 3 段去绝对值解不等式组，再相并；（）f（x） x2|x+2|x|
39、x a|有解，等价于函数 y2| x+2|x 的图象上存在点在函数 y|x a| 的图象下方，根据图象写出结果【解答】解：（）当 a1 时，f（x ）2|x+1| x1|，当 x1 时，由 f（x）0 得2（x+1）+（x1）0，即x30，得 x3，此时3x1，第 22 页（共 22 页）当1x1，由 f（x）0 得 2（x+1）+（x1）0，即 3x+10，得 x ，此时1x ，当 x1 时，由 f（x）0 得 2（x+1）（x1）0，即 x+30，得 x3，此时无解，综上3x ，（）f（x） x2|x+2|x|x a|有解，等价于函数 y2| x+2|x 的图象上存在点在函数 y|xa| 的图象下方，由函数 y2|x+2|x 与函数 y| xa|的图象可知：a0 或 a4【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题