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四年级高思奥数之数阵图初步含答案

1、1第 4 讲 数阵图初步内容概述各种较为基本的数阵图问题,了解重数的概念,并以此进行分析;学会分析特殊位置上的数值;某些情况下还需要考虑对称性。典型问题兴趣篇1. 在图 4-1 中的三个圆圈内填入三个不同的自然数,使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11.2. 请分别将 1,2,4,6 这四个数填在图 4-2 中的各空白区域内,使得每个圆圈里四个数之和都等于 15. 23. 如图 4-3 所示,请在三个空白圆圈内填入三个数,使得每条直线上三个数之和都相等。4. 把 1 至 8 分别填入图 4-4 的八个方格内,使得各列上两个数之和都相等,各行四个数之和也相等。5. 把 1 至 12 分别填入

2、图 4-5 的圆圈内,使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。6. 在如图 4-6 所示的 33 方格表内填入 1、2、3 这三个数字各三次,使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。7. 把 1 至 6 分别填入图 4-7 的六个圆圈内,使得每个正方形四个顶点的数之和都为 13. 8. 把 1 至 6 分别填入图 4-8 的六个方格内,使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等. 这个和最大是多少?最小是多少?39. 把 1 至 7 这七个数分别填入图 4-9 中各圆圈内,使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等,如果中心圆内填入数相等,那么就视为同一种填法,请写出所有可能的填法。10

3、.在图 4-10 的 6 个圆圈内分别填入不同的自然数,使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和,那么最下面那个数最小是几?拓展篇1. 将 1 至 9 分别填入图 4-11 中的圆圈内,可以使得图中所有三角形(共七个)的三个顶点上的数之和都等于 15. 现在已经填好了其中三个,请你在图中填出剩下的数.2. 在图 4-12 中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数,使得正方形每条边上三个数的和相等. 现在如果已经填好了五个数,那么每条边上各数之和应该是多少?并将其补充完整。3. 图 4-13 是由四个交叠的长方形组成的,在交点处有八个小圆圈. 请你把1、2、3、4、5、6、7、8 这八个自然数分别

4、填入这些小圆圈内,使得每个长方形上的四个数之和都相等。44. 在图 4-14 中的方格内填入三个 0、两个 2、两个 3、两个 4,使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是 6,并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是 7.5. 请 在 图 4-15 的 每 个 小 圆 圈 内 填 入 1 或 2, 使 得 每 个 大 圆 圈 上 四 个 数 之 和 两 两 不 同 , 那 么 所 填 数的 总 和 是 多 少 ?6. 把 1 至 8 分 别 填 入 图 4-16 的 八 个 圆 圈 内 , 使 得 任 意 两 个 有 线 段 直 接 相 连 的 圆 圈 内 的 数 字之 差 都 不 等

5、 于 1.7. 在图 4-17 的七个圆圈内填入七个连续自然数,使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数. 请问:标有的圆圈内填的数是多少?8. 小悦是 8 月 11 日 15 点整出生的,她想把 1,2,3, 4,5,6,7 这七个数填入图 4-18的七个方框里,每个数只填一次,使三条直线上的三个数之和恰好是 8,11,15,问:在圆上的三个数的乘积最大可能是多少?9. 把 1 至 6 这六个数字填入图 4-19 六个圆圈内,使得三角形每条边上三个数之和都相等,那么这个和最小是多少?最大是多少?510. 把 1 至 11 填 入 图 4-20 中 “六 一 ”图 形 的 十 一

6、 个 空 格 内 , 使 得 每 一 条 直 线 上 的 两 个 或 三 个数 之 和 都 相 等 。11. 请将 1 至 6 填入图 4-21 的六个圆圈内,使得四条直线上的数字之和都相等。612. 如图 4-22,有一座长方形城堡,四周有十个掩体,守城的士兵有十件武器,各种武器的威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同,并且尽量大,应如何在十个掩体中配备武器?武器 手枪 步枪 自动步枪 冲锋枪 轻机枪威力数 1 2 3 4 5武器 重机枪 迫击炮 火箭筒 加农炮 榴弹炮威力数 6 7 8 9 10超越篇1. 如图 4-23,四个圆共被分成十二个区域,其中已有六个区域内填有数,请

7、将 1 至 12 中的另六个数填入其他区域内,使得每个圆中四个数之和都是 28.2. 如图 4-24,请在三个圆圈内分别填入三个数,使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.3. 把 1 至 8 填入图 4-25 中正方体八个顶点处的圆圈内,使得正方体每个面上的四个数之和都相等。4. 把 1 至 12 分别填入图 4-26 所示六角星图案的十二个圆圈内,使得每条直线上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数,那么每条直线上各数之和应该是多少?并把下图补充完7整。85. 把 1 至 8 填入图 4-27 的八个圆圈内,使得每个三角形三个顶点的数字之和相等,且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶

8、点的数字之和的一半。6. 图 4-28 中一共有 6 条线段,请将九个连续的自然数(其中一个是 6)填入其中的九个圆圈内,使得每条直线上圆圈内的数加起来都等于 23.7. 如图 4-29,55 的方格表被分成了五块,请你在每格中填入 1、2、3、4、5 中的一个(其中两个格子已经分别填入 1 和 2) ,使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同,且每块上所填数的和都相等,请问: 是多少?ABCDE8. 图 4-30 是奥林匹克五环标志,五个圆内共分成了九个部分,请在这九个部分中填入 1至 9 这九个数,使得每个圆环内的各数之和都相等,请问:这个和最大是多少?最小是多少?9第 4 讲 数阵图初

9、步内容概述各种较为基本的数阵图问题,了解重数的概念,并以此进行分析;学会分析特殊位置上的数值;某些情况下还需要考虑对称性。典型问题兴趣篇1. 在图 4-1 中的三个圆圈内填入三个不同的自然数,使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11.【答案】:【分析与解】:先如下图将空白处标上字母:根据题意:a11254;b11416;c11263.2. 请分别将 1,2,4,6 这四个数填在图 4-2 中的各空白区域内,使得每个圆圈里四个数之和都等于 15. 10【答案】:【分析与解】:如下图,先将空白区域标上字母根据题意:上面圆内四个数之和等于 15,可得 ad1557312;同理,bd1553716;

10、cd1573514。由于 d 属于三个圆的公共部分,经对比发现可得:d1;a2;b6;c4.3. 如图 4-3 所示,请在三个空白圆圈内填入三个数,使得每条直线上三个数之和都相等。【答案】:【分析与解】:如下图:因为 89aba 7 可得 b10;那么每条线的和831021;那么a21894;c 21876.4. 把 1 至 8 分别填入图 4-4 的八个方格内,使得各列上两个数之和都相等,各行四个数之11和也相等。【答案】:1 7 6 48 2 3 5【分析与解】:因为 123836;所以每行的和等于 36218;每列的和3649;从列入手,可将 18 这八个数分为和等于 9 的四组:182

11、73645。再调整使行和等于 18:我们发现 1423;8567.经过调整可得答案。5. 把 1 至 12 分别填入图 4-5 的圆圈内,使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。【答案】:【分析与解】:经过观察发现,此图是个具有对称性的图案;若使三个小三角形的三边之和相等;只需要使得图中每条边上的两个数之和相等即可。因此可将 112 对称性地分为六组如下:112211310495867.6. 在如图 4-6 所示的 33 方格表内填入 1、2、3 这三个数字各三次,使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。12【答案】:1 3 23 2 12 1 3【分析与解】:利用此图的对称性;

12、可将中间数 2 填入此图的正中心;然后利用每行每列都是 1、2、3 并注意使对角线的和等于 6 可将此图填写完整。7. 把 1 至 6 分别填入图 4-7 的六个圆圈内,使得每个正方形四个顶点的数之和都为 13. 【答案】:【分析与解】:如下图所示:根据题意有:a bcd13; cdef13将上述两个算式相加可得:(abcde f )c d26;也就是 21cd26;得到:cd51423;a be f 1358;而 82635 只有这两种组成方式;因此排除掉 cd23;所以 cd14。8. 把 1 至 6 分别填入图 4-8 的六个方格内,使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等. 这个和最大是

13、多少?最小是多少?13【答案】:最大 13;最小 11【分析与解】:如下图标上字母,并且设两条线上的和均为 k。a b cdef依据题意有:abc k;bde f k;将这两个等式相加可得:(abcde f )b2k ;21b2k。由奇偶性可得:b 只能取 1、3、5;分别对应k 的值为 11、12、13.可知和最大为 13,最小为 11.9. 把 1 至 7 这七个数分别填入图 4-9 中各圆圈内,使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等,如果中心圆内填入数相等,那么就视为同一种填法,请写出所有可能的填法。【答案】: 14【分析与解】:如下图所示标上字母,并设每条线的和为 k。根据题意有:ab

14、c k;adek;afgk;将三式相加可得:(abcde f g)2a3k;282a3k;经过分析可知:当 a1 时,k10;当 a4 时,k12;当 a7 时,k 14。10.在图 4-10 的 6 个圆圈内分别填入不同的自然数,使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和,那么最下面那个数最小是几?【答案】:8【分析与解】:根据题意可知;只要上面三个数确定,那么下面三个数也就确定了;若使最下面数最小,那么必须使最上面三个数最小,并且将最小数放在最中间;经过尝试有如下填法:拓展篇1. 将 1 至 9 分别填入图 4-11 中的圆圈内,可以使得图中所有三角形(共七个)的三个顶点上的数之和都等于 1

15、5. 现在已经填好了其中三个,请你在图中填出剩下的数.15【答案】:【分析与解】:先标上字母:c15564;同理可得:b2;a7;d3;e8;f1.2. 在图 4-12 中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数,使得正方形每条边上三个数的和相等. 现在如果已经填好了五个数,那么每条边上各数之和应该是多少?并将其补充完整。【答案】:【分析与解】:先标上字母:16有 116aa 9b;可得 b8;和76821;c211713.3. 图 4-13 是由四个交叠的长方形组成的,在交点处有八个小圆圈. 请你把1、2、3、4、5、6、7、8 这八个自然数分别填入这些小圆圈内,使得每个长方形上的四个数之和都相

16、等。【答案】:【分析与解】:先标上字母:我们发现:a 与 b 总是在一起;同样:c 与 d;e 与 f;g 与 h 也总是在一起;考虑将 1分为 4 组:18273645.4. 在图 4-14 中的方格内填入三个 0、两个 2、两个 3、两个 4,使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是 6,并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是 7.17【答案】: 4 3 2 20 3 0 4 0【分析与解】:先标上字母有: a b c de f g h i总和2(234)18;而中间三列之和6318;所以 ei0。同样第二、三行之和7214;所以 a18144。则可以根据和依次填出其他方框内数字。

17、5. 请 在 图 4-15 的 每 个 小 圆 圈 内 填 入 1 或 2, 使 得 每 个 大 圆 圈 上 四 个 数 之 和 两 两 不 同 , 那 么 所 填 数的 总 和 是 多 少 ?【答案】:9【分析与解】:观察得知:每个圆上面均有四个小圆圈;经过试验可填出:;此时所有圆圈内所填数之和等于 9。6. 把 1 至 8 分 别 填 入 图 4-16 的 八 个 圆 圈 内 , 使 得 任 意 两 个 有 线 段 直 接 相 连 的 圆 圈 内 的 数 字之 差 都 不 等 于 1.18【答案】:【分析与解】:先标上字母如下:发现 b 与除了 d 之外的所有格子相连,意味着在 18 范围

18、内,与 b 相差 1 的只有 d;同样的道理,与 c 相差 1 的只有 a;那么可以推出a7,c8;b1,d2;进而可以推出其它位置。7. 在图 4-17 的七个圆圈内填入七个连续自然数,使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数. 请问:标有的圆圈内填的数是多少?【答案】:5【分析与解】:从和最小的 4 入手;413。若 4 的上面填 1 下面填 3,可以利用线上的和算下去发现所填的数并不是 7 个连续的自然数;所以 4 的上面填 3 下面填 1,此时可推断出5.8. 小悦是 8 月 11 日 15 点整出生的,她想把 1,2,3, 4,5,6,7 这七个数填入图 4-18的七个

19、方框里,每个数只填一次,使三条直线上的三个数之和恰好是 8,11,15,问:在圆上的三个数的乘积最大可能是多少?19【答案】:168【分析与解】:先标上字母如下:可知:abc 8;ade11; afg15;将三式相加有:(abcde fg)2a 34;解得 a3;则 bc 514;若使圆上乘积最大,则 c4;同理可得:d2;e6;f5;g7.此时圆上上个数的乘积为 467168.9. 把 1 至 6 这六个数字填入图 4-19 六个圆圈内,使得三角形每条边上三个数之和都相等,那么这个和最小是多少?最大是多少?【答案】:最小是 9,最大是 12【分析与解】:标注字母如下图;并设每条线的和为 k:

20、根据题意有:abdk; bf ck; aeck;将三式相加:(abcde f )(a bc)3k;21(abc)3k;若使 k 最小,则使abc 最小;此时 abc1236;k9.若使 k 最大,则使 abc 最大;此时abc45615;k12.10. 把 1 至 11 填 入 图 4-20 中 “六 一 ”图 形 的 十 一 个 空 格 内 , 使 得 每 一 条 直 线 上 的 两 个 或 三 个数 之 和 都 相 等 。20【答案】:【分析与解】:标注字母如下图,并且设每条线上的和为 m:有:acdm;bcm;efm;ghm;ijkm;五式相加得:(abc de f ghi jk)c 5

21、m;66c5m;设c4,m14;进而可得出上图结果。11. 请将 1 至 6 填入图 4-21 的六个圆圈内,使得四条直线上的数字之和都相等。【答案】:【分析与解】:标注字母如下图,且设每条线上的和为 k:21有:abck;adfk;cdek;ef k;将上述算式相加有:2(abcde f )b 4k;42b4k。解得 b6,k9,则e4;f5;a1;b2.12. 如图 4-22,有一座长方形城堡,四周有十个掩体,守城的士兵有十件武器,各种武器的威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同,并且尽量大,应如何在十个掩体中配备武器?武器 手枪 步枪 自动步枪 冲锋枪 轻机枪威力数 1 2

22、 3 4 5武器 重机枪 迫击炮 火箭筒 加农炮 榴弹炮威力数 6 7 8 9 10【答案】:【分析与解】:标注字母,并且设每条边上的和为 m 如下图:有:abcdm;ae fm ;f ghi m;di jm 将上述算式相加有:(abcde f gh ij)(a df i )4m;也就是:55(adfi)4m;若使 m 最大,必须使 adfi 最大。但是当22adfi7 8910 时 m 无整数解。所以可解得:adfi68910 时,m22 取得最大值。经计算和实验,可填出如上图答案。超越篇1. 如图 4-23,四个圆共被分成十二个区域,其中已有六个区域内填有数,请将 1 至 12 中的另六个

23、数填入其他区域内,使得每个圆中四个数之和都是 28.【答案】:【分析与解】:由最下面的圆可知:空白两处所填数之和282521912;由最右面的圆可知:空白两处所填数之和287813121,因此下面的圆与右边的圆公共部分为 12.依次类推,可将图形补充完整。2. 如图 4-24,请在三个圆圈内分别填入三个数,使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.【答案】:23【分析与解】:标准字母如图, 根据题意有:a19b9997ca bc 可解得:a12;b4;c6.3. 把 1 至 8 填入图 4-25 中正方体八个顶点处的圆圈内,使得正方体每个面上的四个数之和都相等。【答案】:【分析与解】:由

24、正方体的对称性可将四条高分为 182736459,每个面的和为 18;适当调整每条高上的两个数的位置,使其也满足上下两面为 18.4. 把 1 至 12 分别填入图 4-26 所示六角星图案的十二个圆圈内,使得每条直线上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数,那么每条直线上各数之和应该是多少?并把下图补充完整。24【答案】:【分析与解】:观察图形可知,每个数都用两次,所以每条线上的和2(12312)626;可将空白地方依次填出。5. 把 1 至 8 填入图 4-27 的八个圆圈内,使得每个三角形三个顶点的数字之和相等,且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶点的数字之和的一半。【答案】:【分析与解

25、】:标注字母如下:总和为 123836;所以小正方形和为36312;大正方形和为 12224。再设每个小三角形的和为 k;有:abhk;bc dk;hgfk;defk;将上述算式相加,可得 k12.cg36(abh)(de f )12;同理 ae12;而 124857;因此可得:a8;b3;c7;d2;e4;f 6;g5;h1.6. 图 4-28 中一共有 6 条线段,请将九个连续的自然数(其中一个是 6)填入其中的九个圆圈内,使得每条直线上圆圈内的数加起来都等于 23.25【答案】:【分析与解】:标注字母如下 由题意有:2(6ab h)6138;解得这九个连续的自然数为 4、5、6、10、1

26、1、12;gh231211;因为dfhgfe ,所以 d 与 e 相差 1;同理 a 与 b 也相差 1;又因为 ab23617;可以解得 a9;b8;d5;e4;从而 c10;f 7.7. 如图 4-29,55 的方格表被分成了五块,请你在每格中填入 1、2、3、4、5 中的一个(其中两个格子已经分别填入 1 和 2) ,使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同,且每块上所填数的和都相等,请问: 是多少?ABCDE【答案】:14523【分析与解】:根据题意易知,所有方格内所填数的总和5(12345)75;所以每一块的和等于 15.将图中空白方格内标上字母如下图:26(1)因为 abc 12

27、15;且 abc1e15;所以 e2.(2)因为 adA i p15;且 dA ipq15;所以 aq(3)因为 mnst15;可知这四个数一定有重复的,因为如果不重复的话,最大23451415.重复的话也只能 ns,因为 m 与 t 在对角线上不可能重复。155514552344253345;因为对角线上 e2,所以第二组和第三组舍去。如果选择第四组的话,则 m 与 t 为 4 和 5,ns3;再看 a,所在的行已经有了 1、2,所在的对角线已经有了 2、4、5,所以 a3;由知,q3.此时在第五行,q3,s3,矛盾,故舍去。所以 ns5,m4,t1.(4)再看第四列,g 和 D 只剩下 2

28、 和 3 了,因为 e2,所以 g3,D 2.(5)再看第五列,h 和 E 只剩下 3 和 4 了,因为 g3,所以 h4,E3.(6)再看右上角的黑框,f 15232341(7)再看第二行,d 只剩下 5 了。(8)再看主对角线,a 和 C 只剩下了 3 和 5,但是考虑到 d5,所以 a3,C5.(9)再看第一行,不难得到 b5,c4.(10)由(2)和(8)知,q3(11)再看第二列,不难得到 B4,j 1(12)第三行,A1.所以可得: 14523.CDE8. 图 4-30 是奥林匹克五环标志,五个圆内共分成了九个部分,请在这九个部分中填入 1至 9 这九个数,使得每个圆环内的各数之和都相等,请问:这个和最大是多少?最小是多少?【答案】:最大为 14,最小为 11【分析与解】:标注字母如下,并且设每个圆内的和为 k:27依据题意有:aek;afbk;bg ck;chdk;dik;将上述算式相加有:(abcde f gh i)(abcd)5k;45(abcd)5k若使 k 最小,只需使 ab cd 最小,最小为 123410,k11;若使 k 最大,只需使 ab cd 最大,最大为 678930,k15;但是填不成功;接下来只能使 abc d25,此时 k14.