1、第 16 讲 统筹与对策内容概述生活中的统筹规划问题，包括合理安排顺序、选择最短或最长路线、人员分配、货物调度等，一般采用枚举、比较和逐步调整的方法. 各种游戏对策问题，在必胜方案中通常要占据关键位置或选取特殊数值，分析对一般从简单情形出发进行逆推.典型问题1妈妈让冬冬给客人烧水沏茶洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用 15 分钟，洗茶壶要用1 分钟，洗茶杯要用 1 分钟，拿茶叶要用 2 分钟冬冬估算了一下，完成这些工作要花 20分钟. 为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟?2理发店里同时来了 A、B、C 三个顾客，A 理板寸需要 7 分钟，B 理光头需要 10 分钟，C 烫
2、卷发需要 40 分钟请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?这个最短的时间是多少?3西点店里卖的面包都是 5 个一袋或 3 个一袋的，不拆开零售已知 5 个一袋的售价是 8元，3 个一袋的售价是 5 元，要给 47 位同学每人发 1 个面包最少要花多少钱?4如图 16-1 的方格屏幕上，每个小方格的边长是 1 厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的 3 个“” ，最少要爬多远?请画出路线.5如图 16-2 所示，一条环形公路上有 A、B 、C、D 四个仓库A 仓库存盐 40 吨，B 仓库存盐 5 吨，C 仓库存盐 35 吨， D 仓库没有盐现
3、在要调整存放数量，计划 A、B、C、D每个仓库各存盐 20 吨已知每吨盐运 l 千米需要运费 2 元试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费?(图 16-2 中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米)62008 个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜策略?7有 9 根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取 1 根或者 2 根火柴，以取走最后一根火柴的人为胜者
4、试问：如果甲先取，谁有必胜的策略?8有 100 根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取 1 根、2 根、3 根或 4 根火柴，谁取到最后一根火柴谁输甲先取问：谁有必胜的策略?9黑板上写有 l，2，3，4， 5，2009 这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜请问：谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的?10两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜问：先放者如何取胜?拓展篇1小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐 2 分钟，切
5、肉片 2分钟，准备葱姜蒜 3 分钟，准备佐料 1 分钟，烧热锅 2 分钟，烧热油 2 分钟，炒菜 4 分钟那么小悦烧好这道菜最短需要多少分钟?2小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了 A、B、C、D、E 五个顾客A 买糖果需要 2分钟；B 买大米需要 6 分钟； C 买香烟和啤酒需要 4 分钟； D 买水果需要 3 分钟；E 买蔬菜需要 5 分钟请问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候的时间总和最短?这个最短的时问是多少?(只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间 )3有 47 位小朋友，老师要给每人发 1 支红笔和 1 支蓝笔商店中每种笔都是 5 支一包或3 支一包，不能打
6、开零售5 支一包的红笔 61 元，蓝笔 70 元，3 支一包的红笔 40 元，蓝笔 47 元老师买所需要的笔最少要花多少元?4图 16-3 是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数问：小悦从 A 出发走到 B 最快需要多少分钟?5如图 16-4，一条路上从西向东有 A、B 、C、D、E 五所学校，分别有 200 人、300 人、400 人、500 人、600 人任意相邻的两所学校之间的距离都是 100 米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方?距离的总和最少是多少?6北京和上海分别制成同样型号的车床 10 台和 6
7、 台，这些车床准备分配给武汉 11 台、西安 5 台，每台车床的运费如图 16-5 所示，单位为百元那么总运费最少是多少元?7甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图 16-6 所示的 33 的方格中放棋子，每次放 1 枚，谁的棋子中有 3 枚连成一条线(横、竖、斜均可) ，谁就获胜如果甲首先占据了中问位置，乙要想不败，第 1 枚棋子应该放在哪里?8有 12 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取 1 枚，最多取 3 枚，以取走最后一枚棋子者为胜者如果甲先取，那么谁有必胜策略?如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策略?9现有 2008 根火柴，甲、乙两个人轮
8、流从中取出火柴每次最少从中取出 2 根，最多取出 4 根谁无法再次取出火柴谁就赢如果甲先取，请问谁有必胜的策略?10甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球(1)如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略?请说明理由；(2)如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略?请说明理由；(3)如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略?请说明理由11如图 16-7，方格 A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿 450 角走 1 步，最终将棋子走到
9、方格 B 的人获胜请问：谁有必胜策略，策略是什么?如果每次允许往同一方向(上、右或右上) 走任意多步，结果又如何呢?12桌上有一块巧克力，它被直线划分成 3 行 7 列的 21 个小方块，如图 16-8 所示现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；拿走其中一块，把另一块留给对手再切；谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜?超越篇1甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件，加工各零件所需要的时间分别为 4、5、6、6、8、9、9 分钟三人同时开始工作。问：经
10、过合理分工，最少经过多少分钟可以车完全部零件?2图 16-9 是某县的道路分布图小唐要驾车从县城出发，经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次，并且最后回到县城已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的分钟数，那么小唐完成计划的行程最少需要多少分钟?3如图 16-10，有 10 个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米现在要安装水管，从县城送自来水供给各村可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水。粗管每千米要用 8000 元，细管每千米要用 2000 元把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用按你认为最节约的办法，
11、费用应是多少元?4甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数两人轮流走谁所得到的数是零，就算谁赢如果开始在黑板上写着数 1994，并且甲先走，问谁有必胜策略?5如图 16-11，五角星上共有 10 个交点和 15 条小线段甲首先将一枚棋子放在 A 点上，并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再走，如此下去如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略?6把一枚棋子放在图 16-12 中左下角的方格内，甲、乙两人玩这
12、样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向右或者向右上方沿 450 角移动，一次可以移动任意多格谁把棋子移到了右上角的方格中即为输，试问：如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么?7冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4 分钟，准备佐料 4 分钟，烧热锅 2 分钟，烧热油 2 分钟，炒菜 4 分钟用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶 2 分钟，用火烧水 15 分钟，把开水灌到热水瓶中需要 2 分钟用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米 4 分钟，煮饭 18 分钟冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶请问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟?8甲、乙两人轮流报数，每人都只
13、能报 2、3、5、7 中的一个，把两人报的数累加如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜请问：谁有必胜策略?第 16 讲 统筹与对策内容概述生活中的统筹规划问题，包括合理安排顺序、选择最短或最长路线、人员分配、货物调度等，一般采用枚举、比较和逐步调整的方法. 各种游戏对策问题，在必胜方案中通常要占据关键位置或选取特殊数值，分析对一般从简单情形出发进行逆推.典型问题1妈妈让冬冬给客人烧水沏茶洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用 15 分钟，洗茶壶要用1 分钟，洗茶杯要用 1 分钟，拿茶叶要用 2 分钟冬冬估算了一下，完成这些工作要花 20分钟. 为了尽快给客人沏茶，你认为最合理
14、的安排，最少需要多少分钟?答案：16 分钟解析：在试题中，烧开水之前一定要洗开水 壶，但是在 烧开水的同 时，可以把洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶三件事都做完。所以根据先洗水壶，然后 烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，共需要 1+15=16 分钟。2理发店里同时来了 A、B、C 三个顾客，A 理板寸需要 7 分钟，B 理光头需要 10 分钟，C 烫卷发需要 40 分钟请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?这个最短的时间是多少?答案：A 先理发，然后 B，最后 C；81 分钟解析：因为理发时间固定，为使所花 时间总和最短， 则只需三人等待 时间最短，因此按照理发
15、时间从短到长的顺序理发，这样 A 只理板寸，花 费 7 分钟， B 等待 A 并理光头，共花费7+10=17 分钟，C 等待 A、B 并 烫卷发，共花 费 7+10+40=57 分钟，三人共花费 7+17+57=81分钟。3西点店里卖的面包都是 5 个一袋或 3 个一袋的，不拆开零售已知 5 个一袋的售价是 8元，3 个一袋的售价是 5 元，要给 47 位同学每人发 1 个面包最少要花多少钱?答案：76 元解析：5 个一袋的面包单价为 85=1.6 元， 3 个一袋的面包 单价为 53=1.67 元，1.61.67，所以要尽量多购买 5 个一袋的面包，同 时不要让面包有剩余。475=92，2
16、不能被 3 整除，将两袋 5 个的与剩余的两个凑成 12 个，可正好 换成 4 袋 3 个的，因此需 购买 7 袋 5 个的和4 袋 3 个的，共花 87+54=76 元。4如图 16-1 的方格屏幕上，每个小方格的边长是 1 厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的 3 个“” ，最少要爬多远?请画出路线.答案：8 厘米解析：路线如右图红线所示 5如图 16-2 所示，一条环形公路上有 A、B 、C、D 四个仓库A 仓库存盐40 吨，B 仓库存盐 5 吨，C 仓库存盐 35 吨，D 仓库没有盐现在要调整存放数量，计划 A、B、C、D 每个仓库各存盐 20 吨已知每吨盐运
17、 l 千米需要运费 2 元试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费?(图 16-2 中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米)答案：700 元解析：每个仓库各存盐 20 吨， 则 A 仓库需运出 20 吨， B 仓库 需运入 15 吨，C 仓库需运出 15吨，D 仓库需运入 20 吨，为使运 费最少， 则我们只选择相邻仓库进行转运。方案可为 A 仓库向 D 仓库运 20 吨，C 仓库向 B 仓库运 15 吨，这样运费为 21020+21015=700 元。62008 个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚
18、棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜策略?答案：甲7有 9 根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取 1 根或者 2 根火柴，以取走最后一根火柴的人为胜者试问：如果甲先取，谁有必胜的策略?答案：乙解析：1+2=3 ，使用倒推法，假设现在一个人取到第 6 根火柴，那么无论另一个人下一次取 1根还是 2 根，这个人都可以通 过取 2 根或者 1 根取到最后一根火柴，所以要想取到最后一根即第 9 根火柴，那这个人必须 也得取到第 6、3 根火柴，因为甲先取了，且只能取 1 根或 2 根，
19、所以乙肯定可以取到第 3 根火柴，所以乙有必 胜的策略，即无论甲每次取几根，乙都在甲的基础上凑够 3 根即可。8有 100 根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取 1 根、2 根、3 根或 4 根火柴，谁取到最后一根火柴谁输甲先取问：谁有必胜的策略?答案：甲解析：1+4=5 ，使用倒推法，取到最后一根火柴的人 输，则取到第 99 根火柴的人赢，所以 问题转化为谁对取到第 99 根火柴有必胜的策略。假 设现在一个人取到第 94 根火柴，那么无 论另一个人下一次取 1 根、2 根、3 根还是 4 根，这个人都可以通过取 4 根、3 根、2 根或者 1 根取到第 99 根火柴，所以要想取到第 99
20、 根火柴，那 这个人必须 也得取到第 94、89、849、4根火柴，因为甲先取，且他能取 4 根，所以甲只要第一次取 4 根火柴，以后无论乙每次取几根，他都在乙的基础上凑够 5 根即可。因此，甲有必胜的策略， 9黑板上写有 l，2，3，4， 5，2009 这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜请问：谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的?答案：甲有必胜的策略，甲先擦去一个奇数，以后每次擦去和乙不同奇偶性的一个数解析：l，2，3，4，5，2009 擦到剩最后两个数时，甲比乙多擦了一次，且 2009 个数中奇数比偶数多 1 个，所以甲先擦去
21、一个奇数，以后每次擦去和乙不同奇偶性的一个数，这样最后会剩下一奇一偶，甲获胜。10两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜问：先放者如何取胜?答案：先放者先在桌面中心放一枚，无论后者放在哪里，先放者都将硬币放在与之关于中心对称的位置上。解析：因为圆为中心对称图形，先放者占据了中心点后，无论对方放那个位置他都有对称位置可放。拓展篇1小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐 2 分钟，切肉片 2分钟，准备葱姜蒜 3 分钟，准备佐料 1 分钟，烧热锅 2 分钟，烧热油 2 分钟，炒菜 4 分
22、钟那么小悦烧好这道菜最短需要多少分钟?答案：12 分钟解析：题目中在炒菜之前一定要准备好所有材料并将锅烧热，油烧热，但是在 烧热锅的时候可以切豆腐，在烧热油的时候可以切肉片，所以共需要的 时间 是 3+1+2+2+4=12 分钟。2小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了 A、B、C、D、E 五个顾客A 买糖果需要 2分钟；B 买大米需要 6 分钟； C 买香烟和啤酒需要 4 分钟； D 买水果需要 3 分钟；E 买蔬菜需要 5 分钟请问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候的时间总和最短?这个最短的时间是多少?(只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间 )答案：按照 ADCEB
23、 的顺序进行购买；这个最短时间是 30 分钟。解析：若使排队等候的时间最短， 则需按照购物时间从短到 长的顺序排队，即 这五人按照ADCEB 的顺序进行购买，总 共需要等候的时间是 24+33+42+51=30 分钟。3有 47 位小朋友，老师要给每人发 1 支红笔和 1 支蓝笔商店中每种笔都是 5 支一包或3 支一包，不能打开零售5 支一包的红笔 61 元，蓝笔 70 元，3 支一包的红笔 40 元，蓝笔 47 元老师买所需要的笔最少要花多少元?答案：1265 元解析：红笔 5 支一包的单价为 615=12.2 元， 3 支一包的单 价为 403=13.33 元蓝笔 5 支一包的单价为 70
24、5=14 元， 3 支一包的单价为 473=15.67 元两种笔均是 5 支一包的比较便宜，因此我 们尽量购买 5 支一包的，且保证没有多余的笔。475=9 2， 2 不能被 3 整除，拿出两包 5 支的与 2 支凑够 12 支，可以被三整除。因此老师需购买 5 支装的红笔与蓝笔各 7 包， 购买 3 支装的 红笔与蓝笔各 4 包，需花 费（61+70）7+（40+47）4=1265 元4图 16-3 是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数问：小悦从 A 出发走到 B 最快需要多少分钟?答案：18 分钟解析：路线如右图红线所示5+1+10+2=18 分钟5如图 16-4，
25、一条路上从西向东有 A、B 、C、D、E 五所学校，分别有 200 人、300 人、400 人、500 人、600 人任意相邻的两所学校之间的距离都是 100 米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方?距离的总和最少是多少?答案：车站建在 D，距离总和为 220 千米解析：当人数相同时，将车站建在 C 比较好，但现在从 A 到 E 人数逐渐增加，所以车站应该偏右，即考虑在 D 或 E 建车站，计算比较 D 建学校距离总和最少。距离和为200300+300200+400100+600100=220000 米=220 千米6北京和上海分别
26、制成同样型号的车床 10 台和 6 台，这些车床准备分配给武汉 11 台、西安 5 台，每台车床的运费如图 16-5 所示，单位为百元那么总运费最少是多少元?答案：9700 元解析：运费排序从低到高依次为北京到武汉、北京到西安、上海到武汉以及上海到西安，因此，上海的 6 台全部运到武汉，北京分配给武汉和西安各 5 台，运费总计 67+55+56=97（百元）=9700 元7甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图 16-6 所示的 33 的方格中放棋子，每次放 1 枚，谁的棋子中有 3 枚连成一条线(横、竖、斜均可) ，谁就获胜如果甲首先占据了中问位置，乙要想不败，第 1 枚棋子应该
27、放在哪里?答案：左上角、右上角、左下角或者右下角解析：角上的位置可以堵住两天通路，使乙可以不败。8有 12 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取 1 枚，最多取 3 枚，以取走最后一枚棋子者为胜者如果甲先取，那么谁有必胜策略?如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策略?答案：乙；甲解析：1+3=4 ，取到最后一枚棋子为胜者，则他还必须取到第 8 和第 4 枚棋子，因为甲先取，以 4 个为一组，甲取不到 4 个，而乙每次在甲后面取，每次甲取完，乙就凑够 4 根， 这样乙肯定可以取到最后一枚。同样道理，只是如果取走最后一枚棋子者为败者，则取到第 11 枚棋子者为胜，取到第
28、 11 枚棋子的人必 须取到第 7 根和第 3 根，因为每次最多取 3 根，所以只要甲第一次取 3 根，以后每次乙取后甲都凑 够四根，便可以 让乙取最后一根，甲胜。9现有 2008 根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴每次最少从中取出 2 根，最多取出 4 根谁无法再次取出火柴谁就赢如果甲先取，请问谁有必胜的策略?答案：甲解析：2+4=6 ，题目意思为取到最后一根火柴者 为胜，由题意得取到第 2002 根火柴的人肯定可以取到最后一根火柴，以此倒推，胜利者一定取到了第 1996、199010、4 根火柴，所以，第一次甲先取出四根火柴，以后每次乙取完火柴，甲都取能与其凑够 6 根的火柴，这样甲肯定
29、能赢。10甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球(1)如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略?请说明理由；(2)如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略?请说明理由；(3)如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略?请说明理由答案：乙有必胜策略，乙每次都和甲取相同数目的球；甲有必 胜策略，甲先从三个堆里取走一个，以后乙取几个，甲就取几个；甲有必胜策略，甲先从八个里取走三个，以后乙取几个甲取几个。解析：见答案理由部分回答。11如图 16-7，方格 A 中放有一枚棋子
30、，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿 450 角走 1 步，最终将棋子走到方格 B 的人获胜请问：谁有必胜策略，策略是什么?如果每次允许往同一方向(上、右或右上) 走任意多步，结果又如何呢?答案：甲有必胜策略；甲有必胜策略解析：图 a 中 处为第一种情况下的制胜点，甲先向上走一步，以后乙每走一步，甲都走到制胜点处，最后到达 B;图 b 中 处为第二种情况下的制胜点,每一个制胜点到 B 至少要走两步。甲先向右走三步，以后乙每走一步，甲或者直接到达 B 或者走到下一处制胜点，最终到达 B12桌上有一块巧克力，它被直线划分成 3 行 7 列的 21 个小方块，如图 16-8 所示现
31、在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；拿走其中一块，把另一块留给对手再切；谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜?答案：第一次切走 34=12 个小方块，才能 获胜。解析：依据倒推法，每次都留一个正方形，因此第一次切下 12 块，留给对方一个 33 的正方形，这样才能获胜。超越篇1甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件，加工各零件所需要的时间分别为 4、5、6、6、8、9、9 分钟三人同时开始工作。问：经过合理分工，最少经过多少分钟可以车完全部零件?答案
32、：17 分解析：七个零件最省时的分配是三个人分别加工 3 个、 2 个、2 个零件，且使每组零件加工时间中的最大值最小，因此可以如下分配 4+5+6=15 6+9=15 8+9=17，这样所需最短时间为 17 分钟。2图 16-9 是某县的道路分布图小唐要驾车从县城出发，经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次，并且最后回到县城已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的分钟数，那么小唐完成计划的行程最少需要多少分钟?答案：300 分解析：从县城出发，走遍各乡镇 ，为使时间最短，则应依次走过各乡镇，所以出县城到达某镇，肯定从其隔壁乡镇回城，相邻乡镇 到县城所花时间最短的 为甲乙，所以可从
33、乙出 发，依次选择到下一乡镇的最短时间路线前进，具体 为：县城乙丙 县城丁戊甲县城，共需时间 20+60+50+40+20+60+50=300 分钟。3如图 16-10，有 10 个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米现在要安装水管，从县城送自来水供给各村可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水。粗管每千米要用 8000 元，细管每千米要用 2000 元把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用按你认为最节约的办法，费用应是多少元?答案：414000 元解析：粗管虽然单价高，但其可供各村用水，所以不需重复使用，所需长度短，
34、粗管的单价为细管的 4 倍，所以当路段重复次数大于等于 4 时，用粗管合算，因此，从倒数第四个村开始用三根细管，一根到倒数第三个村，一根到倒数第二个村，一根到最后一个村。费用为800048+2000（2+4+9）=414000 元。4甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数两人轮流走谁所得到的数是零，就算谁赢如果开始在黑板上写着数 1994，并且甲先走，问谁有必胜策略?答案：甲解析：甲先拿走四个，以后无论 乙拿什么，甲 对应都拿个位上的数，即凑 10.5如图 16-11，五角星上共有 10 个交点和 15 条小线段甲首先
35、将一枚棋子放在 A 点上，并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再走，如此下去如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略?答案：甲没有必胜策略，而是乙有必 胜策略。解析：甲走每一步时，乙都走到角上，这样甲只能从角上走到中间，当乙走回 A 点时，甲便无路可走了。6把一枚棋子放在图 16-12 中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向右或者向右上方沿 450 角移动，一次可以移动任意多格谁把棋子移到了右上角的方格中即为输，试问：如果甲先走，是否有必胜的
36、策略，为什么?答案：甲没有必胜策略，乙有。如图从右上角开始分析， 处是必胜的，处是必败的，因为甲第一步必然走到必胜处，而乙必然每一步都 给甲留下必败处走，所以乙有必胜策略。解析：详见答案。7冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4 分钟，准备佐料 4 分钟，烧热锅 2 分钟，烧热油 2 分钟，炒菜 4 分钟用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶 2 分钟，用火烧水 15 分钟，把开水灌到热水瓶中需要 2 分钟用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米 4 分钟，煮饭 18 分钟冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶请问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟?答案：25 分钟解析：洗水壶 2 分钟，烧水 15 分钟， 这时可以先淘米、煮上饭，同时切菜、准备佐料，待 烧好水后烧热锅、烧热油和炒菜，共需 2+15+2+2+4=25 分钟。 8甲、乙两人轮流报数，每人都只能报 2、3、5、7 中的一个，把两人报的数累加如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜请问：谁有必胜策略?答案：甲有必胜策略解析：报到 91 或 92 的人有必胜策略，所以必 胜者只要每次 让自己报数完后的总和除以 9 余1 或 2 即可，这样甲第一次报 2，那么乙第一次无法 满足条件，甲就占据了凑除以 9 余 1 或 2的主动权，甲必胜。