1、2019 年安徽省合肥市高新区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）1 （4 分）计算： （ ）A3 B3 C3 D92 （4 分）2019 年 4 月 10 日人类首次公布了拍摄到的黑洞照片，这颗黑洞位于代号为M87 的星系当中，距离地球 5300 万光年，数据 5300 万用科学记数法表示为（ ）A5.310 3 B530010 4 C5.310 7 D0.5310 83 （4 分）如图，是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）A B C D4 （4 分）下列运算正确的是（ ）
2、Aa 2a3a 6 Ba 8a4a 4 Ca 2+a2a 4 D （a 3） 2a 55 （4 分）如图，AB 是的直径，C 、D 是圆上两点，连接 AC，AD，CD若CAB35，则ADC 的度数为（ ）A55 B45 C35 D256 （4 分）若 a+b3，a 2+b273ab，则 ab 等于（ ）A2 B1 C2 D17 （4 分）2018 年第一季度，合肥高新区某企业营收入比 2017 年同期增长 12%，2019 年第一季度营收入比 2018 年同期增长 10%，设 2018 年和 2019 年第一季度营收入的平均增长率为 x，则可列方程（ ）A2
3、x12%+10%B （1+x） 21+12%+10%C1+2 x（1+12%） （1+10% ）D （1+x） 2（1+12%） （1+10%）第 2 页（共 25 页）8 （4 分）某校文学社成员的年龄分布如下表：年龄岁 12 13 14 15频数 6 9 a 15a对于不同的正整数，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）A平均数 B众数 C方差 D中位数9 （4 分）如图是二次函数 yax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（5，0） ，对称轴为直线 x2，给出四个结论：abc0；4ab0；若点 B（3，y 1） C（0， y2）为函数图象上的两点，则y1y 2； a
4、+b+c0其中，正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D410 （4 分）矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 M、N 分别从顶点 A、B 同时出发，且分别沿着 AD、BA 运动，点 N 的速度是点 M 的 2 倍，点 N 到达顶点 A 时，则两点同时停止运动，连接 BM、CN 交于点 P，过点 P 分别作 AB、AD 的垂线，垂足分别为E、F ，则线段 EF 的最小值为（ ）A B 1 C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11 （5 分）因式分解：ax 2a 12 （5 分）函数 y 的自变量取值范围
5、是 13 （5 分）如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中，CAD30，则B+ E 第 3 页（共 25 页）14 （5 分）矩形 ABCD 中，AB6，BC8点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC 上，满足PBE 与DBC 相似，若APD 是以 AD 为底的等腰三角形，则 PE 的长为 三、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）15 （8 分）计算：6tan30+（1） 2019+16 （8 分）解方程： 1四、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分17 （8
6、 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，4） ，B（1，1） ，C（3，1） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1；（2）画出ABC 绕 O 点顺时针旋转 90后的A 2B2C2；（3）在（2）的条件下，求点 C 划过的路径长度（结果保留 ） 18 （8 分）观察下列等式：第 1 个等式： 3，第 2 个等式 6，第 3 个等式：9，第 4 个等式： 12，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第 5 个等式： （2）写出你猜想的第 n 个等式：
7、 （用含 n 的等式表示） ，并证明第 4 页（共 25 页）五、 （本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19 （10 分）合肥地铁一号线与地铁二号线在 A 站交汇，且两条地铁线互相垂直如图所示，学校 P 到地铁一号线 B 站的距离 PB2km，到地铁二号线 C 站的距离 PC 为 4km，PB与一号线的夹角为 30，PC 与二号线的夹角为 60求学校 P 到 A 站的距离（结果保留根号）20 （10 分）如图，AB 是 O 的直径，AD 是O 的弦，点 F 是 DA 延长线上的一点，过O 上一点 C 作O 的切线交 DF 于点 E，AC 平分 FAB（1）求证：CEDF；（
8、2）若 AE2，CE4，求O 的半径六、 （本满分 12 分）21 （12 分）某市甲、乙、丙三个景区是人们节假日游玩的热点景区，某学校对九（5）班学生“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别A：游三个景区： B：游两个景区；C ：游一个景区：D：不到这三个景区游玩，现根据调查结果绘制了不完全的条形统计图和扇形统计图如下：第 5 页（共 25 页）请结合图中信息解答下列问题：（1）九（5）班现有学生人，并补全条形统计图；（2）求在扇形统计图中表示“B 类别”的扇形的圆心角的度数；（3）根据调查显示，小刘和小何都选择“C 类别” ，求他俩游玩的恰好是同一景区的概率七
9、、 （本题满分 12 分）22 （12 分）国家支持大学生创新办实业，提供小额无息贷款，学生王亮享受国家政策贷款 36000 元用于代理某品牌服装销售，已知该店代理的品牌服装的进价为每件 40 元，该品牌服装售量 y（件）与销售价 x（元/ 件）之间的关系可用图中的一条线段（实线）来表示（1）求日销售量 y 与销售价 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）该品牌服装售价 x 为多少元时，每天的销售利润 W 最大，且最大销售利润 W 为多少？（3）若该店应支付员工的工资为每人每天 82 元，每天还应支付其它费用为 106 元（不包含贷款） 现该店只有 2 名员工，则该店至少需要多少
10、天才能还清所有贷款？八、 （本题满分 14 分）23 （14 分）如图 1，ABC 为等腰直角三角形，ACB90，AC BC，点 D 和 E 分别是 AC、AB 上的点， CE BD，垂足为 F（1）若 求证： D 为 AC 的中点；计算 的值（2）若 ，如图 2，则 （直接写出结果，用 k 的代数式表示）第 6 页（共 25 页）第 7 页（共 25 页）2019 年安徽省合肥市高新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）1 （4 分）计算： （ ）A3 B3 C3 D9【分析】 表示 9
11、的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解【解答】解：3 29 3故选：A【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，是一个基础题目2 （4 分）2019 年 4 月 10 日人类首次公布了拍摄到的黑洞照片，这颗黑洞位于代号为M87 的星系当中，距离地球 5300 万光年，数据 5300 万用科学记数法表示为（ ）A5.310 3 B530010 4 C5.310 7 D0.5310 8【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n
12、是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 5300 万用科学记数法表示为：5.310 7故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （4 分）如图，是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）A B C D【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可【解答】解：从几何体的左边看可得两个正方形，如图所示：，故选：B第 8 页（共 25 页）【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中4 （4 分
13、）下列运算正确的是（ ）Aa 2a3a 6 Ba 8a4a 4 Ca 2+a2a 4 D （a 3） 2a 5【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则分别化简得出答案【解答】解：A、a 2a3a 5，故此选项错误；B、a 8a4a 4，故此选项正确；C、a 2+a22a 2，故此选项错误；D、 （a 3） 2a 6，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键5 （4 分）如图，AB 是的直径，C 、D 是圆上两点，连接 AC，AD，CD若CAB35，则ADC 的度数为（ ）A55 B45
14、C35 D25【分析】连接 BD，利用圆周角定理求出 CDBCAB35，由 AB 为直径推出ADB90，进一步求出ADC55【解答】解：连接 BD， ，CDBCAB35，AB 为直径，ADB90，ADCADBCDB55，故选：A第 9 页（共 25 页）【点评】本题考查了圆周角定理等及其推论，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论6 （4 分）若 a+b3，a 2+b273ab，则 ab 等于（ ）A2 B1 C2 D1【分析】先根据完全平方公式求出 a2+b292ab，代入 a2+b273ab，即可求出答案【解答】解：a+b3，（a+b） 2a 2+b2+2ab9，a 2+b2
15、92ab，a 2+b273ab，92ab73ab，解得：ab2，故选：C【点评】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键7 （4 分）2018 年第一季度，合肥高新区某企业营收入比 2017 年同期增长 12%，2019 年第一季度营收入比 2018 年同期增长 10%，设 2018 年和 2019 年第一季度营收入的平均增长率为 x，则可列方程（ ）A2x12%+10%B （1+x） 21+12%+10%C1+2 x（1+12%） （1+10% ）D （1+x） 2（1+12%） （1+10%）【分析】根据增长率的意义列方程即可得【解答】解：设 201
16、8 年和 2019 年第一季度营收入的平均增长率为 x，第 10 页（共 25 页）则可列方程（1+x） 2（1+12%） （1+10%） ，故选：D【点评】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为 x，然后用含 x 的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答8 （4 分）某校文学社成员的年龄分布如下表：年龄岁 12 13 14 15频数 6 9 a 15a对于不同的正整数，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）A平均数 B众数 C方差 D中位数【分析】由频数分布表可知后两组
17、的频数和为 15，即可得知总人数，结合前两组的频数知第 15、16 个数据的平均数，可得答案【解答】解：14 岁和 15 岁的频数之和为 15a+a15，频数之和为 6+9+1530，则这组数据的中位数为第 15、16 个数据的平均数，即 13.5，对于不同的正整数 a，中位数不会发生改变，故选：D【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键9 （4 分）如图是二次函数 yax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（5，0） ，对称轴为直线 x2，给出四个结论：abc0；4ab0；若点 B（3，
18、y 1） C（0， y2）为函数图象上的两点，则y1y 2； a+b+c0其中，正确结论的个数是（ ）第 11 页（共 25 页）A1 B2 C3 D4【分析】根据二次函数图象的性质即可判断【解答】解：由图象可知：开口向下，故 a0，抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方，故 c0，对称轴 x 0，b0，abc0，故正确；对称轴为 x2， 2，b4a，4ab0，故正确；当 x2 时，此时 y 随 x 的增大而增大，点 B（3，y 1）与对称轴的距离比 C（0，y 2）与对称轴的距离小，y 1y 2，故错误；图象过点 A（5，0） ，对称轴为直线 x2，点 A 关于 x 2 对称点的坐标
19、为：（1，0）令 x1 代入 yax 2+bx+c，ya+b+c0，故正确，故选：C【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象性质，本题属于中等题型10 （4 分）矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 M、N 分别从顶点 A、B 同时出发，且分别沿着 AD、BA 运动，点 N 的速度是点 M 的 2 倍，点 N 到达顶点 A 时，则两点同时停止运动，连接 BM、CN 交于点 P，过点 P 分别作 AB、AD 的垂线，垂足分别为E、F ，则线段 EF 的最小值为（ ）第 12 页（共 25 页）A B 1 C D【分析】如图，取 BC 的中点 O，连接 O
20、A，OP ，PA首先证明 CPB 90，求出OA，OP利用三角形的三边关系即可解决问题【解答】解：如图，取 BC 的中点 O，连接 OA，OP ，PA四边形 ABC 都是矩形，BADABC90，BC AD2，OBOC1，OA ，BN2t，AMt， 2，CBN BAM，CBN ABM，ABM BCN，ABM +CBM 90，CBM+ BCN 90，CPB90，OBOC，OP BC1，PAOA OP，PA 1，PA 的最小值为 1，PEAB，PFAD，PEA PFAEAF 90，四边形 AEPF 是矩形，EFPA，第 13 页（共 25 页）EF 地方最小值为 1故选：B【点评】本题考查相似三角形
21、的判定和性质，矩形的性质，三角形的三边关系，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11 （5 分）因式分解：ax 2a a（x+1） （x 1） 【分析】首先提公因式 a，再利用平方差进行二次分解即可【解答】解：原式a（x 21）a（x+1） （x 1） 故答案为：a（x+1） （x 1） 【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解12 （5 分）函数 y 的自变量取值范围
22、是 x2 且 x0 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不为 0 列式计算即可得解【解答】解：根据题意得，2x0，且 x0，解得：x2 且 x0故答案为：x2 且 x0【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数13 （5 分）如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中，CAD30，则B+ E 210 【分析】连接 CE，根据圆内接四边形对角互补可得 B +AEC 180，再根据同弧所对的圆周角相等可得CEDCAD，然后求解即可第 14
23、 页（共 25 页）【解答】解：如图，连接 CE，五边形 ABCDE 是圆内接五边形，四边形 ABCE 是圆内接四边形，B+AEC180，CEDCAD30，B+E180+30210故答案为：210【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键14 （5 分）矩形 ABCD 中，AB6，BC8点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC 上，满足PBE 与DBC 相似，若APD 是以 AD 为底的等腰三角形，则 PE 的长为 3 或或 【分析】如图，由题意点 P 在线段 AD 的垂直平分线上，分四种情形分别
24、求解即可解决问题【解答】解：如图，由题意点 P 在线段 AD 的垂直平分线上，PBE 与DBC 相似，当点 P 在对角线 BD 上时，存在两个点 E 满足条件，当 PEB90时，易知 BE BC4，PE CD3，当 BPE90时， BPEBCD， 第 15 页（共 25 页） ，PE 当 PBCBDC，PEB90时，PBEBDC ， ， ，当 PBCBDC，BPE90时，点 E 在 BC 的延长线上，不符合题意，综上所述，满足条件的 PE 的值为 3 或 或 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型三、
25、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）15 （8 分）计算：6tan30+（1） 2019+【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案【解答】解：原式6 122 121【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键16 （8 分）解方程： 1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2xx2+2x +1，解得：x1，经检验 x1 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验四、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分
26、17 （8 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，4） ，B（1，1） ，C（3，1） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1；第 16 页（共 25 页）（2）画出ABC 绕 O 点顺时针旋转 90后的A 2B2C2；（3）在（2）的条件下，求点 C 划过的路径长度（结果保留 ） 【分析】 （1）首先确定 A、B、C 三点关于 y 轴的对称点位置，再连接即可；（2）首先确定 A、B、C 三点绕 O 顺时针旋转 90后的对应点位置，再连接即可；（3）利用弧长公式计算出点 C 划过的路径长度即可【解答】解
27、：解：（1）如图所示：A 1B1C1 即为所求；（2）如图所示：A 2B2C2 即为所求；（3）点 C 划过的路径长度： 5 【点评】本题考查了作图旋转变换和对称变换，关键是确定对称点和旋转后对应点的位置18 （8 分）观察下列等式：第 17 页（共 25 页）第 1 个等式： 3，第 2 个等式 6，第 3 个等式：9，第 4 个等式： 12，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第 5 个等式： （2）写出你猜想的第 n 个等式： ， （用含 n 的等式表示） ，并证明【分析】 （1）通过观察容易写出第 5 个式子；（2）通过观察发现分子
28、第一项比第二项大 3，因此容易写出第 n 个式子【解答】解：（1）第 1 个等式： 3，第 2 个等式 6，第 3 个等式： 9，第 4 个等式： 12，第 5 个等式： ，故答案为 ，（2）第 n 个等式： ，证明：左边 3n右边， ，故答案为： 【点评】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键五、 （本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19 （10 分）合肥地铁一号线与地铁二号线在 A 站交汇，且两条地铁线互相垂直如图所示，学校 P 到地铁一号线 B 站的距离 PB2km，到地铁二号线 C 站的距离 PC
29、为 4km，PB与一号线的夹角为 30，PC 与二号线的夹角为 60求学校 P 到 A 站的距离（结果保留根号）第 18 页（共 25 页）【分析】过点 P 作 PDAB 于点 D，过点 P 作 PEAC 于点 E，根据含 30 度的直角三角形的性质可求出 PE、EA 的长度，然后根据勾股定理即可求出答案【解答】解：过点 P 作 PD AB 于点 D，过点 P 作 PEAC 于点 E，PBD30，PB 2，PD1，PCE60，PC4，CE2，由勾股定理可知：PE2 ，易证：四边形 PDAE 是矩形，PDAE1，由勾股定理可知：PA【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含 30 度的
30、直角三角形的性质，本题属于基础题型20 （10 分）如图，AB 是 O 的直径，AD 是O 的弦，点 F 是 DA 延长线上的一点，过O 上一点 C 作O 的切线交 DF 于点 E，AC 平分 FAB（1）求证：CEDF；（2）若 AE2，CE4，求O 的半径第 19 页（共 25 页）【分析】 （1）连接 BC，根据切线的性质得到 B ACE，根据圆周角定理得到ACB90，求出CEA90，根据切线的判定定理证明；（2）根据勾股定理求出 AC，证明 ACBAEC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【解答】 （1）证明：连接 BC，CE 是O 的切线，BACE，AB 是O 的直径，ACB9
31、0，B+CAB90，ACE+ CAB90，AC 平分FAB，CAECAB，ACE+ CAE90，即CEA90，CEDF；（2）解：CEA90，AC 2 ，ACBCEA90，BACE，ACBAEC， ，即 ，解得，AB10， O 的半径为 5第 20 页（共 25 页）【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键六、 （本满分 12 分）21 （12 分）某市甲、乙、丙三个景区是人们节假日游玩的热点景区，某学校对九（5）班学生“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别A：游三个景区： B：游两个景区；C
32、 ：游一个景区：D：不到这三个景区游玩，现根据调查结果绘制了不完全的条形统计图和扇形统计图如下：请结合图中信息解答下列问题：（1）九（5）班现有学生人，并补全条形统计图；（2）求在扇形统计图中表示“B 类别”的扇形的圆心角的度数；（3）根据调查显示，小刘和小何都选择“C 类别” ，求他俩游玩的恰好是同一景区的概率【分析】 （1）由 A 类别人数及其所占比例可得总人数，再根据各类别人数之和等于总人数求出 D 的人数，从而补全条形图；（2）用 360乘以 B 类别人数所占比例即可得；（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得【解答】解：（1）A 类 5 人，
33、占 10%，八（1）班共有学生有：510%50（人） ；D 类：505101520（人） ，如图：第 21 页（共 25 页），故答案为：50；（2）在扇形统计图中，表示“B 类别”的扇形的圆心角的度数为： 36072；（3）画树状图如下：由树状图知，共有 9 种等可能结果，其中他俩游玩的恰好是同一景区的有 3 种结果，所以他俩游玩的恰好是同一景区的概率为 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比七、 （本题满分 12 分）22 （12 分）国家支持大学生创新办实业，提供小额无息贷款，
34、学生王亮享受国家政策贷款 36000 元用于代理某品牌服装销售，已知该店代理的品牌服装的进价为每件 40 元，该品牌服装售量 y（件）与销售价 x（元/ 件）之间的关系可用图中的一条线段（实线）来表示（1）求日销售量 y 与销售价 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）该品牌服装售价 x 为多少元时，每天的销售利润 W 最大，且最大销售利润 W 为多少？（3）若该店应支付员工的工资为每人每天 82 元，每天还应支付其它费用为 106 元（不第 22 页（共 25 页）包含贷款） 现该店只有 2 名员工，则该店至少需要多少天才能还清所有贷款？【分析】 （1）由 图象可知，函数图象为
35、一次函数，故可设函数解析式为：ykx +b，利用待定系数法，将点（40，60） ， （58，24）代入，即可求得函数解析式（2）根据销售利润销售量（售价进价） ，即可列出方程进行求解（3）由（2）得的最大利润列出不等式方程，即可解答【解答】解：（1）由图象可得，设日销售量 y 与销售价 x 之间的函数关系式为：ykx +b，则有，解得故日销售量 y 与销售价 x 之间的函数关系式为：y 2x+140 （40x 58）（2）依题意，设最大利润为 W，则有W（x 4）y（x 4） （ 2x+140）2x 2+220x5600整理得 W2（x55） 2+450抛物线开口向下当 x55 时，获得最大利
36、润故品牌服装售价 x 为 55 元时，每天的销售利润 W 最大，且最大销售利润 W 为 450 元（3）由题意，设至少需要 m 天才能还清所有贷款由有 450m（82m2+106m ）36000解得 m200故至少需要 200 天才能还清所有贷款【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案八、 （本题满分 14 分）23 （14 分）如图 1，ABC 为等腰直角三角形，ACB90，AC BC，点 D 和 E 分别第 23 页（共 25 页）是 AC、AB 上的点， CEBD，垂足
37、为 F（1）若 求证： D 为 AC 的中点；计算 的值（2）若 ，如图 2，则 （直接写出结果，用 k 的代数式表示）【分析】 （1）通过相似三角形CDFBDC 的对应边成比例和 ACBC 进行证明；由锐角三角函数的定义知： 问题转化为求 AG 与 BG 的数量关系如图1，过点 A 作直线 BD 的垂线，交 BD 延长线于 G，构造ADGCDF，则AGCF，GDFD由勾股定理求得 CF CD，BD CD，易得 ；（2）解题思路同上由已知知 k1；，由锐角三角函数的定义知： 问题转化为求 AG 与 BG 的数量关系如图 1，过点 A 作直线 BD 的垂线，交 BD 延
38、长线于G，构造ADGCDF，则 AG（k1）CF，GD（ k1）FD 由勾股定理求得CF CD，BD CD，易得 【解答】 （1）证明：ACB 90，CE BD ，BCDCFD90BCFCDF（同角的余角相等） 第 24 页（共 25 页）CDFBDC ，则 ，ACBC， D 为 AC 的中点；如图 1，过点 A 作直线 BD 的垂线，交 BD 延长线于 G，则 AGCF，ADG CDF 1AGCF，GDFD在直角CFD 中，CF2DF，CD 2DF 2+CF2，易得 CF CD在直角BCD 中，BC2CD，BD 2CD 2+BC2，易得 BD CD由 tanEBFtanABG 知， 即 （2
39、）ACB90，CEBD，BCDCFD90BCFCDF（同角的余角相等） CDFBDC ，则 ，ACBC， k1；如图 2，过点 A 作直线 BD 的垂线，交 BD 延长线于 G，则 AGCF，ADG CDF 第 25 页（共 25 页） k1AG（k1）CF，GD（ k1）FD 在直角CFD 中，CFkDF，CD 2DF 2+CF2，易得 CF CD在直角BCD 中，BCkCD，BD 2CD 2+BC2，易得 BD CD由 tanEBFtanABG 知， 即 故答案是： 【点评】考查了相似综合题，涉及到了相似三角形的判定与性质，勾股定理，注意解题过程中辅助线的作法，通过作辅助线构造相似三角形，通过相似三角形的对应边成比例得到其他线段间的数量关系是解题的难点，难度较大