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小五数学第12讲:因数倍数(教师版)—平谷田丰

1、第十二讲 因数倍数1.如果数 a 能被数 b 整除(b0) ,a 就叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的因数。2.整数 a 除以整数 b(b0) ,除得的商正好是整数而且没有余数,我们就说 a 能被 b整除,或者说 b 能整除 a. 3.因为任何整数都能被 1 整除,所以任何整数都是 1 的倍数,1 是任何整数的因数。 4.因为 0 能被任何不是零的整数整除,所以 0 是任何不是零的整数的倍数,任何不是零的整数也都是 0 的因数。 (为了方便,我们在研究因数和倍数时,所说的数一般指不是零的自然数。 ) 5.一个数最小的因数是 1,最大的因数是它本身;一个数的因数的个数是有限的。 6.一个数最小

2、的倍数是它本身,没有最大的倍数;一个数的倍数的个数是无限的。 7.个位上是 0,2,4,6,8 的数,都能被 2 整除,能被 2 整除的的数叫做偶数,如2,4,6,8,10,12不能被 2 整除的数叫做奇数,如 1,3,5,7,9. 8.个位上是 0 或者 5 的数,都能被 5 整除;一个数的各位上的数的和能被 3 整除,这个数就能被 3 整除。 9.如果一个数的末两位数能被 4 整除,那么这个数就能被 4 整除;如果一个数的各位上的数的和能被 9 整除,那么这个数就能被 9 整除。10.一个数,如果只有 1 和它本身两个因数,这样的数就叫做质数。 11.一个数,如果除了 1 和它本身还有别的

3、因数,这样的数就叫做合数。 12.如果一个自然数的因数是质数,这个因数就叫做这个自然数的质因数。 13.每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式;把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 14.用短除法分解质因数时,先用一个能整除这个合数的质数(通常从最小的开始)去除,得出的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式,得出的商如果是合数,就照上面的方法继续除下去,直到得出的商是质数为止。然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。15.几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。 16.公因数只有 1 的两个数,叫做互质数。如果两个数是互质数,那么它

4、们的最大公因数就只有 1。 17.如果较小的数是较大数的因数,那么它们的最大公因数就是较小的那个数。 18.用分解质因数的方法求两个数的最大公因数,一般用这两个数公有的质因数去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来。 19.几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 20.如果两个数是互质数,那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。 21.如果较大数是较小数的倍数,那么它们的最小公倍数就是较大的那个数。 22.用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数,一般用这两个数公有的质因数去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数和最后的

5、两个商连乘起来。1、掌握找一个数的因数和倍数的方法;对常见的一些特殊数字的因数、倍数进行记忆。2、理解和掌握因数和倍数的概念;质数与奇数;偶数与合数的概念的区分。例一:填空在 4、9、36 这三个数中:( )是( )和( )的倍数,( )和( )是( )的因数;36 的因数一共有( )个,它的倍数有( )个。解析:在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数。找一个数的因数可以一对一对地找,36 的因数有:1、36、2、18、3、12、4、9、6,共 9 个;一个数的倍数的个数是无限的答案:36 4 9,4 9 36;9,无数。例二:圈出 5 的倍数:1

6、5 24 35 40 53 78 92 100 54 45 88 60在以上圈出的数中,奇数有( ),偶数有( )。解析:先根据能被 5 整除的数的特征判断,一个数的个位是 0 或者 5,这个数就是 5 的倍数;在圈出的数中,再根据奇数与偶数的意义判断,个位上是 0 的数是偶数,个位上是5 的数是奇数答案: ;15 35 45;40 100 60。例三:用“偶数”和“奇数”填空:偶数+( )=偶数 偶数偶数=( )( )+奇数=奇数 奇数奇数=( )奇数+( )=偶数 奇数( )=偶数解析:根据有关性质,两个偶数的和为偶数,两个奇数的和为偶数,一个奇数与一个偶数的和为奇数;两个偶数的积为偶数,

7、两个奇数的积为奇数,一个奇数与一个偶数的积为偶数。除了直接利用性质以外,还可引导学生用数据代入法进行分析和解答。答案:偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 偶数例四:如果 ( 都是不等于 0 的自然数),那么( )。A. 是 的倍数 B. 和 都是 的倍数 C. 和 都是 的因数 D. 是 的因数解析:根据因数和倍数的意义,由分析可知:如果 ( 都是不等于 0 的自然数),则 , ,所以 和 是 的因数, 是 和 的倍数。答案:C。例五:有三张卡片,在它们上面各写有一个数字 2、3、7,从中至少取出一张组成一个数,在组成的所有数中,有几个是质数?请将它们写出来。解析:从三张卡片中抽出一张,有三种可能,

8、即一位数有三个,分别是 2、3、7,且都为质数;从三张卡片中任意抽取两张,组成的两位数有六个,分别是23、27、32、37、72、73,其中质数有 23、37、73;因为 2+3+7=12,能被 3 整除,所以由2、3、7 组成的任意三位数都能被 3 整除,都不可能是质数。答案:有 6 个是质数,分别是 2、3、7、23、37、73。例六:小丽写了这样的一个算式让小军判断结果是奇数还是偶数:1+2+3+993,小军根据所学知识很快就作出了正确的判断,那么,你认为结果应是奇数还是偶数呢?你是用什么方法来解决这个问题的?答案:9932=4961,则在 1 到 993 的自然数中,有 496 个偶数

9、,497 个奇数,根据数的奇偶性的性质可得:496 个偶数的和为偶数,497 个奇数的和为奇数,偶数+奇数=奇数。所以结果应该是奇数。A一、判断题( )1、任何自然数,它的最大因数和最小倍数都是它本身。解析:因数和倍数的定义答案:( )2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。解析:因数和倍数的定义答案:X( )3、个位上是 0 的数都是 2 和 5 的倍数。解析:0 不是答案:X ( )4、一个数的因数的个数是有限的,一个数的倍数的个数是无限的。解析:因数有限,倍数无限答案:( )5、5 是因数,10 是倍数。解析:没有指出是哪个数因数和倍数答案:X 二、填空。1、在 50 以内的自然数中,最大

10、的质数是( ) ,最小的合数是( ) 。解析:质数定义,合适定义答案:47,42、既是质数又是奇数的最小的一位数是( ) 。解析:奇数与质数的定义答案:33、在 20 以内的质数中, ( )加上 2 还是质数。解析:分别列举答案:11、15、174、如果有两个质数的和等于 24,可以是( )( ) , ( )( )或( )( ) 。解析:找到 24 以内的质数加减凑数答案:5, 19, 17, 7, 11, 135、一个数的最小倍数减去它的最大因数,差是( ) 。解析:最小倍数等于最大因数答案:0三、选择题1、15 的最大因数是( ) ,最小倍数是( ) 。1 3 5 15解析:因数倍数定义答

11、案:, 2、在 1427 中,2 和 7 都是 14 的( ) 。质数 因数 质因数解析:因数质数定义答案:3、一个数,它既是 12 的倍数,又是 12 的因数,这个数是( ) 。6 12 24 144解析:带入选项答案:4、一筐苹果,2 个一拿,3 个一拿,4 个一拿,5 个一拿都正好拿完而没有余数,这筐苹果最少应有( ) 。120 个 90 个 60 个 30 个解析:整除 2,3,4,5答案:5、自然数中,凡是 17 的倍数( ) 。都是偶数 有偶数有奇数 都是奇数解析:偶数,奇数定义答案:B1从 0、4、5、8、9 中选取三个数字组成三位数:(1)在能被 2 整除的数中,最大的是( )

12、,最小的是( );(2)在能被 3 整除的数中,最大的是( ),最小的是( );(3)在能被 5 整除的数中,最大的是( ),最小的是( )。解析:被 2,3,5 整除数的特征答案:(1)984,450;(2)984,405;(3)980;405。2将 2、10、13、22、39、64、57、61、1、73、111 按要求填入下面的圈内。解析:奇数偶数质数合数的定义答案:3在四位数 210 的方框里填入一个数字,使它能同时被 2、3、5 整除,最多有( )种填法。A.2 B.3 C.4 D.5解析:被 2、3、5 整除的数的特征答案:C。4下列各数或表示数的式子( 为整数): ,4, , ,0

13、。是偶数的共有( )。A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个解析:除 0 外能被 2 整除的数是偶数答案:B。5按因数的个数分,非零自然数可以分为( )。A.质数和合数 B.奇数和偶数 C.奇数、偶数和 1 D.质数、合数和 1解析:质数,合数定义答案:D。6古希腊数学家认为:如果一个数恰好等于它的所有约数(本身除外)相加的和,那么这个数就是“完全数”。例如:6 有四个约数 1、2、3、6,除本身 6 以外,还有 1、2、3 三个约数,6=1+2+3,恰好是所有约数之和,所以 6 就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是( )。A.12 B.15 C.28 D.36解析:带入验证答案:

14、C。C1、一个小于 30 的自然数,既是 8 的倍数,又是 12 的倍数,这个数是多少?解析:8、12 的最小公倍数是 24答案:242、当 a 分别是 1、2、3、4、5 时,6a1 是质数,还是合数?解析:a=1, 6a+1=6*1+1=7 质数 a=2, 6a+1=6*2+1=13 质数 a=3, 6a+1=6*3+1=19 质数 a=4, 6a+1=6*4+1=25 合数 a=5, 6a+1=6*5+1=31 质数答案:质数,质数,质数,合数,质数3、 幼儿园里有一些小朋友,王老师拿了 32 颗糖平均分给他们,正好分完。小朋友的人数可能是多少?解析: 32 的因数有:1、2、4、8、1

15、6、32 ,除了 1,这些因数都有可能答案:2、4、8、16、324、小朋友到文具店买日记本,日记本的单价已看不清楚,他买了 3 本日记本,售货员阿姨说应付 134 元,小红认为不对。你能解释这是为什么吗? 解析:134 不是 3 的倍数答案:不对5、 下面是育才小学五年级各班的人数。(1)班 (2)班 (3)班 (4)班 (5)班39 人 41 人 40 人 43 人 42 人哪几个班可以平均分成人数相同的小组?哪几个班不可以?为什么解析:(1)、(3)、(5)班人数 为合数,(2)、(4)班人数是质数答案:(1)、(3)、(5)班可以,(2)、(4)不可以,6体育课上,30 名学生站成一行

16、,按老师口令从左到右报数:1,2,3,4,30。(1)老师先让所报的数是 2 的倍数的同学去跑步,参加跑步的有多少人?(2)余下学生中所报的数是 3 的倍数的同学进行跳绳训练,参加跳绳的有多少人?(3)两批同学离开后,再让余下同学中所报的数是 5 的倍数的同学去器材室拿篮球,有几个人去拿篮球?(4)现在队伍里还剩多少人?解析:(1)302=15(人) (2)30 以内既能被 3 整除又是奇数的是:3,9,15,21,27。(3)30 以内能被 5 整除不能被 3 整除,且是奇数的数是:5,25。(4)30-15-5-2=8(人) 答案:15 5 2 8一、判断( )1、一个数如果是 24 的倍

17、数,则这个数一定是 4 和 8 的倍数。解析:24 能被 4 和 6 整除答案:( )2、15 的倍数有 15、30、45。解析:能被 15 整除的数余数为零答案:X( )3、一个自然数越大,它的因数个数就越多。解析:因数的定义答案:( )4、两个质数相乘的积还是质数。解析:2 与 3 的乘积是合数答案:X( )5、一个合数至少得有三个因数。解析:合数的定义答案:( )6、在自然数列中,除 2 以外,所有的偶数都是合数。解析:都含有因数 2答案:二、填空1、在自然数中,最小的奇数是(),最小的偶数是( ),最小的质数是( ),最小的合数是( )。解析:奇数偶数质数合数的定义答案:1,0,2,4

18、2、同时是 2 和 5 倍数的数,最小两位数是( ),最大两位数是( )。解析:个位数能被 2、5 整除,此数能被 2、5 整除答案:10,903、1024 至少减去( )就是 3 的倍数,1708 至少加上 ( )就是 5 的倍数。解析:能被 3,5 整除的数的特征答案:1,24、质数只有( )个因数,它们分别是( )和( )。解析:质数的定义答案:2,1,本身5、一个合数至少有( )个因数,( )既不是质数,也不是合数。解析:合数的定义,1 只有自己一个因数答案:3,16、自然数中,既是质数又是偶数的是( )。解析:2 既是质数又是偶数答案:2三、选择题1、自然数按是不是 2 的倍数来分,

19、可以分为( )。A 奇数和偶数 B 质数和合数 C 质数、合数、0 和 1解析:能被 2 整除的数是偶数,不能被 2 整除的数是奇数答案:A2、1 是( )。A 质数 B 合数 C 奇数 D 偶数解析:1 是奇数答案: C3、甲数3=乙数,乙数是甲数的( )。解析:乙是甲的三倍答案: AA 倍数 B 因数 C 自然数4、同时是 2、3、5 的倍数的数是( )。解析:最小公倍数答案:BA 18 B 120 C 75 D 810一、填空(每题 1 分,共 19 分)1. 自然数中,( )的数叫做偶数,( )的数叫做奇数。解析:能被 2 整除的数是偶数,不能被 2 整除的数是奇数答案:2 的倍数,不

20、是 2 的倍数2. 个位上是( )或( )的数,是 5 的倍数。解析:被 5 整除的数的特点答案:0,53. 既是 2 的倍数又是 5 的倍数的数的特征是( )。解析:2*5=10,所以个位是 0答案:个位数是 0 4. 6 既是( )的倍数,又是( )的倍数,还是( )的倍数。解析:6 的因数有 2,3,6答案:2,3,65. 奇数与偶数的和是( )数;奇数与奇数的和是( )数;偶数与偶数的和是( )数。解析:能被 2 整除的数是偶数,不能被 2 整除的数是奇数答案:奇数,偶数,偶 数6. 87 是一个( )数,还是一个( )数。解析:质数,奇数的定义答案:质数,奇数7. 一个两位数,它既是

21、 5 的倍数,又是 3 的倍数,而且是偶数,这个数最小是( )。解析:30 能同时被 3,5 整除且是偶数答案:308. 能被 2、3、5 整除的最小两位数是( )。解析:30 是 2.3.5 的倍数答案:309. 在自然数范围内,最小的质数是( ),最小的合数是( ),最小的奇数是( ),最小的偶数是( )。解析:质数,合数,奇数,偶数定义答案:2,4,1,2二、判断(对的打“”,错的打“”)(每题 2 分,共 16 分)1. 在自然数中,除了奇数就是偶数。 ( ) 解析:0 既不是奇数也不是偶数答案:2. 个位上是 3、6、9 的数就是 3 的倍数。 ( )解析:16,19 都不是 3 的

22、倍数答案:3、1 是质数 ( )解析:1 既不是质数也不是合数答案:4. 2 既是偶数,又是质数。 ( )解析; 2 既是偶数,又是质数答案:5. 所有的质数都是奇数 ( )解析:2 是质数但是偶数答案:6. 10 是倍数,5 是因数。 ( )解析:没说明是谁的倍数与因数答案:7. 自然数 a 的最大因数是 a,最小倍数也是 a。 ( )解析:最大因数与最小倍数都是自己答案:8. 一个自然数不是质数就是合数。 ( )解析:1 既不是质数也不是合数答案:三、选择(每题 2 分,共 14 分)1. 下面数中,( )既是 2 的倍数,又是 5 的倍数。A. 24 B. 30 C. 45解析:30 能

23、够整除 2 和 5答案:B2. ( )的最小倍数是 1。 A. 3 B. 0 C. 1解析:最大因数与最小倍数都是自己答案: C3. 最小的质数与最小的合数的和是( ) A. 6 B. 5 C. 3解析:2+4=6答案:A 4. 下面数中,( )既是 2 的倍数,又是 3 的倍数。A. 27 B. 36 C. 19解析:36 能够整除 2 和 3答案: B5. 两个质数的和是 12,积是 35,这两个质数是( )A. 3 和 8 B. 2 和 9 C. 5 和 7解析:5+7=12 57=35答案:C6. 1、3、5 都是 15 的( ) A. 质因数 B. 公因数 C. 因数解析:因数是指能

24、被一个数整除的数答案:C7. 一个合数至少有( )个因数。 A. 1 B. 2 C. 3解析:合数是指除了 1 和本身还有其他因数的数答案:C四、分类45 67 78 34 23 24 15128 76 85 9089 49 79 31 97 87 77 37 0 123 55以上数中,偶数有( )奇数有( )质数有( )合数有( ) 2 的倍数有( )5 的倍数有( )3 的倍数有( )。解析:偶数,奇数,质数,合数,倍数的含义答案:78、34、24、28、76、90、0;45、67、23、15、85、89、49、79、31、97、87、77、37、123;67、23、89、79、31、97、37;45、78、34、24、15、128、76、85、90、49、87、77、123、55;78、34、24、128、76、90;45、15、90、55;45、78、24、15、90、87、123 五、在里填一个数字,使每个数都是 3 的倍数。(答案不唯一)(1)5,里可以填( )(2)37,里可以填( )(3)78,里可以填( ) (4)143,里可以填( )(5)601,里可以填( )解析:各位上的数相加能被 3 整除那么这个数能被 3 整除答案:答案不唯一课 程 顾 问 签 字 : 教 学 主 管 签 字 :