ImageVerifierCode 换一换
格式:DOCX , 页数:9 ,大小:282.73KB ,
资源ID:74683      下载积分:10 金币
快捷下载
登录下载
邮箱/手机:
温馨提示:
快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。 如填写123,账号就是123,密码也是123。
特别说明:
请自助下载,系统不会自动发送文件的哦; 如果您已付费,想二次下载,请登录后访问:我的下载记录
支付方式: 支付宝    微信支付   
验证码:   换一换

加入VIP,更优惠
 

温馨提示:由于个人手机设置不同,如果发现不能下载,请复制以下地址【https://www.77wenku.com/d-74683.html】到电脑端继续下载(重复下载不扣费)。

已注册用户请登录:
账号:
密码:
验证码:   换一换
  忘记密码?
三方登录: 微信登录   QQ登录   微博登录 

下载须知

1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。
2: 试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
3: 文件的所有权益归上传用户所有。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 本站仅提供交流平台,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

版权提示 | 免责声明

本文(小五数学第十五讲:牛吃草(教师版)——刘文静.doc)为本站会员(姗***)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

小五数学第十五讲:牛吃草(教师版)——刘文静.doc

1、第十五讲 牛吃草问题牛吃草问题是牛顿问题,因牛顿提出而得名的。“一堆草可供 10 头牛吃 3 天,供 6 头牛吃几天?”这题很简单,用 3106=5(天),如果把“一堆草 ”换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了。因为草每天走在生长,草的数量在不断变化。这类工作总量不固定(均匀变化)的问题就是“牛吃草”问题。解题思路培养:解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草,问题就容易解决了。掌握四个基本:公式解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是 假设定一头牛一

2、天吃草量为“1” 1)草的生长速度(对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数 吃的较少天数)(吃的较多天数吃的较少天数); 2)原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数; 3)吃的天数原有草量(牛头数草的生长速度); 4)牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。 1.牧场上有一片牧草,可供 27 头牛吃 6 周,或者供 23 头牛吃 9 周。如果牧草每周匀速生长,可供 21 头牛吃几周?答案:12 周解析:276=162239=207207-162=4545/(9-6)=15 每周生长数162-156=72(原有量)72/(21-15)=12 周2.有一口水井,如果水位降低,水就不断地匀速涌出,且到

3、了一定的水位就不再上升。现在用水桶吊水,如果每分吊 4 桶,则 15 分钟能吊干,如果每分钟吊 8 桶,则 7 分吊干。现在需要 5 分钟吊干,每分钟应吊多少桶水?答案:11 桶解析:415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分钟涌量)60-150、5=52、5(原有水量)52、5+/(50.5)/5=11 桶3.有一片牧草,每天以均匀的速度生长,现在派 17 人去割草,30 天才能把草割完,如果派 19 人去割草,则 24 天就能割完。如果需要 6 天割完,需要派多少人去割草?答案:49 人解析:1730=5101924=456510-456=5454/(30-24)=

4、9 每天生长量510-309=240 原有草量 240+69=294294/6=49 人4.有一桶酒,每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒,现在这桶酒如果给 6 人喝,4 天可喝完;如果由 4 人喝,5 天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天?答案:4 人解析:64=2445=2024-20=44/(5-4)=4 每天漏掉数24+44=40 原有数这桶酒每天漏掉的酒可供 4 人喝一天5.一水库存水量一定,河水均匀入库。5 台抽水机连续 20 天可抽干;6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干。若要 6 天抽干,需要多少台同样的抽水机?答案:12 台解析:520=100615=90100-90=1

5、010/(20-15)=2 每天入库数100-202=60 原有库存数 60+26=7272/6=12 台6.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶,小明和小红要从扶梯上楼,已知小明每分钟走 20 梯级,小红每分钟走 14 梯级,结果小明 4 分钟到达楼上,小红用 5 分钟到达楼上,求扶梯共有多少级?答案:120解析:204=80145=7080-70=1010/(5-4)=10 每分钟减少数80+410=120 原有数 70+510=120A1.牧场上长满了牧草,牧草每天匀速生长,这片牧草可供 10 头牛吃 20 天,可供 15头牛吃 10 天。问:这片牧草可供 25 头牛吃多少天? 答案:5 天解

6、析:假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量:(200-150)(20-10)=5 份 1020=200 份原草量+20 天的生长量 原草量:200-205=100 或 150-105=100 份 1510=150 份原草量+10 天的生长量 100(25-5)=5 天2.牧场上长满了青草,而且每天还在匀速生长,这片牧场上的草可供 9 头牛吃 20 天,可供15 头牛吃 10 天,如果要供 18 头牛吃,可吃几天?解析:假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量:(180-150)(20-10)=3 份920=180 份原草量+20 天的生长量 原草量:1

7、80-203=120 份 或 150-103=120份1510=150 份原草量+10 天的生长量 120(18-3)=8 天3.由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天,或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算,可供多少头牛吃 10 天?解析:假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量:(100-90)(6-5)=10份205=100 份原草量-5 天的减少量 原草量:100+510=150 或 90+610=150 份156=90 份原草量-6 天的减少量 (150-1010)10=5 头4.由于天气逐渐寒

8、冷,牧场上的牧草每天以均匀的速度减少,经测算,牧场上的草可供 30头牛吃 8 天,可供 25 头牛吃 9 天,那么可供 21 头牛吃几天? 解析:假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量:(240-225)(9-8)=15份308=240 份原草量-8 天的减少量 原草量:240+815=360 份或 220+915=360 份259=225 份原草量-9 天的减少量 360(21+15)=10 天5.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级,女孩每分钟走 15 级梯级,结果男孩用了 5 分钟到达楼上,女孩用了 6分钟到达

9、楼上。问:该扶梯共有多少级? 解析:男孩:205 =100(级) 自动扶梯的级数-5 分钟减少的级数女孩;156=90(级) 自动扶梯的级数-6 分钟减少的级数每分钟减少的级数=(205-156) (6-5)=10(级)自动扶梯的级数=205+510=150(级)B6.两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走 3 级阶梯,女孩每秒可走 2 级阶梯,结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒,女孩走了 300 秒。问该扶梯共有多少级?解析:3100=300 自动扶梯级数+100 秒新增的级数2300=600 自动扶梯级数+300 秒新增的级数每秒新增的级数:(2300-3100)

10、(300-100)=1.5(级)自动扶梯级数=3100-1001.5=150(级)7.有一片牧场,操每天都在匀速生长(每天的增长量相等),如果放牧 24 头牛,则 6 天吃完草,如果放牧 21 头牛,则 8 天吃完草,设每头牛每天的吃草量相等,问:要使草永远吃不完,最多只能放牧几头牛?解析:假设 1 头 1 天吃 1 个单位24*6=14421*8=168168-144=24每天长的草可供 24/2=12 头牛吃最多只能放 12 头牛8.有一片草地,草每天生长的速度相同。这片草地可供 5 头牛吃 40 天,或 6 供头牛吃 30天。如果 4 头牛吃了 30 天后,又增加 2 头牛一起吃,这片草

11、地还可以再吃几天?解析:假设 1 头 1 天吃 1 个单位5*40=200;6*30=180200-180=20每天长的草:20/(40-30)=2原有草:200-2*40=1204*30=120 ,30*2=60 60/4=15 天9.假设地球上新增长资源的增长速度是一定的,照此推算,地球上的资源可供 110 亿人生活 90 年,或可供 90 亿人生活 210 年,为了人类不断繁衍,那么地球最多可以养活多少亿人?解析:假设 1 亿人头 1 天吃 1 个单位110*90=9900;90*210=1890018900-9900=90009000/(210-90)=7510.两只蜗牛由于耐不住阳光

12、照射,从井顶走向井底,白天往下走,一只蜗牛一个白天能走 20 分米,另一只只能走 15 分米;黑夜里往下滑,两只蜗牛下滑速度相同,结果一只蜗牛 5 昼夜到达井底,另一只却恰好用了 6 昼夜。问井深是多少?解析:205=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10 黒夜下滑数100+510=150156+106=150C11.李村组织农民抗旱,从一个有地下泉的池塘担水浇地。如果 50 人担水,20 小时可把池水担完。如果 70 人担水,10 小时可把池水担完。现有 130 人担水,几小时可把池水担完?解析:5020=10007010=7001000-700=300300/(20-

13、10)=30 每小时增加 1000-3020=400 原有400/(130-30)=4 小时12.一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周,那么这片草地可供 21 头牛吃几周?解析:这片草地上的草的数量每天都在变化,解题的关键应找到不变量即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分:原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变,但应注意到是匀速生长,因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。假设 1 头牛一周吃的草的数量为 1 份,那么 27 头牛 6 周需要吃 276=162(份),此时新草与原有的草均被吃完;23 头牛 9 周需吃 239=20

14、7(份),此时新草与原有的草也均被吃完。而 162 份是原有的草的数量与 6 周新长出的草的数量的总和; 207 份是原有的草的数量与 9 周新长出的草的数量的总和,因此每周新长出的草的份数为:( 207-162)(9-6)=15(份),所以,原有草的数量为:162-156=72 (份)。这片草地每周新长草 15 份相当于可安排 15 头牛专吃新长出来的草,于是这片草地可供 21 头牛吃 72(21-15)12(周) 13.一块 1000 平方米的牧场能让 12 头牛吃 16 个星期,或让 18 头牛吃 8 个星期,那么一块 4000 平方米的牧场 6 个星期能养活多少头牛?解析:1216-1

15、88=192-144=4848/(16-8)=6 每星期生长数192-166=96 原有数 96+66=132132/6=22224=88 头14.有一只船有一个漏洞,水用均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果用 12 个人淘水,3 小时可以淘完。如果只有 5 个人淘水,要 10 小时才能淘完。现在要想2 小时淘完,需要多少人?解析:123=36510=5050-36=1414/(10-3)=2 每小时增加数36-32=30 原有 30+22=3434/2=17 人15.有一个水井,水不断由泉涌出,井满则溢出。若用 4 台抽水机,15 小时可把井水抽干。若用 8 台抽水机,7 小时

16、可把井水抽干。现在要用几台抽水机,能 5 小时把井水抽干?解析:415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.560-150.5=52.552.5+50.5=5555/5=11 台1. 一片草地,每天都匀速长出青草。如果可供 24 头牛吃 6 天,或 20 头牛吃 10 天吃完。那么可供 19 头牛吃几天?答案:12 天解析:6 天时共有草:24614410 天时共有草:2010200草每天生长的速度为:(200144)(106)14原有草量:14461460可供 19 头牛: 60(1914)12(天)2.牧场有一片青草,每天生成速度相同。现在这片牧场可供 16 头牛吃 20 天

17、,或者供80 只羊吃 12 天,如果一头牛一天吃草量等于 4 只羊一天的吃草量,那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天? 解析:思路,把羊转化为牛 4 羊1 牛,“也可以供 80 只羊吃 12 天”相当于“20 头牛吃 12 天” 现在是“10 头牛与 60 只羊一起吃这一片草”相当于“1060425 头牛吃草” 16-x*20=20-x*12=25-x*y x=10 y=8 3.某牧场上长满牧草,每天匀速生长,这片牧草供 17 头牛吃 30 天,19 头牛吃 24 天,现有一群牛吃了 6 天,主人卖掉了 4 头牛,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完,问这群牛原有几头? 解析:设原有 Y

18、 头,x 还是“剪草的” 17-x*30=19-x*24=y-x*6+y-4-x*2 注意:剩下的 2 天已经卖掉了 4 头牛,要分开计算 (y-x-4)*(6+2),这样列式就错了 x=9 y=40 4.某市水库水量的增长速度是一定的,可供全市 12 万人使用 20 年,在迁入 3 万人之后,只能供全市人民使用 15 年,市政府号召大家节约用水,希望将水库的使用寿命延长至30 年,那么居民平均需要节约用水量的比例是多少?( ) A. 2/5 B. 2/7 C. 1/3 D. 1/4 答案:A解析: 12-x*20=15-x*15=y-x*30 x=3 y=9 15-9=6 即多出 6 万人,

19、这 6 万人要用 15 万人的 6/15=2/5 5.有一个水池,池底有一个出水口,用 3 台抽水机 24 小时可将水抽完,用 9 台抽水机12 小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水,那么多长时间将水漏完?解析:(3-X)*24=(9-X)*12 得 X=-3(不要理会负数,按正 3 理解好了)带入 X 到上式,(3+3)*24)/X=48 所以是 481.旅 客 在 车 站 候 车 室 等 车 ,并 且 排 队 的 乘 客 按 一 定 速 度 增 加 ,检 查 速 度 也 一 定 ,当车 站 放 一 个 检 票 口 ,需 用 半 小 时 把 所 有 乘 客 解 决 完 毕 ,当 开 放 2 个

20、 检 票 口 时 ,只 要 10分 钟 就 把 所 有 乘 客 OK 了 求 增 加 人 数 的 速 度 还 有 原 来 的 人 数 解析:设 一 个 检 票 口 一 分 钟 一 个 人 1 个 检 票 口 30 分 钟 30 个 人 2 个 检 票 口 10 分 钟 20 个 人 (30-20)(30-10)=0.5 个 人 原 有 130-300.5=15 人 或 210-100.5=15 人 2.有 三 块 草 地 , 面 积 分 别 是 5, 15, 24 亩 。 草 地 上 的 草 一 样 厚 , 而 且 长 得 一 样 快。 第 一 块 草 地 可 供 10 头 牛 吃 30 天

21、, 第 二 块 草 地 可 供 28 头 牛 吃 45 天 , 问 第 三 块 地 可供 多 少 头 牛 吃 80 天 ?解析:这 是 一 道 是 比 较 复 杂 的 牛 吃 草 问 题 。把 每 头 牛 每 天 吃 的 草 看 作 1 份 。因 为 第 一 块 草 地 5 亩 面 积 原 有 草 量 5 亩 面 积 30 天 长 的 草 1030 300 份所 以 每 亩 面 积 原 有 草 量 和 每 亩 面 积 30 天 长 的 草 是 3005 60 份因 为 第 二 块 草 地 15 亩 面 积 原 有 草 量 15 亩 面 积 45 天 长 的 草 2845 1260 份所 以 每

22、 亩 面 积 原 有 草 量 和 每 亩 面 积 45 天 长 的 草 是 126015 84 份所 以 45 30 15 天 , 每 亩 面 积 长 84 60 24 份所 以 , 每 亩 面 积 每 天 长 2415 1.6 份所 以 , 每 亩 原 有 草 量 60 301.6 12 份第 三 块 地 面 积 是 24 亩 , 所 以 每 天 要 长 1.624 38.4 份 , 原 有 草 就 有 2412288 份新 生 长 的 每 天 就 要 用 38.4 头 牛 去 吃 , 其 余 的 牛 每 天 去 吃 原 有 的 草 , 那 么 原 有 的 草就 要 够 吃 80 天 , 因

23、 此 28880 3.6 头 牛所 以 , 一 共 需 要 38.4 3.6 42 头 牛 来 吃 。两 种 解 法 :解 法 一 : 设 每 头 牛 每 天 的 吃 草 量 为 1, 则 每 亩 30 天 的 总 草 量 为 : 10*30/5=60; 每 亩 45 天的 总 草 量 为 : 28*45/15=84 那 么 每 亩 每 天 的 新 生 长 草 量 为 (84-60)/(45-30)=1.6 每 亩原 有 草 量 为 60-1.6*30=12, 那 么 24 亩 原 有 草 量 为 12*24=288, 24 亩 80 天 新 长 草 量为 24*1.6*80=3072, 24

24、 亩 80 天 共 有 草 量 3072+288=3360, 所 有 3360/80=42(头 )解 法 二 : 10 头 牛 30 天 吃 5 亩 可 推 出 30 头 牛 30 天 吃 15 亩 , 根 据 28 头 牛 45 天 吃 15 亩 ,可 以 推 出 15 亩 每 天 新 长 草 量 (2845-3030)/(45-30)=24; 15 亩 原 有 草 量 : 1260-2445=180; 15 亩 80 天 所 需 牛 180/80+24(头 )24 亩 需 牛 : (180/80+24)*(24/15)=42头3.一 只 船 有 一 个 漏 洞 , 水 以 均 匀 速 度

25、进 入 船 内 , 发 现 漏 洞 时 已 经 进 了 一 些 水 。 如 果有 12 个 人 淘 水 , 3 小 时 可 以 淘 完 ; 如 果 只 有 5 人 淘 水 , 要 10 小 时 才 能 淘 完 。 求 17人 几 小 时 可 以 淘 完 ?解析 : 这 是 一 道 变 相 的 “牛 吃 草 ”问 题 。 与 上 题 不 同 的 是 , 最 后 一 问 给 出 了 人 数( 相 当 于 “牛 数 ”) , 求 时 间 。 设 每 人 每 小 时 淘 水 量 为 1, 按 以 下 步 骤 计 算 :( 1) 求 每 小 时 进 水 量因 为 , 3 小 时 内 的 总 水 量 11

26、23 原 有 水 量 3 小 时 进 水 量10 小 时 内 的 总 水 量 1510 原 有 水 量 10 小 时 进 水 量所 以 , ( 10 3) 小 时 内 的 进 水 量 为 1510 1123 14因 此 , 每 小 时 的 进 水 量 为 14( 10 3) 2( 2) 求 淘 水 前 原 有 水 量原 有 水 量 1123 3 小 时 进 水 量 36 23 30( 3) 求 17 人 几 小 时 淘 完17 人 每 小 时 淘 水 量 为 17, 因 为 每 小 时 漏 进 水 为 2, 所 以 实 际 上 船 中 每 小 时 减 少 的 水 量为 ( 17 2) , 所

27、以 17 人 淘 完 水 的 时 间 是30( 17 2) 2( 小 时 )答 : 17 人 2 小 时 可 以 淘 完 水 。4.牧场上有一片均匀生长的牧草,可供 27 头牛吃 6 天,或供 23 头牛吃 9 天。那么它可供 21 头牛吃几天? 解析:将它想象成一个非常理想化的数学模型:假设 27 头牛中有 X 头是“剪草工” ,这 X 头牛只负责吃“每天新长出的草,并且把它们吃完”,这样以来草场相当于不长草,永远维持原来的草量,而剩下的(27X)头牛是真正的“顾客”,它们负责把草场原来的草吃完。(请慢慢理解,这是关键) 设每天新增加草量恰可供 X 头牛吃一天,21 牛可吃 Y 天(后面所有

28、 X 均为此意) 可供 27 头牛吃 6 天,列式:(27X)6 注:(27X)头牛 6 天把草场吃完 可供 23 头牛吃 9 天,列式:(23X)9 注:(23X)头牛 9 天把草场吃完 可供 21 头牛吃几天?列式:(21X)Y 注:(21X)头牛 Y 天把草场吃完 因为草场草量已被“清洁工”修理过,总草量相同,所以,联立上面 1、2、3 (27X)6(23X)9(21X)Y (27X)6(23X)9 【1】 (23X)9(21X)Y 【2】 解这个方程组,得 X15(头) Y12(天) 5.有三块草地,面积分别为 5,6 和 8 公顷草地上的草一样厚,而且长得一样快第一块草地可供 11

29、头牛吃 10 天,第二块草地可供 12 头牛吃 14 天问:第三块草地可供 19头牛吃多少天? 解析:现在是三块面积不同的草地为了解决这个问题,需要将三块草地的面积统一起来(这是面积不同时得解题关键) 求【5,6,8】得最小公倍数为 120 1、因为 5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天,120524,所以 120 公顷草地可供11*24264(头)牛吃 10 天 2、因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天,120620,所以 120 公顷草地可供12*20240(头)牛吃 14 天 3、120815,问题变为:120 公顷草地可供 19*15285(头)牛吃几天? 这样一来,例

30、2 就转化为例 1,同理可得: (264X)10(240X)14(285X)Y (264X)10(240X)14 【1】 (240X)14(285X)Y 【2】 解方程组:X=180(头) Y=8(天) 典型例题“牛吃草”已介绍完毕。6.有三块草地,面积分别为 5,6,和 8 公顷。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草荐地可供 11 头牛吃 10 天,第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。问第三块草地可供19 头牛吃多少天?解析:前几天我们接触的是在同一块草地上,同一个水池中,现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题,只需将三块草地的面积统一起来。即5,6,8=120这样,第一块 5

31、 公顷可供 11 头牛吃 10 天,1205=24,变为 120 公顷草地可供1124=264(头)牛吃 10 天第二块 6 公顷可供 12 头牛吃 14 天,1206=20,变为 120 公顷草地可供1220=240(头)牛吃 14 天。1208=15。问题变成:120 公顷草地可供 1915=285(头)牛吃几天?因为草地面积相同,可忽略具体公顷数,原题可变为:一块草地匀速生长,可供 264 头牛吃 10 天或供 240 头牛吃 14 天, 那么可供 285 头牛齿及天?即每天新长出的草:(2401426410)(1410)=180(份)草地原有草:(264180)10=840(份)可供

32、285 头牛吃的时间:840(285180)=8(天)答:第三块草地可供 19 头牛吃 8 天。7.一片草地,每天都匀速长出青草,如果可供 24 头牛吃 6 天,或 20 头牛吃 10 天那么可供 18 头牛吃几天?答案:15 天解析:设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。则每天新生的草量是(2010-246)(10-6)=14份,原来的草量是(24-14)6=60 份。可供 18 头牛吃 60(18-14)=158.由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以固定的速度在减少,经计算,牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天,或可供 16 头牛吃 6 天。那么,可供 11 头牛吃几天?答案:8 天解析:设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量:(205-166)(6-5)=4 份,原来的草量:(20+4) 5=120 份,可供 11 头牛吃 120(11+4)=8 天。课 程 顾 问 签 字 : 教 学 主 管 签 字 :