1、1第 4 讲 数阵图初步内容概述各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。典型问题兴趣篇1. 在图 4-1 中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11.2. 请分别将 1，2，4，6 这四个数填在图 4-2 中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于 15. 23. 如图 4-3 所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。4. 把 1 至 8 分别填入图 4-4 的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等。5. 把 1 至 12 分别填入
2、图 4-5 的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。6. 在如图 4-6 所示的 33 方格表内填入 1、2、3 这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。7. 把 1 至 6 分别填入图 4-7 的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为 13. 8. 把 1 至 6 分别填入图 4-8 的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等. 这个和最大是多少？最小是多少？39. 把 1 至 7 这七个数分别填入图 4-9 中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等，如果中心圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。10
3、.在图 4-10 的 6 个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？拓展篇1. 将 1 至 9 分别填入图 4-11 中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于 15. 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.2. 在图 4-12 中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等. 现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。3. 图 4-13 是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈. 请你把1、2、3、4、5、6、7、8 这八个自然数分别
4、填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。44. 在图 4-14 中的方格内填入三个 0、两个 2、两个 3、两个 4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是 6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是 7.5. 请 在 图 4-15 的 每 个 小 圆 圈 内 填 入 1 或 2， 使 得 每 个 大 圆 圈 上 四 个 数 之 和 两 两 不 同 ， 那 么 所 填 数的 总 和 是 多 少 ？6. 把 1 至 8 分 别 填 入 图 4-16 的 八 个 圆 圈 内 ， 使 得 任 意 两 个 有 线 段 直 接 相 连 的 圆 圈 内 的 数 字之 差 都 不 等
5、 于 1.7. 在图 4-17 的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数. 请问：标有的圆圈内填的数是多少？8. 小悦是 8 月 11 日 15 点整出生的，她想把 1，2，3， 4，5，6，7 这七个数填入图 4-18的七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是 8，11，15，问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？9. 把 1 至 6 这六个数字填入图 4-19 六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？510. 把 1 至 11 填 入 图 4-20 中 “六 一 ”图 形 的 十 一
6、 个 空 格 内 ， 使 得 每 一 条 直 线 上 的 两 个 或 三 个数 之 和 都 相 等 。11. 请将 1 至 6 填入图 4-21 的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等。612. 如图 4-22，有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？武器 手枪 步枪 自动步枪 冲锋枪 轻机枪威力数 1 2 3 4 5武器 重机枪 迫击炮 火箭筒 加农炮 榴弹炮威力数 6 7 8 9 10超越篇1. 如图 4-23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请
7、将 1 至 12 中的另六个数填入其他区域内，使得每个圆中四个数之和都是 28.2. 如图 4-24，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.3. 把 1 至 8 填入图 4-25 中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的四个数之和都相等。4. 把 1 至 12 分别填入图 4-26 所示六角星图案的十二个圆圈内，使得每条直线上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完7整。85. 把 1 至 8 填入图 4-27 的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶
8、点的数字之和的一半。6. 图 4-28 中一共有 6 条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是 6）填入其中的九个圆圈内，使得每条直线上圆圈内的数加起来都等于 23.7. 如图 4-29，55 的方格表被分成了五块，请你在每格中填入 1、2、3、4、5 中的一个（其中两个格子已经分别填入 1 和 2） ，使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和都相等，请问： 是多少？ABCDE8. 图 4-30 是奥林匹克五环标志，五个圆内共分成了九个部分，请在这九个部分中填入 1至 9 这九个数，使得每个圆环内的各数之和都相等，请问：这个和最大是多少？最小是多少？9第 4 讲 数阵图初
9、步内容概述各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。典型问题兴趣篇1. 在图 4-1 中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11.【答案】：【分析与解】：先如下图将空白处标上字母：根据题意：a11254；b11416；c11263.2. 请分别将 1，2，4，6 这四个数填在图 4-2 中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于 15. 10【答案】：【分析与解】：如下图，先将空白区域标上字母根据题意：上面圆内四个数之和等于 15，可得 ad1557312；同理，bd1553716；
10、cd1573514。由于 d 属于三个圆的公共部分，经对比发现可得：d1；a2；b6；c4.3. 如图 4-3 所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。【答案】：【分析与解】：如下图：因为 89aba 7 可得 b10；那么每条线的和831021；那么a21894；c 21876.4. 把 1 至 8 分别填入图 4-4 的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之11和也相等。【答案】：1 7 6 48 2 3 5【分析与解】：因为 123836；所以每行的和等于 36218；每列的和3649；从列入手，可将 18 这八个数分为和等于 9 的四组：182
11、73645。再调整使行和等于 18：我们发现 1423；8567.经过调整可得答案。5. 把 1 至 12 分别填入图 4-5 的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。【答案】：【分析与解】：经过观察发现，此图是个具有对称性的图案；若使三个小三角形的三边之和相等；只需要使得图中每条边上的两个数之和相等即可。因此可将 112 对称性地分为六组如下：112211310495867.6. 在如图 4-6 所示的 33 方格表内填入 1、2、3 这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。12【答案】：1 3 23 2 12 1 3【分析与解】：利用此图的对称性；
12、可将中间数 2 填入此图的正中心；然后利用每行每列都是 1、2、3 并注意使对角线的和等于 6 可将此图填写完整。7. 把 1 至 6 分别填入图 4-7 的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为 13. 【答案】：【分析与解】：如下图所示：根据题意有：a bcd13； cdef13将上述两个算式相加可得：（abcde f ）c d26；也就是 21cd26；得到：cd51423；a be f 1358；而 82635 只有这两种组成方式；因此排除掉 cd23；所以 cd14。8. 把 1 至 6 分别填入图 4-8 的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等. 这个和最大是
13、多少？最小是多少？13【答案】：最大 13；最小 11【分析与解】：如下图标上字母，并且设两条线上的和均为 k。a b cdef依据题意有：abc k；bde f k；将这两个等式相加可得：（abcde f ）b2k ；21b2k。由奇偶性可得：b 只能取 1、3、5；分别对应k 的值为 11、12、13.可知和最大为 13，最小为 11.9. 把 1 至 7 这七个数分别填入图 4-9 中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等，如果中心圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。【答案】： 14【分析与解】：如下图所示标上字母，并设每条线的和为 k。根据题意有：ab
14、c k；adek；afgk；将三式相加可得：（abcde f g）2a3k；282a3k；经过分析可知：当 a1 时，k10；当 a4 时，k12；当 a7 时，k 14。10.在图 4-10 的 6 个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？【答案】：8【分析与解】：根据题意可知；只要上面三个数确定，那么下面三个数也就确定了；若使最下面数最小，那么必须使最上面三个数最小，并且将最小数放在最中间；经过尝试有如下填法：拓展篇1. 将 1 至 9 分别填入图 4-11 中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于 1
15、5. 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.15【答案】：【分析与解】：先标上字母：c15564；同理可得：b2；a7；d3；e8；f1.2. 在图 4-12 中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等. 现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。【答案】：【分析与解】：先标上字母：16有 116aa 9b；可得 b8；和76821；c211713.3. 图 4-13 是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈. 请你把1、2、3、4、5、6、7、8 这八个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相
16、等。【答案】：【分析与解】：先标上字母：我们发现：a 与 b 总是在一起；同样：c 与 d；e 与 f；g 与 h 也总是在一起；考虑将 1分为 4 组：18273645.4. 在图 4-14 中的方格内填入三个 0、两个 2、两个 3、两个 4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是 6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是 7.17【答案】： 4 3 2 20 3 0 4 0【分析与解】：先标上字母有： a b c de f g h i总和2（234）18；而中间三列之和6318；所以 ei0。同样第二、三行之和7214；所以 a18144。则可以根据和依次填出其他方框内数字。
17、5. 请 在 图 4-15 的 每 个 小 圆 圈 内 填 入 1 或 2， 使 得 每 个 大 圆 圈 上 四 个 数 之 和 两 两 不 同 ， 那 么 所 填 数的 总 和 是 多 少 ？【答案】：9【分析与解】：观察得知：每个圆上面均有四个小圆圈；经过试验可填出：；此时所有圆圈内所填数之和等于 9。6. 把 1 至 8 分 别 填 入 图 4-16 的 八 个 圆 圈 内 ， 使 得 任 意 两 个 有 线 段 直 接 相 连 的 圆 圈 内 的 数 字之 差 都 不 等 于 1.18【答案】：【分析与解】：先标上字母如下：发现 b 与除了 d 之外的所有格子相连，意味着在 18 范围
18、内，与 b 相差 1 的只有 d；同样的道理，与 c 相差 1 的只有 a；那么可以推出a7，c8；b1，d2；进而可以推出其它位置。7. 在图 4-17 的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数. 请问：标有的圆圈内填的数是多少？【答案】：5【分析与解】：从和最小的 4 入手；413。若 4 的上面填 1 下面填 3，可以利用线上的和算下去发现所填的数并不是 7 个连续的自然数；所以 4 的上面填 3 下面填 1，此时可推断出5.8. 小悦是 8 月 11 日 15 点整出生的，她想把 1，2，3， 4，5，6，7 这七个数填入图 4-18的七个
19、方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是 8，11，15，问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？19【答案】：168【分析与解】：先标上字母如下：可知：abc 8；ade11; afg15;将三式相加有：（abcde fg）2a 34；解得 a3；则 bc 514；若使圆上乘积最大，则 c4；同理可得：d2；e6；f5；g7.此时圆上上个数的乘积为 467168.9. 把 1 至 6 这六个数字填入图 4-19 六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？【答案】：最小是 9，最大是 12【分析与解】：标注字母如下图；并设每条线的和为 k：
20、根据题意有：abdk; bf ck; aeck；将三式相加：（abcde f ）（a bc）3k；21（abc）3k；若使 k 最小，则使abc 最小；此时 abc1236；k9.若使 k 最大，则使 abc 最大；此时abc45615；k12.10. 把 1 至 11 填 入 图 4-20 中 “六 一 ”图 形 的 十 一 个 空 格 内 ， 使 得 每 一 条 直 线 上 的 两 个 或 三 个数 之 和 都 相 等 。20【答案】：【分析与解】：标注字母如下图，并且设每条线上的和为 m：有：acdm；bcm；efm；ghm；ijkm;五式相加得：（abc de f ghi jk）c 5
21、m；66c5m；设c4，m14；进而可得出上图结果。11. 请将 1 至 6 填入图 4-21 的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等。【答案】：【分析与解】：标注字母如下图，且设每条线上的和为 k：21有：abck；adfk；cdek；ef k；将上述算式相加有：2（abcde f ）b 4k；42b4k。解得 b6，k9，则e4；f5；a1；b2.12. 如图 4-22，有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？武器 手枪 步枪 自动步枪 冲锋枪 轻机枪威力数 1 2
22、 3 4 5武器 重机枪 迫击炮 火箭筒 加农炮 榴弹炮威力数 6 7 8 9 10【答案】：【分析与解】：标注字母，并且设每条边上的和为 m 如下图：有：abcdm；ae fm ；f ghi m；di jm 将上述算式相加有：（abcde f gh ij）（a df i ）4m;也就是：55（adfi）4m;若使 m 最大，必须使 adfi 最大。但是当22adfi7 8910 时 m 无整数解。所以可解得：adfi68910 时，m22 取得最大值。经计算和实验，可填出如上图答案。超越篇1. 如图 4-23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请将 1 至 12 中的另六个
23、数填入其他区域内，使得每个圆中四个数之和都是 28.【答案】：【分析与解】：由最下面的圆可知：空白两处所填数之和282521912；由最右面的圆可知：空白两处所填数之和287813121，因此下面的圆与右边的圆公共部分为 12.依次类推，可将图形补充完整。2. 如图 4-24，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.【答案】：23【分析与解】：标准字母如图， 根据题意有：a19b9997ca bc 可解得：a12；b4；c6.3. 把 1 至 8 填入图 4-25 中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的四个数之和都相等。【答案】：【分析与解】：由
24、正方体的对称性可将四条高分为 182736459，每个面的和为 18；适当调整每条高上的两个数的位置，使其也满足上下两面为 18.4. 把 1 至 12 分别填入图 4-26 所示六角星图案的十二个圆圈内，使得每条直线上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整。24【答案】：【分析与解】：观察图形可知，每个数都用两次，所以每条线上的和2（12312）626；可将空白地方依次填出。5. 把 1 至 8 填入图 4-27 的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶点的数字之和的一半。【答案】：【分析与解
25、】：标注字母如下：总和为 123836；所以小正方形和为36312；大正方形和为 12224。再设每个小三角形的和为 k；有：abhk；bc dk；hgfk；defk；将上述算式相加，可得 k12.cg36（abh）（de f ）12；同理 ae12；而 124857；因此可得：a8；b3；c7；d2；e4；f 6；g5；h1.6. 图 4-28 中一共有 6 条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是 6）填入其中的九个圆圈内，使得每条直线上圆圈内的数加起来都等于 23.25【答案】：【分析与解】：标注字母如下 由题意有：2（6ab h）6138；解得这九个连续的自然数为 4、5、6、10、1
26、1、12；gh231211；因为dfhgfe ，所以 d 与 e 相差 1；同理 a 与 b 也相差 1；又因为 ab23617；可以解得 a9；b8；d5；e4；从而 c10；f 7.7. 如图 4-29，55 的方格表被分成了五块，请你在每格中填入 1、2、3、4、5 中的一个（其中两个格子已经分别填入 1 和 2） ，使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和都相等，请问： 是多少？ABCDE【答案】：14523【分析与解】：根据题意易知，所有方格内所填数的总和5（12345）75；所以每一块的和等于 15.将图中空白方格内标上字母如下图：26（1）因为 abc 12
27、15；且 abc1e15；所以 e2.（2）因为 adA i p15；且 dA ipq15；所以 aq（3）因为 mnst15；可知这四个数一定有重复的，因为如果不重复的话，最大23451415.重复的话也只能 ns，因为 m 与 t 在对角线上不可能重复。155514552344253345；因为对角线上 e2，所以第二组和第三组舍去。如果选择第四组的话，则 m 与 t 为 4 和 5，ns3；再看 a，所在的行已经有了 1、2，所在的对角线已经有了 2、4、5，所以 a3；由知，q3.此时在第五行，q3，s3，矛盾，故舍去。所以 ns5，m4，t1.（4）再看第四列，g 和 D 只剩下 2
28、 和 3 了，因为 e2，所以 g3，D 2.（5）再看第五列，h 和 E 只剩下 3 和 4 了，因为 g3，所以 h4，E3.（6）再看右上角的黑框，f 15232341（7）再看第二行，d 只剩下 5 了。（8）再看主对角线，a 和 C 只剩下了 3 和 5，但是考虑到 d5，所以 a3，C5.（9）再看第一行，不难得到 b5，c4.（10）由（2）和（8）知，q3（11）再看第二列，不难得到 B4，j 1（12）第三行，A1.所以可得： 14523.CDE8. 图 4-30 是奥林匹克五环标志，五个圆内共分成了九个部分，请在这九个部分中填入 1至 9 这九个数，使得每个圆环内的各数之和都相等，请问：这个和最大是多少？最小是多少？【答案】：最大为 14，最小为 11【分析与解】：标注字母如下，并且设每个圆内的和为 k：27依据题意有：aek；afbk；bg ck；chdk；dik；将上述算式相加有：（abcde f gh i）（abcd）5k；45（abcd）5k若使 k 最小，只需使 ab cd 最小，最小为 123410，k11；若使 k 最大，只需使 ab cd 最大，最大为 678930，k15；但是填不成功；接下来只能使 abc d25，此时 k14.