1、第十讲 比例及应用题1、 两个数相除，又叫做这两个数的比，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项， 比号后面的数叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。比的后项不能为 0。2、 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0 除外）， 分数的大小不变。3、 比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0 除外），它们的比值不变。4、 公因数只有 1 的两个数叫做互质数。最简整数比：比的前项和后项是互质数 。5、 比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。6、 比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如：（3 ：4=9：12）。比例有四个项，分别是两个
2、内项和两个外项。在 3： 4=9：12 中，其中 3 与 12 叫做比例的外项，4 与 9 叫做比例的内项。比例的四个数均不能为 0。7、 比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。8、比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位1、掌握比及比例的概念以及比例在实际问题中的应用；比例尺作为重点掌握2、具体问题中百分数的应用例 1：下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。（1） 5 ：6 和 15 ：18 （2） 0.2 ：0.1 和 3 ：1（3） ： 和 1.2 ：0.8 （4） 6 ：2 和 ：28解析：依据比例的意义，分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成
3、比例，不相等就不能组成比例。（1） 因为 5 ：6 = ，15 ：18 = ，所以 5 ：6 = 15 ：18。（2） 因为 0.2 ：0.1 = 2， 3 ：1 = 3，所以 0.2 ：0.1 和 3 ：1 不能组成比例。（3） 因为 ： = ， 1.2 ：0.8 = ，所以 ： = 1.2 ：0.8。23（4） 6 ：2 = 3， ： = 3，所以 6 ：2 = ：88答案：（1）5 ：6 = 15 ：18 （2）0.2 ：0.1 和 3 ：1 不能组成比例。（3） ： = 1.2 ：0.8（4）6 ：2 = ：例 2:解除下列方程中的未知数3 : 8 = : 40 = x98.054解析
4、：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。3 : 8 = : 40 x9 = 8.0548 = 3 40 4.5 = 9 0.88 = 120 4.5 = 7.2 = 15 = 1.6答案：（1） = 15（2） = 1.6例 3：根据 2 7 = 1.4 10 这个等式写出几个比例。解析：根据比例的基本性质，可以得出 2 和 7、1.4 和 10 这两组数要么同时是比例外项，要么同时是比例的内项。答案：1.4 : 2 = 7 : 10 1.4 : 7 = 2 : 1010 : 2 = 7 : 1.4 10 : 7 = 2 : 1.42 : 1.4 =
5、 10 : 7 2 : 10 = 1.4 : 77 : 1.4 = 10 : 2 7 : 10 = 1.4 : 2例 4：在一幅比例尺是 1：200 000 的地图上，量得甲、乙两地相距 20 厘米。如果再另一幅地图上，甲、乙两地相距 10 厘米，另一幅地图的比例尺是？解析：题中的“图上距离”和“比例尺”这两种量发生了变化，只有甲乙两地的实际距离不变，可以先求出实际距离，再根据另一幅地图上甲乙两地的距离求出比例尺。答案： 20 =4 000 000（厘米）1200 000=104 000 000 1400 000答：另一幅地图的比例尺是 1:400 000例 5：在一块长 45 米、宽 20
6、米的长方形菜地里种黄瓜、辣椒、西红柿三种作物，黄瓜、辣椒、西红柿种植面积的比是 5:7:8，黄瓜种植面积是多少平方米？解析：本题已知分配的比，但分配的总量没有直接告诉我们。通过已知长方形地的长和宽，可以算出要分配的总量即长方形的面积，把长方形的面积按照 5:7:8 的比进行分配，其中黄瓜占总面积的 。55+7+8答案：长方形地面积：4520=900 （平方米）黄瓜的种植面积是：900 =225（平方米）55+7+8答：黄瓜种植面积是 225 平方米。例 6：甲、乙两地相距 270 千米，客车、货车两车同时分别从两地相向开出，2.5 小时相遇。已知客车和货车每小时的速度比是 5:4，求客车每小时
7、行多少千米？解析：要求客车每小时行多少千米，要先求出客、货车每小时的速度和，再把速度和按 5:4的比进行分配。答案：客车、货车的速度和：2702.5=108（千米/时），客车的速度：108 =108 =60（千米/时）55+4 59列综合算式：2702.555+4=2702.559=60（千米/时）答：客车每小时行 60 千米。例 7：某工程队计划修一条长 8000 米的公路，前 5 天修了全长的 25%，要照这样的进度，修完这条路还需要多少天？解析：题中有“修的天数”和“修的米数占全长的百分之几”这两个相关联的量，他们的关系如下： =平均每天修全长的百分之几（一定）。因此可以用正比例的关系修
8、 了 全 长 的 百 分 之 几修 的 天 数来解答，在具体解答时，可以用分率的知识来解答，因此“一条长 8000 米的公路”这个条件就是多余的了。答案：设修完这条路还需要 x 天=25%5 1-25%x=25%5 75%x25%x=75%5x=75%525%x=15答：修完这条路还需要 15 天。A1. 在一幅地图上，用 3 厘米的线段来表示实际距离 600 千米。在这幅地图上，量得甲、乙两地的距离是 4.5 厘米，甲、乙两地的实际距离是多少千米？解析：根据比例尺换算比例答案： 60034.5=900（千米）答：甲乙两地的实际距离是 900 千米。2. 在比例尺 1:1 000 000 的地
9、图上，量得甲、乙两城的距离是 6 厘米，如果改画在比例尺是 1:400 000 的地图上，甲、乙两城应该画多少厘米？解析：根据不同比例尺求出实际距离，在根据新比例求解答案： 6 =15（厘米）11 000 000 1400 000答：甲乙两城应该画 15 厘米。3. 在比例尺是 1:2 000 000 的地图上，量得甲乙两地的距离为 3.6 厘米，如果汽车以每小时 30 千米的速度从甲地到乙地，多少小时可以到达？解析：根据比例尺求出实际距离，路程除以速度等于时间答案：3.6200000010000030=2.4（小时）答：从甲地到乙地，2.4 小时可以到达。4. 篮球场长 28 米，宽 15
10、米。请你用 1:500 的比例尺画出它的平面图。解析：根据比例尺求出长度答案：28 米=2800 厘米，15 米=1500 厘米2800*1/500=5.6 1500*1/500=3 答：所以所画图形的长为 5.6 厘米，宽为 3 厘米。5. 一辆汽车 2 小时行驶 130 千米。照这样的速度，从甲地到乙地共行驶 5 小时。甲、乙两地相距多少千米？解析：先求出速度，再求路程答案：解：设甲、乙两地相距 x 千米.= x=325x51302答：甲乙两地相距 325 千米。6. 修一条路，如果每天修 120 米，8 天可以修完；如果每天多修 30 米，几天可以修完？解析：求出工作效率，在求工作时间答
11、案：解：设 x 天可以完成.（120+30）x=1208 x=6.4答：6.4 天就可以修完。7. 甲乙两地相距 350 千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地相向开出，3.5 小时后相遇，已知快车和慢车的速度比是 3:2，这两列火车的速度分别是多少？解析：相向运动问题答案：解：3503.5=100（千米）快车速度：100 =60（千米） 慢车速度：100 =40（千米）33+2 23+2答：快车的速度为 60 千米/小时，慢车的速度为 40 千米 /小时。8. 甲、乙、丙三数的比是 2:3:4，平均数是 12，三数各是多少？解析：求出总和，按比例求解答案：解：123=36, 36（2+3+4）=
12、4，甲数：42=8，乙数：43=12， 丙数：44=16答：甲数为 8，乙数为 12，丙数为 16。B1、在一幅比例尺是 1:50 000 的平面图上，量的一段公路长 16.8 厘米，现在把修筑这条公路的任务按 3:5 分配给甲、乙两个修路队，这两个修路队各要修多少米？解析：比例尺求出实际距离，按比例分配答案：16.850 000100=8400（米）甲队修的路程：8400 =3150（米）33+5乙队修的路程：8400 =5250（米）53+5答：甲队要修 3150 米，乙队要修 5250 米。2、丁丁、小刚、小明三个同学喜欢文学，假期中阅读了大量文学作品，丁丁、小刚、小明三人阅读文学作品的
13、本数是 4:3:5.已知丁丁比小刚多读 30 本，那么阅读作品最多的同学比读的少的同学多读了多少本？解析：根据比例求出每一份代表的本数答案：30（43）（53）=60（本）答：最多的比最少的多读了 60 本。3、一个圆画在 1:100 的图纸上，直径是 2 厘米，求这个圆实际直径和面积各是多少？解析：求出实际长度答案：实际直径：2 =200（厘米）=2（米）1100实际面积：3.14（22）=3.14（平方米）答：这个圆的实际半径为 2 米，面积为 3.14 平方米。4.六年级同学栽树，六（1）班栽了总数的 ，六（2 ）班栽了 120 棵，六（2 ）班与六16（1 ）班栽的棵树比是 3:2，六
14、年级同学一共栽树多少棵？解析：求出总棵树，按比例求解答案：解：设六年级一共栽树 x 棵120： x=3:2 x=48016答：六年级同学一共栽树 480 棵。5.一批互相啮合的齿轮，主动轮有 60 个齿，每分钟转 80 转，从动轮有 20 个齿，每分钟转多少转？解析：单位时间内转过的齿轮数相等答案：解：设每分钟转 x 转20x=6080 x=240答：从动轮每分钟 240 转。6.买来一批煤，计划每天烧 吨，可烧 20 天，实际每天比计划节约 20%，这样可以烧14多少天？解析：求出总吨数，实际每天消耗数答案：设可以烧 x 天（120%）x= 20 x=2514 14答：这样可以烧 25 天。
15、7.丁老师整理书房内的 216 本书，准备将它们分别归入书架的上层、中层、下层，上层与中层的本书比是 4:6，中层与下层的本数比十 6:8，书架三层各应放多少书？解析：求出每份代表的本数，每层的份数乘以每份本数答案：上层：216（4+6+8）4=48（本），中层：216（4+6+8）6=72（本），下层：216（4+6+8）8=96（本）答：上层书架放 48 本，中层书架方 72 本，下层书架放 96 本。8.爸爸将写毛笔字的任务按 5:3 分给了兄弟两人，结果哥哥写了 1440 个字，超额完成20%，弟弟只完成了 80%，弟弟写了多少个字？解析：求出哥哥原来的任务数，然后求出弟弟任务数，最后
16、求解弟弟实际完成数答案： 1440（1+20%）5380%=576（个）答：弟弟写了 576 个字。C1. 修一条公路，原计划每天修 360 米，30 天可以修完，如果要提前 5 天修完，每天要修多少米？解析：工作总量= 工作时间 X 工作效率答案：解：设每天要修 x 米（305）x=36030 x=432答：每天要修 432 米。2. 甲和乙同时分别从 A、B 两站相对出发，在离中心 8 千米处相遇，已知乙的速度是甲的，问 A、B 两站相距多少千米？34解析：总路程= 甲走的路程+乙走的路程答案：甲走的路程：82（1 ）=64（千米），34乙走的路程：64 =48（千米），34总路程：64+
17、48=112（千米） 答：AB 两站相距 112 千米。3. 工厂有一批煤计划每天烧 2.4 吨，42 天可以烧完。实际每天节约 ，实际可以多烧多少18天？解析：煤总量= 实际每天烧煤 X 实际可用天数答案：合计这批煤的总量：2.442=100.8（吨）实际每天烧煤：2.4（1- ）=2.1（吨）81实际可用天数：100.82.1=48（天）答：实际可以烧 48 天。4. 光明小学有三个年级，一年级学生人数占全校学生总数的 25%，二年级与三年级人数之比是 3:4.已知一年级学生比三年级学生少 40 人，一年级有学生多少人？解析：求出全校总人数答案：二年级与三年级人数占全校人数：1-25%=7
18、5%三年级人数占全校人数的比例:75% =437一年级人数比三年级多出人数占全校人数比例： - =1285全校人数：40 285=224（人）一年级学生人数：224*25%=56（人）答：一年级学生人数为 56 人。5. 一条公路全长 60 千米，分成上坡、平坡、下坡三段，各段路程的长度之比是 1:2:3，张叔叔骑车经过各路段所用的时间之比是 3:4:5，已知他在平路上骑车的速度是每小时 25千米。他行完全程要用多少时间？解析：按份数求出各段路程答案：12 36 60610（千米）平路：102 20（千米）在平路上所用的时间：20250.8（小时）在上坡路上所用的时间：0.8430.6 （小时
19、）在下坡路上所用的时间：0.8451 （小时）他行完全程用的时间：0.80.6 12.4 （小时）答：他行完全程时间为 2.4 小时。6. 粮店运来一批大米，第一天卖出总数的 ，第二天比第一天少卖出 15 袋，这时卖出的15袋数与剩下的袋数比是 3:5，这批大米共有多少袋？解析：求出第一天比第二天多买出的所占的比例，最后求出总量答案：第一天剩下总数的比例：1-1/5=4/5第二天卖出的量占总数的比例： - =531407第一天比第二天多买出的所占的比例： - =15这批大米总量：15 401=60 答：这批大米共 60 袋。7. 甲乙丙共得奖金 620 元，乙所得的是甲的 2/3，乙、丙二人所
20、得的比是 5:3，三人各得奖金多少元？解析：求出三人奖金的比答案：甲为一份，则乙为 2/3 份，丙为 2/3*4/5/4/3=2/5 份甲的奖金为：620/ （1+2/3+2/5 ）=300 元乙为：300*2/3=200 元丙为：300*2/5=120 元答：甲的奖学金为 300 元，乙的为 200 元，丙为 120 元。8. 五年级甲、乙两班人数的比是 5:4，在义务劳动中，如果从甲班调 21 人到乙班，甲、乙两班人数的比是 2:3，甲、乙两班原来各有多少人？解析：求出两个班的总人数答案：甲乙共有人数：21(5/9-2/5)=135甲 1355/9=75 人乙 135-75=60 人答：甲
21、班原有人数 75 人，乙班原有人数 60 人。1.完成一项工作，A、B 两组的工作量比是 5:7，A、B 两组的人数比是 3:4，工作 2 天后，B组恰好完成任务，A 组超额完成 2 个人干 1 天的工作量，求 A、B 两组的人数各是多少？解析：设 AB 两组分别有 3x，4x 人(3x*2-2):(4x*2)=5:7解得 x=7所以 3x=21；4x=28答案：AB 两组分别有 21 人，28 人。2.一块合金，铜与锌的比是 2:3，现在加入铜 120 克，锌 40 克，可得合金 660 克，求新合金中铜与锌的比是多少？解析：未加前合金的质量是 500g 铜锌之比是 2:3 所以铜有 200
22、g 锌有 300g所以现在铜锌比= （200+120 ）：（300+40）=320:340=16:17答案：16：173.一辆快车和一辆慢车同时分别从甲、乙两地相向开出，8 小时相遇，相遇后快车又行驶了6 小时到达乙地，慢车还要多少小时才能到达乙地？解析：乙 8 小时经过的距离刚好是甲相遇后 6 小时经过的距离甲乙的速度比 8:6 即 4:3则甲经过 8 小时的距离乙需要用的时间为： =34*82答案：慢车还要 小时才能到达乙地324.话梅糖每千克 5.1 元，奶糖每千克 8.9 元，现把这两种糖混合后，要求混合后的糖价为每千克 5.4 元，话梅糖和奶糖应用怎样的重量比才合适？解析：对于话梅糖
23、来说，混合每千克应提高：5.4-5.4=0.3 元对于奶糖来说，混合每千克应降低 8.9-5.4=3.5 元。为达平衡，话梅糖重量：奶糖重量= =3.05答案：话梅糖和奶糖的应该为 35:3.5.张、王、李三人共有 54 元，张用了自己钱数的 ，王用了自己钱数的 ，李用了自己钱数35 34的 ，各买了一只同样的钢笔，那么张和李两人的剩下钱数共有多少元？23解析：张的钱数 =王的钱数 =李的钱数 ，35 34 23张：王：李= ： ： =10:8:9.35 34 23张原来有钱：54 =20（元）1010+8+9李原来有钱：54 =18（元）910+8+920（1 ）18（1 ）=14（元）35
24、 23答案：张和李两人剩下的钱数共为 14 元。6.某小学共有学生 697 人，已知低年级学生数的 等于中年级学生数的 ，低年级学生数的12 25等于高年级学生数的 ，求该校低、中、高年级各有多少学生？13 27解析：低年级学生数：中年级学生数：高年级学生数=12:15:14.低年级学生数：697 =204（人）1212+15+14中年级学生数：697 =255（人）1512+15+14高年级学生数：697 =238（人）1412+15+14答案：低年级学生数为人、中年级人数为 255 人，高年级人数为 238 人。一、填空题(1)已知比例式 = ，将它改写成以 x 为第四比例项的比例式_；若
25、 2x=3y，那么52yxx:y=；解析：本题考察比例内项外项的关系答案：5:2=y:x3： 2（2 ）一个比例由两个比值是 2 的比组成，又知比例的外项分别是 1.2 和 5，这个比例是；解析：本题考察比例内项外项的关系答案：1.2:0.6=10:5（3 ）已知被减数与差的比是5 ：3，减数是100，被减数是_；解析：本题考察减法的关系，比例关系答案：250（4 ）甲与乙的比是6：5 ，甲与丙的比是3 ：5，乙与丙的比是；解析：找出一份乙代表的甲，一份丙代表的甲，求出比值答案：1:3(5)如果A2=B3，那么A ：B=；解析：乘法除法与比的转换答案：1：6（6 ）用3 、5、9、15这四个数
26、组成的比例式是_ ；解析：内项积等于外项积答案：3:9=5:15（7 ）两个相同的瓶子都装满了酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积比是 3 ：1，另一个瓶中酒精与水的体积比是（）。如果把这两个瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒精和水的比是（ 11:9）。解析：找出水的总量，酒精的总量答案：4 ：1 ； 11:9（8 ）五角人民币与贰角人民币的张数比为 12 ：35，那么伍角与贰角的总钱数比为（ 6:7 ）。解析：单位值乘以张数等于总钱数答案：6：7二、解答题1、师徒二人共加工零件 个，师傅加工一个零件用 分钟，徒弟加工一个零件用 分40915钟完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？解析：工作总量=
27、工作时间* 工作效率答案：师傅与徒弟的工作效率比为 1/9:1/15，完成工作时两人的工作时间相同，所以工作总量之比为 1/9:1/15=5:3，则师傅完成总量的 5/8，徒弟完成总量的 3/8，师傅比徒弟多完成 1/4，共有 400*1/4=100（个）答：师傅比徒弟多完成 100 个。2、学校四五六年级共有 615 名学生，已知六年级学生的 ，等于五年级学生的 ，等于1225四年级学生的 。这三个年级各有多少名学生学生？37解析：计算各年级学生人数比答案：设四五六年级各有 x,y,z 人，则 1/2*x=2/5*y=3/7*z，所以 x:y:z=12:15:14三个年级的人数分别为：615
28、*12/31=180；615*15/31=225；615*14/31=205答：三个年级的人数分别为 180 人 225 人 205 人。3、 甲、乙两人原有的钱数之比为 ，后来甲又得到 180 元，乙又得到 30 元，这时甲、6:5乙钱数之比为 ，求原来两人的钱数之和为多少？18:解析：设甲原有 6x 元, 则乙原有 5x 元则(6x+180):(5x+30)=18:11解得 x=60所以甲乙两人钱数分别为 606=360（元）和 605=300（元），两人共 660 元。答案：原来两人的钱数之和为 660 元。4、 乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的 等于乙班种的棵数的 ，且乙班比甲1415班多种树 棵，甲、乙两个班各种树多少棵?24解析：已知甲班种的棵树的 1/4 等于乙班种的棵树的 1/5所以：甲班种的棵：乙班种的棵树=4：524（5-4）=24甲：245=120乙：244=96答案：甲、乙两个班各种树 120 棵和 96 棵。课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：