1、 第十三讲 质数和合数1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0 四类.（1）质数（或素数）：只有 1 和它本身两个因数。（2）合数：除了 1 和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。（3）1： 只有 1 个因数。“1”既不是质数，也不是合数。注： 最小的质数是 2，最小的合数是 4，连续的两个质数是 2、3。 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 20 以内的质数：有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19） 100 以内的质数有 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、
2、67、71、73、79、83、89、972、100 以内找质数、合数的技巧：看是否是 2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。关系： 奇数奇数=奇数 质数质数=合数3、常见最大、最小A 的最小因数是：1； 最小的奇数是：1；A 的最大因数是：本身； 最小的偶数是：0；A 的最小倍数是：本身； 最小的质数是：2；最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图例：分析：先把 36 写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。把 36
3、分解质因数是：36=22335、用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对 18,30 分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。具体步骤是：6、互质数：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。两个质数的互质数：5 和 7两个合数的互质数：8 和 9一质一合的互质数：7 和 87、两数互质的特殊情况：1 和任何自然数互质；相邻两个自然数互质； 两个质数一定互质；2 和所有奇数互质； 质数与比它小的合数互质；教学重点：质数和合数的概念。教学难点：正确判断一个常见数是质数还是合数。1.两个自然数的和与差的积是 41，那么
4、这两个自然数的积是_.答案：420解析：首先注意到 41 是质数,两个自然数的和与差的积是 41,可见它们的差是 1,这是两个连续的自然数,大数是 21,小数是 20,所以这两个自然数的积是 2021=420.2. 在下式样中分别填入三个质数,使等式成立.+=50答案：2、5、43解析：接近 50 的质数有 43,再将 7 分拆成质数 2 与质数 5 的和.即2+5+43=50另外,还有2+19+29=502+11+37=50注填法不是唯一的.如也可以写成41+2+7=503.三个连续自然数的积是 1716,这三个自然数是_、_、_.答案：11,12,13解析：将 1716 分解质因数得171
5、6=22 3 11 13=11 (2 2 3) 13由此可以看出这三个数是 11,12,13.4. 找出 1992 所有的不同质因数,它们的和是_.答案：88解析：先把 1992 分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和.1992=2 2 2 3 83所以 1992 所有不同的质因数有:2,3,83.它们的和是 2+3+83=88.5. 把 7、14、20、21、28、30 分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.解析：先把 14,20,21,28,30 分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等.14=7 2 20=2 2 521=3 7 28=2 2
6、 730=2 3 5 7从上面五个数分解质因数来看,连 7 在内共有质因数四个 7,六个 2,二个 3,二个 5,因此每组数中一定要含三个 2,一个 3,一个 5,二个 7.六个数可分成如下两组(分法是唯一的):第一组: 7、28、和 30第二组：14、21 和 20且 7 28 30=14 21 20=5880 满足要求.注解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”.实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同.先把 14,20,21,28,30 分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等.14=72 20=2 25
7、21=3 7 28=2 2 730=2 3 5 7从上面五个数分解质因数来看,连 7 在内共有质因数四个 7,六个 2,二个 3,二个 5,因此每组数中一定要含三个 2,一个 3,一个 5,二个 7.六个数可分成如下两组(分法是唯一的):第一组: 7、28、和 30第二组：14、21 和 20且 728 30=14 2120=5880 满足要求.注解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”.实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同.6. 学生 1430 人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在 100 至 200 之间,问哪几种分法?解析：
8、把 1430 分解质因数得1430=2 5 11 13根据题目的要求,应在 2、5、11 及 13 中选用若干个数，使它们的乘积在 100 到 200之间，于是得三种答案：（1）2 5 11=110；（2）2 5 13=130；（3）11 13=143.所以,有三种分法:一种是分为 13 队,每队 110 人；二是分为 11 队，每队 130 人；三是分为 10 队，每队 143 人.A1. 在 1100 里最小的质数与最大的质数的和是_.答案： 99解析：100,98 是偶数,99 是 3 倍数,从而知 97 是 1100 中最大的质数,又最小的质数是 2,所以最小的质数与最大的质数的和是
9、99.2. 小明写了四个小于 10 的自然数,它们的积是 360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是_、_、_和_.答案：3,3,5,8解析：根据这四个数中只有一个是合数,可知其他三个数是质数,将 360 分解质因数得:360=22 2 5 3 3所以,这四个数是 3,3,5 和 8.3. 把 232323 的全部质因数的和表示为 AB,那么 AB AB=_.答案：1992解析：依题意,将 232323 分解质因数得232323=2310101=23 3 7 13 37从而,全部不同质因数之和AB=23+3+7+13+37=83所以, A B =8 3 83=1992.4. 有三个学生,
10、他们的年龄一个比一个大 3 岁,他们三个人年龄数的乘积是 1620,这三个学生年龄的和是_.答案：36 岁解析：根据三个学生的年龄乘积是 1620 的条件，先把 1620 分解质因数，然后再根据他们的年龄一个比一个大 3 岁的条件进行组合.1620=2 2 3 3 3 3 5=9 12 15所以,他们年龄的和是 9+12+15=36(岁)5. 两个数的和是 107,它们的乘积是 1992,这两个数分别是_和_.答案：83,24解析：先把 1992 分解质因数,再根据两个数的和是 107 进行组合1992=2 2 2 3 83=24 8324+83=107所以,这两个数分别是 83 和 24.B
11、6.如果两个数之和是 64,两数的积可以整除 4875,那么这两数之差是_.答案：14解析：根据两数之积能整除 4875,把 4875 分解质因数,再根据两数之和为 64 进行组合.4875=3 55 5 13=(3 13) (5 5) 5=(39 25) 5由此推得这两数为 39 和 25.它们的差是 39-25=14.7. 某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为 256.这个数是_.答案：15解析：解法一因为相同两数相加之和为原数的 2 倍,相减之差为零,相乘之积为原数乘以原数,相除之商为 1.所以原数的 2 倍加上原数乘以原数应是 256-1=255.把 2
12、55 分解质因数得:255=35 17=3 5 (15+2)=15 2+15 15所以,这个数是 15.解法二依题意,原数的 2 倍+0+原数 原数+1=256,即原数的 2 倍+原数 原数=256-1原数的 2 倍+原数 原数=255把 255 分解质因数得255=3 5 17=15 (15+2)=15 2+15 15所以,这个数是 15.8. 有 10 个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133 和 153.把它们编成两组,每组5 个数,要求这组 5 个数的乘积等于那组 5 个数的乘积.第一组数_；第二组数是_.答案：21、22、65、76、153；34、39、44、45
13、、133.解析：先把 10 个数分别分解质因数,然后根据两组中所包含质因数必须相等把这 10个数分成两组:21=3 7 22=2 1134=2 17 39=3 1344=2 2 11 45=3 3 565=5 13 76=2 2 19133=7 19 153=3 3 17由此可见,这 10 个数中质因数共有 6 个 2,6 个 3,2 个 5,2 个 7,2 个 11,2 个 13,2 个 17,2个 19.所以,每组数中应包含 3 个 2,3 个 3,5、7、11、13、17 和 19 各一个.于是,可以这样分组:第一组数是:21、22、65、76、153；第二组数是:34、39、44、45
14、、133.注若将分为两组拓广分为三组,则得到一个类似的问题(1990 年宁波市江北区小学五年级数学竞赛试题):把 20,26,33,35,39,42,44,55,91 等九个数分成三组,使每组的数的乘积相等.答案是如下分法即可:第一组：20，33，91；第二组：44，35，39；第三组：26，42，55.9. 有_个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.答案：12解析：设这样的两位数的十位数字为 A，个位数字为 B，由题意依据数的组成知识，可知 100A+B 能被 10A+B 整除.因为 100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质可知 90A 能
15、被 10A+B 整除.这样只要把 90A分解组合,就可以推出符合条件的两位数.90A=2 32 5 A所以,符合条件的两位数共 12 个.10. 主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于 72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说：“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。”主人家的楼号是_ ,孩子的年龄是_.答案：14；3 岁，3 岁，8 岁解析：因为三个孩子年龄的积是 72，所以，我们把 72 分解为三个因数（不一定是质因数）的积，因为小孩的年龄一般是指不超过 15 岁，
16、所以所有不同的乘积式是72=1 6 12=1 8 9=2 3 12=2 4 9=2 6 6=3 3 8=3 4 6三个因数的和分别为：19、18、17、15、14、14、13.其中只有两个和是相等的,都等于 14.14 就是主人家的楼号.如果楼号不是 14,客人马上可以作出判断.反之客人无法作出判断,说明楼号正是 14.亦即三个孩子年龄的和为 14.此时三个孩子的年龄有两种可能:2 岁、6 岁、6 岁；或 3 岁、3 岁、8 岁.当他看到有两个孩子很小时,就可以断定这三个孩子的年龄分别是 3 岁、3 岁、8 岁.主人家的楼号是 14 号.C11甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。甲说
17、：“两个质数之和一定是质数”.乙说：“两个质数之和一定不是质数”.丙说：“两个质数之和不一定是质数”.他们当中,谁说得对?解析：因为两个质数之和可能是质数如 2+3=5,也可能是合数如 3+5=8,因此甲和乙的说法是错误的,只有丙说得对.12. 下面有 3 张卡片 3 2 1 ，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，得到不同的一位数、两位数、三位数. 把所得数中的质数写出来.解析：从三张卡片中任抽一张,有三种可能,即一位数有三个,分别为 1、2、3，其中只有 2、3 是质数.从三张卡片中任抽二张,组成的两位数共六个.但个位数字是 2 的两位数和个位与十位上数字之和是 3 的倍数的两位数,
18、都不是质数.所以,两位数的质数只有 13,23,31.因为 1+2+3=6,6 能被 3 整除,所以由 1、2、3 按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数.故满足要求的质数有 2、3、13、23、31 这五个.注这里采用边列举、边排除的策略求解.在抽二张卡片时,也可将得到六个两位数全部列举出来:12,13,21,23,31,32.再将三个合数 12,21,32 排除即可.A 1 2 3 4 5 6 7 8 990A10 915 618 520 9 30 9 40 945 8 50 9 60 9 70 980 9 90 9B10,1518 20 30 40,45 50 60 70 80 901
19、3. 在 100 以内与 77 互质的所有奇数之和是多少?解析：100 以内所有奇数之和是1+3+5+99=2500，从中减去 100 以内奇数中 7 的倍数与 11 的倍数之和7 (1+3+13)+11 (1+3+9)=618，最后再加上一个 7 11=77（因为上面减去了两次 77），所以最终答数为2500-618+77=1959.注上面解题过程中 100 以内奇数里减去两个不同质数 7 与 11 的倍数,再加上一个公倍数 7 11,这里限定在 100 以内,如果不是 100 以内,而是 1000 以内或更大的数时,减去的倍数就更多些而返回加上的公倍数有 7 11 的 1 倍,3 倍,也更
20、多些，这实质上是“包含与排除”的思路.14. 在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过 10 的自然数.甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4 环.求甲、乙的总环数.解析：依题意知,每射一箭的环数,只能是下列 11 个数中的一个0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.而甲、乙 5 箭总环数的积 1764 0,这说明在甲、乙 5 箭得到的环数里没有 0 和 10.而 1764=1 2 2 3 3 7 7 是由 5 箭的环数乘出来的，于是推知每人有两箭中的环数都是 7，从而可知另外 3 箭的环数是 5 个数1
21、，2，2，3，3经过适当的分组之后相乘而得到的,可能的情形有 5 种：（1）1，4，9；（2）1，6，6；（3）2，2，9；（4）2，3，6；（5）3，3，4因此，两人 5 箭的环数有 5 种可能：7，7，1，4，9 和是 28；7，7，1，6，6 和是 27；7，7，2，2，9 和是 27；7，7，2，3，6 和是 25；7，7，3，3，4 和是 24。甲、乙的总环数相差 4,甲的总环数少.甲的总环数是 24,乙的总环数是 28.15. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为
22、质数,求最重的两瓶内有多少油?解析：由于每只瓶都称了三次,因此记录数之和是 4 瓶油(连瓶)重量之和的 3 倍,即 4瓶油(加瓶)共重(8+9+10+11+12+13)3=21(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,而质数中是偶数的质数只有2,故有(1)油重之和为 19 千克,瓶重之和为 2 千克,每只瓶重 21千克,最重的两瓶内的油为13- 212=12(千克).(2)油重之和为 2 千克,瓶重之和为 19 千克,每只瓶重 49千克,最重的两瓶内的油为13- 492= 7(千克),这与油重之和为 2 千克矛盾,不合要求,删去.1. 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_
23、；既不是合数又不是质数的有_；既是偶数又是质数的有_.答案： 9，1，2解析： 在一位自然数中,奇数有:1,3,5,7,9,其中仅有 9 为合数,故第一个空填 9.在一位自然数中,质数有 2、3、5、7，合数有 4、6、8、9，所以既不是合数又不是质数的为 1.又在一位自然数中,偶数有 2、4、6、8，所以既是偶数又是质数的数为 2.2. 最小的质数与最接近 100 的质数的乘积是_.答案： 202解析： 最小的质数是 2,最接近 100 的质数是 101,它们的乘积是 2101=202.3. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_.答案：210解析：最小的四个质数是 2
24、,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是23 5 7=210 4. 9216 可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_.答案：192解析：先把 9216 分解质因数,然后再用“试验法”解答9216=2 2 23 310 个=96 96欲使这两个自然数的和最小,可使两数相等,所以这两个质因数的和最小为 96+96=192.5. 从一块正方形的木板上锯下宽为 3 分米的一个木条以后,剩下的面积是 108 平方分米.木条的面积是_平方分米.答案：36解析：如下图所示,要求木条的面积,必须知道正方形木板的边长.把 108 分解质因数.108(cm2)平方分米3 分米108=22 3
25、 3 3=12 9由此可见,9 加 3 正好等于 12,所以正方形木板边长是 12 分米.所以,木条面积是12 3=36(平方分米)一、填空1最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（ ）。答案：2，4，1。220 以内的质数有（ ）。答案：2、3、5、7、11、13。二、判断348 的全部因数是 2、3、4、6、8、12、16、24 和 48，共有 9 个，所以是合数。( )答案：错误4任何一个自然数最少有两个因数。( )答案：错误5一个数如果能被 11 整除，则这个数一定合数。( )答案：错误6一个自然数越大，它的因数个数就越多。( )答案：错误三、解析题7. 今有 10 个质
26、数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有 101 的这组数从小到大排列,第二个数应是_.答案：31解析：这 10 个质数之和是 598,分成两组后,每组五个数之和是 5982=299.在有 79 这组数中,其他四个质数之和是 299-79=220,个位数是 0,因此这四个质数的个位数可能有三种情形:(1)三个 1 和一个 7；(2)二个 3 和二个 7；(3)三个 3 和一个 1.31+41+101=173,220-173=47,可这十个数中没有 47,情形(1)被否定.17+67=84,220-8
27、4=136,个位数为 3 有 23,53,83,只有 53+83=136,因此从情形(2)得到一种分组:17,53,67,79,83 和 23,31,41,101,103.所以,含有 101 这组数中,从小到大排列第二个数是 31.注从题目本身的要求来说,只要找出一种分组就可以了,但从情形(3)还可以得出另一种分组.23+53+83+103=262,262-220=42, 我们能否从 53,83,103 中找出一个数,用比它少42 的数来代替呢?53-42=11,83-42=41,103-42=61.这十个数中没有 11 和 61,只有 41.又得到另一种分组:23,41,53,79,103 和 17,31,67,83,101.由此可见,不论哪一种分组,含 101 这组数中,从小到大排列,第二个数都是 31.82，3，5，7，11，都是质数，也就是说每个数只以 1 和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是 36 个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?答案： 77解析： 由于长+宽是 36 2=18将 18 表示为两个质数和 18=5+13=7+11 所以长方形的面积是 5 13=65 或 7 11=77 故长方形的面积至多是 77 平方单位.课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：