1、第十二讲 因数倍数1.如果数 a 能被数 b 整除（b0） ，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的因数。2.整数 a 除以整数 b（b0） ，除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说 a 能被 b整除，或者说 b 能整除 a. 3.因为任何整数都能被 1 整除，所以任何整数都是 1 的倍数，1 是任何整数的因数。 4.因为 0 能被任何不是零的整数整除，所以 0 是任何不是零的整数的倍数，任何不是零的整数也都是 0 的因数。 （为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数。 ） 5.一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身；一个数的因数的个数是有限的。 6.一个数最小
2、的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的倍数的个数是无限的。 7.个位上是 0，2，4，6，8 的数，都能被 2 整除，能被 2 整除的的数叫做偶数，如2，4，6，8，10，12不能被 2 整除的数叫做奇数，如 1，3，5，7，9. 8.个位上是 0 或者 5 的数，都能被 5 整除；一个数的各位上的数的和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除。 9.如果一个数的末两位数能被 4 整除，那么这个数就能被 4 整除；如果一个数的各位上的数的和能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除。10.一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数就叫做质数。 11.一个数，如果除了 1 和它本身还有别的
3、因数，这样的数就叫做合数。 12.如果一个自然数的因数是质数，这个因数就叫做这个自然数的质因数。 13.每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式；把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 14.用短除法分解质因数时，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式，得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止。然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。15.几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 16.公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。如果两个数是互质数，那么它
4、们的最大公因数就只有 1。 17.如果较小的数是较大数的因数，那么它们的最大公因数就是较小的那个数。 18.用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，一般用这两个数公有的质因数去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。 19.几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 20.如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。 21.如果较大数是较小数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大的那个数。 22.用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数，一般用这两个数公有的质因数去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的
5、两个商连乘起来。1、掌握找一个数的因数和倍数的方法；对常见的一些特殊数字的因数、倍数进行记忆。2、理解和掌握因数和倍数的概念；质数与奇数；偶数与合数的概念的区分。例一：填空在 4、9、36 这三个数中：（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数；36 的因数一共有（ ）个，它的倍数有（ ）个。解析：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。找一个数的因数可以一对一对地找，36 的因数有：1、36、2、18、3、12、4、9、6，共 9 个；一个数的倍数的个数是无限的答案：36 4 9，4 9 36；9，无数。例二：圈出 5 的倍数：1
6、5 24 35 40 53 78 92 100 54 45 88 60在以上圈出的数中，奇数有（ ），偶数有（ ）。解析：先根据能被 5 整除的数的特征判断，一个数的个位是 0 或者 5，这个数就是 5 的倍数；在圈出的数中，再根据奇数与偶数的意义判断，个位上是 0 的数是偶数，个位上是5 的数是奇数答案： ；15 35 45；40 100 60。例三：用“偶数”和“奇数”填空：偶数+（ ）=偶数 偶数偶数=（ ）（ ）+奇数=奇数 奇数奇数=（ ）奇数+（ ）=偶数 奇数（ ）=偶数解析：根据有关性质，两个偶数的和为偶数，两个奇数的和为偶数，一个奇数与一个偶数的和为奇数；两个偶数的积为偶数，
7、两个奇数的积为奇数，一个奇数与一个偶数的积为偶数。除了直接利用性质以外，还可引导学生用数据代入法进行分析和解答。答案：偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 偶数例四：如果 （ 都是不等于 0 的自然数），那么（ ）。A. 是 的倍数 B. 和 都是 的倍数 C. 和 都是 的因数 D. 是 的因数解析：根据因数和倍数的意义，由分析可知：如果 （ 都是不等于 0 的自然数），则 ， ，所以 和 是 的因数， 是 和 的倍数。答案：C。例五：有三张卡片，在它们上面各写有一个数字 2、3、7，从中至少取出一张组成一个数，在组成的所有数中，有几个是质数？请将它们写出来。解析：从三张卡片中抽出一张，有三种可能，
8、即一位数有三个，分别是 2、3、7，且都为质数；从三张卡片中任意抽取两张，组成的两位数有六个，分别是23、27、32、37、72、73，其中质数有 23、37、73；因为 2+3+7=12，能被 3 整除，所以由2、3、7 组成的任意三位数都能被 3 整除，都不可能是质数。答案：有 6 个是质数，分别是 2、3、7、23、37、73。例六：小丽写了这样的一个算式让小军判断结果是奇数还是偶数：1+2+3+993，小军根据所学知识很快就作出了正确的判断，那么，你认为结果应是奇数还是偶数呢？你是用什么方法来解决这个问题的？答案：9932=4961，则在 1 到 993 的自然数中，有 496 个偶数
9、，497 个奇数，根据数的奇偶性的性质可得：496 个偶数的和为偶数，497 个奇数的和为奇数，偶数+奇数=奇数。所以结果应该是奇数。A一、判断题( )1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。解析：因数和倍数的定义答案：( )2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。解析：因数和倍数的定义答案：X( )3、个位上是 0 的数都是 2 和 5 的倍数。解析：0 不是答案：X ( )4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。解析：因数有限，倍数无限答案：( )5、5 是因数，10 是倍数。解析：没有指出是哪个数因数和倍数答案：X 二、填空。1、在 50 以内的自然数中，最大
10、的质数是（ ） ，最小的合数是（ ） 。解析：质数定义，合适定义答案：47，42、既是质数又是奇数的最小的一位数是（ ） 。解析：奇数与质数的定义答案：33、在 20 以内的质数中， （ ）加上 2 还是质数。解析：分别列举答案：11、15、174、如果有两个质数的和等于 24，可以是（ ）（ ） ， （ ）（ ）或（ ）（ ） 。解析：找到 24 以内的质数加减凑数答案：5, 19, 17, 7, 11, 135、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（ ） 。解析：最小倍数等于最大因数答案：0三、选择题1、15 的最大因数是（ ） ，最小倍数是（ ） 。1 3 5 15解析：因数倍数定义答
11、案：, 2、在 1427 中，2 和 7 都是 14 的（ ） 。质数 因数 质因数解析：因数质数定义答案：3、一个数，它既是 12 的倍数，又是 12 的因数，这个数是（ ） 。6 12 24 144解析：带入选项答案：4、一筐苹果，2 个一拿，3 个一拿，4 个一拿，5 个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（ ） 。120 个 90 个 60 个 30 个解析：整除 2，3，4，5答案：5、自然数中,凡是 17 的倍数（ ） 。都是偶数 有偶数有奇数 都是奇数解析：偶数，奇数定义答案：B1从 0、4、5、8、9 中选取三个数字组成三位数：（1）在能被 2 整除的数中，最大的是（ ）
12、，最小的是（ ）；（2）在能被 3 整除的数中，最大的是（ ），最小的是（ ）；（3）在能被 5 整除的数中，最大的是（ ），最小的是（ ）。解析：被 2，3，5 整除数的特征答案：（1）984，450；（2）984，405；（3）980；405。2将 2、10、13、22、39、64、57、61、1、73、111 按要求填入下面的圈内。解析：奇数偶数质数合数的定义答案：3在四位数 210 的方框里填入一个数字，使它能同时被 2、3、5 整除，最多有（ ）种填法。A.2 B.3 C.4 D.5解析：被 2、3、5 整除的数的特征答案：C。4下列各数或表示数的式子（ 为整数）： ，4， ， ，0
13、。是偶数的共有（ ）。A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个解析：除 0 外能被 2 整除的数是偶数答案：B。5按因数的个数分，非零自然数可以分为（ ）。A.质数和合数 B.奇数和偶数 C.奇数、偶数和 1 D.质数、合数和 1解析：质数，合数定义答案：D。6古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有约数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6 有四个约数 1、2、3、6，除本身 6 以外，还有 1、2、3 三个约数，6=1+2+3，恰好是所有约数之和，所以 6 就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（ ）。A.12 B.15 C.28 D.36解析：带入验证答案：
14、C。C1、一个小于 30 的自然数，既是 8 的倍数，又是 12 的倍数，这个数是多少?解析：8、12 的最小公倍数是 24答案：242、当 a 分别是 1、2、3、4、5 时，6a1 是质数，还是合数?解析：a=1, 6a+1=6*1+1=7 质数 a=2, 6a+1=6*2+1=13 质数 a=3, 6a+1=6*3+1=19 质数 a=4, 6a+1=6*4+1=25 合数 a=5, 6a+1=6*5+1=31 质数答案：质数，质数，质数，合数，质数3、 幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了 32 颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？解析： 32 的因数有：1、2、4、8、1
15、6、32 ，除了 1，这些因数都有可能答案：2、4、8、16、324、小朋友到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了 3 本日记本，售货员阿姨说应付 134 元，小红认为不对。你能解释这是为什么吗？ 解析：134 不是 3 的倍数答案：不对5、 下面是育才小学五年级各班的人数。（1）班 （2）班 （3）班 （4）班 （5）班39 人 41 人 40 人 43 人 42 人哪几个班可以平均分成人数相同的小组？哪几个班不可以？为什么解析：（1）、(3)、（5）班人数 为合数，（2）、（4）班人数是质数答案：（1)、(3)、（5）班可以，（2）、（4）不可以，6体育课上，30 名学生站成一行
16、，按老师口令从左到右报数：1，2，3，4，30。（1）老师先让所报的数是 2 的倍数的同学去跑步，参加跑步的有多少人？（2）余下学生中所报的数是 3 的倍数的同学进行跳绳训练，参加跳绳的有多少人？（3）两批同学离开后，再让余下同学中所报的数是 5 的倍数的同学去器材室拿篮球，有几个人去拿篮球？（4）现在队伍里还剩多少人？解析：（1）302=15（人） （2）30 以内既能被 3 整除又是奇数的是：3，9，15，21，27。（3）30 以内能被 5 整除不能被 3 整除，且是奇数的数是：5，25。（4）30-15-5-2=8（人） 答案：15 5 2 8一、判断( )1、一个数如果是 24 的倍
17、数，则这个数一定是 4 和 8 的倍数。解析：24 能被 4 和 6 整除答案：( )2、15 的倍数有 15、30、45。解析：能被 15 整除的数余数为零答案：X( )3、一个自然数越大，它的因数个数就越多。解析：因数的定义答案：( )4、两个质数相乘的积还是质数。解析：2 与 3 的乘积是合数答案：X( )5、一个合数至少得有三个因数。解析：合数的定义答案：( )6、在自然数列中，除 2 以外，所有的偶数都是合数。解析：都含有因数 2答案：二、填空1、在自然数中，最小的奇数是()，最小的偶数是( )，最小的质数是( )，最小的合数是( )。解析：奇数偶数质数合数的定义答案：1，0，2，4
18、2、同时是 2 和 5 倍数的数，最小两位数是( )，最大两位数是( )。解析：个位数能被 2、5 整除，此数能被 2、5 整除答案：10，903、1024 至少减去( )就是 3 的倍数，1708 至少加上 ( )就是 5 的倍数。解析：能被 3，5 整除的数的特征答案：1，24、质数只有( )个因数，它们分别是( )和( )。解析：质数的定义答案：2，1，本身5、一个合数至少有( )个因数，( )既不是质数，也不是合数。解析：合数的定义，1 只有自己一个因数答案：3，16、自然数中，既是质数又是偶数的是( )。解析：2 既是质数又是偶数答案：2三、选择题1、自然数按是不是 2 的倍数来分，
19、可以分为（ ）。A 奇数和偶数 B 质数和合数 C 质数、合数、0 和 1解析：能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数答案：A2、1 是（ ）。A 质数 B 合数 C 奇数 D 偶数解析：1 是奇数答案： C3、甲数3=乙数，乙数是甲数的（ ）。解析：乙是甲的三倍答案： AA 倍数 B 因数 C 自然数4、同时是 2、3、5 的倍数的数是（ ）。解析：最小公倍数答案：BA 18 B 120 C 75 D 810一、填空（每题 1 分，共 19 分）1. 自然数中，（ ）的数叫做偶数，（ ）的数叫做奇数。解析：能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数答案：2 的倍数，不
20、是 2 的倍数2. 个位上是（ ）或（ ）的数，是 5 的倍数。解析：被 5 整除的数的特点答案：0，53. 既是 2 的倍数又是 5 的倍数的数的特征是（ ）。解析：2*5=10，所以个位是 0答案：个位数是 0 4. 6 既是（ ）的倍数，又是（ ）的倍数，还是（ ）的倍数。解析：6 的因数有 2，3，6答案：2，3，65. 奇数与偶数的和是（ ）数；奇数与奇数的和是（ ）数；偶数与偶数的和是（ ）数。解析：能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数答案：奇数，偶数，偶 数6. 87 是一个（ ）数，还是一个（ ）数。解析：质数，奇数的定义答案：质数，奇数7. 一个两位数，它既是
21、 5 的倍数，又是 3 的倍数，而且是偶数，这个数最小是（ ）。解析：30 能同时被 3，5 整除且是偶数答案：308. 能被 2、3、5 整除的最小两位数是（ ）。解析：30 是 2.3.5 的倍数答案：309. 在自然数范围内，最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ）。解析：质数，合数，奇数，偶数定义答案：2，4，1，2二、判断（对的打“”，错的打“”）（每题 2 分，共 16 分）1. 在自然数中，除了奇数就是偶数。 （ ） 解析：0 既不是奇数也不是偶数答案：2. 个位上是 3、6、9 的数就是 3 的倍数。 （ ）解析：16，19 都不是 3 的
22、倍数答案：3、1 是质数 （ ）解析：1 既不是质数也不是合数答案：4. 2 既是偶数，又是质数。 （ ）解析; 2 既是偶数，又是质数答案：5. 所有的质数都是奇数 （ ）解析：2 是质数但是偶数答案：6. 10 是倍数，5 是因数。 （ ）解析：没说明是谁的倍数与因数答案：7. 自然数 a 的最大因数是 a，最小倍数也是 a。 （ ）解析：最大因数与最小倍数都是自己答案：8. 一个自然数不是质数就是合数。 （ ）解析：1 既不是质数也不是合数答案：三、选择（每题 2 分，共 14 分）1. 下面数中，( )既是 2 的倍数，又是 5 的倍数。A. 24 B. 30 C. 45解析：30 能
23、够整除 2 和 5答案：B2. （ ）的最小倍数是 1。 A. 3 B. 0 C. 1解析：最大因数与最小倍数都是自己答案： C3. 最小的质数与最小的合数的和是（ ） A. 6 B. 5 C. 3解析：2+4=6答案：A 4. 下面数中，( )既是 2 的倍数，又是 3 的倍数。A. 27 B. 36 C. 19解析：36 能够整除 2 和 3答案： B5. 两个质数的和是 12，积是 35，这两个质数是（ ）A. 3 和 8 B. 2 和 9 C. 5 和 7解析：5+7=12 57=35答案：C6. 1、3、5 都是 15 的（ ） A. 质因数 B. 公因数 C. 因数解析：因数是指能
24、被一个数整除的数答案：C7. 一个合数至少有（ ）个因数。 A. 1 B. 2 C. 3解析：合数是指除了 1 和本身还有其他因数的数答案：C四、分类45 67 78 34 23 24 15128 76 85 9089 49 79 31 97 87 77 37 0 123 55以上数中，偶数有（ ）奇数有（ ）质数有（ ）合数有（ ） 2 的倍数有（ ）5 的倍数有（ ）3 的倍数有（ ）。解析：偶数，奇数，质数，合数，倍数的含义答案：78、34、24、28、76、90、0；45、67、23、15、85、89、49、79、31、97、87、77、37、123；67、23、89、79、31、97、37；45、78、34、24、15、128、76、85、90、49、87、77、123、55；78、34、24、128、76、90；45、15、90、55；45、78、24、15、90、87、123 五、在里填一个数字，使每个数都是 3 的倍数。（答案不唯一）（1）5，里可以填（ ）（2）37，里可以填（ ）（3）78，里可以填（ ） （4）143，里可以填（ ）（5）601，里可以填（ ）解析：各位上的数相加能被 3 整除那么这个数能被 3 整除答案：答案不唯一课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：