1、第 16 讲最值问题二内容概述各种类型的复杂最值问题，通常采用枚举、局部调整和极端分析等方法有些情况下，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证典型问题兴趣篇1用 0，1，2，9 这 10 个数字各一次组成 5 个两位数 a、b、c、d、e请问：a b + c d + e 最大可能是多少？2将 135 个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？3有 11 个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？4我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如 8 = 3 + 5有
2、的数有几种不同的表示方法，例如 100 = 3 + 97 =11 + 89 =17 + 83.请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？5一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？6(1)在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？(2)从 1 至 9 中选取四个不同的数字填人算式 中，使算式的结果小于 1这个结果最 大是多少？7如图 16-1，等腰直角三角形 ABC 中，CA = CB = 4 厘米，在其中作一个矩形 CDEF，矩形 CDEF 的面积最大可能是多少？8如图 16-2，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形，这个八边形的边长恰好为
3、 1、2、3、4、5、6、7、8 这 8 个数，它的面积最大可能是多少？9在 44 的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点，请问：最多可以将多少个方格染成黑色？10古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦他精通数学、物理，聪慧过人有一天，一位将军向他请教一个问题：如图 16-3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？拓展篇1如图 16-4 所示，用一根长 80 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架这个长方体的体积最大可能是多少？2把 14 表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大
4、，问：这个乘积最大可能是多少？3从 1，2，中选出 8 个数填人下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果口口（口口）（口口口口） 4有 13 个不同的自然数，它们的和是 100.其中偶数最多有多少个？最少有多少个？5将 6、7、8、9、10 这 5 个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的 5个乘积相加，请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？6有 5 袋糖块，其中任意 3 袋的总块数都超过 60.这 5 袋糖块总共最少有多少块？7已知算式 9984 - 8 - 8 - - 8 的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？8用 1、2、3、4、5、
5、6、7、8、9 各一次组成 3 个三位数，使得它们都是 9 的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式9所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？10把 l 至 99 依次写成一排，形成一个多位数： 从中划去 99 个数字，剩下的数981234字组成一个首位不是 0 的多位数，请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？11邮递员送信件的街道如图 16-5 所示，每一小段街道长 1 千米如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？12如图 16-6，有一个长方体形状的柜子，一只蚂蚁要从左下角的 A 点出发，沿柜子表面爬到右上角的 B 点去取食物，蚂
6、蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来超越篇1一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键 “ + ” 尚能使用，因此可以输入77，707 这样只含数字 7 和 0 的数，并且能进行加法运算为了显示出 222222，最少要按“7”键多少次？2 用 1、 3、 5、 7、 9 这 5 个 数 字 组 成 一 个 三 位 数 和 一 个 两 位 数 ，再 用 0、 2、 4、 6、 8ABCDE这 5 个 数 字 组 成 一 个 三 位 数 和一个两位数 请问：算式 - 的计FGHIJFGHIJ算结果最大是多少？3将 l、2、3、4、5、6 分别填在正方体的
7、 6 个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有 12 个，这 12 个乘积的和最大是多少？4用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 9 个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式中的差最大是多少？5有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如 24 =9 +15，100= 25+75.所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是多少？6如图 16-7，有一个圆锥形沙堆的底面直径 BC 为 2 厘米，母线 AC 的长度为 6 厘米请问：(1)如果一只蚂蚁想从 B 点去 C 点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线(蚂蚁只能在圆锥表面走）
8、 ；(2)如果一只蚂蚁需要由曰点出发到达线段 AC 上（可以到其上的任意一点） ，那么最短路线应该怎么走？5 67如图 16-8，一个边长为 10 的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？8一个 55 的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列已知任取 n 个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么，n 的最小值是多少？第1 6 讲 最值问 题二兴趣篇1、 用0,1, 2， ， 9 这1 0个数字 各一 次组 成 5 个两 位数a 、b 、c 、d 、e 。 请问 ：a b c d e
9、 最大可 能是 多少 ？ 答案 ： 222分析 要让a b c d e 结果尽量大 ， 那么a , c, e 的 十位要尽量 大 ， b, d 的十位尽 量小 。再 让a , c, e 的 个 位要 尽量 大 ， b, d 的 个 位 尽量 小 。 那么 可 以 得 到9 6 10 85 23 74 222 。2、 将 135 个 人分 成若 干小 组 ， 要 求任 意两 个组 的人 数都不 同 ， 最多 可以 分成 多少组 ？ 这 时 人数最 少的 那组 有多 少人 ？答案 ： 15组 ； 1 个人 或2 个人分析 1 2 3 15 120,1 2 3 16 136 ， 因 此 最多 可以
10、分 为 15组 。 又 ，2 3 4 16 135 ， 因此 人数 最少 的一 组有 1 或2 人 。3、 有 11 个 同学 计划 组织 一场围 棋比 赛 ， 他们 准备 分为两 组 ， 每组 进行 单循 环比赛 ， 那 么他 们最少 需要 比赛 多少 场 ？答案 ： 25场分析 两队人 数最 接近 的时 候 ， 比赛场 次最 少 。 要证 实此 结论 ， 可采 用逐 步调 整法 ：考虑初 始状 态是 11, 0 ， 那 么把 一个人 从1 组调 到2 组可 以减 少10场比 赛 ， 变成 10,1 ； 再把一个 人 从 1 组 调 到 2 组 可以减 少 1 组 9 场 比赛 ， 增加 2
11、 组 1 场 比赛 ， 变 成 9, 2 。7, 4 6, 5 ， 减少 6 场 ， 增 加 4 场 ； 6, 5 5, 6 减少 5 场 ， 增加 5 场 。 再 调整的 时候 ，增加的 场数 要比 减少 的多 了， 那 么 6, 5 分组时 的场 次达 到最少 。分成1 组5 人 ， 1 组6 人 ， 那么 共需 比 C 2 C 2 25 （ 场 。4、 我 们知道 ， 很多 自然数可 以表示 成两个 不同质 数的 和 ， 例 如 8 3 5。 有 的数有 几种 不 同 的 表 示 方 法 ， 例 如 100 3 97 11 89 17 83。 请 问 ： 恰 好 有 两 种 表 示 方
12、法 的 最 小 数是多 少 ？答案 ： 16分析 如果我 们能 找到 4 个数a b c d 使 得 b a d c ， 那 么就 有 a d b c 。 我 们把质 数从 小到 大写 出来 ： 2, 3, 5, 7,11,13,17 其中最 小的 满足 上述 条件 的4 个 数是3 ,5,11,13 ，那么这 个最 小的 数是 16 3 13 5 11 。5、 一 个三 位数 除以 它的 各 位数字 之和 ， 商 最大 是多 少 ？ 商 最小 是多 少 ？ 答案 ： 最 大 100； 最 小 10 919设三位 数为a bc 100a 10b c 。那 么， 它与 其各位 数的 商为 100
13、a 10b c 。a b c100a 10b c 100a 100b 100c 100 。当 且 仅 当a 0, b c 0 时 ，等 号 成 立 。例 ，a b c a b c100。100a 10b c 10 90a 9c 10 9(10a c) ，a=1 ，c=9 时分 子有 最小 值 ，b=9 时 ，分a b c a b c a b c母有最 大值 。那 么， 当a 1, b c 9 时 ，商最 小 ，为 10 9 。例 ，199。196（ 1） 在 分母 是一 位数 的 最简真 分数 中 ， 两个 不相 等的分 数最 小相 差多 少？（ 2） 从 1 至9 中 选取 四 个不同 的数
14、 字填 入算 式 口 口 中 ， 使算 式的 结果 小 于 1。 这个结口 口果最大 是多 少 ？答案 （ 1） 1 （ 2） 7172 72（ 1） 分 子相 同的 情况 下 ， 分母越 大 ， 分数 越小 。 两个 分母是 一位 数的 最简 真分 数之差 ，分母最 大是 8 9 72 ， 那 么这 两个 分数的 差最 小是 1 1 1 。8 9 72（ 2） 在形 如 n 1 的分数 中 ， 分 母越大 ， 分 数 和1 约 接近 。 又n 最大 是72 ， 因此 这个 结果最n大是 7 1 71 。8 9 727、 如 图， 等 腰直 角三 角形A BC 中 ， CA CB 4 厘米 。
15、 在其 中作 一个 矩 形 CDEF ， 矩 形 CDEF的面积 最大 可能 是多 少 ？答案 ： 4 平 方厘 米矩形 CDEF 的长和 宽之 和是 一 固 定值 ： 4 厘 米。 那么 长和 宽 相差越 小 ， 面积 越大 。 因 此 矩形面 积最 大为2 2 4 平方 厘米 。8、 如图 ， 从一 个长 方形的 两个角 上挖去 两个小 长方 形后得 到一个 八边形 。 这 个八边 形的边 长恰好 为 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8 这8 个数 ， 它 的面积 最大 可能 是多 少 ？54 321768答案 ： 70 先把八 边形 补成 一个 矩形 。 那 么要 让八 边形的
16、 面积 最大， 首 先要 让矩形 的面 积最大 。矩形的 周长 为 1 2 3 4 5 6 7 8 36 4 9 如果 4 条 边的 长度 都 是 9，那 么 仅有1 8 2 7 3 6 4 5 ， 而实 际上 有1 条边 是由 3 条小 线段 组成 的 ， 显然 不 成立 。 那么 让36 2 8 2 10 。 这时 可让 上下 两条 边为 8： 8 1 2 5 ， 左右 两边为 10 3 7 4 6 。 此时大矩形 的面 积为 8 10 80 。 此时 想让八边 形面 积最大 ， 那 么左右缺 损的 两个小 矩形 面积 要尽量 小 ， 分别 是 1 4 42 3 6 。 于是 八边形 的面
17、 积最 大为8 0 4 6 70 。各线段 长度 如图 。9、 在4 4的方格 表中 将一 些方 格染成 黑色 ， 使得 任意 两 个黑格 都没 有公 共顶 点 。 请问 ： 最 多可以 将多 少个 方格 染成 黑色 ？答案 ： 4 个把4 4 的方 格 表 分成 4 个2 2 的小 方格 ， 那么 为了 使任 意 两 个黑格 都没 有公 共顶 点 ，1 11 1每个 2 2 的方 格 中 ， 只能 有 1个黑色 方格 ， 即 最多 可以 将 4 个 黑色 方格 染成 黑色 。例如 （ 写 1处染 黑色 。10、 古 希腊 有一 位久 负盛 名的学 者 ， 名叫 海伦 。 他 精通数 学 、
18、物理 ， 聪慧 过 人 。 有 一天 ， 一 位将军 向他 请教 一个 问题 ： 如图 ， 将 军从 甲地 骑马 出发 ， 要到 河边 让马 饮水 ， 然后 再回 到乙地 的马 棚 ， 为了 使走 的路线 最短 ， 应 该让 马在 什么地 方饮 水 ？答案 ： 在下 图中 的C 地饮水ABQ P lC先把甲乙两地和 河边分别 抽象为如图的 A, B 两点和直线 l 。 从 B 点做关于 直 线 l 对称的 C 点 。 那 么现 在 ， 在 直线 l 上 的任意 一点 到 B 点的距 离 ， 和到 C 点的距 离相 等 。 那么 直接连 接 AC 交 直 线 l 于点P ， P 点就是 我 们所
19、求 的饮 马地 点。要 证明这个 结论很简 单 ， 只 需在直线 l 上 任取一 点 Q ， 那 么 AQ CQ AC ， 三角 形两边之和 大于 第三 边 。拓展篇1、 如 图所 示 ， 用一 根长8 0厘米 的铁 丝焊 接成 一个 棱长都 是整 数厘 米的 长方 体框架 。 这个 长 方体的 体积 最大 可能 是多 少？答案 ： 294 立方 厘米设长方 体的 长 、 宽 、 高分 别 为 a, b, c ， 那 么 4 a b c 80 a b c 20 。 我们 知道 ， 和相同 的情 况下 ， 差 越小 ， 积越 大 。 因此 体积 最大 时 ， a, b, c 6, 7, 7 ，
20、体积 为 6 7 7 294（ 立方 厘米 。2、 把1 4表示 成几 个自 然 数 （ 可 以重复 ） 的和 ， 并 使得这 些数 的乘 积尽 可能 大 。 问 ： 这个 乘 积最大 可能 是多 少 ？答案 ： 162我们要 把 14分成 若干 个自 然数的 和 ， 并使 他们 的积 尽量大 ， 那 么首 先要 尽量 把所有 数 分小 ， 但又 不能 太小 。 那 分到 哪 个数 最划 算呢 ？我们考 虑 ， 5 可以 分成 2和 3； 6可以 分成 3 和3 ； 7 可以 分成3 、 2、 2显 然， 这些 自 然数中不能 有超 过4 的数 。 而显 然也 不 能有1 。 那么 我 们就
21、需要 尽量 分成 2,3,4这几 个数 。对于 这 3 个数 ， 哪 个最 划 算呢 ？ 我们 注意 到4 4 4 64 3 3 3 3 81 ， 3 比4 划算 ，2 2 2 8 3 3 9 ， 3 比 2 划算 。 因 此要 让 积最大 ， 我 们应 该尽 可能 多的分 成3 ， 不足 3 的用2 。 如 果最 后剩 下 4怎么办 呢 ？ 因为4 3 1 ， 因 此 剩4的时 候我 们不 分 。那么对于这道题 ， 14 3 3 3 3 2 ， 乘积 最大为3 3 3 3 2 162 。3、 从 1,2， ， 9 中选 出8 个数 填入 下面 算式 中的 方框中 ， 使 得结 果尽 可能 大
22、 ， 并 求出 这个 结果 。口 口 （ 口 口 ） （ 口 口 口 口 ）答案 ：9 1 (8 7) (2 3 4 6) ， 计 算结 果 为131a b c d e f g h ， 要 让 结 果 最 大 ， 首 先 是a b c d 中 ， 乘 数 尽 量 大 ， 除 数 尽 量 小 。 那 么b 1; a, c, d 7, 8, 9 。 和 一 定 时 ， 差 越 小 积 越 大 ， 那 么a 9; c, d 7, 8 。a b c d 9 1 7 8 135 。接 下 来 ，应 该 让e f g h 尽 量 小 ， 那 么 乘 数 尽 量 小，加 数 尽 量 小 ， 减 数 尽 量
23、大 。e f g h 2 3 4 6 4 。 于是a b c d e f g h 9 1 (8 7) (2 3 4 6) 1314、 有13 个 不同 的自 然数 ， 它们 的和 是1 00。 其中 偶数最 多有 多少 个 ？ 最少 有多少 个 ？ 答案 ： 9 个 ； 5 个0 2 4 6 18 90 还剩 下10 ， 无 法表 示 为3 个不同 奇数 的和 ， 那么 最 多有 9个 偶数 。 我 们去 掉一 个偶 数 18， 那 么 剩 下 28可 以表 示 成4 个 不同 奇 数 的和2 8 1 3 5 19 ，那么最 多可 以 有9 个 偶数 。1 3 5 19 100 ， 还 差 3
24、 个偶 数 。 那么 我 们至少 去 掉 2 个奇 数 ， 换 成 5 个偶 数 。 可以去 掉 1 和 19， 那么 剩 下 5 个 偶 数的 和是 20，0 2 4 6 8 20 。 因此最 少有5 个偶 数 。5、 将6 、 7、 8、 9、 10这5 个数按 任意 次序 写在 一圆 周上 ， 将每 相邻 两数 相乘 ， 再把 所得 的5 个乘 积相 加 。 请问 ： 所 得和数 的最 小值 是多 少 ？ 最大值 是多 少 ？ 答案 ： 312； 323AE BD C如图 。 要让 乘积 的和 最小 ， 那么 10两 边的 数要 尽量 小 。 令A 10, B 6, E 7 ， 那 么剩
25、 下8,9 ， 6 8 7 9 111; 6 9 7 8 110 ， 因此 让C 9, D 8 。 乘积 的和最 小为 ：10 6 6 9 9 8 8 7 7 10 312要让乘 积的 和最 大 ， 那 么 10两边 的数 要尽 量大 。 令 A 10, B 9, E 8 ， 那么剩 下 6,7，6 8 7 9 111; 6 9 7 8 110 ， 因此 让C 7, D 6 。 乘 积 的和 最大 为 ：10 9 9 7 7 6 6 8 8 10 3236、 有5 袋 糖块 ， 其 中任 意 3 袋 的总 块数 都超 过 60。 这 5袋糖 块总 共最 少有 多少块 ？ 答案 ： 103 块如
26、果让 任 意3 袋 都刚 好 有60块 ， 那 么可 以让 每一 袋 都有 20块 ， 那 么共 有 100块糖 。 现在我们 想任 意 取3 袋 的总 块数都 超 过60 ， 那么 只需 在其 中3 袋 中再 加 入1 块 糖。 那 么此 时 5 袋中共 有1 03 块 糖。7、 已知算 式 9984 8 8 8的结果 是一 个 各位数 字互 不相 同的 数， 这个结 果最 大可 能是 多少 ？答案 ： 98729984 恰 好能 被 8 整 除， 那 么我们 要求 的是 能被 8 整 除的各 位数 字不 同的 最大 四位数 。9876 4 mod 8 ， 那 么 9872满 足条 件 。8
27、、 用 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 各 一次 组成 3 个三位 数 ， 使得 它们 都 是 9 的 倍数 ， 并 且 要求乘 积最 大 ， 请写 出这 个乘法 算式 。答案 ：9 54 873 621要 让 乘 积 最 大 ， 首 先 3 个 三 位 数 的 百 位 数 字 必 须 尽 量 大 。1 2 3 9 45 9 18 18 要分 成 3 个能 被 9 整 除的 三位数 ， 那 么必 有 1 个 数 的各位 和为 9， 那么 这个 数最 大 是 621。 剩下 两个 三位 数 ， 百位 必然 是8 和 9， 那 么只能 是873 和954。 这个 算式 是 ：6
28、 21 873 9549、 所 有不 能表 示为 两个 合 数之和 的自 然数 中 ， 最大 的一个 是多 少 ？ 答案 ： 11所有不 小于8 的 偶数 ， 都 能表示 成两 个偶 合数 之和； 所有 不小 于 13的奇 数 ， 都能表 示成9 和 一个 偶合 数之 和 。 那么最 大的 不能 表示 为两 个合数 之和 的自 然数 是1 110、 把1 至 99依 次写 成一 排 ， 形 成一 个多 位数 ：1 234 9899。 从中划 去 99个 数字 ， 剩 下 的数字 组成 一个 首位 不 是0 的多 位数 。 请问 ： 剩下 的 数最大 可能 是多 少 ？ 最小 可能是 多少 ？答
29、案 ： 最大9 999975859606162 979899； 最 小 100000123450616263 979899要让剩 下的 数尽 量大 ， 我 们要让 前面 有尽 可能 多 的 9。 1-9 共 9 个数 字 ， 有 1 个 9； 以后每 10个 数， 20 个 数字 中有1 个 9。 那 么 1-49中 共 89个数 字 ， 有 5 个9 。 我们还 可以 再 划 去 15 个 数 ，那 么 划 去 505152535455565 下 一 个 最 大 的 数 字 是 7， 剩 下 的 数 最 大 是9999975859606162 979899。要让剩 下的 数尽 量小 ， 第
30、一位 是 1， 之 后有 尽可 能 多的 0。 1-10共 11个数 字 ， 有 1 个1,1个 0； 以 后 每 10个数 ， 20 个数 字中 有1 个 0。 那么 1-50中 共 91个 数字 ， 有 1 个1 ， 5个0 。 我 们还 可以 再划去1 4个数 ， 51-60中我 们可 以 留下6 个数 字 ， 那么 选择 123450是最小的 。 剩下 的数 最小 是 100000123450616263 979899 。11、 邮 递员 送信 件的 街道 如图所 示 ， 每一 小段 街道 长 1 千 米。 如果 邮递 员从 邮局出 发 ， 必须 走遍所 有的 街道 ， 那 么邮 递员
31、最 少需 要走 多少 千米？答案 ： 26千米一笔画 问题 。 图 中有2 个 奇点 ， 但我 们不 是从 其中 一个奇 点出 发， 因此 不能 一笔画 出 。 现 在 题 目 要 求走 遍 所 有 的街 道 ， 那 么 必然 要 走 重 。 连 接 两 个 奇 点 ， 那 么 现 在总 路 线 多 了 1 千米 ， 奇点 个数 为0 个 ， 可以一 笔画 出 。 那么 总路 线为各 条 线 段长 度加 起来 ， 再加 1， 共 26 千米 。12、 如图 ， 有一 个 长方 体形 状 的柜 子 。 一 只 蚂蚁 要从 左 下角 的 A 点 出 发 ， 沿 柜子 表 面爬 到 右 上 角 的
32、B 点 去 取食 物 ， 蚂蚁 爬 行 路线 的 长度 最 短是多 少 ？ 一共 有 几条 最 短路线 ？ 请 在图中 表示 出来 。A答案 ： 5； 4 条 ； 表 示略BB33 1 A如图 ， 把 柜子 展开 ， 那么 根据两点 之间 线段最 短 （ 三角形两 边之 和大于 第三 边 ， 最 短 距离 为5 。 共有 4 条 这样 的路线 。超越篇1、 一台 计算 器大 部分 按键 失灵， 只 有数 字 “7”和 “0”以及 加法 键 “+”尚能 使用 ， 因 此 可 输入 77,707 这样 只含 数 字 7 和 0 的 数， 并且 能进 行加法 运算 。 为 了显 示 出 222222
33、， 最 少要按 “7”键 多少 次 ？答案 ： 21次从题目 要求 可知 ， 只 用 “ 7 ”“ 0 ”和 “ ”键来显 示 “ 222222 ”， 而 222222 7 31746 。 这道 算 式 说明 ， 如 果只 用 “ 7 ”键 连 续加 31746 次 ， 就 能 得到 222222 。 但 这 样的 次 数 太多 了 。 况 且 “ 0 ”键也 没有 发 挥作用 。 有 没有 更好 的解 决办 法 呢 ？由 题 目 可 得 我 们 需 要 尽 量 少 按 “ 7 ”， 而 按 “ 0 ”的 次 数 并 没 有 限 制 ， 那 么 我 们 发现222222 3 7 10 4 1
34、7 10 3 7 7 10 2 4 7 101 6 7 10 0 这属 于位 值原 理的 灵活 运 用 。 因 而我 们发 现 ， 只需 要按 3 1 7 4 6 21 次 “ 7 ”然后 把它 们都 加起来 就可 以了 。2、 用1 、 3、 5、 7、 9 这5 个数字 组成 一个 三位 数A BC 和一个两 位数 DE ,再 用0 、 2、 4、 6、8这5个 数字 组成 一个 三位 数 FGH 和一 个两 位数 IJ .请 问算 式 ABC DE FGH IJ 的计算结 果最 大是 多少 ？ 答案 ： 60483要使A BC DE FGH IJ 的结果 最大 ， 那 么要 使 ABC
35、DE 的值 最大 ，F GH IJ 的值 最小 。对于位 数不 同的 两数 进行 赋值 ， 首先 应把 位数 补齐 ， 再从 高到 低赋 值 。要使A BC DE 的值最 大 ， 即 让A BC DE0 每位 数字的 分配 方法 如下 ： 百 位尽可 能 大 ，A,D 7, 9 ； 十 位两 数 次之 ， B, E 3, 5 ； 个 位 最小 C 1 。 于 是 ， 要 让两乘 数 的差 尽量小 ， 那 么， ABC DE0 751 930 698430 ，A BC DE 751 93 69843 。FGH IJ 的 值 最 小 ， 即 让 FGH IJ 0 每 位 数 字 的 分 配 方 法
36、 如 下 ：百 位 尽 可 能 小 ，F, I 2, 4 ； 十位两数 次之 ，G , J 0, 6 ； 个位最 大H 8 。 于是 ， 要让 两乘数的 差尽量大 ，那么F GH IJ 0 468 200 93600 ， FGH IJ 468 20 9360 。 所以A BC DE FGH IJ max 60483 。3、 将1 、 2、 3、 4、 5、 6 分 别填在 正方 体 的 6 个 面上 ， 计算 具有 公共 棱的 两个 面上的 数的 乘 积 ，这 样的 乘积 共 有12 个 ， 这1 2个 乘积 的和 最大 是 多少 ？答案 ： 147 易知 ， 除 了对 面两个 数不 需相乘
37、外， 其 他没两 数都 要相乘 一次 。 那么我 们只 需要考虑 怎样让对 面 的3 组数 的乘 积 最小即 可 。 那么 ， 1,6 一 组， 2,5 一组 ， 3,4 一 组。 12个 乘积 的和最大为 ： 1 6 2 3 4 5 2 5 1 3 4 6 3 4 1 2 5 6 147 。4、 用 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 这9 个 数字 各 一次 ， 组成 一个 被减 数 、 减数 、 差都 是三 位数的 正确 的减 法算 式 ， 那么这 个算 式中 的差 最大 是多少 ？答案 ： 784A B C D E F G H I构造数 字谜 如右 上图 那么 这个加
38、法竖 式中 其中 一个 加数就 是所 求的 差， 假 设为D EF 。 首先考 虑进 位 ： 这个 加法 算式中 最多 有2 次进 位 （ 否则和 为 4 位数 。 如 没有 进位 ， 那么A B C D E F G H I 2 G H I 45 ，不成 立 。如果有 2 次进位，A B C D E F G H I 18 2G H I 45 18 ， 也 不成 立 。 那 么只 有 1 次 进 位 ，而 且不 可能 发生 在百 位 。 可 以求 得 ：G H I 18 。要让差 最大 ， 必 然要 让 G 9, H I 9 ，A 1 。 下面 根据 在哪 里进 位进 行讨论 。（ 1） 如 果
39、进 位发 生在 个位 ， 那 么D 8 ， 此 时C F 6 7或 5 7 （5 6 进位得1 ， 与A 重 复 。我们 可以 发现 ， 此 时 无法安 排 B, E , H 的取值 。 因 此进 位不会 发生 在个 位 。1 B C 8 E F9 H I（ 2） 如果 进位 发生 在十 位 ， 那 么D 7 ， 那么 E 的最 大值 是8 。 此 时个 位不 进位 ， 可 以 选择 的只有2 3 5,2 4 6 。 为了让D EF 尽量 大 ， 那么我 们选择2 4 6 ，F 4 。 那 么我们1 5 2可以得 到 ： 7 8 4 。9 3 51 B C 7 8 F综上 ， 差最 大 为 7
40、849 H I5、 有 的偶 数可 以写 成两 个 奇合数 之和 ， 例如2 4 9 15， 100 25 75。 所 有不能 表示 为两 个奇合 数之 和的 偶数 中 ， 最大的 一个 是多 少 ？答案 ： 3825 1 mod 3, 35 2 mod 3 ， 那么 任何 大 于 34 的除 以3 余 1 的数 都可 以表 示 成 25加上一 个3 的 倍数 的奇 合数 的形式 任何 大于 44的 除 以3 余2 的 数都 可以 表示 成 35加上 一个3的倍 数的 奇合 数的 形式 。 因此 不小 于4 4的 偶数 是 肯定满 足条 件的 。又4 2 9 33; 40 15 25 都满 足
41、 ， 因此 不能 表示 为两个 奇合 数之 和的 偶数 中 ， 最 大的 是 386、 如 图， 有一 个圆 锥形 沙 滩的底 面直 径B C 为2 厘 米， 母线A C 的长度 为6 厘米 。 请 问：（ 1） 如果 一只 蚂蚁 想从B 点去C 点 ， 最 短路 线应 该怎 么走 ？ 请设 计出 一条 最短 路线 （ 蚂 蚁只能 在圆 锥表 面走 ；（ 2） 如 果一 只蚂 蚁需 要 由 B 点出 发到 达线 段A C 上 （ 可 以到其 上的 任意 一点 ， 那 么最短 路线应 该怎 么走 ？（ 1） 把圆 锥的 侧面 展开 ， 两点之 间线 段最 短 ， 如下 图所示 ；（ 2） 同样
42、先把 圆锥 的侧 面 展开 。 点到 直线 垂线 段最 短 ， 如 下图 所示7、 如 图， 一个 边长 为1 0的正方 形四 个角 剪去 四个 正方形 ， 剩下 部分可 以拼 成一个 无盖 长 方 体 ， 那 么所 得的 长方 体容 积最大 是多 少 ？答案 ：7 4 227设 减 去的 小正 方形 的边 长是 x ， 那么 长方 体的 容积 是 ： 10 2x 10 2x x 要 求这 个式子的最 大值 。 我 们知 道 ， 如果几 个数 的和 固定 ， 那 么要它 们的 积最 大 ， 只需 要这几 个数 的差 尽量小 就可 以了 。 可是 这 里面3 个数 的和 为2 0 3 x ， 不
43、 固 定 。 那么 我们 可以 考虑 这3 个数 ：10 2x,10 2x, 4x ， 这3 个数 的和 是 20， 积 是 10 2x 10 2x x 的 4 倍 。 而 这 3 个 数满 足10 2 x 4x 时 积 最 大 ， 此 时 x 53 。 那 么 长 方 体 容 积 的 最 大 值 是 ： 1 0 1 0 5 2000 210 10 74 。 3 3 3 27 278、 一个 5 5 的方 格表 中 ， 每 个 小方格 内填 有一 个数 ， 并 且表中 的每 一行 、 每一 列 的数都 构 成等差数列 。 已知任取 n 个方格 ， 只要知道了这些方格中的数 ， 就可以把方格表补填完 整 ， 那 么n 的最小 值是 多少 ？答案 ： 10如果我 们能 找到 其 中 2 行 中每 行 都 有 2 个 或以 上的 数 ， 那么 我们 必能 推出 这 2 行中的 所 有数字 ， 进 而 能推出 整个 方格中 的所 有数 字 。 同理 ， 找 到其 中 2 列中每 列都 有 2 个 或以 上 的 数亦然 。从最不 利的 情况 考虑 ， 我 们取一 整行 和一 整列 的共 计 9 个 数字 ， 此 时我 们无 法推出 其它 任何数 字 （ 如 图。 此时 只 要再知 道任 意一 个数 字 ， 就满足 上述 条件 。 因此n 的最小值 是1 0。1 2 3 4 52345