1、第 11 讲不定方程内容概述学会求二元一次不定方程与多元一次不定方程组的整数解，通常利用整除性、大小估计等方法进行分析；注意对多个未知数进行恰当的消元，化简方程典型问题兴趣篇1有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装 8 千克油，小油桶能装 5 千克油，44 千克油恰好装满这些油桶问：大、小油桶各几个？2有 150 个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装 12 个，小盒每盒装 7 个问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候若是早晨见面，小花狗叫 2 声，波斯猫叫 1 声；若是晚上见面，小花狗叫 2 声，波斯猫叫 3 声
2、，细心的小娟对它们的叫声统计了 15 天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这 15 天内它们共叫了 61声问：波斯猫至少叫了多少声？4庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头，19 个小和尚每天共吃 60 个馒头，平均每个和尚每天恰好吃 4 个馒头请问：庙里共有多少个和尚？5某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 的职工各带一个孩子参31加男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了 216棵树请问：其中有多少名男职工？6新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的 100 本教科书已知老师
3、和学生共 14人，每个老师能搬 12 本，每个男生能搬 8 本，每个女生能搬 5 本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？7新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20 分、40 分和 50 分，其中面值 20 分的邮票售价 5 元，面值 40 分的邮票售价 8 元，面值 50 分的邮票售价 9 元小明花了 156 元买回了总面值为 8.3 元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？8小萌在邮局寄了三种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封 2 角，她共用了 1元 2 角 2 分，那么小萌寄的这三种信的总和最少是多少封？9有纸币 60 张，其中 1 分、1
4、角、1 元和 10 元各有若干张请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是 100 元？10快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个 7 元，鸡肉汉堡每个 9 元，牛肉汉堡每个 14 元，小明去快餐店买汉堡他付款 100 元，找回 8 元请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？拓展篇1甲级铅笔 7 角一支，乙级铅笔 3 角一支，张明用 5 元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？2采购员去超市买鸡蛋每个大盒里有 23 个鸡蛋，每个小盒里有 16 个鸡蛋（盒子不能拆开）采购员要恰好买 500 个鸡蛋，他一共要买多少盒？3在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有 9000 人，每个航空兵师有 8000 人
5、在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有 27.1 万人如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？4甲、乙两个小队的同学去植树甲小队有一人植树 12 棵，其余每人都植树 13 棵；乙小队有一人植树 8 棵，其余每人都植树 10 棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵问：甲、乙两小队共有多少人？5将一根长为 380 厘米的合金铝管截成若干根长为 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？6某次数学比赛，用两种不同的方式判分一种是答对 1 题给 5
6、 分，不答给 2 分，答错不给分；另一种是先给 40 分，答对 1 题给 3 分，不答不给分，答错扣 1 分，某考生两种判分方法均得 71 分，请问：这次比赛共考了多少道题？7、我国古代数学家张丘建在算经一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?这个问题是说：每只公鸡价值5 文钱，每只母鸡价值 3 文钱，每 3 只小鸡价值 1 文钱要想用 100 文钱恰好买 100 只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只?8小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买钢笔 4 支一盒，每盒 5 元；圆珠笔 6 支一盒，每盒 6 元
7、；铅笔 10 支一盒，每盒 7 元小李总共花了 97 元，买了 90 支笔请问：三种笔分别买了多少盒?9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如图 11-1，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应 17 分、11 分和 4 分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数试问：如果比赛规定恰好投中 100 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?如果规定恰好投中 120 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?10、阿奇到商店买糖，巧克力糖 13 元一包，奶糖 17 元一包，水果糖 7.8 元一包，酥糖 10.4元一包，最后他共花了 360 元，且每种糖都买了请问：阿奇共买了多
8、少包奶糖?11、小悦、冬冬去超市买水果小悦买了 2 千克桔子、3 千克苹果和 4 千克梨，共花了 28.5元，冬冬买了 3 千克桔子、5 千克苹果和 7 千克梨，共花了 47.7 元结账的时候碰到老师，老师买了 6 千克桔子和 3 千克苹果，那么老师应该花了多少钱?12、红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小明买红笔、蓝笔各一支，共用了 23 元小强打算用 109 元来买这两种笔(也允许只买其中一种) ，可是他无论怎么买，都不能把 109 元恰好用完求红笔的单价超越篇1、求不定方程 35x+64y=1625 的所有自然数解2、一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共 1355
9、斤其中苹果每筐 60 斤，每斤定价 1.5 元；梨每筐 55 斤，每斤定价 1.5 元；桃子每筐 45 斤，每斤定价 1.8 元批发市场是以定价的 70购人这些水果的，如果全部售完，将获得 638.1 元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐?3、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2 倍这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐 1 人，三人桌每桌都只坐 2 人，四人桌每桌都只坐 3 人，且恰好平均每 11 人占用 17 个座位请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张?4、采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价 590 元的 A 种商
10、品和若干个单价 670 元的 B 种商品，其中 B 种商品多于 A 种商品，最后找回了几张 100 元钞票和不到 10 张 10 元钞票如果把 A、B 两种商品的数量调换，找回的 100 元和 10 元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个?5、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲 1 件、乙 5 件、丙 1 件、丁 3 件共需 195 元；若购买甲 2 件、乙 l 件、丙 4 件、丁 2 件共需 183 元；若购买甲 2 件、乙 6 件、丙 6 件、丁 5 件共需 375 元现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元?6、国庆节，公司发给唐师傅一张 1000 元的礼券，但只允许购买 A
11、、B、C、D、E 五种商品，并且必须正好把礼券用完已知这五种商品每盒的价格和重量如下表 商品 A B C D E单价(元) 70 110 190 290 310重量(千克) 1.5 2 1 10 3如果唐师傅最多只能带走 20 千克商品，且一定要购买 D 商品，共有多少种不同的买法?7、现有一架天平和很多个 13 克和 17 克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少?(砝码只能放在天平的一边)8、现有 17 升和 4 升的两个空桶和一个大桶里的 100 升汽油，用这两个空桶要倒出 l 升汽油，至少需要倒多少次?第 11 讲 不 定 方 程兴 趣 篇1、 有两 种不 同规 格的 油桶
12、 若干个 ， 大油 桶能 装8 千 克油 ， 小 油桶 能装5 千 克 油 ， 44 千 克油 恰好装 满这 些油 桶 。 问 ： 大 、 小 油桶 各几 个 ？【 答案 】 大油 桶3 个 ， 小 油桶 4 个【分析 】设 大 桶x 个 ，小 桶 y 个 ，则8x+5y=44。尾数判 断 ：y 必 为偶 数 ，8x 尾数 为4 。那么 有8 x=24 x=3y=（44-24）5=4答 ：有 大油 桶 3 个 ，小油 桶4 个 。2、 有1 50 个 乒乓 球分 装在 大 、 小 两种盒 子里 ， 大盒 每盒 装12 个 ， 小 盒每 盒装7 个 。 问 ： 需 ， ， ，要大 、 小盒 子各
13、 多少 个才 能恰好 把这 些球 装完 ？【 答案 】 大盒9 个 ， 小 盒 6 个或 者大 盒2 个 ， 小盒1 8 个【分析 】设 大盒 子x 个 ，小盒 子 y 个 ，则12x+7 y=150两边 取7 的 模， 有5 x 3 mod 7x=2+7k（k N ）又x 150 12.5 ，故 x 共 有 2 个取 值 ：2，9。12不定方 程 有2 组 正整 数解 ： x 2 y 18 x 9 y 6答 ：需 要 2 个大 盒子 ，18 个小盒 子 或9 个 大盒 子 ，6 个小 盒子 。3、 小花 狗和波 斯猫 是一对 好朋 友 ， 它们 在早晚 见面 时总要 叫上几 声表示 问候 。
14、 若是 早晨见 面 ， 小 花狗 叫 2 声 ， 波斯 猫叫 1 声 ； 若是 晚上 见面 ， 小花 狗叫 2 声 ， 波 斯猫 叫 3 声 。 细 心的小 娟对 它们 的叫 声统 计了 15 天 ， 发现 它们 并不 是每天 早晚 都见 面， 在这 15 天内 它 们共叫 了 61 声 。 问 ： 波 斯 猫至少 叫了 多少 声 ？【 答案 】 27 声【分析 】依 题意 ，猫 狗早 晨见面 ，共 叫 了3 声 ，晚 上见面 ，共 叫 了5 声 ，设 它们15 天中 白天见 面x 次 ，晚 上见 面y 次 ，显 然x ，y15， 那么 3x+5y=61，两边 取 5 的模 ，有 ：3x 1(
15、mod 5) x 2 5k (k N )有3 组 解： x 2 y 11 x 7 y 8 x 12 y 5 ， ， ， ， ，对应的 小 猫 分别 叫了 ：35，31，27 次 ，故最 少叫 27 声 。4、 庙 里有 若干 个大 和尚 和 若干个 小和 尚共 七百 多人 ， 已 知 7 个 大和 尚每 天共 吃 41 个馒 头 ，19 个小 和尚 每天 共吃 60 个馒头 ， 平 均每 个和 尚 每 天恰好 吃 4 个 馒头 。 请 问 ： 庙里 共有 多少个 和尚 ？【 答案 】 718 个【分析 】设 有7 x 个 大和 尚 ，19y 个小 和尚 ，那 么：41x 60 y 4 13x
16、16 y x 16 7x 1127 x 19 y y112+247=35913 19 y 247又和尚 共 700 多 人， 故和 尚应 有359 2=718 人 。 其中大 和 尚1 122=224 人 ，小和 尚2 472=494 人 。 答 ：共 有 718 个 和尚 。5、 某单位的职工 到郊外植 树 ， 其中有男 职工 ， 也有 女职工 ， 并且 有 1 的职工各带一个孩子3参加 。 男职 工每 人 种 13 棵 树， 女 职工 每人 种 10 棵树 ， 每个 孩子 种6 棵 树， 它 们一共 种 了216 棵树 。 请 问： 其中 有多少 名男 职工 ？【 答案 】 12 名【分析
17、 】设 有x 名男 职工 ，y 名 女职 工 ，1 x y 个孩 子 。313x 10 y 6 1 x y 216 5x 4 y 723尾数判 断 ，x 为 偶数 ，4y 尾数 为 2那么 ，y=3 ，8，13，18方程 有4 组 整数 解 ： x 12 y 3 x 8 y 8 x 4 y 13 x 0 y 18又x +y 应 是 3 的倍 数 （孩 子的数 量是 整数 个 ，且x ，y0 ， x 12故只有 y 3满足 条件 。答 ：有 男职 工 12 人 。6、 新学 期开 始了 ， 几 个老 师带着 一些 学生 去搬 全班 的 100 本教 科书 。 已 知老 师和学 生 共 14 人
18、， 每 个老 师能 搬 12 本 ， 每个 男 生能 搬 8 本 ， 每个 女生能 搬 5 本 ， 恰好 一次 搬完 。 问 ： 搬书的 老师 、 男 生、 女生 各有多 少人 ？【 答案 】 老师3 名 ， 男 生 3 名 ， 女生8 名【分析 】设 有男 生x 人 ，女生 y 人 ，老师 14-x-y 人 ，则有 ：8x+5y+12（14-x-y）=100 4x+7y=68。等号两 边 取4 的 模， 有3 y 0(mod 4) y 0(mod 4) ，y=0，4，8。方程 有3 组 解： x 17 y 0 x 10 y 4 x 3 y 8依题 意x +yx12。109 是 质数109-2
19、3=86=243109-46=63=3 27109-69=40=2 35109-92=17无论 怎 么 买都 不能 把钱 用光，x 和23 -x 不是 109，86，63，40，17 的约 数 。x，23-x1，2 ，3，4，5，7 ，8，9，10，17，20，21， 那么仅 有 x=12，23-x=11 满足条 件 。即红笔 的单 价 是12 元 。超 越 篇1、 求 不定 方程3 5x 64y 1625的所 有自 然 数解 。【 答案 】 x 19，y 15【分析 】两 边 取5 的 模 ：4 y 0(mod 5) 51y设y 5k (k N )原式可 化为 ：35x+320k=1625
20、7x+64k=325，两边 取64 的模 ：7 x 5(mod 64) x 3 25 467 x=19代入 得y =15则 x 19 y 152、 一 个水 果批 发市 场运 进 苹果 、 梨和 桃子 各若 干筐 ， 共 1355 斤 。 其中 苹果 每 筐 60 斤 ， 每 斤定 价1.5 元 ； 梨每 筐5 5 斤 ， 每 斤定 价 1.5 元 ； 桃 子每 筐45 斤 ， 每斤 定价1. 8 元 。 批发市场 是以 定价 的 70%购 入这些 水果 的 ， 如 果全 部 售完 ， 将 获得638. 1 元的 利 润 ， 请问 ： 批发市 场运 进三 种水 果各 多少筐 ？【 答案 】 苹
21、果10 筐 ， 梨 8 筐 ， 桃 子 7 筐【分析 】售 完后 总收 入 为638.1 （1 -70%）=2127 元 。 设苹果 、梨 、桃 各 x、y、z 筐 ，依题 意有 ： 60x 55 y 45z 1355 (1) 60 1.5x 55 1.5 y 45 1.8z 2127 (2)（2）-（1 ）1.5 得 450.3z=2127-13551.5=94.5z=7代入 （1）得 60x+55y=1040 12x+11y=208。 有整数 解 x=10，y=8。3、 雨 轩图 书馆 内有 两人 桌 、 三人 桌和 四人 桌共 五十 多张， 其中 两人 桌的 数量 为四人 桌数 量 的2
22、 倍 。 这天 除了某 张桌 子坐满 外 ， 其 它两人 桌 都 只坐1 人 ， 三 人桌每 桌都 只坐 了2 人 ， 四人桌 每桌 只 坐3 人 ， 且 恰好平 均 每 11 人占 用1 7 座位 。 请问 ： 图 书馆 两人 桌 、 三 人桌 、 四人桌 分别 有多 少张 ？【 答案 】 二人 桌2 4 张 ， 三 人桌1 9 张 ， 四 人桌12 张【分析 】设2 人 桌2 x 张 ，3 人 桌 y 张 ，4 人 桌 x 张 。 共有座 位 ：22x+3 y+4x=8x+3y（个 ） 共有客 人 ：2x+2y+3 x+1=5x+2y+1（人 ）那么 5x 2y 1 11 3 x y 17
23、8 x 3 y 17y=1+3k，x=6+k（k N ） 共有桌 子 3x+y=18+3k+1+3k=19+6k19+66=55k=6 ， x 12 y 19故有 2 人 桌24 张 ，3 人 桌 19 张 ，4 人 桌 12 张 。4、 采 购员 用一 张万 元支 票 去购物 ， 买 了若 干个 单价 590 元 的 A 种商品 和若 干个 单价 670 元 的 B 种 商 品 ， 其中 B 种商 品多 于 A 种商 品 ， 最后 找回 了几 张 100 元钞 票和 不到 10 张 10 元钞票 。 如 果把 A、 B 两种 商 品 的数量 调换 ， 找 回的 100 元和 10 元 的钞
24、票张 数正 好 也调 换 ， 那 么这 两种 商品 分别 买了多 少个？【 答案 】 A 种商 品3 个 ，B 种 商品1 2 个【分析 】设 买 了A 种商 品x 个 ，B 种 商 品y 个 。找 回a 张100 元 ，b 张10 元 。故故 那么 590 x 670 y 100 a 10b 10000 (1) 670x 590 y 10a 100b 10000 (2)两式相 加 ：1260（x+y）+110（a+b）=20000126（x+y）+11（a+b）=2000取1 1 的模 ：5(x y) 9(mod11) x y 4 11k又1 41 0000 1 0000 670 x+y 5
25、90 =16 x y 4 11 15 a b 10 x 15 y a 10 b代入 （1）式 ，59015+80y+1000-90b=10000 8y-9b=15（y8）b10 故 8y105 y105 13 8 左右两 边 取3 的 模：2 y 0(mod 3) 故y =9 或1 2。其中 y=9 时 ，无 整 数解y=12 时 ，b=9 ，满足 题意 x 3 y 12 a 1 ，买 了 3 个A 种 商品 ，12 个B 种 商品 。b 9简单解 法 ：A、B 互换 ：B 换A ，少 付 670-590=80 元 。100，10 元 互换 ：10 元 换100 元 ，多 找10 0-10=9
26、0 元 。那么交 换 A、B 的数 量后 ，少付的 钱的 总数 应是 80，90=720 元 的倍 数 ，而 找钱 最多是 990 元 ，最 少 110 元 ，差最 大 为880 元 。因此 只能 是720 元 。 那么 10 元 比 100 元 多 72090=8（张 ）B 比A 多 72080=9（个 ）10 元 比 100 元 多 8 张 ，那 么只 能 是1 张1 00 元 ，9 张10 元 ，共计 190 元 。 因此 A、B 的 总价 格为100 00-190=9810 元 。A 种 货（ 9810-6709）590=3（个 ）B 种 货： 3+9=12（个 。5、 有 甲、 乙
27、、 丙 、 丁四 种 货 物 ， 若购 买甲 1 件 、 乙 5 件 、 丙 1 件 、 丁 3 件共 需 195 元 ； 若 购买甲 2 件 、 乙 1 件 、 丙 4 件 、 丁 2 件共 需 183 元 ； 若购 买甲 2 件 、 乙 6 件 、 丙 6 件 、 丁5 件 共 需375 元 。 现在 购买甲 、 乙 、 丙 、 丁 各一 件共需 多少 元 ？【 答案 】 81 元【分析 】设 甲、 乙 、丙 、丁一件 各 需a ，b，c，d 元 。 a 5b c 3d 195 (1) 2a b 4c 2d 183 (2) 2a 6b 6c 5d 375 (3)设 （1）x+（2）y+（3
28、）z 后 ，a、b、c、d 系 数相同 ，即x +2y+2z=5x+y+6 z=x+4 y+6z=3 x+2y+5z整理得 ： x 3 ，2x+3z=0y 4取x =3，y=4，z=-2 代 入得7（a+b+c+d）=（1953+1834-3752=567a+b +c+d=816、 国 庆节 ， 公 司发 给唐 师 傅一 张100 0 元 的礼 券 ， 但 只允许 购买 A、 B、 C、 D、 E 五种 商品 ， 并且必 须正 好把 礼券 用完 。 已 知 这五 种商 品每 盒的 价格和 重量 如下 表 ：商品 A B C D E单价 （ 元 ） 70 110 190 290 310重量 （
29、千克 ） 1.5 2 1 10 3如果唐 师傅 最多 只能 带 走20 千 克商 品 ， 且一 定要 购 买D 商 品 ， 共 有多 少种 不同 的买法 ？【 答案 】 3 种【分析 】显 然D 只能 买 1 个 ，否 则超 重 。 除去 D，还 有 10kg，710 元 。 现根 据E 买几 件分 类 ：（1）E=2，70A+110 B+190C=90，无解 ；（2）E=2，70A+110 B+190C=400 A=3，B=0，C =1，总重 18.5kgA=1，B=3 ，C=0，总 重20 .5kg ；（3）E=2，70A+110 B+190C=710 A=2，B=0，C =3，总重 16
30、kgA=0，B=3，C=2，总 重 18kgA=7，B=2，C=0，总 重 24.5kg ； A 3 B 0 A 2 B 0 A 0 B 3有 C 1 ，C 3 ， C 2 三组 解 。 D 1 E 1 D 1 E 0 D 1 E 07、 现 有一 架天 平和 很多 个 13 克 和 17 克的 砝码 ， 用这些 砝码 ， 不 能称 出的 最大整 数克 质量是多少 ？（ 砝码 只能 放在 天平的 一边 ）【 答案 】 191 克【分析 】只 用1 3g 砝 码， 可以所 有 13k 克 的重 量 （k N ）用1 个17g ，剩 下用13g ，可覆盖 所有 大 于17g 的1 3k+4g 的重
31、 量217+13a =34+13a 8 mod13317+13a =51+13a 12 mod13417+13a =68+13a 3 mod131217+13a=204+13a 9 mod13 y 30那么 比204 小的 9 mod13 的数 无法 被覆盖 ，此 数最 大 是204 -13=191即19 1g 是 不能 称出 的最 大 重量 。8、 现 有 1.7 升 和 4 升 的两 个空桶 和一 个大 桶里的1 00 升汽 油 ， 用这 两个空 桶 要倒出 1 升汽 油 ， 至 少需 要倒 多少 次 ？【 答案 】 26 次【分析 】有2 种 可行 取法 ：（1）从 100 倒 向 1.
32、7 升 ，1.7 升 倒 向4 升 ，4 升装 满 就倒 回 100 升 ，直 到 1.7 升 （或 4 升 ） 桶中刚 好 有1 升 油为 止 。若设 100 1.7 倒了 x 次 ，4 100 升倒 了y 次 ，那么 1.7x-4y=1 17x-40y=10两边 取10 的 模 ，有7 x 0(mod10) ，x=10k（k N+）x=10，y=4 时 有最 小值 。考虑过 程 ：100 升向1.7 升 倒了 10 次 ，1.7 升 向 4 升 也倒 了10 次 。 但有 4 次 4 升装 满了 ，需 要倒 回 100 升大 桶中 。但注意 ：1.7 升第 4 次 将4 升注满 时 ，1.7 升中 余 下 1 升 ，此时 不必 再把4 升 桶 中的油侄回 100 升 桶中 。 故10 0 1.7 10 次1.7 4 10+3=13 次4 100 3 次 共计 26 次 。（ 2） 也可100 4（x 次 ） 4 1.7 1.7 100（y 次 ）此时4x-1.7y=1 40x-17y=10，解 得 x 13x+y=43，与 （1）相比 大太 多 ，不 需考 虑