1、2019 年安徽省宣城市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 （i 是虚数单位）的实部是（ ）A3i B6i C3 D62 （5 分）设集合 Ax| 12x+13，B x| 0，则 A（ RB）（ ）A （0，1 B1，0 C 1，0） D0 ，13 （5 分）设 aln ，b2 0.3，c （ ） 2，则（ ）Aacb Bcab Cabc Dbac4 （5 分）已知平面向量 ， ，满足| |2，| |1， 与 的夹角为 60，若（ + ） ，则实数
2、的值为（ ）Al B0 C1 D25 （5 分）我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得白米（ ）A96 石 B78 石 C60 石 D42 石6 （5 分）已知 P（m，2）为角 终边上一点，且 tan（+ ）3，则 cos（ ）A B C D7 （5 分）下列有关命题的叙述错误的是（ ）A若“pq”
3、为假命题，则 p 与 q 均为假命题B已知向量 （1，m+1 ） ， （m，2） ，则“ ”是“m1”的充分不必要条件C命题“若 x23x+2 0，则 x1 的逆否命题为“若 x1，则 x23x+20”D命题“x （0，+） ，xlnx0”的否定是“x 0（ 0，+） ，x 0lnx 00”第 2 页（共 23 页）8 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A ， B ，4 C ，3 D ，49 （5 分）已知双曲线 1（m 0，n0）和椭圆 + 1 有相同的焦点，则+ 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D510 （5 分）在ABC 中，角 A，B
4、，C 成等差数列，且对边分别为 a，b，c，若 20，b7，则ABC 的内切圆的半径为（ ）A B C2 D311 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是（ ）A2 B2 C2 D412 （5 分）已知函数 ya+8lnx（x ，e ）的图象上存在点 P，函数 yx 22 的图象上存在点 Q，且 P，Q 关于 x 轴对称，则 a 的取值范围是（ ）A68ln2，e 26 B e26，+）C10+ ， +） D68ln2，10+ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知圆 C：x 2+y21，直线 l
5、：yk （x+2） ，在1，1上随机选取一个数 k，则事件“直线 l 与圆 C 相交 ”发生的概率为 14 （5 分）顾客请一位工艺师把甲乙两件和田玉原料各制成一件工艺品，工艺师带一名徒第 3 页（共 23 页）弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成初级加工，再由工艺师进行精细加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下表所示，则最短交货期为 个工作日工序时间原料初级加工 精细加工原料甲 5 10原料乙 4 1515 （5 分）已知 A，B，C 三点在球 O 的表面上，ABBCCA2，且球心 O 到
6、平面 ABC的距离等于球半径的 ，则球 O 的表面积为 16 （5 分）已知抛物线 C：y 24x，过焦点 F 作倾斜角为 60的直线交抛物线 C 于 A，B两点，且| AF| BF|，则 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 Snn 2+kn，k N*，且 Sn5kn 的最小值是4（l）求数列a n的通项公式；（2）令 bn ，求数列b n的前
7、 n 项和18 （12 分）某单位共有职工 1000 人，其中男性 700 人，女性 300 人，为调查该单位职工每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 200 位职工每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时） （l）根据这 200 个样本数据，得到职工每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据的分组区间为：0，2 ， （2，4， （4，6， （6，8 ， （8，10，（10，12估计该单位职工每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率（2）估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数（保留两位小数） （3）在样本数据中，有 40 位女职工的每周平均体
8、育运动时间超过 4 小时，请完成每周第 4 页（共 23 页）平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关” ，P（Kk 0） 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879附：19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，PA PDAD2，点 M 在线段 PC 上，且 PM3MC，O，N，Q 分别为 BD，AD ，PA的中点（l）求证OQ平面 PBC；（2）若平面 PAD平面 ABCD，求三棱锥 PNBM 的体积20 （12 分）已知椭圆 E：
9、+ 1（ab0）的右焦点为 F（2 ，0） ，其长轴长是短轴长的 倍（l）求椭圆 E 的方程；（2）问是否存在斜率为 1 的直线 l 与椭圆 E 交于 4，B 两点，AF 1F2，BF 1F2 的重心分别为 G，H，且以线段 GH 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由第 5 页（共 23 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）4x+ +alnxa R（l）求 f（x）的单调区间；（2）当3a0 时，证明 f（x ）4（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4；坐标系与参数方程22 （10
10、分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 8 sin（ + ） （l）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点 P（1，0）作倾斜角为 45的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，试求 +的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）2x+1（1）解关于 x 的不等式 g（x）| xl |：（2）如果对x R，不等式|g（x）| c|xl |恒成立，求实数 c 的取值范围第 6 页（共 23 页）2019 年安徽省宣城市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题
11、：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 （i 是虚数单位）的实部是（ ）A3i B6i C3 D6【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案【解答】解： 复数 的实部是 3故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2 （5 分）设集合 Ax| 12x+13，B x| 0，则 A（ RB）（ ）A （0，1 B1，0 C 1，0） D0 ，1【分析】化简集合 A、B，根据补集与交集的定义计算即可【解答】解：集合 Ax| 12x+13 x|1x1，B x| 0x |1
12、x0，则 RBx| x1 或 x0，所以 A（ RB）x |0x 10 ，1故选：D【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题3 （5 分）设 aln ，b2 0.3，c （ ） 2，则（ ）Aacb Bcab Cabc Dbac【分析】利用指数函数、对数函数的性质直接求解【解答】解：aln ln10，b2 0.32 01，0c（ ） 2（ ） 01，acb第 7 页（共 23 页）故选：A【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）已知平面向量 ， ，满足| |2，| |1， 与 的夹角为 60，若（
13、+ ） ，则实数 的值为（ ）Al B0 C1 D2【分析】利用向量垂直的性质、向量的数量积公式直接求解【解答】解：平面向量 ， ，满足| |2，| |1， 与 的夹角为 60， （ + ） ，（ ） +| | |cos60+ +0，解得 1故选：A【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5 （5 分）我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只
14、知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得白米（ ）A96 石 B78 石 C60 石 D42 石【分析】今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，利用通项公式求和公式即可得出【解答】解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，d 18，第 8 页（共 23 页）3a1+3（18）180，解得 a178（石） 乙应该分得白米 781860 石故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分）已知 P（m，2）为角 终边上一点，且
15、tan（+ ）3，则 cos（ ）A B C D【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得 m 的值，可得cos 的值【解答】解：P（m，2）为角 终边上一点，tan ，再根据 tan（+ ）3 ，m4，x4，y2，r| OP| 2 ，则 cos ，故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题7 （5 分）下列有关命题的叙述错误的是（ ）A若“pq”为假命题，则 p 与 q 均为假命题B已知向量 （1，m+1 ） ， （m，2） ，则“ ”是“m1”的充分不必要条件C命题“若 x23x+2 0，则 x1 的
16、逆否命题为“若 x1，则 x23x+20”D命题“x （0，+） ，xlnx0”的否定是“x 0（ 0，+） ，x 0lnx 00”【分析】利用复合命题的真假判断 A 的正误；充要条件判断 B 的正误；四种命题的逆否第 9 页（共 23 页）关系判断 C 的正误；命题的否定形式判断 D 的正误【解答】解：若“pq”为假命题，则 p 与 q 均为假命题，正确；已知向量 （1，m+1） ， （m ，2） ，则“ ”可得 m2+m20，解得 m1 或m2，所以“ ”是“ m1”的必要不充分条件，所以 B 不正确；命题“若 x23x +20，则 x1 的逆否命题为“若 x1，则 x23x+20” ，满
17、足逆否命题的形式，正确；命题“x（0，+） ，xlnx0”的否定是“x 0（0，+） ，x 0lnx 00”满足命题的否定形式，正确；故选：B【点评】本题考查亩土地真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，复合命题的真假，充要条件等知识，是基本知识的考查8 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A ， B ，4 C ，3 D ，4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合数形结合即可得到结论【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图：z 1+ 的几何意义为平面区域内的点到定点 D（2，2）的斜率加 1，由图象知 AD 的斜率最小
18、，BD 的斜率最大，A（3，3） ，B（1，1） 则 的最小值为 1+ ， 的最大值为： 4，即 z4，故选：D第 10 页（共 23 页）【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键9 （5 分）已知双曲线 1（m 0，n0）和椭圆 + 1 有相同的焦点，则+ 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】求出椭圆的焦点坐标，推出 m，n 的关系，然后利用基本不等式求解 + 的最小值【解答】解：椭圆 + 1 的焦点（ ，0） ，双曲线 1（m0，n0）和椭圆 + 1 有相同的焦点，所以 m+n3，则 + （ + ） （m+n） （
19、5+ + ） （5+ ）3当且仅当 m2n2 时，取等号故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 成等差数列，且对边分别为 a，b，c，若 20，b7，则ABC 的内切圆的半径为（ ）A B C2 D3【分析】根据余弦定理计算 b+c，根据三角形的面积列方程求出内切圆半径第 11 页（共 23 页）【解答】解：角 A，B，C 成等差数列，A+ B+C，B accos B20，ac40S ABC 10 由余弦定理得 cosB ，a+c13，设ABC 的内切圆的半径为 r，则 SABC （a+b+c）
20、r10r，10 10r，解得 r 故选：A【点评】本题考查了余弦定理，解三角形，平面向量的数量积运算，属于中档题11 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是（ ）A2 B2 C2 D4【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体是四棱锥 PABCD 截去三棱锥 PABD后得到的三棱锥 PBCD然后求解即可【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体是四棱锥 PABCD 截去三棱锥PABD 后得到的三棱锥 PBCD其中四棱锥中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，且 PAAB2，最大面为PBD，面积为： 2故选：C第 12 页（共 23 页）【点
21、评】本题考查了三视图、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分）已知函数 ya+8lnx（x ，e ）的图象上存在点 P，函数 yx 22 的图象上存在点 Q，且 P，Q 关于 x 轴对称，则 a 的取值范围是（ ）A68ln2，e 26 B e26，+）C10+ ， +） D68ln2，10+ 【分析】将问题转化为 a+8lnxx 2+2 在 ，e上有解，即 ax 2+28lnx 在 ，e 上有解，借助导数求解【解答】解：由题意可知，a+8lnxx 2+2 在 ，e上有解，即 ax 2+28lnx 在 ，e上有解，令 g（x）x 2+28lnx，则 0，
22、当 x ，e 时，x2，g（e）e 26，所以 ，故选：D【点评】本题考查函数的图象对称问题，合理转化是关键，属于中档题目二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知圆 C：x 2+y21，直线 l：yk （x+2） ，在1，1上随机选取一个数 k，则事件“直线 l 与圆 C 相交 ”发生的概率为 【分析】直线与圆相交等价于 1k （ ， ） ，再根据几何概型可得【解答】解：直线与圆相交等价于 1k （ ， ） ，由几何概型概率公式可得 P 第 13 页（共 23 页）故答案为： 【点评】本题考查了几何概型，属中档题14 （5 分）顾客请一位工艺师把甲乙两件
23、和田玉原料各制成一件工艺品，工艺师带一名徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成初级加工，再由工艺师进行精细加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下表所示，则最短交货期为 29 个工作日工序时间原料初级加工 精细加工原料甲 5 10原料乙 4 15【分析】徒弟的初级加工共需要 9 分钟，但是第二件原料的初级加工可以在工艺师的精细加工时完成，故第二件不占时间，工艺师的精细加工共需要 25 分钟，可得【解答】解：徒弟的初级加工共需要 9 个工作日，工艺师的精细加工共需要 25 个工作日，925，故徒弟的第二件原料的初级加工可以在工艺师精细加工时完成，不占
24、时间故徒弟先加工原料乙，需要 4 个工作日，再加上工艺师精细加工的 25 个工作日，共需4+2529 个工作日故填：29【点评】本题考查了简单的合情推理，属基础题15 （5 分）已知 A，B，C 三点在球 O 的表面上，ABBCCA2，且球心 O 到平面 ABC的距离等于球半径的 ，则球 O 的表面积为 6 【分析】求出ABC 的外接圆半径 rOA ，利用球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径 R 的 ，求出 R2 ，由此能求出球 O 的表面积【解答】解：A，B，C 三点在球 O 的表面上，ABBCCA2，ABC 的外接圆半径 rOA ，球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径 R 的
25、，第 14 页（共 23 页）R 2（ ） 2+（ ） 2，解得 R2 ，球 O 的表面积为 S4R 26故答案为：6【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题16 （5 分）已知抛物线 C：y 24x，过焦点 F 作倾斜角为 60的直线交抛物线 C 于 A，B两点，且| AF| BF|，则 3 【分析】首先，写出抛物线的焦点坐标，然后，求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值【解答】解：抛物线 y24x 的焦点坐标为（1，0） ，直线 l 倾斜角为 60，直线 l 的方程为：y 0 （x1） 设直线与抛物线的
26、交点为 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，|AF| x1+1，| BF|x 2+1，联立方程组，消去 y 并整理，得 12x240x +120，解得 x13，x 2 ，|AF| x1+14，| BF|x 2+1 ，|AF|： |BF| 3：1， 的值为 3故答案为：3【点评】本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，第 15 页（共 23 页）每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分17 （12 分）
27、已知数列a n的前 n 项和 Snn 2+kn，k N*，且 Sn5kn 的最小值是4（l）求数列a n的通项公式；（2）令 bn ，求数列b n的前 n 项和【分析】 （1）由 Snn 2+kn，kN*，可得 Sn5kn n 24 kn（n2k ） 24k 2，k N*，利用二次函数的单调性可得 k再利用递推关系即可得出通项公式（2）b n ，利用错位相减法即可得出【解答】解：（1）S nn 2+kn，kN*，S n5knn 24kn （n2k ） 24k 2，k N*，当 n2k 时，其最小值为4k 24，解得 k1S nn 2+n，当 n1 时，a 1S 12n2 时，a nS nS n
28、1 n 2+n （n1） 2+（n1）2n，综上可得：a n2n（2）b n ，数列b n的前 n 项和 Tn + + + ，Tn + + ，相减可得： Tn +2 2 ，整理为：T n 【点评】本题考查了二次函数的单调性、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）某单位共有职工 1000 人，其中男性 700 人，女性 300 人，为调查该单位职工每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 200 位职工每周平均体育运第 16 页（共 23 页）动时间的样本数据（单位：小时） （l）根据这 200 个样本数据，得到
29、职工每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据的分组区间为：0，2 ， （2，4， （4，6， （6，8 ， （8，10，（10，12估计该单位职工每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率（2）估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数（保留两位小数） （3）在样本数据中，有 40 位女职工的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关” ，P（Kk 0） 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879附：【分析
30、】 （1） ）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过 4 小时的频率为12（0.100+0.025）0.75所以该单位职工每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75（2）平均值： 0.051+0.203+0.305+0.25 7+0.159+0.05115.80，中位数：0.05+0.20+x0.1500.5，解得 x ，（3）计算出 K2，结合临界值表可得【解答】解：（1）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过 4 小时的频率为12（0.100+0.025）0.75所以该单位职工每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75（2）平均值： 0.051+0.20
31、3+0.305+0.25 7+0.159+0.05115.80，第 17 页（共 23 页）中位数：0.05+0.20+x 0.1500.5，解得x ，所以中位数是 4+x5.67（3）由（2）知，200 位职工中有 2000.75150（位）的每周平均体育运动时间超过4 小时，50 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时，又因为样本数据中有 140 份是关于男职工的，60 份是关于女职工的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男 女 合计每周平均体育运动时间不超过 4 小时 30 20 50每周平均体育运动时间超过 4 小时
32、;110 40 150合计 140 60 200K2 3.1752.706，所以有 90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关【点评】本题考查了独立性检验，属中档题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，PA PDAD2，点 M 在线段 PC 上，且 PM3MC，O，N，Q 分别为 BD，AD ，PA的中点（l）求证OQ平面 PBC；（2）若平面 PAD平面 ABCD，求三棱锥 PNBM 的体积【分析】 （1）连接 AC，则 AC 与 BD 相交于点 O，连接 OQ，可得 OQPC，再由线面平行的判定可得
33、OQ平面 PBC；（2）由平面 PAD平面 ABCD，利用面面垂直的性质得 PN平面 ABCD，则PNNB，由已知求出三角形 PNB 的面积，再证明 BC平面 PNB，然后由等积法求解【解答】 （1）证明：如图，连接 AC，则 AC 与 BD 相交于点 O，连接 OQ，可得第 18 页（共 23 页）OQPC，OQ 平面 PBC，PC 平面 PBC，OQ平面 PBC；（2）解：平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD ，PAPD，N 为 AD 的中点，PNAD，则 PN平面 ABCD，得 PNNB ，又四边形 ABCD 为菱形，BAD60，PA PD AD2，PNNB ，又
34、 BNAD，PNAD，BNPN N ，AD平面 PNB，又 ADBC，BC平面 PNB，又 PM3MC， 三棱锥 PNBM 的体积为 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题20 （12 分）已知椭圆 E： + 1（ab0）的右焦点为 F（2 ，0） ，其长轴长是短轴长的 倍（l）求椭圆 E 的方程；（2）问是否存在斜率为 1 的直线 l 与椭圆 E 交于 4，B 两点，AF 1F2，BF 1F2 的重心分别为 G，H，且以线段 GH 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由题意可得
35、 ，解得 a212，b 24，解得即可求出椭圆方第 19 页（共 23 页）程，（2）假设存在这样的直线 l，设其方程为 yx+m，由 ，利用韦达定理和向量的数量积，以及三角形的重心的性质即可求出【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 a212，b 24，椭圆 E 的方程为 + 1，（2）假设存在这样的直线 l，设其方程为 yx+m，由 ，消 y 可得 4x2+6mx+3m2120其36m 216（3m 212）12（m 216）0，解得4m4，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，x 1+x2 m，x 1x2 ，F 1（2 ，0） ，F 2（2 ，0） ，G（ ， ） ，H（ ，
36、 ） ，由题意可得，以线段 GH 为直径的圆过原点， 0，则 x1x2+y1y20，x 1x2+（x 1+m） （x 2+m）0 ，则 2x1x2+m（x 1+x2）+m 20，即 +m20，解得 m ，故存在这样的直线 l，其方程为 yx 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量数量积运算等基本知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力与计算能力21 （12 分）已知函数 f（x ）4x+ +alnxa R（l）求 f（x）的单调区间；（2）当3a0 时，证明 f（x ）4第 20 页（共 23 页）【分析】 （1）求出
37、函数的 定义域和导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可（2）利用函数的导数，结合构造一元二次方程，结合函数的单调性和导数之间的关系，判断函数的单调性和最值即可【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+） ，函数导数 f（x ）4 + ，由 f（x）0 得 x1 或 x2 （舍） ，当 f（x）0 ，得 0x ，当 f（x）0 得 x ，即函数的单调递减区间为（0， ） ，单调递增区间为（ ，+）（2）由（1）知 f（x ） ，令 g（x）4x 2+ax1，g（0）10，当3a0 时，g（ ） 0，g（1）3+a0，存在 x0（ ，1） ，使得 g（x 0）4x 02+ax010，f（x
38、 0） 4 + 0，即 a 4 0，当 x（ ，x 0）时，g（x）0，即 f（x）0，f（x）在（ ，x 0）上单调递减，当 x（x 0，1）时，g（x）0，即 f（x）0，f（x ）在（x 0，1）上单调递增，f（x）的最小值为 f（x 0） 4x0+ +alnx04x 0+ +（ 4x 0）lnx 0，x 0（ ，1） ，第 21 页（共 23 页）令 h（x）4x+ +（ 4x ）lnx ，x（ ，1） ，则 h（x）（ +4）lnx0，h（x）在（ ，1）上单调递增，即 h（x）h（ ）4，即 f（x 0）4，f（x）4【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，极值和导数之
39、间的关系进行转化是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4；坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 8 sin（ + ） （l）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点 P（1，0）作倾斜角为 45的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，试求 +的值【分析】 （1）两边同乘 ，利用两角和的正弦公式和互化公式可得；（2）先得到直线 l 的参数过程，联立直线 l 的参数方程和曲线 C
40、的直角坐标方程，根据参数的几何意义可得【解答】解：（1）由 8 sin（ + ）得 28 （sin cos +cossin ） ，可得 x2+y28x8y0（2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，将其代入圆 C 的方程可得：t 27 t70，设 A，B 对应的参数分别是 t1，t 2，则 t1+t27 ，t 1t27，第 22 页（共 23 页）所以 + + 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）2x+1（1）解关于 x 的不等式 g（x）| xl |：（2）如果对x R，不等式|g（
41、x）| c|xl |恒成立，求实数 c 的取值范围【分析】 （1）由题意求出函数 g（x）的解析式，再用分类讨论法解关于 x 的不等式g（x）|xl|；（2）利用分离常数法把不等式|g（x ）|c|x l| 化为 c|2x1| |x1|，令 h（x）|2 x1| |x1|，求 h（x）的最小值即可【解答】解：（1）由函数 f（ x）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）2x+1，则y2（x）+1，所以 y2 x1；所以 g（x）2x 1，所以不等式 g（x ）|xl |化为 2x 1| x1|，当 x1 时，不等式化为 2x1x1，解得 x0，所以 x1；当 x1 时，不等式化为 2x11x，解得 x ，所以 x1；综上所述，不等式的解集为 ，+ ） ；（2）对xR，不等式 |g（x ） |c|xl |恒成立，即|2 x1| c|x 1|，所以 c|2x1|x 1|，令 h（x）|2x1| |x 1|，则 h（x） ，所以 h（x）的最小值为 h（ ） ，则实数 c 的取值范围是 c 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，解题时应对字母系数进行讨第 23 页（共 23 页）论，是中档题