1、第十五讲 牛吃草问题牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供 10 头牛吃 3 天，供 6 头牛吃几天？”这题很简单，用 3106=5（天），如果把“一堆草 ”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。解题思路培养：解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。掌握四个基本：公式解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是 假设定一头牛一
2、天吃草量为“1” 1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数 吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）； 2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）； 4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。 1.牧场上有一片牧草，可供 27 头牛吃 6 周，或者供 23 头牛吃 9 周。如果牧草每周匀速生长，可供 21 头牛吃几周？答案：12 周解析：276=162239=207207-162=4545/(9-6)=15 每周生长数162-156=72(原有量)72/(21-15)=12 周2.有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到
3、了一定的水位就不再上升。现在用水桶吊水，如果每分吊 4 桶，则 15 分钟能吊干，如果每分钟吊 8 桶，则 7 分吊干。现在需要 5 分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？答案：11 桶解析：415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分钟涌量)60-150、5=52、5（原有水量）52、5+/(50.5)/5=11 桶3.有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派 17 人去割草，30 天才能把草割完，如果派 19 人去割草，则 24 天就能割完。如果需要 6 天割完，需要派多少人去割草？答案：49 人解析：1730=5101924=456510-456=5454/(30-24)=
4、9 每天生长量510-309=240 原有草量 240+69=294294/6=49 人4.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给 6 人喝，4 天可喝完；如果由 4 人喝，5 天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？答案：4 人解析：64=2445=2024-20=44/(5-4)=4 每天漏掉数24+44=40 原有数这桶酒每天漏掉的酒可供 4 人喝一天5.一水库存水量一定，河水均匀入库。5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干。若要 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？答案：12 台解析：520=100615=90100-90=1
5、010/（20-15）=2 每天入库数100-202=60 原有库存数 60+26=7272/6=12 台6.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走 20 梯级，小红每分钟走 14 梯级，结果小明 4 分钟到达楼上，小红用 5 分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？答案：120解析：204=80145=7080-70=1010/（5-4）=10 每分钟减少数80+410=120 原有数 70+510=120A1.牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15头牛吃 10 天。问：这片牧草可供 25 头牛吃多少天？ 答案：5 天解
6、析：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量：（200-150）（20-10）=5 份 1020=200 份原草量+20 天的生长量 原草量：200-205=100 或 150-105=100 份 1510=150 份原草量+10 天的生长量 100（25-5）=5 天2.牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供 9 头牛吃 20 天，可供15 头牛吃 10 天，如果要供 18 头牛吃，可吃几天？解析：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量：（180-150）（20-10）=3 份920=180 份原草量+20 天的生长量 原草量：1
7、80-203=120 份 或 150-103=120份1510=150 份原草量+10 天的生长量 120（18-3）=8 天3.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可供多少头牛吃 10 天？解析：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量：（100-90）（6-5）=10份205=100 份原草量-5 天的减少量 原草量：100+510=150 或 90+610=150 份156=90 份原草量-6 天的减少量 （150-1010）10=5 头4.由于天气逐渐寒
8、冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供 30头牛吃 8 天，可供 25 头牛吃 9 天，那么可供 21 头牛吃几天？ 解析：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量：（240-225）（9-8）=15份308=240 份原草量-8 天的减少量 原草量：240+815=360 份或 220+915=360 份259=225 份原草量-9 天的减少量 360（21+15）=10 天5.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6分钟到达
9、楼上。问：该扶梯共有多少级？ 解析：男孩：205 =100（级） 自动扶梯的级数-5 分钟减少的级数女孩;156=90（级） 自动扶梯的级数-6 分钟减少的级数每分钟减少的级数=(205-156) (6-5)=10(级)自动扶梯的级数=205+510=150（级）B6.两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3 级阶梯，女孩每秒可走 2 级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。问该扶梯共有多少级？解析：3100=300 自动扶梯级数+100 秒新增的级数2300=600 自动扶梯级数+300 秒新增的级数每秒新增的级数：（2300-3100）
10、（300-100）=1.5（级）自动扶梯级数=3100-1001.5=150（级）7.有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧 24 头牛，则 6 天吃完草，如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？解析：假设 1 头 1 天吃 1 个单位24*6=14421*8=168168-144=24每天长的草可供 24/2=12 头牛吃最多只能放 12 头牛8.有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供 5 头牛吃 40 天，或 6 供头牛吃 30天。如果 4 头牛吃了 30 天后，又增加 2 头牛一起吃，这片草
11、地还可以再吃几天？解析：假设 1 头 1 天吃 1 个单位5*40=200；6*30=180200-180=20每天长的草:20/(40-30)=2原有草：200-2*40=1204*30=120 ，30*2=60 60/4=15 天9.假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供 110 亿人生活 90 年，或可供 90 亿人生活 210 年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿人？解析：假设 1 亿人头 1 天吃 1 个单位110*90=9900；90*210=1890018900-9900=90009000/(210-90)=7510.两只蜗牛由于耐不住阳光
12、照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走 20 分米，另一只只能走 15 分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛 5 昼夜到达井底，另一只却恰好用了 6 昼夜。问井深是多少？解析：205=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10 黒夜下滑数100+510=150156+106=150C11.李村组织农民抗旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地。如果 50 人担水，20 小时可把池水担完。如果 70 人担水，10 小时可把池水担完。现有 130 人担水，几小时可把池水担完？解析：5020=10007010=7001000-700=300300/(20-
13、10)=30 每小时增加 1000-3020=400 原有400/(130-30)=4 小时12.一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周，那么这片草地可供 21 头牛吃几周？解析：这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。假设 1 头牛一周吃的草的数量为 1 份，那么 27 头牛 6 周需要吃 276=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23 头牛 9 周需吃 239=20
14、7（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而 162 份是原有的草的数量与 6 周新长出的草的数量的总和； 207 份是原有的草的数量与 9 周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（ 207-162）（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-156=72 （份）。这片草地每周新长草 15 份相当于可安排 15 头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供 21 头牛吃 72（21-15）12（周） 13.一块 1000 平方米的牧场能让 12 头牛吃 16 个星期，或让 18 头牛吃 8 个星期，那么一块 4000 平方米的牧场 6 个星期能养活多少头牛？解析：1216-1
15、88=192-144=4848/(16-8)=6 每星期生长数192-166=96 原有数 96+66=132132/6=22224=88 头14.有一只船有一个漏洞，水用均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用 12 个人淘水，3 小时可以淘完。如果只有 5 个人淘水，要 10 小时才能淘完。现在要想2 小时淘完，需要多少人？解析：123=36510=5050-36=1414/(10-3)=2 每小时增加数36-32=30 原有 30+22=3434/2=17 人15.有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出。若用 4 台抽水机，15 小时可把井水抽干。若用 8 台抽水机，7 小时
16、可把井水抽干。现在要用几台抽水机，能 5 小时把井水抽干？解析：415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.560-150.5=52.552.5+50.5=5555/5=11 台1. 一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供 24 头牛吃 6 天，或 20 头牛吃 10 天吃完。那么可供 19 头牛吃几天？答案：12 天解析：6 天时共有草：24614410 天时共有草：2010200草每天生长的速度为：（200144）（106）14原有草量：14461460可供 19 头牛： 60（1914）12（天）2.牧场有一片青草，每天生成速度相同。现在这片牧场可供 16 头牛吃 20 天
17、，或者供80 只羊吃 12 天，如果一头牛一天吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 解析：思路，把羊转化为牛 4 羊1 牛，“也可以供 80 只羊吃 12 天”相当于“20 头牛吃 12 天” 现在是“10 头牛与 60 只羊一起吃这一片草”相当于“1060425 头牛吃草” 16-x*20=20-x*12=25-x*y x=10 y=8 3.某牧场上长满牧草,每天匀速生长,这片牧草供 17 头牛吃 30 天,19 头牛吃 24 天,现有一群牛吃了 6 天,主人卖掉了 4 头牛,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完,问这群牛原有几头? 解析：设原有 Y
18、 头，x 还是“剪草的” 17-x*30=19-x*24=y-x*6+y-4-x*2 注意：剩下的 2 天已经卖掉了 4 头牛，要分开计算 （y-x-4）*（6+2），这样列式就错了 x=9 y=40 4.某市水库水量的增长速度是一定的，可供全市 12 万人使用 20 年，在迁入 3 万人之后，只能供全市人民使用 15 年，市政府号召大家节约用水，希望将水库的使用寿命延长至30 年，那么居民平均需要节约用水量的比例是多少?( ) A. 2/5 B. 2/7 C. 1/3 D. 1/4 答案：A解析： 12-x*20=15-x*15=y-x*30 x=3 y=9 15-9=6 即多出 6 万人，
19、这 6 万人要用 15 万人的 6/15=2/5 5.有一个水池，池底有一个出水口，用 3 台抽水机 24 小时可将水抽完，用 9 台抽水机12 小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？解析：（3-X）*24=（9-X）*12 得 X=-3(不要理会负数，按正 3 理解好了)带入 X 到上式，（3+3）*24）/X=48 所以是 481.旅 客 在 车 站 候 车 室 等 车 ,并 且 排 队 的 乘 客 按 一 定 速 度 增 加 ,检 查 速 度 也 一 定 ,当车 站 放 一 个 检 票 口 ,需 用 半 小 时 把 所 有 乘 客 解 决 完 毕 ,当 开 放 2 个
20、 检 票 口 时 ,只 要 10分 钟 就 把 所 有 乘 客 OK 了 求 增 加 人 数 的 速 度 还 有 原 来 的 人 数 解析：设 一 个 检 票 口 一 分 钟 一 个 人 1 个 检 票 口 30 分 钟 30 个 人 2 个 检 票 口 10 分 钟 20 个 人 (30-20)(30-10)=0.5 个 人 原 有 130-300.5=15 人 或 210-100.5=15 人 2.有 三 块 草 地 ， 面 积 分 别 是 5， 15， 24 亩 。 草 地 上 的 草 一 样 厚 ， 而 且 长 得 一 样 快。 第 一 块 草 地 可 供 10 头 牛 吃 30 天
21、， 第 二 块 草 地 可 供 28 头 牛 吃 45 天 ， 问 第 三 块 地 可供 多 少 头 牛 吃 80 天 ？解析：这 是 一 道 是 比 较 复 杂 的 牛 吃 草 问 题 。把 每 头 牛 每 天 吃 的 草 看 作 1 份 。因 为 第 一 块 草 地 5 亩 面 积 原 有 草 量 5 亩 面 积 30 天 长 的 草 1030 300 份所 以 每 亩 面 积 原 有 草 量 和 每 亩 面 积 30 天 长 的 草 是 3005 60 份因 为 第 二 块 草 地 15 亩 面 积 原 有 草 量 15 亩 面 积 45 天 长 的 草 2845 1260 份所 以 每
22、 亩 面 积 原 有 草 量 和 每 亩 面 积 45 天 长 的 草 是 126015 84 份所 以 45 30 15 天 ， 每 亩 面 积 长 84 60 24 份所 以 ， 每 亩 面 积 每 天 长 2415 1.6 份所 以 ， 每 亩 原 有 草 量 60 301.6 12 份第 三 块 地 面 积 是 24 亩 ， 所 以 每 天 要 长 1.624 38.4 份 ， 原 有 草 就 有 2412288 份新 生 长 的 每 天 就 要 用 38.4 头 牛 去 吃 ， 其 余 的 牛 每 天 去 吃 原 有 的 草 ， 那 么 原 有 的 草就 要 够 吃 80 天 ， 因
23、 此 28880 3.6 头 牛所 以 ， 一 共 需 要 38.4 3.6 42 头 牛 来 吃 。两 种 解 法 ：解 法 一 ： 设 每 头 牛 每 天 的 吃 草 量 为 1， 则 每 亩 30 天 的 总 草 量 为 ： 10*30/5=60； 每 亩 45 天的 总 草 量 为 ： 28*45/15=84 那 么 每 亩 每 天 的 新 生 长 草 量 为 (84-60)/(45-30)=1.6 每 亩原 有 草 量 为 60-1.6*30=12， 那 么 24 亩 原 有 草 量 为 12*24=288， 24 亩 80 天 新 长 草 量为 24*1.6*80=3072， 24
24、 亩 80 天 共 有 草 量 3072+288=3360， 所 有 3360/80=42(头 )解 法 二 ： 10 头 牛 30 天 吃 5 亩 可 推 出 30 头 牛 30 天 吃 15 亩 ， 根 据 28 头 牛 45 天 吃 15 亩 ，可 以 推 出 15 亩 每 天 新 长 草 量 (2845-3030)/(45-30)=24； 15 亩 原 有 草 量 ： 1260-2445=180； 15 亩 80 天 所 需 牛 180/80+24(头 )24 亩 需 牛 ： (180/80+24)*(24/15)=42头3.一 只 船 有 一 个 漏 洞 ， 水 以 均 匀 速 度
25、进 入 船 内 ， 发 现 漏 洞 时 已 经 进 了 一 些 水 。 如 果有 12 个 人 淘 水 ， 3 小 时 可 以 淘 完 ； 如 果 只 有 5 人 淘 水 ， 要 10 小 时 才 能 淘 完 。 求 17人 几 小 时 可 以 淘 完 ？解析 ： 这 是 一 道 变 相 的 “牛 吃 草 ”问 题 。 与 上 题 不 同 的 是 ， 最 后 一 问 给 出 了 人 数（ 相 当 于 “牛 数 ”） ， 求 时 间 。 设 每 人 每 小 时 淘 水 量 为 1， 按 以 下 步 骤 计 算 ：（ 1） 求 每 小 时 进 水 量因 为 ， 3 小 时 内 的 总 水 量 11
26、23 原 有 水 量 3 小 时 进 水 量10 小 时 内 的 总 水 量 1510 原 有 水 量 10 小 时 进 水 量所 以 ， （ 10 3） 小 时 内 的 进 水 量 为 1510 1123 14因 此 ， 每 小 时 的 进 水 量 为 14（ 10 3） 2（ 2） 求 淘 水 前 原 有 水 量原 有 水 量 1123 3 小 时 进 水 量 36 23 30（ 3） 求 17 人 几 小 时 淘 完17 人 每 小 时 淘 水 量 为 17， 因 为 每 小 时 漏 进 水 为 2， 所 以 实 际 上 船 中 每 小 时 减 少 的 水 量为 （ 17 2） ， 所
27、以 17 人 淘 完 水 的 时 间 是30（ 17 2） 2（ 小 时 ）答 ： 17 人 2 小 时 可 以 淘 完 水 。4.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供 27 头牛吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天。那么它可供 21 头牛吃几天？ 解析：将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设 27 头牛中有 X 头是“剪草工” ，这 X 头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。（请慢慢理解，这是关键） 设每天新增加草量恰可供 X 头牛吃一天,21 牛可吃 Y 天（后面所有
28、 X 均为此意） 可供 27 头牛吃 6 天，列式:（27X）6 注：（27X）头牛 6 天把草场吃完 可供 23 头牛吃 9 天，列式:（23X）9 注：（23X）头牛 9 天把草场吃完 可供 21 头牛吃几天？列式：（21X）Y 注：（21X）头牛 Y 天把草场吃完 因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面 1、2、3 （27X）6（23X）9（21X）Y （27X）6（23X）9 【1】 （23X）9（21X）Y 【2】 解这个方程组，得 X15（头） Y12（天） 5.有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供 11
29、头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天问：第三块草地可供 19头牛吃多少天？ 解析：现在是三块面积不同的草地为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来（这是面积不同时得解题关键） 求【5，6，8】得最小公倍数为 120 1、因为 5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天，120524，所以 120 公顷草地可供11*24264(头)牛吃 10 天 2、因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天，120620，所以 120 公顷草地可供12*20240(头)牛吃 14 天 3、120815，问题变为：120 公顷草地可供 19*15285(头)牛吃几天？ 这样一来，例
30、2 就转化为例 1，同理可得： （264X）10（240X）14（285X）Y （264X）10（240X）14 【1】 （240X）14（285X）Y 【2】 解方程组：X=180（头） Y=8（天） 典型例题“牛吃草”已介绍完毕。6.有三块草地，面积分别为 5，6，和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。问第三块草地可供19 头牛吃多少天？解析：前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即5，6，8=120这样，第一块 5
31、 公顷可供 11 头牛吃 10 天，1205=24，变为 120 公顷草地可供1124=264（头）牛吃 10 天第二块 6 公顷可供 12 头牛吃 14 天，1206=20，变为 120 公顷草地可供1220=240（头）牛吃 14 天。1208=15。问题变成：120 公顷草地可供 1915=285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供 264 头牛吃 10 天或供 240 头牛吃 14 天， 那么可供 285 头牛齿及天？即每天新长出的草：（2401426410）（1410）=180（份）草地原有草：（264180）10=840（份）可供
32、285 头牛吃的时间：840（285180）=8（天）答：第三块草地可供 19 头牛吃 8 天。7.一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供 24 头牛吃 6 天，或 20 头牛吃 10 天那么可供 18 头牛吃几天？答案：15 天解析：设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。则每天新生的草量是（2010-246）(10-6)=14份，原来的草量是（24-14）6=60 份。可供 18 头牛吃 60（18-14）=158.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几天？答案：8 天解析：设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（205-166）（6-5）=4 份，原来的草量：（20+4） 5=120 份，可供 11 头牛吃 120(11+4)=8 天。课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：