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小五数学第十三讲:质数和合数(教师版)——刘文静.doc

1、 第十三讲 质数和合数1、自然数按因数的个数来分:质数、合数、1、0 四类.(1)质数(或素数):只有 1 和它本身两个因数。(2)合数:除了 1 和它本身还有别的因数(至少有三个因数:1、它本身、别的因数)。(3)1: 只有 1 个因数。“1”既不是质数,也不是合数。注: 最小的质数是 2,最小的合数是 4,连续的两个质数是 2、3。 每个合数都可以由几个质数相乘得到,质数相乘一定得合数。 20 以内的质数:有 8 个(2、3、5、7、11、13、17、19) 100 以内的质数有 25 个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、

2、67、71、73、79、83、89、972、100 以内找质数、合数的技巧:看是否是 2、3、5、7、11、13的倍数,是的就是合数,不是的就是质数。关系: 奇数奇数=奇数 质数质数=合数3、常见最大、最小A 的最小因数是:1; 最小的奇数是:1;A 的最大因数是:本身; 最小的偶数是:0;A 的最小倍数是:本身; 最小的质数是:2;最小的自然数是:0; 最小的合数是:4;4、分解质因数:把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图例:分析:先把 36 写成两个因数相乘的形式,如果两个因数都是质数就不再进行分解了;如果两个因数中海油合数,那我们继续分解,一直分解到全部因数都是质数为止。把 36

3、分解质因数是:36=22335、用短除法分解质因数 (一个合数写成几个质数相乘的形式)。例:分析:看上面两个例子,分别是用短除法对 18,30 分解质因数,左边的数字表示“商”,竖折下面的表示余数,要注意步骤。具体步骤是:6、互质数:公因数只有 1 的两个数,叫做互质数。两个质数的互质数:5 和 7两个合数的互质数:8 和 9一质一合的互质数:7 和 87、两数互质的特殊情况:1 和任何自然数互质;相邻两个自然数互质; 两个质数一定互质;2 和所有奇数互质; 质数与比它小的合数互质;教学重点:质数和合数的概念。教学难点:正确判断一个常见数是质数还是合数。1.两个自然数的和与差的积是 41,那么

4、这两个自然数的积是_.答案:420解析:首先注意到 41 是质数,两个自然数的和与差的积是 41,可见它们的差是 1,这是两个连续的自然数,大数是 21,小数是 20,所以这两个自然数的积是 2021=420.2. 在下式样中分别填入三个质数,使等式成立.+=50答案:2、5、43解析:接近 50 的质数有 43,再将 7 分拆成质数 2 与质数 5 的和.即2+5+43=50另外,还有2+19+29=502+11+37=50注填法不是唯一的.如也可以写成41+2+7=503.三个连续自然数的积是 1716,这三个自然数是_、_、_.答案:11,12,13解析:将 1716 分解质因数得171

5、6=22 3 11 13=11 (2 2 3) 13由此可以看出这三个数是 11,12,13.4. 找出 1992 所有的不同质因数,它们的和是_.答案:88解析:先把 1992 分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和.1992=2 2 2 3 83所以 1992 所有不同的质因数有:2,3,83.它们的和是 2+3+83=88.5. 把 7、14、20、21、28、30 分成两组,每三个数相乘,使两组数的乘积相等.解析:先把 14,20,21,28,30 分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等.14=7 2 20=2 2 521=3 7 28=2 2

6、 730=2 3 5 7从上面五个数分解质因数来看,连 7 在内共有质因数四个 7,六个 2,二个 3,二个 5,因此每组数中一定要含三个 2,一个 3,一个 5,二个 7.六个数可分成如下两组(分法是唯一的):第一组: 7、28、和 30第二组:14、21 和 20且 7 28 30=14 21 20=5880 满足要求.注解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语:“使两组数的乘积相等”.实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同.先把 14,20,21,28,30 分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等.14=72 20=2 25

7、21=3 7 28=2 2 730=2 3 5 7从上面五个数分解质因数来看,连 7 在内共有质因数四个 7,六个 2,二个 3,二个 5,因此每组数中一定要含三个 2,一个 3,一个 5,二个 7.六个数可分成如下两组(分法是唯一的):第一组: 7、28、和 30第二组:14、21 和 20且 728 30=14 2120=5880 满足要求.注解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语:“使两组数的乘积相等”.实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同.6. 学生 1430 人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在 100 至 200 之间,问哪几种分法?解析:

8、把 1430 分解质因数得1430=2 5 11 13根据题目的要求,应在 2、5、11 及 13 中选用若干个数,使它们的乘积在 100 到 200之间,于是得三种答案:(1)2 5 11=110;(2)2 5 13=130;(3)11 13=143.所以,有三种分法:一种是分为 13 队,每队 110 人;二是分为 11 队,每队 130 人;三是分为 10 队,每队 143 人.A1. 在 1100 里最小的质数与最大的质数的和是_.答案: 99解析:100,98 是偶数,99 是 3 倍数,从而知 97 是 1100 中最大的质数,又最小的质数是 2,所以最小的质数与最大的质数的和是

9、99.2. 小明写了四个小于 10 的自然数,它们的积是 360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是_、_、_和_.答案:3,3,5,8解析:根据这四个数中只有一个是合数,可知其他三个数是质数,将 360 分解质因数得:360=22 2 5 3 3所以,这四个数是 3,3,5 和 8.3. 把 232323 的全部质因数的和表示为 AB,那么 AB AB=_.答案:1992解析:依题意,将 232323 分解质因数得232323=2310101=23 3 7 13 37从而,全部不同质因数之和AB=23+3+7+13+37=83所以, A B =8 3 83=1992.4. 有三个学生,

10、他们的年龄一个比一个大 3 岁,他们三个人年龄数的乘积是 1620,这三个学生年龄的和是_.答案:36 岁解析:根据三个学生的年龄乘积是 1620 的条件,先把 1620 分解质因数,然后再根据他们的年龄一个比一个大 3 岁的条件进行组合.1620=2 2 3 3 3 3 5=9 12 15所以,他们年龄的和是 9+12+15=36(岁)5. 两个数的和是 107,它们的乘积是 1992,这两个数分别是_和_.答案:83,24解析:先把 1992 分解质因数,再根据两个数的和是 107 进行组合1992=2 2 2 3 83=24 8324+83=107所以,这两个数分别是 83 和 24.B

11、6.如果两个数之和是 64,两数的积可以整除 4875,那么这两数之差是_.答案:14解析:根据两数之积能整除 4875,把 4875 分解质因数,再根据两数之和为 64 进行组合.4875=3 55 5 13=(3 13) (5 5) 5=(39 25) 5由此推得这两数为 39 和 25.它们的差是 39-25=14.7. 某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除,得到的和、差、积、商之和为 256.这个数是_.答案:15解析:解法一因为相同两数相加之和为原数的 2 倍,相减之差为零,相乘之积为原数乘以原数,相除之商为 1.所以原数的 2 倍加上原数乘以原数应是 256-1=255.把 2

12、55 分解质因数得:255=35 17=3 5 (15+2)=15 2+15 15所以,这个数是 15.解法二依题意,原数的 2 倍+0+原数 原数+1=256,即原数的 2 倍+原数 原数=256-1原数的 2 倍+原数 原数=255把 255 分解质因数得255=3 5 17=15 (15+2)=15 2+15 15所以,这个数是 15.8. 有 10 个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133 和 153.把它们编成两组,每组5 个数,要求这组 5 个数的乘积等于那组 5 个数的乘积.第一组数_;第二组数是_.答案:21、22、65、76、153;34、39、44、45

13、、133.解析:先把 10 个数分别分解质因数,然后根据两组中所包含质因数必须相等把这 10个数分成两组:21=3 7 22=2 1134=2 17 39=3 1344=2 2 11 45=3 3 565=5 13 76=2 2 19133=7 19 153=3 3 17由此可见,这 10 个数中质因数共有 6 个 2,6 个 3,2 个 5,2 个 7,2 个 11,2 个 13,2 个 17,2个 19.所以,每组数中应包含 3 个 2,3 个 3,5、7、11、13、17 和 19 各一个.于是,可以这样分组:第一组数是:21、22、65、76、153;第二组数是:34、39、44、45

14、、133.注若将分为两组拓广分为三组,则得到一个类似的问题(1990 年宁波市江北区小学五年级数学竞赛试题):把 20,26,33,35,39,42,44,55,91 等九个数分成三组,使每组的数的乘积相等.答案是如下分法即可:第一组:20,33,91;第二组:44,35,39;第三组:26,42,55.9. 有_个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.答案:12解析:设这样的两位数的十位数字为 A,个位数字为 B,由题意依据数的组成知识,可知 100A+B 能被 10A+B 整除.因为 100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质可知 90A 能

15、被 10A+B 整除.这样只要把 90A分解组合,就可以推出符合条件的两位数.90A=2 32 5 A所以,符合条件的两位数共 12 个.10. 主人对客人说:“院子里有三个小孩,他们的年龄之积等于 72,年龄之和恰好是我家的楼号,楼号你是知道的,你能求出这些孩子的年龄吗?”客人想了一下说:“我还不能确定答案。”他站起来,走到窗前,看了看楼下的孩子说:“有两个很小的孩子,我知道他们的年龄了。”主人家的楼号是_ ,孩子的年龄是_.答案:14;3 岁,3 岁,8 岁解析:因为三个孩子年龄的积是 72,所以,我们把 72 分解为三个因数(不一定是质因数)的积,因为小孩的年龄一般是指不超过 15 岁,

16、所以所有不同的乘积式是72=1 6 12=1 8 9=2 3 12=2 4 9=2 6 6=3 3 8=3 4 6三个因数的和分别为:19、18、17、15、14、14、13.其中只有两个和是相等的,都等于 14.14 就是主人家的楼号.如果楼号不是 14,客人马上可以作出判断.反之客人无法作出判断,说明楼号正是 14.亦即三个孩子年龄的和为 14.此时三个孩子的年龄有两种可能:2 岁、6 岁、6 岁;或 3 岁、3 岁、8 岁.当他看到有两个孩子很小时,就可以断定这三个孩子的年龄分别是 3 岁、3 岁、8 岁.主人家的楼号是 14 号.C11甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。甲说

17、:“两个质数之和一定是质数”.乙说:“两个质数之和一定不是质数”.丙说:“两个质数之和不一定是质数”.他们当中,谁说得对?解析:因为两个质数之和可能是质数如 2+3=5,也可能是合数如 3+5=8,因此甲和乙的说法是错误的,只有丙说得对.12. 下面有 3 张卡片 3 2 1 ,从中抽出一张、二张、三张,按任意次序排起来,得到不同的一位数、两位数、三位数. 把所得数中的质数写出来.解析:从三张卡片中任抽一张,有三种可能,即一位数有三个,分别为 1、2、3,其中只有 2、3 是质数.从三张卡片中任抽二张,组成的两位数共六个.但个位数字是 2 的两位数和个位与十位上数字之和是 3 的倍数的两位数,

18、都不是质数.所以,两位数的质数只有 13,23,31.因为 1+2+3=6,6 能被 3 整除,所以由 1、2、3 按任意次序排起来所得的三位数,都不是质数.故满足要求的质数有 2、3、13、23、31 这五个.注这里采用边列举、边排除的策略求解.在抽二张卡片时,也可将得到六个两位数全部列举出来:12,13,21,23,31,32.再将三个合数 12,21,32 排除即可.A 1 2 3 4 5 6 7 8 990A10 915 618 520 9 30 9 40 945 8 50 9 60 9 70 980 9 90 9B10,1518 20 30 40,45 50 60 70 80 901

19、3. 在 100 以内与 77 互质的所有奇数之和是多少?解析:100 以内所有奇数之和是1+3+5+99=2500,从中减去 100 以内奇数中 7 的倍数与 11 的倍数之和7 (1+3+13)+11 (1+3+9)=618,最后再加上一个 7 11=77(因为上面减去了两次 77),所以最终答数为2500-618+77=1959.注上面解题过程中 100 以内奇数里减去两个不同质数 7 与 11 的倍数,再加上一个公倍数 7 11,这里限定在 100 以内,如果不是 100 以内,而是 1000 以内或更大的数时,减去的倍数就更多些而返回加上的公倍数有 7 11 的 1 倍,3 倍,也更

20、多些,这实质上是“包含与排除”的思路.14. 在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶),或者是不超过 10 的自然数.甲、乙两名运动员各射了 5 箭,每人 5 箭得到环数的积都是 1764,但是甲的总环数比乙少 4 环.求甲、乙的总环数.解析:依题意知,每射一箭的环数,只能是下列 11 个数中的一个0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.而甲、乙 5 箭总环数的积 1764 0,这说明在甲、乙 5 箭得到的环数里没有 0 和 10.而 1764=1 2 2 3 3 7 7 是由 5 箭的环数乘出来的,于是推知每人有两箭中的环数都是 7,从而可知另外 3 箭的环数是 5 个数1

21、,2,2,3,3经过适当的分组之后相乘而得到的,可能的情形有 5 种:(1)1,4,9;(2)1,6,6;(3)2,2,9;(4)2,3,6;(5)3,3,4因此,两人 5 箭的环数有 5 种可能:7,7,1,4,9 和是 28;7,7,1,6,6 和是 27;7,7,2,2,9 和是 27;7,7,2,3,6 和是 25;7,7,3,3,4 和是 24。甲、乙的总环数相差 4,甲的总环数少.甲的总环数是 24,乙的总环数是 28.15. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为

22、质数,求最重的两瓶内有多少油?解析:由于每只瓶都称了三次,因此记录数之和是 4 瓶油(连瓶)重量之和的 3 倍,即 4瓶油(加瓶)共重(8+9+10+11+12+13)3=21(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,而质数中是偶数的质数只有2,故有(1)油重之和为 19 千克,瓶重之和为 2 千克,每只瓶重 21千克,最重的两瓶内的油为13- 212=12(千克).(2)油重之和为 2 千克,瓶重之和为 19 千克,每只瓶重 49千克,最重的两瓶内的油为13- 492= 7(千克),这与油重之和为 2 千克矛盾,不合要求,删去.1. 在一位的自然数中,既是奇数又是合数的有_

23、;既不是合数又不是质数的有_;既是偶数又是质数的有_.答案: 9,1,2解析: 在一位自然数中,奇数有:1,3,5,7,9,其中仅有 9 为合数,故第一个空填 9.在一位自然数中,质数有 2、3、5、7,合数有 4、6、8、9,所以既不是合数又不是质数的为 1.又在一位自然数中,偶数有 2、4、6、8,所以既是偶数又是质数的数为 2.2. 最小的质数与最接近 100 的质数的乘积是_.答案: 202解析: 最小的质数是 2,最接近 100 的质数是 101,它们的乘积是 2101=202.3. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_.答案:210解析:最小的四个质数是 2

24、,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是23 5 7=210 4. 9216 可写成两个自然数的积,这两个自然数的和最小可以达到_.答案:192解析:先把 9216 分解质因数,然后再用“试验法”解答9216=2 2 23 310 个=96 96欲使这两个自然数的和最小,可使两数相等,所以这两个质因数的和最小为 96+96=192.5. 从一块正方形的木板上锯下宽为 3 分米的一个木条以后,剩下的面积是 108 平方分米.木条的面积是_平方分米.答案:36解析:如下图所示,要求木条的面积,必须知道正方形木板的边长.把 108 分解质因数.108(cm2)平方分米3 分米108=22 3

25、 3 3=12 9由此可见,9 加 3 正好等于 12,所以正方形木板边长是 12 分米.所以,木条面积是12 3=36(平方分米)一、填空1最小的质数是( ),最小的合数是( ),最小的奇数是( )。答案:2,4,1。220 以内的质数有( )。答案:2、3、5、7、11、13。二、判断348 的全部因数是 2、3、4、6、8、12、16、24 和 48,共有 9 个,所以是合数。( )答案:错误4任何一个自然数最少有两个因数。( )答案:错误5一个数如果能被 11 整除,则这个数一定合数。( )答案:错误6一个自然数越大,它的因数个数就越多。( )答案:错误三、解析题7. 今有 10 个质

26、数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有 101 的这组数从小到大排列,第二个数应是_.答案:31解析:这 10 个质数之和是 598,分成两组后,每组五个数之和是 5982=299.在有 79 这组数中,其他四个质数之和是 299-79=220,个位数是 0,因此这四个质数的个位数可能有三种情形:(1)三个 1 和一个 7;(2)二个 3 和二个 7;(3)三个 3 和一个 1.31+41+101=173,220-173=47,可这十个数中没有 47,情形(1)被否定.17+67=84,220-8

27、4=136,个位数为 3 有 23,53,83,只有 53+83=136,因此从情形(2)得到一种分组:17,53,67,79,83 和 23,31,41,101,103.所以,含有 101 这组数中,从小到大排列第二个数是 31.注从题目本身的要求来说,只要找出一种分组就可以了,但从情形(3)还可以得出另一种分组.23+53+83+103=262,262-220=42, 我们能否从 53,83,103 中找出一个数,用比它少42 的数来代替呢?53-42=11,83-42=41,103-42=61.这十个数中没有 11 和 61,只有 41.又得到另一种分组:23,41,53,79,103 和 17,31,67,83,101.由此可见,不论哪一种分组,含 101 这组数中,从小到大排列,第二个数都是 31.82,3,5,7,11,都是质数,也就是说每个数只以 1 和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是 36 个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?答案: 77解析: 由于长+宽是 36 2=18将 18 表示为两个质数和 18=5+13=7+11 所以长方形的面积是 5 13=65 或 7 11=77 故长方形的面积至多是 77 平方单位.课 程 顾 问 签 字 : 教 学 主 管 签 字 :