1、第 22 讲数论综合三内容概述需要运用代数来处理的复杂数论问题；数论证明题。典型问题兴趣篇1(1)求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上 40 后所得的五位数是完全平方数(2)求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上 80 后所得的数是完全平方数2已知 n!3 是一个完全平方数，试确定自然数 n 的值(n! =1 23n)3一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于 7如果把组成它的每个数字都加上 3，便得到另外一个完全平方数求原来的四位数4请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除5在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字 0，得到一个三位数（例如 2
2、1 变成了201） ，结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除请问：所有满足条件的两位数之和是多少？6用 2、3、4、5、6、7 六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与 540 的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？7一个自然数，它与 99 的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值8有 3 个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除满足上述条件的 3 个自然数之和最小是多少？9小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是 1 分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以 3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是 9
3、9 的倍数，那么他们至少玩了多少局？10对于一个自然数 N，如果具有这样的性质就称为 “破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被 N+1 整除那么在 1 至 2008 这 2008 个自然数中有多少个“破坏数”？拓展篇1(1)求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是 20；(2)求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是 04；(3)求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是 20，后两位是 04.2已知 n!4 等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数 n 的值 （n! =1 2 3n）3找出三个小于 20 的自然数，它们的最大公约数是 1，但是两
4、两均不互质请写出所有可能的情况4三个两位奇数，它们的最大公约数是 l，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18 个约数求所有满足要求的情况5.147lO2008 的末尾有多少个连续的零？6一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？7任意一些末两位数是 25 的数相乘，它们的乘积末两位数仍是 25，我们就称 25 是“变不掉的两位数尾巴” 显然 000 是“变不掉的三位数尾巴” ，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”8在 3 和 5 之间插入 6、30、20 三个数，可以得到 3、6、30、20、5
5、这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积请你在 4 与 3 之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积9M、N 是互为反序的两个三位数，且 M N请问：(1)如果 M 和 N 的最大公约数是 7，求 M； (2)如果 M 和 N 的最大公约数是 21，求 M10用 l、2、3、4、5、6 这六个数字组成两个三位数 A 和 B，那么 A、B、540 这三个数的最大公约数最大可能是多少？11请将 l、2、3、4、5、6、 7、8、9、10、11 按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数12一根红色的长线，将它对折，再对折，经过
6、m 次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过 n 次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线已知红色短线比白色短线多m 且它们的数量之和是 100 的倍数请问：红色短线至少有多少条？超越篇1求出所有正整数 n，使得 25 + n 能整除 25 n.2一个自然数至少有 4 个约数，并且该数等于其最小的 4 个约数的平方之和，请找出这样的自然数3一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是 63，则原四位数可能是多少？4一个不超过 200 的自然数，如裂川四进制表示，那么它的数字和是 5；如果用六进制
7、表示，那么它的数字和是 8；如果用八进制表示，那么它的数字和是 9如果用十进制表示，这个数是多少？5把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？6用 l、2、3、4、5 各一个可以组成 120 个五位数，你能否从这 120 个数里面找出 11 个数来，使得它们除以 11 的余数互不相同？如果五个数字是 1、3、4、6、8 呢？7用 1、2、3、4、5、6 这 6 个数字各一次组成两个三位数 A 和 B请问：A、B、630 这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？8我们将具有如下
8、性质的自然数 K 称为“巨人数”：如果一个整数 M 能被 K 整除，则把 M 的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被 K 整除，请求出所有的“巨人数”。第 22 讲 数论综合三典型问 题 兴趣篇 1.（ 1） 求 所有 满足 下列 条 件的三 位数 ： 在 它左 边写 上 40后所 得的 五位 数是 完 全平方 数 。（ 2） 求 满足 下列 条件 的 最小自 然数 ： 在 它左 边写 上 80后所 得的 数 是 完全 平 方数 。【分析 】（ 1） 设这 个三 位数 为a bc根据题 意有 40abc n2 ，即 40000 abc n 2 ，abc n 2 2002 (n 200)(n
9、200)当n 201 时 ，abc 401 ，五 位数 是 2012 40401当n 202 时 ，abc 804 ，五 位数 是 2022 40804当n 203 时 ，abc 不是 三位 数 （舍去 ）所以 满 足条 件的 三位 数 是 401，804（ 2） 当这 个自 然数 是一 位 数时 ，有8 0a n2 ，292 841 ，282 784 ，因此 一位 数不 存在 ，同理 两位 数不 存在当这个 自然 数是 三位 数时 ，有8 0abc n2 ，abc n 2 80000 ，2842 80656 ，所 以最小 自然 数是6 562. 已 知 n ! 3是一 个 完 全 平 方 数
10、 ， 试 确 定 自 然数 n 的 值 （ n! 123 n ）【分析 】当n 6 时 ，n! 3 3(3m 1) ，不 可能 是完全 平 方数 ，因 此n 只能取 1 到5 间 的 数，经试验n 1 或33. 一 个完 全平 方数 是四 位 数 且它 的各 位数 字均 小 于 7。 如 果把 组成 它的 每个 数字都 加 上3 ， 便得到 另外 一个 完全 平方 数。 求 原来 的四 位数 。【分析 】根据题 意有a bcd m 2 ，(a 3)(b 3)(c 3)(d 3) n2 ，因此n 2 m2 3333 ，即(n m)(n m) 3 11 101，且n , m 都是两 位数 ，因此(
11、 n m )(n m ) 33 101，所以n 67, m 34 ，原 来的 四位 数是3 42 11564. 请 写出 所有 各位 数字 互 不相同 的三 位奇 数 ， 使得 它能被 它的 每一 个数 位上 的数字 整除 。【分析 】根据题 意是 三位 奇数 ，因 此各位 数字 不能 取偶 数 ，当有一 个数 字是 9 时 ，必 然 另外 两个数 字 有 一 个 是 偶 数 ，因此 三 个 数 字 只 能 是 1, 3, 5, 7 ，所 以 满足 条件 的三 位奇 数 为135，315，175，7355. 在 一个 两位 数的 十位 与 个位数 字之 间插 入一 个数 字 0， 得 到一 个
12、三 位数 （ 例 如21变成 了201， 结果 这个 三位 数恰 好能被 原来 的两 位数 整除 。 请问 ： 所 有满 足条 件的 两位数 之和 是多少 ？【分析 】设满足 条件 的两 位数 为 ab ，依题意 有 a 0b mab ，即 100a b 10ma mb ，m 最 大只 能 取 10 ，最 小 取 6 ，当m 10 时 ，有 100a b 100a 10b ，因此b 0 这样 的两位 数 有 10, 20, 30, , 90 ，同 理 当m 9 时 ，有 100a b 90a 9b ，这样 的两 位数有4 5 同理 当m 8 时 ，有 100a b 80a 8b ，这样 的 两
13、位数 不存 在 同 理当m 7时 ，有 100a b 70a 7b ，这 样的 两位 数有 15 ；同理 当m 6 时 ，有100a b 60a 6b ，这 样 的 两 位 数 有 18 ；满足 条件的 两位 数之 和是10 20 90 15 45 18 5286. 用2 、 3、 4、 5、 6、 7 六 个数字 组成 两个 三位 数 ， 要使这 两个 三位 数 与540 的最大 公约 数尽可能 的大 ， 这 两个 三位 数应该 分别 是多 少 ？【分析 】540 22 33 5 ，因此 可以 让这 两个 三位 数尽可 能都 是4 的倍数 和 9 的倍数 ，所以 只能 是3 24，756 或
14、432 ，7567. 一 个自 然数 ， 它 与 99的乘积 的各 位数 字都 是偶 数。 求 满足 要求 的最 小 值 。【分析 】当这个 自然 数为 一位 数a 时 a 99 100a a a 00 a 因此十 位数 字是9 不成 立 ；当这个 自然 数为 两 位 数 ab 时 ，ab 99 100ab ab ab00 ab ，因 此个 位数 字是 偶 数 ，这 样 百 位数 字为 奇数 ，不 成 立 ；当这个 自 然 数为 三 位 数 abc 时 ，abc 99 100abc abc abc000 abc ，因 此个 位 数字是 偶数 ，这 样千 位数 字为奇 数 ，不成 立 ；当这个
15、自然 数为 四位 数 abcd 时 ，abcd 99 100abcd abcd abcd 00 abcd ，因 此 个位数 字 、千 位 数 字 是 偶 数 ，百 位 、十位 数字 是奇 数 ；且a c ，b d ，所 以满 足要求的 最小 值是2 3128. 有3 个 自然 数 ， 其中 每 一 个数 都不 能被 另外 两个 数整除 ， 而 且其 中任 意两 个数的 乘积 都 能被 被 三个 数整 除 。 满足 上述条 件 的3 个 自然 数之 和最小 是多 少 ？【分析 】要求和 最小 ，这 三个 数应 尽量小 ，因 此这 三个 数分 别 含质 因数 2, 3, 5 ，再 根据 题意 只能
16、是 任意 两个 因数 的积 ，即2 3 ，3 5 ，5 2 ，所以 满足 上述 条件 的3 个 自然数之 和 最 小 是 10 15 6 319. 小 明与 小华 玩游 戏 ， 规 则如下 ： 开 始每 人都 是 1 分 ， 每 局获 胜的 小朋 友都 可以把 自己 的分数乘 以 3， 输的 小朋 友保 持分数 不变 。 最后 小明 获 胜 ， 他比 小华 多的 分数 是9 9的倍 数 ， 那么他 们至 少玩 了多 少局 ？【分析 】根据题 意每 人得 的分 数只 能是3 n 的形式 ，设 小明 得的 分数为 3 n ，小 华得 的分 数为3m ，所 以有3 n 3m 32 11 p（m, n
17、, p 都是 整数 ，n m ，即3 m (3n m 1) 32 11 p ，只需让3 n m 1 是 11的倍数 ，最 小的 是3 5 1 242 是 11 的倍 数 ，所 以最 小 n 7 ，m 2 ，因此 至少 玩7 2 9 局10. 对 于一 个自 然数 N ， 如 果具有 这样 的性 质就 称为“ 破坏 数 ”： 它 添加 到任 何 一个自 然数 的右端 ， 形成 的新 数都 不 能被N 1 整除 。 那 么在1 至10 这10个自 然数 中有 多少 个 “破 坏数 ”？【分析 】首先 ，奇数 肯定 是破 坏 数 .因为任 何一 个自 然数 右端 添上一 个奇 数 ，得到 的新 数必
18、 然还是 奇数 ，不 可能 被偶 数整除 .4 也 是破 坏数 ，因 为末位 是 4 的自 然数 肯定 不是 5 的倍数 .因 此破 坏数 有6 个备注 ：题目有问 ，应将2 008 改为 10 拓展篇 1.（ 1） 求 满足 下列 条件 的 最小自 然数 ， 使 得它 的平 方的前 两位 是 20；（ 2） 求 满足 下列 条件 的 最小自 然数 ， 使 得它 的 平 方的 后 两位 是 04；（ 3） 求 满足 下列 条件 的 最小自 然数 ， 使 得它 的 平 方的 前 两位 是 20， 后两 位 是 04。【分析 】（1）设最 小的 自然 数为 一 位数 ，有2 0a n2 ，即a n
19、2 200 ，经 试验 这 样的一 位数不存 在 ；设 最小 的自 然 数为两 ，有 位 数有2 0ab n2 ，即a b n2 2000 ，当n 45时 ，满 足 条 件 ，所以 满足 条件 （1 ）的最 小自 然数 是 45 ；（2）同样 的方 法得 到 ，满 足条件 （2）的 最小 自然 数 是 48 ；（ 3） 同样 的方 法得 到 ，满 足条件 （3）的 最小 自然 数 是 448 ；2. 已 知 n ! 4等于两 个相 邻自 然 数的乘 积， 试确 定自 然数n 的 值 （ n! 123 n ）【分析 】当n 4 时 ，n ! 4 4 ( n ! 1) ， n! 1 是奇 数 ，不
20、可 能 是 3 或5 ，所 以 n 4 ，经试4 4验n 23. 找 出三 个小 于 20的自 然数 ， 它们 的最 大公 约数 是1 ， 但是 两两 均不 相质 。 请写出 所有 可能的情 况 。【分析 】这三个 数应 该是a b,b c ,c a 的形 式 ，其中 a ,b,c 都为质 数 ，但不 能有7 ，因 为7 3 21 20 ，所 以 a, b, c 只能是 2, 3, 5 ；因 此有2 3, 3 5, 5 2 ；2 2 3, 3 5, 5 2 ；2 32 , 3 5, 5 2 ；即6 ， 15， 10； 12， 15， 10； 18， 15， 104. 三 个两 位奇 数 ， 它
21、们 的 最大公 约数 是1 ， 但 是两 两均不 互质 ， 且 三个 数的 最小公 倍数 共 有18 个约 数 。 求所 有满 足 要求的 情况 。【分析 】这三个 数应 该是a b,b c ,c a 的形 式 ，其中 a ,b,c 都为质 数 ，由于 是奇 数 ，所 以 不能有2 ，又 因为 三个数 的 最小公 倍数 共 有18 个约 数 ，18 2 3 3 ，因此 这三 个数为 3 52 , 32 7, 5 7 ；3 52 , 32 11, 5 11 ，即 75, 63, 35; 75, 99, 555. 1 4 7 10 2008 的末尾 有多 少个 连续 的 零 ？【分析 】只要看 里
22、 面5 的 因子 个数 ，因 为 2 的 因子 个数 一定 足够多 1 到 2008 里面 共有( 2008 1) 3 1 670 个数 其中 ，这 里面 的 后625 个 一定含 有125 个5 的 倍数 ，25 个25 的倍 数 ，5 个125 的倍 数 和1 个625 的倍 数 ；前45 个中 ，10、25、40、55 、 130 共 含 有 11 个 因 子 5 所 以 ，含 有 5 的 因 子 个 数 为125 25 5 1 11 167 6. 一 个四 位数 除以 它后 两 位数字 组成 的两 位数 ， 余 数恰好 是它 前两 位数 字组 成的两 位数 。 如果它 后两 位数 字组
23、 成的 两位数 是质 数 ， 那么 原来 的四位 数是 多少 ？【分析 】设这个 四位 数是a bcd ，根 据题 意有a bcd cd m ab ，即a bcd cd m ab ，即100ab cd cd m ab ，99ab cd (m 1) ，所 以c d 是 11 的倍 数 ，且c d 是质数cd 11 ，cd ab ，所 以a b 10 ，原 来 的 四 位 数 是 10117. 任 意 一 些末 两位 是 25的数相 乘 ， 它们 的乘 积末 两位数 仍 是 25， 我们 称 25是 “变 不掉 的 两位数 尾巴 ”。 显然000 是 “变不 掉的 三位 数尾 巴 ”， 请写出 所
24、有 的 “变不 掉的 三位数 尾 巴 ”。【分析 】设变不 掉的 三位 数尾 巴为x ，则 有x x2 是 1000 的倍 数 ，即x (x 1) 23 53 n（n为整数 ，等式 左边 是一 个 奇数 乘 以一 个偶 数 ，因此 等式右 边其 中一 个是 125 的 奇 数倍数 ，另 一个 是 8 的倍数 ，且是 连续 的自 然数 ，因 此这两 个数 分别 为 375、376 或625、624，即 “ 变 不掉 的 三位数 尾巴 ” 只 能是3 76，625，还 有0 00，0018. 在 3 和 5 之 间插 入 6、 30、 20三 个数 ， 可 以得 到 3、 6、 30、 20、 5
25、 这 样一 串数 ， 其中 每 相邻两 个数 的和 都可 以整 除它们 的乘 积 。 请你 在 4与 3之 间插 入三 个非 零自 然数 ， 使得 其中每 相邻 两个 数的 和都 可以整 除它 们的 乘积 。【分析 】设满 足 条件 的两 个数 为 a, b ，因此有 aba b m （m 为整数 ）即 1 1 1 ，a b m1 1 1 ，令 a 4 ，有 1 1 1 ，1 1 1 ，这 样插 入的 第二 个 数为4 或 12 ，a m b 4 2 4 4 3 12同理再 考虑 右边 的 3 ，而 1 1 1 ，这样第 三个 数只 能是6 ,又 因 为两个 相同 的偶3 2 6数 必 满 足
26、条 件 ，所以 答案 有 4，4，12，6 ，3 或4 ，12，6 ，6，3 或4 ，12，12，6 ，39. M 、N 是互 位反 序的 两个 三 位数 ， 且M N 。 请问 ：（ 1） 如 果M 和 N 的最 大公 约 数是7 ， 求M ；（ 2） 如 果M 和 N 的最 大公 约 数是2 1， 求M 。【分析 】（ 1） 设这 个三 位数 为a bc ，逆 序数为c ba ，M 和N 的最 大公 约数 是7 ，所以abc cba ，abc cba 应是 7 的倍 数 ，即9 9(a c) ，101(a c ) 20b 是7 的 倍数 ，满足条件 的只 有a 9, c 2, b 5 ；a
27、 8, b 6, c 1，但 861 是3 的倍 数 （舍 去） ,因此M是9 52（2）通 过 第一 问 得 知 ，M 和N 的最大 公约 数 是21 时 ，M 86110. 用1 、 2、 3、 4、 5、 6 这六个 数字 组成 两个 三位 数 A 和B ， 那么 A 、B 、 540这三 个数的最大 公约 数最 大可 能是 多少 ？【分析 】因为5 40 22 33 5 ，而 用1 、2 、3、4、5、6 组 成两 个三 位数 ，最多 有一个 是 5 的 倍数 最多有 一个 是9 的倍数 可 以组 成两 个是 3, 4 倍数 的三 位数 即 312, 456 ，A 、 B 、540 这
28、三 个数 的最 大公 约数最 大可 能是 1211. 请 将 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11按合 适的顺 序写 成一 行 ， 使 得 这一行 数中 的 任何一 个都 是它 前面 所有 数之和 的约 数 。【分析 】因为 1 2 3 11 66 ，66 6 11 ，最 后 一 个 数 可 以 是 6 或 11 ，当最 后一 个数 是6 时 ，则前 面十 个数 的和 为6 0 6 10 ，倒 数 第 二 个 数 可 以 是 10 ，依次 倒推 得 ，11,1, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5,10, 6 ，或 6,1, 7, 2,8, 3, 9, 4,1
29、0, 5,11 （答案 不唯 一 ）12. 一 根红 色的 长线 ， 将 它对 折 ， 再 对折 ， ， 经过 m 次对折 后将 所得 到的 线束从 中间 剪断 ， 得到 一些 红色 的短 线 ； 一 根白 色的 长线 ， 经 过 n 次对 折后 将所 得到 的线 束从中 间 剪断 ， 得到 一些 白色 的短 线 。 已 知红 色短 线比 白色 短线多， 而 且它 们的 数量 之和 是 100 的倍数 。 请 问： 红色 短线 至少有 多少 条 ？【分析 】根据题 意红 色短 线有 2 m 1 条 白 色短 线 有 2n 1 （m n) 因此2 m 2n 2 100 p（ p 为整 数 ，即
30、2 m 1 2 n 1 1 应是 50 的 倍 数 ，所以 2 n1 20 ，则 2 m 1 的个 位数 字是8 ，因 此m 1 只能等 于 除 以 4 余3 的数 ，此时m 1 最小 取 11 ，所 以m 12 ，因 此红色 短线 至少 有2 12 1 4097 条 超越篇 1. 求 出所 有正 整数n ， 使 得 25 n 能整除2 5 n 。【分析 】根据题 意有 25n m （m 为自然 数 ， 1 1 1 ， 1 1 1 ，25 n 25 n m 25 m n1 5 1 1 1 ， 1 25 1 1 1 ，所 以出 所有 正25 25 4 25 4 20 100整数n 是100 ，6
31、0025 25 24 25 24 24 6002. 一 个自 然数 至少 有 4 个 约数 ， 并且 该数 等于 其最 小的 4个约 数的 平方 之和 ， 请找 出这 样的自然 数 。【分析 】设这个 自然 数m 的4 个 最 小 约 数分 别 为 a ,b,c ,d ，若 a ,b,c ,d 全为奇 数 ，那么这 个 自然数 为偶 数 矛 盾， 进 而 这个自 然数 必有 约数2 ，因 此 a 1, b 2 ，从 而c , d 有一 个为偶 数 ，不妨 设 c 4 ，则d 2 m 1 22 42 ，d 2 除以 4 余数为 1 或0 ，而m 1 22 42 除以4 余3 ，矛 盾， 因 此另
32、 一 个偶约 数不 能是4 的倍 数 ，设c 6 ，则d 3 因 此m 11 22 32 62 50 (不合 题意 因为 有约 数5 )设c 10 则d 5 ， 因此m 11 22 52 102 130 (符 合 题意 )，3. 一 个四 位数 的各 位数 字 互不相 同 ， 将其 千位 与个 位数字 调换 后形 成新 的四 位数 ， 新四 位 数与原 数的 最大 公约 数 是63 ， 则 原四 位数 可能 是多 少 ？【分析 】设原来 的四 位数 为a bcd ，新的 四位数 为 dbca ，所 以 两 个 数 的 和与 差 都 是 63 7 9的倍数 即 1001(a d ) 20bc ，
33、999(a d ) 都应是 63 的倍 数 由 差知 道a 1, d 8 或a 2, d 9 ，当 a 1, d 8 时 ，bc 63 ；a 2, d 9 ，bc 70 ，所以 原四 位 数可能1638，8631，2709，97024. 一 个不 超过200 的自 然 数 ， 如 果用 四进 制表 示 ， 那么它 的数 字和 是 5； 如 果用六 进制 表 示 ，那 么它 的数 字和 是8 ； 如果用 八进 制表 示 ， 那么 它的数 字和 是9 。 如 果用 十 进制表 示 ， 这个数是多 少 ？【分析 】由于 N 进制的 数被 N 1除所 得的 余数等 于其 各位 数字 之和 除以 N 1
34、所得的 余 数 。 所以这 个自 然数 除以3 余2 ，除以5 余3 ，除以 7 余2 ，根据 逐 级满足 法得 到这 个数 是2 3 ，或2 3 105 138 ，而( 138)10 (2022) 4 ，数 字和 不是5 ，所以 这个 数为2 35. 把 一个 两位 质数 写在 另 一个不 同的 两个 质数 右边 ， 得到 一个 四位 数 ， 这个 四位数 能被 这 两个质 数之 和的 一半 整 除 。 这样 的两 个质 数乘 积最 大是多 少？ 最小 是多 少 ？【分析 】设 这2 个 两 位 质 数 分 别 是 a 和b ，则 这 个 四 位 数 是 100a b ，根 据 条 件 可
35、知 ：a b2 (100 a b), 即 ( a b )|( 200a 2b ) ， 设 200a 2b k ， 则a b200a 2b k (a b )化简 得 (200 k )a (k 2 )b 因此 b 200 k ,其中k 是a k 2整数， a 和b 均为两位质数 ，设 200 k bm , k 2 am ，则两式相加得 ( a b ) m 198 ，注 意 到 a 和b 都 是 质 数 即 也 是 奇 数 ，所 以 a b 是1 98 的 约数 .198 2 32 11，由于a 、b 都是 两位 不同 的质数 ，因 为 11 13 a b 89 97 中的偶 数 ，所 以a b 6
36、6 ，那 么有 a 53 ,b 13 ；a 47 ,b 19 ；a 43 ,b 23 ； a 37 ，b 29 ；这样 的 两 个 质 数 乘 积 最 小 是 53 13 689 ，这 样的 两个 质数 乘积 最大是37 29 10736. 用1 、 2、 3、 4、 5 各一 个可以 组 成120个五 位数 ， 你能 否从 这12 0个 数里 面找 出 11个 数来 ， 使 得它 们除 以 11的 余 数互不 相同 ？ 如 果五 个数 字是1 、 3、 4、 6、 8 呢 ？【分析 】因为 1 2 3 4 5 15 ，偶数 位的 数字 和只 能是3 ，4，5，6，7 ，8，9，对 应奇 数位
37、的 数字 之和 为 12，11，10，9，8，7，6，因 此 这 120 个 数 除 以 11只 能 余 9，7，5，3，1，10，8，因 此不 可能找 出1 1 个 数来 ，使 得 它们除 以 11 的 余数 互不 相 同 ；同 理 可 以判 断 用1 、3、4、6、8 组 成的 五位 数除 以 11 只 能余0 ，1，2，3，4，5 ，8，因 此不 可能 找出1 1 个 数来 ，使得 它们 除 以1 1 的 余数互 不相 同 .7. 用1 、 2、 3、 4、 5、 6 这6 个 数字 各一 次组 成两 个三位 数A 和B 。 请 问：A 、B 、 630 这三个 数 的 最大 公约 数最
38、 大可能 是多 少 ？ 最小 公倍 数最小 可能 是多 少？【分析 】630 2 32 5 7 而 用 1、2、3 、4、5、6 组 成两个 三位 数 ，最多 有一 个是 5 的倍 数 ，最多有 一个 是 9 的倍数 ，可以 组成 两个 是 2, 3, 7 倍数的 三位数 ，但 经试 验最 大 只能是 3 7 ，即 231, 546 ，因 此最 大公 约时最 大可 能是 21 ，要 使最 小公倍 数尽 可 能的小 ，应让 A, B 与 630 公约 数尽 可能多 ，找 到 315 ，试验 另一 个数 为 462，最 小 公倍数 最小 可能 为 69308. 我 们将 具有 如下 性质 的 自然数K 称为 “巨人 数 ”； 如 果一个 整数M 能被K 整除 ， 则 把M的各位 数字 按相 反顺 序重 写时所 得的 数也 能被 K 整除 。 请求 出所 有的 “巨 人数 ”。【分析 】根据数 字和 整除 规律 知 ，如果原 序数 能被 3, 9,11，那 么 逆 序数 也 能 被 3, 9,11 整 除，再根据 整除 性质 得知 ，巨 人数 有 1，3，9 ，11，33，99