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2019年安徽省宣城市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

1、2019 年安徽省宣城市高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)复数 (i 是虚数单位)的实部是(   )A3i B6i C3 D62 (5 分)设集合 Ax| 12x+13,B x| 0,则 A( RB)(  )A (0,1 B1,0 C 1,0) D0 ,13 (5 分)设 aln ,b2 0.3,c ( ) 2,则(  )Aacb Bcab Cabc Dbac4 (5 分)已知平面向量 , ,满足| |2,| |1, 与 的夹角为 60,若( + ) ,则实数

2、的值为(   )Al B0 C1 D25 (5 分)我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题:“今有白米一百八十石,令三人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干?”其意思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米?”请问:乙应该分得白米(  )A96 石 B78 石 C60 石 D42 石6 (5 分)已知 P(m,2)为角 终边上一点,且 tan(+ )3,则 cos(  )A B C D7 (5 分)下列有关命题的叙述错误的是(  )A若“pq”

3、为假命题,则 p 与 q 均为假命题B已知向量 (1,m+1 ) , (m,2) ,则“ ”是“m1”的充分不必要条件C命题“若 x23x+2 0,则 x1 的逆否命题为“若 x1,则 x23x+20”D命题“x (0,+) ,xlnx0”的否定是“x 0( 0,+) ,x 0lnx 00”第 2 页(共 23 页)8 (5 分)设 x,y 满足约束条件 ,则 的取值范围是(  )A , B ,4 C ,3 D ,49 (5 分)已知双曲线 1(m 0,n0)和椭圆 + 1 有相同的焦点,则+ 的最小值为(  )A2 B3 C4 D510 (5 分)在ABC 中,角 A,B

4、,C 成等差数列,且对边分别为 a,b,c,若 20,b7,则ABC 的内切圆的半径为(  )A B C2 D311 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,最大面积是(  )A2 B2 C2 D412 (5 分)已知函数 ya+8lnx(x ,e )的图象上存在点 P,函数 yx 22 的图象上存在点 Q,且 P,Q 关于 x 轴对称,则 a 的取值范围是(   )A68ln2,e 26 B e26,+)C10+ , +) D68ln2,10+ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13 (5 分)已知圆 C:x 2+y21,直线 l

5、:yk (x+2) ,在1,1上随机选取一个数 k,则事件“直线 l 与圆 C 相交 ”发生的概率为     14 (5 分)顾客请一位工艺师把甲乙两件和田玉原料各制成一件工艺品,工艺师带一名徒第 3 页(共 23 页)弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成初级加工,再由工艺师进行精细加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下表所示,则最短交货期为     个工作日工序时间原料初级加工 精细加工原料甲 5 10原料乙 4 1515 (5 分)已知 A,B,C 三点在球 O 的表面上,ABBCCA2,且球心 O 到

6、平面 ABC的距离等于球半径的 ,则球 O 的表面积为     16 (5 分)已知抛物线 C:y 24x,过焦点 F 作倾斜角为 60的直线交抛物线 C 于 A,B两点,且| AF| BF|,则     三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 17-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共60 分17 (12 分)已知数列a n的前 n 项和 Snn 2+kn,k N*,且 Sn5kn 的最小值是4(l)求数列a n的通项公式;(2)令 bn ,求数列b n的前

7、 n 项和18 (12 分)某单位共有职工 1000 人,其中男性 700 人,女性 300 人,为调查该单位职工每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 200 位职工每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时) (l)根据这 200 个样本数据,得到职工每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据的分组区间为:0,2 , (2,4, (4,6, (6,8 , (8,10,(10,12估计该单位职工每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率(2)估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数(保留两位小数) (3)在样本数据中,有 40 位女职工的每周平均体

8、育运动时间超过 4 小时,请完成每周第 4 页(共 23 页)平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有 90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关” ,P(Kk 0) 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879附:19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,BAD60,PA PDAD2,点 M 在线段 PC 上,且 PM3MC,O,N,Q 分别为 BD,AD ,PA的中点(l)求证OQ平面 PBC;(2)若平面 PAD平面 ABCD,求三棱锥 PNBM 的体积20 (12 分)已知椭圆 E:

9、+ 1(ab0)的右焦点为 F(2 ,0) ,其长轴长是短轴长的 倍(l)求椭圆 E 的方程;(2)问是否存在斜率为 1 的直线 l 与椭圆 E 交于 4,B 两点,AF 1F2,BF 1F2 的重心分别为 G,H,且以线段 GH 为直径的圆过原点,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由第 5 页(共 23 页)21 (12 分)已知函数 f(x )4x+ +alnxa R(l)求 f(x)的单调区间;(2)当3a0 时,证明 f(x )4(二)选考题:共 10 分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修 4-4;坐标系与参数方程22 (10

10、分)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,曲线 C 的极坐标方程为 8 sin( + ) (l)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过点 P(1,0)作倾斜角为 45的直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,试求 +的值选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)2x+1(1)解关于 x 的不等式 g(x)| xl |:(2)如果对x R,不等式|g(x)| c|xl |恒成立,求实数 c 的取值范围第 6 页(共 23 页)2019 年安徽省宣城市高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题

11、:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)复数 (i 是虚数单位)的实部是(   )A3i B6i C3 D6【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案【解答】解: 复数 的实部是 3故选:C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题2 (5 分)设集合 Ax| 12x+13,B x| 0,则 A( RB)(  )A (0,1 B1,0 C 1,0) D0 ,1【分析】化简集合 A、B,根据补集与交集的定义计算即可【解答】解:集合 Ax| 12x+13 x|1x1,B x| 0x |1

12、x0,则 RBx| x1 或 x0,所以 A( RB)x |0x 10 ,1故选:D【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题3 (5 分)设 aln ,b2 0.3,c ( ) 2,则(  )Aacb Bcab Cabc Dbac【分析】利用指数函数、对数函数的性质直接求解【解答】解:aln ln10,b2 0.32 01,0c( ) 2( ) 01,acb第 7 页(共 23 页)故选:A【点评】本题考查三个数的大小的比较,考查指数函数、对数函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题4 (5 分)已知平面向量 , ,满足| |2,| |1, 与 的夹角为 60,若(

13、+ ) ,则实数 的值为(   )Al B0 C1 D2【分析】利用向量垂直的性质、向量的数量积公式直接求解【解答】解:平面向量 , ,满足| |2,| |1, 与 的夹角为 60, ( + ) ,( ) +| | |cos60+ +0,解得 1故选:A【点评】本题考查实数值的求法,考查向量垂直的性质、向量数量积公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题5 (5 分)我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题:“今有白米一百八十石,令三人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干?”其意思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,只

14、知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米?”请问:乙应该分得白米(  )A96 石 B78 石 C60 石 D42 石【分析】今有百米一百八十石,甲乙丙三个人来分,他们分得的米数构成等差数列,利用通项公式求和公式即可得出【解答】解:今有百米一百八十石,甲乙丙三个人来分,他们分得的米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,d 18,第 8 页(共 23 页)3a1+3(18)180,解得 a178(石) 乙应该分得白米 781860 石故选:C【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题6 (5 分)已知 P(m,2)为角 终边上一点,且

15、tan(+ )3,则 cos(  )A B C D【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,两角和的正切公式,求得 m 的值,可得cos 的值【解答】解:P(m,2)为角 终边上一点,tan ,再根据 tan(+ )3 ,m4,x4,y2,r| OP| 2 ,则 cos ,故选:B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两角和的正切公式的应用,属于基础题7 (5 分)下列有关命题的叙述错误的是(  )A若“pq”为假命题,则 p 与 q 均为假命题B已知向量 (1,m+1 ) , (m,2) ,则“ ”是“m1”的充分不必要条件C命题“若 x23x+2 0,则 x1 的

16、逆否命题为“若 x1,则 x23x+20”D命题“x (0,+) ,xlnx0”的否定是“x 0( 0,+) ,x 0lnx 00”【分析】利用复合命题的真假判断 A 的正误;充要条件判断 B 的正误;四种命题的逆否第 9 页(共 23 页)关系判断 C 的正误;命题的否定形式判断 D 的正误【解答】解:若“pq”为假命题,则 p 与 q 均为假命题,正确;已知向量 (1,m+1) , (m ,2) ,则“ ”可得 m2+m20,解得 m1 或m2,所以“ ”是“ m1”的必要不充分条件,所以 B 不正确;命题“若 x23x +20,则 x1 的逆否命题为“若 x1,则 x23x+20” ,满

17、足逆否命题的形式,正确;命题“x(0,+) ,xlnx0”的否定是“x 0(0,+) ,x 0lnx 00”满足命题的否定形式,正确;故选:B【点评】本题考查亩土地真假的判断与应用,四种命题的逆否关系,复合命题的真假,充要条件等知识,是基本知识的考查8 (5 分)设 x,y 满足约束条件 ,则 的取值范围是(  )A , B ,4 C ,3 D ,4【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,结合数形结合即可得到结论【解答】解:作出 x,y 满足约束条件 对应的平面区域如图:z 1+ 的几何意义为平面区域内的点到定点 D(2,2)的斜率加 1,由图象知 AD 的斜率最小

18、,BD 的斜率最大,A(3,3) ,B(1,1) 则 的最小值为 1+ , 的最大值为: 4,即 z4,故选:D第 10 页(共 23 页)【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键9 (5 分)已知双曲线 1(m 0,n0)和椭圆 + 1 有相同的焦点,则+ 的最小值为(  )A2 B3 C4 D5【分析】求出椭圆的焦点坐标,推出 m,n 的关系,然后利用基本不等式求解 + 的最小值【解答】解:椭圆 + 1 的焦点( ,0) ,双曲线 1(m0,n0)和椭圆 + 1 有相同的焦点,所以 m+n3,则 + ( + ) (m+n) (

19、5+ + ) (5+ )3当且仅当 m2n2 时,取等号故选:B【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查10 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 成等差数列,且对边分别为 a,b,c,若 20,b7,则ABC 的内切圆的半径为(  )A B C2 D3【分析】根据余弦定理计算 b+c,根据三角形的面积列方程求出内切圆半径第 11 页(共 23 页)【解答】解:角 A,B,C 成等差数列,A+ B+C,B accos B20,ac40S ABC 10 由余弦定理得 cosB ,a+c13,设ABC 的内切圆的半径为 r,则 SABC (a+b+c)

20、r10r,10 10r,解得 r 故选:A【点评】本题考查了余弦定理,解三角形,平面向量的数量积运算,属于中档题11 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,最大面积是(  )A2 B2 C2 D4【分析】如图所示,由三视图可知:该几何体是四棱锥 PABCD 截去三棱锥 PABD后得到的三棱锥 PBCD然后求解即可【解答】解:如图所示,由三视图可知:该几何体是四棱锥 PABCD 截去三棱锥PABD 后得到的三棱锥 PBCD其中四棱锥中,底面 ABCD 是正方形,PA底面 ABCD,且 PAAB2,最大面为PBD,面积为: 2故选:C第 12 页(共 23 页)【点

21、评】本题考查了三视图、空间位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12 (5 分)已知函数 ya+8lnx(x ,e )的图象上存在点 P,函数 yx 22 的图象上存在点 Q,且 P,Q 关于 x 轴对称,则 a 的取值范围是(   )A68ln2,e 26 B e26,+)C10+ , +) D68ln2,10+ 【分析】将问题转化为 a+8lnxx 2+2 在 ,e上有解,即 ax 2+28lnx 在 ,e 上有解,借助导数求解【解答】解:由题意可知,a+8lnxx 2+2 在 ,e上有解,即 ax 2+28lnx 在 ,e上有解,令 g(x)x 2+28lnx,则 0,

22、当 x ,e 时,x2,g(e)e 26,所以 ,故选:D【点评】本题考查函数的图象对称问题,合理转化是关键,属于中档题目二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13 (5 分)已知圆 C:x 2+y21,直线 l:yk (x+2) ,在1,1上随机选取一个数 k,则事件“直线 l 与圆 C 相交 ”发生的概率为   【分析】直线与圆相交等价于 1k ( , ) ,再根据几何概型可得【解答】解:直线与圆相交等价于 1k ( , ) ,由几何概型概率公式可得 P 第 13 页(共 23 页)故答案为: 【点评】本题考查了几何概型,属中档题14 (5 分)顾客请一位工艺师把甲乙两件

23、和田玉原料各制成一件工艺品,工艺师带一名徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成初级加工,再由工艺师进行精细加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下表所示,则最短交货期为 29 个工作日工序时间原料初级加工 精细加工原料甲 5 10原料乙 4 15【分析】徒弟的初级加工共需要 9 分钟,但是第二件原料的初级加工可以在工艺师的精细加工时完成,故第二件不占时间,工艺师的精细加工共需要 25 分钟,可得【解答】解:徒弟的初级加工共需要 9 个工作日,工艺师的精细加工共需要 25 个工作日,925,故徒弟的第二件原料的初级加工可以在工艺师精细加工时完成,不占

24、时间故徒弟先加工原料乙,需要 4 个工作日,再加上工艺师精细加工的 25 个工作日,共需4+2529 个工作日故填:29【点评】本题考查了简单的合情推理,属基础题15 (5 分)已知 A,B,C 三点在球 O 的表面上,ABBCCA2,且球心 O 到平面 ABC的距离等于球半径的 ,则球 O 的表面积为 6 【分析】求出ABC 的外接圆半径 rOA ,利用球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径 R 的 ,求出 R2 ,由此能求出球 O 的表面积【解答】解:A,B,C 三点在球 O 的表面上,ABBCCA2,ABC 的外接圆半径 rOA ,球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径 R 的

25、,第 14 页(共 23 页)R 2( ) 2+( ) 2,解得 R2 ,球 O 的表面积为 S4R 26故答案为:6【点评】本题考查球的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题16 (5 分)已知抛物线 C:y 24x,过焦点 F 作倾斜角为 60的直线交抛物线 C 于 A,B两点,且| AF| BF|,则 3 【分析】首先,写出抛物线的焦点坐标,然后,求解直线的方程,利用焦半径公式求解比值【解答】解:抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0) ,直线 l 倾斜角为 60,直线 l 的方程为:y 0 (x1) 设直线与抛物线的

26、交点为 A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2) ,|AF| x1+1,| BF|x 2+1,联立方程组,消去 y 并整理,得 12x240x +120,解得 x13,x 2 ,|AF| x1+14,| BF|x 2+1 ,|AF|: |BF| 3:1, 的值为 3故答案为:3【点评】本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识,属于中档题三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 17-21 题为必考题,第 15 页(共 23 页)每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共60 分17 (12 分)

27、已知数列a n的前 n 项和 Snn 2+kn,k N*,且 Sn5kn 的最小值是4(l)求数列a n的通项公式;(2)令 bn ,求数列b n的前 n 项和【分析】 (1)由 Snn 2+kn,kN*,可得 Sn5kn n 24 kn(n2k ) 24k 2,k N*,利用二次函数的单调性可得 k再利用递推关系即可得出通项公式(2)b n ,利用错位相减法即可得出【解答】解:(1)S nn 2+kn,kN*,S n5knn 24kn (n2k ) 24k 2,k N*,当 n2k 时,其最小值为4k 24,解得 k1S nn 2+n,当 n1 时,a 1S 12n2 时,a nS nS n

28、1 n 2+n (n1) 2+(n1)2n,综上可得:a n2n(2)b n ,数列b n的前 n 项和 Tn + + + ,Tn + + ,相减可得: Tn +2 2 ,整理为:T n 【点评】本题考查了二次函数的单调性、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题18 (12 分)某单位共有职工 1000 人,其中男性 700 人,女性 300 人,为调查该单位职工每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 200 位职工每周平均体育运第 16 页(共 23 页)动时间的样本数据(单位:小时) (l)根据这 200 个样本数据,得到

29、职工每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据的分组区间为:0,2 , (2,4, (4,6, (6,8 , (8,10,(10,12估计该单位职工每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率(2)估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数(保留两位小数) (3)在样本数据中,有 40 位女职工的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有 90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关” ,P(Kk 0) 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879附:【分析

30、】 (1) )由频率分布直方图得每周平均体育运动超过 4 小时的频率为12(0.100+0.025)0.75所以该单位职工每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75(2)平均值: 0.051+0.203+0.305+0.25 7+0.159+0.05115.80,中位数:0.05+0.20+x0.1500.5,解得 x ,(3)计算出 K2,结合临界值表可得【解答】解:(1)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过 4 小时的频率为12(0.100+0.025)0.75所以该单位职工每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75(2)平均值: 0.051+0.20

31、3+0.305+0.25 7+0.159+0.05115.80,第 17 页(共 23 页)中位数:0.05+0.20+x 0.1500.5,解得x ,所以中位数是 4+x5.67(3)由(2)知,200 位职工中有 2000.75150(位)的每周平均体育运动时间超过4 小时,50 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时,又因为样本数据中有 140 份是关于男职工的,60 份是关于女职工的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:男  女  合计每周平均体育运动时间不超过 4 小时 30  20  50每周平均体育运动时间超过 4 小时  

32、;110  40 150合计 140  60 200K2 3.1752.706,所以有 90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关【点评】本题考查了独立性检验,属中档题19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,BAD60,PA PDAD2,点 M 在线段 PC 上,且 PM3MC,O,N,Q 分别为 BD,AD ,PA的中点(l)求证OQ平面 PBC;(2)若平面 PAD平面 ABCD,求三棱锥 PNBM 的体积【分析】 (1)连接 AC,则 AC 与 BD 相交于点 O,连接 OQ,可得 OQPC,再由线面平行的判定可得

33、OQ平面 PBC;(2)由平面 PAD平面 ABCD,利用面面垂直的性质得 PN平面 ABCD,则PNNB,由已知求出三角形 PNB 的面积,再证明 BC平面 PNB,然后由等积法求解【解答】 (1)证明:如图,连接 AC,则 AC 与 BD 相交于点 O,连接 OQ,可得第 18 页(共 23 页)OQPC,OQ 平面 PBC,PC 平面 PBC,OQ平面 PBC;(2)解:平面 PAD平面 ABCD,且平面 PAD平面 ABCDAD ,PAPD,N 为 AD 的中点,PNAD,则 PN平面 ABCD,得 PNNB ,又四边形 ABCD 为菱形,BAD60,PA PD AD2,PNNB ,又

34、 BNAD,PNAD,BNPN N ,AD平面 PNB,又 ADBC,BC平面 PNB,又 PM3MC, 三棱锥 PNBM 的体积为 【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题20 (12 分)已知椭圆 E: + 1(ab0)的右焦点为 F(2 ,0) ,其长轴长是短轴长的 倍(l)求椭圆 E 的方程;(2)问是否存在斜率为 1 的直线 l 与椭圆 E 交于 4,B 两点,AF 1F2,BF 1F2 的重心分别为 G,H,且以线段 GH 为直径的圆过原点,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由【分析】 (1)由题意可得

35、 ,解得 a212,b 24,解得即可求出椭圆方第 19 页(共 23 页)程,(2)假设存在这样的直线 l,设其方程为 yx+m,由 ,利用韦达定理和向量的数量积,以及三角形的重心的性质即可求出【解答】解:(1)由题意可得 ,解得 a212,b 24,椭圆 E 的方程为 + 1,(2)假设存在这样的直线 l,设其方程为 yx+m,由 ,消 y 可得 4x2+6mx+3m2120其36m 216(3m 212)12(m 216)0,解得4m4,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,x 1+x2 m,x 1x2 ,F 1(2 ,0) ,F 2(2 ,0) ,G( , ) ,H( ,

36、 ) ,由题意可得,以线段 GH 为直径的圆过原点, 0,则 x1x2+y1y20,x 1x2+(x 1+m) (x 2+m)0 ,则 2x1x2+m(x 1+x2)+m 20,即 +m20,解得 m ,故存在这样的直线 l,其方程为 yx 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量数量积运算等基本知识与基本技能,考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力与计算能力21 (12 分)已知函数 f(x )4x+ +alnxa R(l)求 f(x)的单调区间;(2)当3a0 时,证明 f(x )4第 20 页(共 23 页)【分析】 (1)求出

37、函数的 定义域和导数,结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可(2)利用函数的导数,结合构造一元二次方程,结合函数的单调性和导数之间的关系,判断函数的单调性和最值即可【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+) ,函数导数 f(x )4 + ,由 f(x)0 得 x1 或 x2 (舍) ,当 f(x)0 ,得 0x ,当 f(x)0 得 x ,即函数的单调递减区间为(0, ) ,单调递增区间为( ,+)(2)由(1)知 f(x ) ,令 g(x)4x 2+ax1,g(0)10,当3a0 时,g( ) 0,g(1)3+a0,存在 x0( ,1) ,使得 g(x 0)4x 02+ax010,f(x

38、 0) 4 + 0,即 a 4 0,当 x( ,x 0)时,g(x)0,即 f(x)0,f(x)在( ,x 0)上单调递减,当 x(x 0,1)时,g(x)0,即 f(x)0,f(x )在(x 0,1)上单调递增,f(x)的最小值为 f(x 0) 4x0+ +alnx04x 0+ +( 4x 0)lnx 0,x 0( ,1) ,第 21 页(共 23 页)令 h(x)4x+ +( 4x )lnx ,x( ,1) ,则 h(x)( +4)lnx0,h(x)在( ,1)上单调递增,即 h(x)h( )4,即 f(x 0)4,f(x)4【点评】本题主要考查导数的综合应用,结合函数单调性,极值和导数之

39、间的关系进行转化是解决本题的关键综合性较强,有一定的难度(二)选考题:共 10 分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修 4-4;坐标系与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,曲线 C 的极坐标方程为 8 sin( + ) (l)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过点 P(1,0)作倾斜角为 45的直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,试求 +的值【分析】 (1)两边同乘 ,利用两角和的正弦公式和互化公式可得;(2)先得到直线 l 的参数过程,联立直线 l 的参数方程和曲线 C

40、的直角坐标方程,根据参数的几何意义可得【解答】解:(1)由 8 sin( + )得 28 (sin cos +cossin ) ,可得 x2+y28x8y0(2)直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,将其代入圆 C 的方程可得:t 27 t70,设 A,B 对应的参数分别是 t1,t 2,则 t1+t27 ,t 1t27,第 22 页(共 23 页)所以 + + 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)2x+1(1)解关于 x 的不等式 g(x)| xl |:(2)如果对x R,不等式|g(

41、x)| c|xl |恒成立,求实数 c 的取值范围【分析】 (1)由题意求出函数 g(x)的解析式,再用分类讨论法解关于 x 的不等式g(x)|xl|;(2)利用分离常数法把不等式|g(x )|c|x l| 化为 c|2x1| |x1|,令 h(x)|2 x1| |x1|,求 h(x)的最小值即可【解答】解:(1)由函数 f( x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)2x+1,则y2(x)+1,所以 y2 x1;所以 g(x)2x 1,所以不等式 g(x )|xl |化为 2x 1| x1|,当 x1 时,不等式化为 2x1x1,解得 x0,所以 x1;当 x1 时,不等式化为 2x11x,解得 x ,所以 x1;综上所述,不等式的解集为 ,+ ) ;(2)对xR,不等式 |g(x ) |c|xl |恒成立,即|2 x1| c|x 1|,所以 c|2x1|x 1|,令 h(x)|2x1| |x 1|,则 h(x) ,所以 h(x)的最小值为 h( ) ,则实数 c 的取值范围是 c 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题,解题时应对字母系数进行讨第 23 页(共 23 页)论,是中档题