1、第 1 讲 分数数列计算内容概述建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题典型问题兴趣篇1计算： 10987165143122计算： 97253计算： 108644计算： .23012615计算： 97786计算： 1087计算： 9256430126538计算： 819计算： 1910计算： )91()3()2(拓展篇1计算： 20876514312计算： 983853计算： 14207144计算： ;9017256331263)( 4208139408736897654082)( 5计算： )21()921()4321()()321()1( 6计算： 4089750
2、96237.计算： 11874518.计算： 20642186422 9.计算： 5095313110.计算： 10985436231411.计算： )1()()( 22212.计算： )20971()53()4()31( 超越篇1.计算： 198122222.计算： .204122 3.已知算式 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？)198()768()5(34.计算： 208343215.计算： （最后结果可以用阶乘表示）!109!436.已知 ，请比较 A 和 B 的大小。2226418,1BA7.计算： （结果可以用阶乘和乘方表示）1032!543! 8.计算： 1295674
3、8956789107 第 1 讲 ： 分 数 数 列 计 算兴 趣 篇1. 计算 ： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 。【分析 】1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 101 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 9 10 1 ( 1 1 ) ( 1 1) ( 1 1) 1 1 2 2 3 3 9 9 10110 9)102. 计算 ： 2 2 2 2 。【分析 】1 3 3 5 5 7 97 991 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 5 5 7 97 99 1 ( 1 1 ( 1
4、 1) ( 1 1 ) 1 1 98993 3 5 5 97 97 991993. 1 1 1 12 4 4 6 6 8 98 100【分析 】 1 ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1 )2 2 4 4 6 6 8 98 100 1 1 ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1 ) 1 2 2 4 4 6 6 98 98 100 1 ( 1 1 )2 2 100 492004. 1 1 1 1 1 1 1 16 12 20 30 42 56 72 90【分析 】 1 1 1 1 1 1 1 12 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 ( 1 1 ) (1
5、 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )2 3 3 4 4 5 9 10 1 ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1) 12 3 3 4 4 9 9 10 1 12 10 255. 1 1 1 1 14 28 70 130 9700【分析 】 1 1 1 1 11 4 4 7 7 10 10 13 97 100 1 (1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )3 1 4 4 7 7 10 97 100 1 1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 3 4 4 7 7 97 97 100 1 (1 1 )3 100 331006. 5 6 6 7 7 8 8 9 9
6、 105 6 6 7 7 8 8 9 9 10【分析 】 (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 )5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) 15 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 15 10 3107.原式= 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 101 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10【分析 】 (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) . (1 1 ) (1 1 )2 2 3 3 4 8 9 9 10 1 ( 1 1 ) ( 1
7、1) ( 1 1) ( 1 1) 1 1 11102 2 3 3 8 8 9 9 101108. 2 2 2 21 2 3 2 3 4 3 4 5 98 99 100【分析 】 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 98 99 99 100 1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 11 2 2 3 2 3 3 4 3 4 98 99 98 99 99 100 1 11 2 99 100 494999009. 1 5 11 19 219 2392 6 12 20 210 240【分析 】 (1 1 ) (1 1
8、) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 )2 6 12 210 240 15 ( 1 1 1 1 1 )2 6 12 210 240 15 (1 1 )16 15 1516 14 11610. (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)2 2 3 3 9 9【分析 】 1 3 2 4 3 5 9 8 102 2 3 3 4 4 8 9 9 1 102 9 59拓 展 篇1、 计 算： 1 1 1 1 1 1 。【分析 】1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 2007 2008 (1 1 ) ( 1 1) (1 1 ) ( 1 1 )1 2 2 3 3 4 200
9、7 2008 1 ( 1 1 ) ( 1 1) ( 1 1 ) 1 1 2 2 3 3 2007 2007 200812008 200720082、 计 算： 3 3 3 3 3 。【 分析 】2 5 5 8 8 11 1114 98 101 ( 1 1 ) ( 1 1) (1 1 ) ( 1 1 )2 5 5 8 8 11 98 101 1 ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1 ) 12 5 5 8 8 98 98 101 1 12 101 992023、 计 算： 4 8 12 16 20 24 。1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13【 分析 】)1 1 1 1 1 1
10、1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 1 ( 1 1 ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1 ) 1 1 12133 3 5 5 7 7 9 9 11 11 131131 1 1 1 1 1 1 1 14、 计 算： （ 1）1 3 5 7 9 11 13 15 17 。2 6 12 20 30 42 56 72 90（ 2） 4 6 8 10 12 14 16 18 20 76 78 80 821 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 37 39 38 40
11、39 41 40 42【 分析 】（1） 原 式 (1 3 5 17) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 9 9 (1 1 )102 6 12 20 30 42 56 72 90 81 910（2）(1 3 3 5 37 39 39 41 ( 2 4 4 6 38 40 40 42 )原 式 ) 1 3 3 5 37 39 39 41 2 4 4 6 38 40 40 42 (1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )1 3 3 5 37 39 39 41 2 4 4 6 38 40 40 42 1 1
12、1 141 2 42 1 3898615、 计 算：1 2 31 (1 2) (1 2) (1 2 3) 4 (1 2 3) (1 2 3 4) 10(1 2 9) (1 2 9 10)【 分析 】 1 (1 1 ) ( 11 ) ( 1 1 )1 2 1 2 1 2 3 1 2 9 1 2 10 1 (1 1 54551 )1 2 10 )6、 计 算： 3 11 23 39 759 839 。2 6 12 20 380 4201 1 1 1 1【 分析 】 原 式 (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )1 2 2 3 3 4 19 20 20 21 2 20 ( 1 1 1 1
13、1 ) 40 1 2 1 2 3 4 19 20 20 211 1 (1 21 40 2021 39 1217、 计 算： 2 3 5 6 8 9 98 99 。1 4 4 7 7 10 97 100【 分析 】 (1 2 ) (12 ) (1 2 ) (1 2 )1 4 4 7 7 10 97 100 32 2 ( 1 11 1 )1 4 4 7 7 10 97 100 32 2 1 (1 1 ) 32 33503 1008、 计 算： 1 1 1 1 1 。2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 20【 分析 】 .1 1 1 1原 式 1 2 2 3 3 4 10 11 1
14、111 10119、 计 算： 1 1 1 1 。【 分析 】1 2 3 2 3 4 3 4 5 48 49 50 ( ) ( 1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) (1 1 )2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 48 49 49 501 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 48 49 48 49 49 50 1 ( 1 1 )2 1 2 49 50 306122510、 计 算： 4 5 6 11 。1 2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 101 3 1 4 1 5 1 10【 分析 】 原 式 1 2 3
15、 2 3 4 3 4 5 8 9 10 ( 1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) ( 1 1 )1 2 3 1 2 2 3 4 2 3 3 4 5 3 4 8 9 10 8 9 ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 )1 2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 10 1 2 2 3 3 4 8 9 1 ( 1 1 ) (1 1 )2 1 2 9 10 9 11 845 9 171511、 计 算： 1 1 1 1 1 。1 2 2 2 2 3 99 【 分析 】 原 式 1 3 2 4 3 5 98 1002 2 3 3 4 4 99 99 1 2 3 3 4 4 98 98 99 1
16、002 2 3 3 4 4 98 98 99 99 1002 99 509912、 计 算： 1 1 1 1 1 1 1 。1 1 3 2 4 3 5 2007 2009 【 分析 】 原 式 2 2 3 3 4 4 2008 20081 3 2 4 3 5 2007 2009 2 2 3 3 4 4 2007 2007 2008 20081 2 3 3 4 4 2007 2007 2008 2009 2 20082009 1 20072009超 越 篇12 221、 计 算： 22 32 182 192 192 202 。1 2 2 3 18 19 19 20n 2 ( n 1) 2 n2
17、( n 1) 2 2n( n 1) 2n( n 1) ( n 1 n) 2 1 1 1【 分析 】 2 2 2 ( )n (n 1)原 式 2 19 (n (n 1)1 1 1 )n (n 1) n (n 1) n n 1 38 (1 1 )20191 2 2 3 19 20 38 202 2 2 22、 计 算： 2 1 4 1 18 1 20 122 1 42 1 。182 1 202 12 2 2【 分析 】 原 式 (1 ) (1 ) (1 ) 10 (1 1 )21201 3 3 5 19 21 10 212 4 16 183、 已 知算 式( 1 ) (2 ) (8 ) (9 )
18、的结 果 是一 个 整数 ， 那么 它 的 末两 位数 字式多 少 ？3 5 17 19【 分析 】 第n个数的分 子是 n (2n 1) 2n n (2n 3) ，是第n+1个数分母的n被，因此，原 式 1 1 2 3 8 (9 19 18)3 63 8! 2540160末两位是604、 计 算： 3 5 7 37 。1 2 3 2 3 4 3 4 5 18 19 20【 分析 】 原 式 1 2 2 3 3 4 18 191 2 3 2 3 4 3 4 5 18 19 20 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) (1 1 )2 3 1 3 3 4 2 4 4 5 3 5 19 2
19、0 18 20 ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )2 3 3 4 4 5 19 20 1 3 3 5 17 19 2 4 4 6 18 20 (1 1 ) 1 (1 1 ) 1 (1 1 )2 20 2 19 2 2 20 9 9 920 19 40 8737605、 计 算： 1 2 3 99 （ 最 后结 果可 以 用阶乘 表示 。2! 3! 4! 100!【 分析 】 n 1 1 (n 1)! n ! (n 1)!原 式 (1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1100!2! 2! 3! 99! 100!6、 已 知 A 1 , B 1 1 1 1
20、， 请比 较A 和B 的大 小 。【 分析 】8 82 92 102 642B 1 1 1 1 17 9 8 10 911 62 64 63 65 1 (1 1 1 1 )2 7 65 8 64 1 ( 1 1 1 1 1 )2 8 7 8 65 8 64 1 1 ( 1 1 1 )8 2 56 65 64 1 A87、 计 算： 3! 1 4! 2 5! 3 102!100 （ 结 果可 以用 阶 乘和乘 方表 示 。3 3 3 31000【 分析 】 (n 2)! n (n 2)! (n 3) (n 2)! 3 (n 3)! (n 2)!3n 3n 3n 3n 3n1原 式 ( (1 3)
21、! (1 2)! ( (2 3)! (2 2)! ( (100 3)! (100 2)!31 30 ) 32 31 ) 3100 399 ) (1 2)! (1 3)! (2 2)!) (2 3)! (3 2)!) (99 3)! (100 2)!) (100 3)!30 31 31 32 32 399 399 3100 (100 3)! (12)!3100 30103! 631008、 计 算： 100 100 99 100 99 98 100 99 98 5 4 。97 97 96 97 96 95 97 96 95 2 1【 分析 】 原 式 100 100 99 100 99 98 100 99 98 100 99 9897 97 96 97 96 95 96 95 94 3 2 1 100 100 99 100 99 98 ( 1 1 1 )97 97 96 97 96 95 96 95 94 3 2 1 100 100 99 100 99 98 1 ( 1 1 )97 97 96 2 1 2 97 96100 100 99 98 1 100 99 1 100 99 98 ) ( 97 4 97 96 2 97 9625 99 98 100 50 99 ) ( 97 97 25 99 98 50 242500