1、第十六讲 棋盘中的数学1棋盘中的图形与面积；2棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。（3）重要结论： mn 棋盘能被 21 骨牌覆盖的条件是 m、n中至少有一个是偶数 2n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是 3n3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1） ） ，围棋盘（下图（2） ） ，还有国际
2、象棋棋盘（下图（3） ） 以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；例 1 一种骨牌是由形如 的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）34 （B）35 （C）44（D）45 （E）63答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B） 分析：这类问题，容易更加一般化，即用 21 的方格骨牌去覆盖一个
3、mn 的方格棋盘的问题定理 1： mn 棋盘能被 21 骨牌覆盖的充分且必要的条件是 m、n 中至少有一个是偶数例 2 下图中的 88 棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用 31 个 21 的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案： 我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图） ，62 个格中有黑格 32 个，白格 30个另外，如果用 21 骨牌 31 张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31 个骨牌将盖住 31 个黑格及 31 个白格这与 32 个黑格数，30 个白格数的事实相矛盾所以，无论如何用这 31 张 21 的骨牌盖不住这个残角棋盘分析 刚一想，31 个
4、 21 骨牌恰有 62 个小方格，棋盘去掉两个角后也是 62 个格，好像很有可能盖住但只要简单一试，便发现不可能仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，21 骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格只要发现这个基本事实立即可以找到解答例 3 在下图（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）四个图形中：答案：图形（1）和（2）中各有 11 个方格，11 不是 3 的倍数，因此不能用这两种图形拼成图形来拼 只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的因为一个图形可以用这是“必要条件排除法” 但要注意，一
5、个图形小方格数是 3 的倍数，但是呢也不表明的就是这种情况。n|3答案：当 3n 时，设 n3k，则 2n23kk（23）2n3x则 32n，但（2，3）1，3n分析 ：思考方法比如，若 3n 且 2m 时， mn 棋盘可分成若干个 2n 棋例 5、这是一个中国象棋盘， （下图中小方格都是相等的正方形， “界河”的宽等于小正方形边长） 黑方有一个“象” ，它只能在 1，2，3，4，5，6，7 位置中的一个，红方有两个“相” ，它们只能在 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14 中的两个位置问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相” ）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面
6、积最大？答案：黑“象”在 2 或 3 的位置，两个红“相”分别在 10，12 的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示分析：我们设每个小方格的边长为 1 单位则小方格正方形面积为 1 平方单位由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：所以顶点在（2，
7、10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大例 6、如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则， “相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置马走“日”字， “车”走直线， “炮”隔子控制等） 答案：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示分析：主要考查棋盘中的覆盖问题：完全覆盖问题。只要把每个棋的走法掌握该类型题应该没有太大问题。A 档1、在 44 的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，
8、不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）答案与提示：3 个。提示：右图是一种放法。2、能否用 9 个形如的卡片覆盖 66 的棋盘？答案与提示：不能。右图中黑、白格各 18 个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住 18 个黑格。3、有若干个边长为 1、边长为 2、边长为 3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为 4 的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）答案与提示： 6 种。用小正方形拼成边长为 4 的大正方形有 6 种情形：（1）1 个 33，7 个 11；（2）1 个 22，12 个
9、 11；（3）2 个 22，8 个 11；（4）3 个 22，4 个 11；（5）4 个 22；（6）16 个 11。B 档4、 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案与提示：因为图形由 3 个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是 3 的倍数，从而正方形的边长应是 3 的倍数。经试验，不可能拼成边长为 3 的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是6（见右图） ，需要用题目所示的图形363= 12（个） 。5、下图的七种图形都是由 4 个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个 47 的长方形（可以重复使用某些图形） ，那么，最多可以用上几种不同的图形
10、？答案与提示：先从简单的情形开始考虑。显然，只用 1 种图形是可以的，例如用 7 个（7） ；用 2 种图形也没问题，例如用 1 个（7） ，6 个（1） 。经试验，用 6 种图形也可以拼成 47 的长方形（见下图） 。能否将 7 种图形都用上呢？7 个图形共有 47=28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用 1 个，那么有可能拼成 47 的长方形。但事实上却拼不成。为了说明，我们将 47 的长方形黑、白相间染色（见右图） ，图中黑、白格各有 14 个。在 7 种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各 2 个，共覆盖黑、白格各 12 个，还剩下黑、白格各 2 个。第（2）种
11、图形只能覆盖 3 个黑格 1 个白格或 3 个白格 1 个黑格，因此不可能覆盖住另 6 种图形覆盖后剩下的 2 个黑格 2 个白格。综上所述，要拼成 47 的长方形，最多能用上 6 种图形。6、用 11，22，33 的小正方形拼成一个 1111 的大正方形，最少要用 11 的正方形多少个？答案与提示：用 3 个 22 正方形和 2 个 33 正方形可以拼成 1 个 56 的长方形（见左下图） 。用 4 个 56 的长方形和 1 个 11 的正方形可以拼成 1 个 1111 的大正形（见右下图） 。上面说明用 1 个 11 的正方形和若干 22，33 的正方形可以拼成 1111 的大正方形。那么
12、，不用 11 的正方形，只用 22，33 的正方形可以拼成 1111 的正方形吗？将 1111 的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图） 。将 22 或 33 的正方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个 22 或 33 的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个。但是，右图中的白格有 117=77（个） ，是奇数，矛盾。由此得到，不用 11 的正方形不可能拼成 1111 的正方形。综上所述，要拼成 1111 的正方形，至少要用 1 个 11 的小正方形。7、 用七个 12 的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？答案与提示：盲目无章的试验，很难搞清楚。我们采用分类讨
13、论的方法。如下图所示，盖住 A 所在的小格只有两种情况，其中左下图中两个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 4 种覆盖方法：右下图中三个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 3 种覆盖方法。所以，共有 7 种不同覆盖方法。 8、 有许多边长为 1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）答案与提示：有一个边长 3 厘米纸片有如下 3 种拼法：有两个边长 2 厘米纸片的有如下 4 种拼法：有一个边长 2 厘米及 11 个边长 1 厘米纸片的有 2 种拼法，边长全是 1
14、厘米纸片的有1 种拼法。共有不同的拼法 342+1=10（种） 。答：共有 10 种不同的拼法。C 档9、小明有 8 张连在一起的电影票（如右图） ，他自己要留下 4 张连在一起的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？答案与提示：25 种。形如图（A） （B） （C） （D）的依次有 3，10，6，6 种。10、有若干个边长为 1、边长为 2、边长为 3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为 4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）答案与提示：6 种。用小正方形拼成边长为 4 的大正方形有 6 种情形：（1）1 个 33，7 个
15、11；（2）1 个 22，12 个 11；（3）2 个 22，8 个 11；（4）3 个 22，4 个 11；（5）4 个 22；（6）16 个 11。11、能不能用 9 个 14 的长方形卡片拼成一个 66 的正方形？答案与提示：不能。用 1，2，3，4 对 66 棋盘中的小方格编号（见右图） 。一个 14 的矩形一次只能覆盖 1，2，3，4 号各一个，而1，2，3，4 号数目不等，分别有 9，10，9，8 个。12、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由 4 个面积为 1 的小方格组成现用 7 个这样的图形拼成一个 74 的长方形（可以重复使用某些图形）那么，最
16、多可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成 47 的方格，最多能用上七种“方块”中的 6 种图形13、由 11、 22、33 的小正方形拼成一个 2323 的大正方形，在所有可能的拼法中，利用 11 的正方形最少个数是多少？试证明你的结论答案：至少要用一个 11 的小正方形。14、如下左图是一个国际象棋棋盘，A 处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入请问，蚂蚁能否从 A 出发，经过每个格子最后返回到 A 处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由解：这种爬行路线是存在的具体的设计一条，如右图所示15、下图是一个围棋盘，另有一堆围
17、棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余 12 枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9 枚棋子才能摆满问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余 12 枚，加上第二次排方阵所不足的 9 枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如下图所示） ，共 21 枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边 10 枚棋子，新正方阵每边 11 枚棋子这堆棋子总数是10 212112 枚答：这堆棋子原有 112 枚1、如下左图是一个国际象棋棋盘，A 处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走
18、，已经走过的格子不能第二次进入请问，蚂蚁能否从 A 出发，经过每个格子最后返回到 A 处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由答案：这种爬行路线是存在的具体的设计一条，如右图所示。2、在 88 的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字 1，2，3，4试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有 1、2、3、4 四个数字答案：将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90，180和 270，得到另外三段划分线，如下图（1）所示仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3） ，这个分块中要含
19、1，2，3，4 各一个，且恰为 16 块小方格将上面的阴影部分绕中心旋转 180，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示3、 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案：84、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由 4 个面积为1 的小方格组成现用 7 个这样的图形拼成一个 84 的长方形（可以重复使用某些图形）那么，最少可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成 84 的方格，最多能用上七种“方块”中的 1 种图形5、能不能用 9 个 14 的长方形卡片拼成一个 123 的正方形？答案与提示：能。1、
20、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案：122、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由 4 个面积为1 的小方格组成现用 7 个这样的图形拼成一个 84 的长方形（可以重复使用某些图形）那么，最少可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成 84 的方格，最多能用上七种“方块”中的 1 种图形3、能不能用 9 个 23 的长方形卡片拼成一个 78 的正方形？答案与提示：不能。4、在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）答案： 3 个。提示：左下图是一种放法。5、答案：图（2） 。6、答案：不能。7、答案：5 种。8、 国际象棋的棋盘有 64 个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后” ，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？答案：本题是构造性的题目用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：