1、第 12 讲进位制与取整符号内容概述掌握进位制的概念及相关计算，掌握自然数在不同进位制之间的转化方法，并学会恰当利用进位制解决一些数论问题掌握取整符号与取小数部分符号 的定义与基本性质，学会求解包含这两种符号的算式与方程典型问题兴趣篇1将下面的数转化为十进制的数：(1111) 2，(1010010) 2，(4301) 5，(B08) 162请将十进制数 90 转化成二进制、七进制和十六进制的数3请将七进制数(403) 7 化成五进制的数，将五进制数(403) 5 化成七进制的数4(1)在二进制下进行加法：(101010) 2(1010010) 2；(2)在七进制下进行加法：(1203) 7(6
2、4251) 7；(3)在九进制下进行加法：(178) 9(8803) 9.5用 a、b、c、d、e 分别代表五进制中 5 个互不相同的数字，如果 ， ，5)(ade5)(c，是由小到大排列的连续正整数，那么 所表示的整数写成十进制的表示是多少？)( 5)(ade6记号(25) k 表示七进制的数，如果(52) k 是(25) k 的 2 倍，那么，(123) k 在十进制表示的数是多少？7一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反请问：这个自然数的十进制表示是多少？8计算： .143.26572 9计算： 761610求方程 2x
3、9x=0 的解的个数拓展篇1(1)请将下面的数转化为十进制的数：(2011) 3、(7C1) 16；(2)请将十进制数 101 转化为二进制的数，641 转化为三进制的数， 1949 转化为十六进制的数2请将三进制数(12021) 3 化成九进制的数，将八进制数(742) 8 化成二进制的数3(1)在七进制下计算：(326) 7(402) 7、(326) 7(402)7；(2)在十六进制下计算：(35E6) 16(78910) 16.4算式(4567) m(768) m = (5446)m 是几进制数的加法？(534) n(25)n = (16214)n 是几进制数的乘法？5自然数 x= 化为
4、二进制后是一个 7 位数 请问：x 等于多少？10)(abc 2)1(abc6一个自然数的七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。这个自然数的十进制表示是多少？7、某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字 0 至 5，即从第一页开始这本书的页码依次为1，2，3，4，5，10，11，12，1314，15，20，那么这本书的第 365 页的页码是多少?8、如果 求：.1,0,3zyx(1) x - y的所有可能值；(2)x + y - z 的所有可能值9、计算（结果用 表示） ;)1( .210)(10、计算： 4
5、23194123211、解方程 .05)(;)( xxx12、解方程 其中 x 是整数。,10621超越篇1a、b 是自然数，a 进制数(47) a 和易进制数(74) a 相等， a + b 的最小值是多少？2现有一个百位为 3 的三位数(十进制) ，把它分别化成九进制的数和八进制的数后，仍然是三位数且首位数字分别为 4 和 5这样的三位数中最大的是多少?最小的是多少?一共有多少个?3在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为 6 的等差数列；而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的符合这样要求的等差数列有多少个?4现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81，24
6、3任意搭配这些筹码(也可以只选择 1 个筹码)可以得到多少个不同的和 ?将这些和加起来，总和为多少 ?将这些和从小到大排列起来，第 45 个是多少?5计算： 2183132136计算： 07一副双色牌中，红、黑两种颜色各有 12 张牌，每种颜色的牌上分别写着l，2，4，8，16，2048 这 12 个数小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和(1)若算出的和为 2008，则小梁最多可能抽取了多少张牌 ?(2)若算出的和为 183，则小梁共有多少种抽取牌的方法?(3)如果小梁有 3 种抽牌的方法使得和为某个正整数 n，求，z 的值8(1)在 中共出了多少个互不相同的数？208,208,
7、12(2)在 中共出现了多少个互不相同的数？13672 25第 12 讲 进 位 制 与 取 整 符 号典 型 问 题 兴 趣 篇1. 将 下面 的数 转化 为十 进 制的数 ： 1111 ， 1010010 ， 4301 ， B08 。2 2 5 16【 分析 】 1111 1 20 1 21 1 22 1 23 15 ；1010010 1 2 6 1 2 4 1 2 64 16 2 82 ；4301 4 53 3 52 1 576 ；B08 16 11 162 16 2824 ；2. 请将十进制数 90 转化 成二进制 、 七进制和 十六 进制的数 。【分析 】90 2=45 余0,45
8、2=22 余1 ,22 2=11 余0,1 1 2=5 余1,5 2=2 余1,2 2=1 余0 ；1 2=0余1 。所以9 0 转 化为 二进 制后 是 ：(1011010) 2 ；90 7=12 余6 ；12 7=1 余5 ；1 7=0 余1 ，所 以 90 转 化为七 进制 后是 ：(156)7 ； 由于575 790 16=5 余10, 5 16=0 余5 。所 以80 转化 为十 六进制 后为 ：(5A)163. 请将七进制数 403 化成五进制的数 ， 将五进制数 403 化成 七进制的数 。【分析 】 403 转化为 十进 制为 ： 403 4 72 3 199 ；而199 5=
9、39 余4,39 5=7 余7 7 104 ；7 5=1 余2,1 5=0 余1 。所以 199 1244 ；10 5将 403 转 化 为 十 进 制 为 ：403 4 52 3 103 ，而 103 7=14 余 5,14 7=2 余 0。5 5 10而2 7=0 余2 。所以 403 转化 为七进 制数 后为 ： 203 ； 555 k 5 5k k kkk4. （ 1） 在二进制下进行 加法 ： 101010 1010010 ；2 2（ 2） 在七进制下进行 加法 ： 1203 64251 ；7 7（ 3） 在九进制下进行 加法 ： 178 8803 。9 9【 分析 】（1） 在二进
10、 制下 ，逢2 进1 ，则有 ：101010 1010010 1111100 ；2 2 2（2） 在七进 制下 ，逢7 进7 ，则有 ：1203 64251 65454 ；7 7 7（3） 在九进 制下 ，逢9 进1 ，则有 ：178 8803 10082 ；9 9 95. 用a 、 b 、 c 、 d 、 e 分别代表五进 制中 5 个互不相同的数字 ， 如果 ade ， adc ， aab ，5 5 5是由小到大排列的连 续正 整数 ， 那么 cde 所表示的 整数 写成十进制的表示是 什么 ？【 分析 】 由 ade ， adc ， aab ， 是 由小 到大排 列的 连续 正整 数 可
11、 知 b=0,c=4,e=3， 而a =2,d =1.所 以 cde 413 4 5 2 1 5 3 108 ；5 106. 记号 25 表示 k 进制的数 ， 如 果 52是 25 的 2倍 ， 那么 ， 123 在十 进制表示的数是什么 ？【 分析 】 由 于 52所以k =8. 5 k 2 5k 210； 25 2k 510， 则 有：5 k +2=4k+10.则 123 1 82 2 8 3 838 107. 一个自然数的四进制表 达式是一个三位数 ， 它的 三进制表达式也是一 个三 位数 ， 而且这两个三位数的数码顺 序恰 好相反 。 请问 ： 这个 自然 数的十进制表示是什 么 ？
12、【分析 】根 据题 意 ，有 ：abc a 42 b 4 c cba4 3 9c 3b a 。从而有 ： 8c 15a b ，又 由于a ,b ,c 均为小 于 3 的数 字 ，所以 c 2 ，a 1 ，b 1 。所以这 个自 然数 在十 进制 中为 ： abc 112 1 42 1 4 2 224 4 102528. 计 算： 27 25 27 3.14 3.14 。 【分析 】26 26 原式 = 26 1 2 5 26 1 2 5 3.14 3.14 26 26 = 25 25 3 0.14 25 0.42 25 24 14926 26 3259. 计算 ： 16 1 1 6 2 1 6
13、 15 1 6 16 。 17 17 17 17 【分析 】 方法一 ：对 他们 两两 配对 ，得到 ：1 6 1 1 6 16 16 1 16 16 1 6 1 1 6 16 15 ； 17 17 17 17 17 17 两两配 对 ，均能 得 到 15。共有8 组 ，所以 他们 的和 为 ：158=120；方法二 ：根 据题 意 ，有 ：1 6 16 15 ，由 于任 意两 个相 邻 的数的 分子 的差 均 为 16，所以其 不超 过 1。所以 有 0 17 到15 均能 表示 。题 中刚 好 有16 个数 ，所 以他 们的 和 为 ：1 2 3 15 8 15 120 ；10. 求方程2
14、 x 9 x 0 的解的个数 。【分析 】根 据题 意 ，有 ：2 x 9x ，则 x 应在 0 到4 之间 进行 选择 ，有5 种选 法 ；拓 展 篇1. （ 1） 请将下面的数转 化为十进制的数 ： 2011 、 7C1 ；3 16（ 2） 请将十进制101 转化为二进制的数 ， 641转化为三进制的数 ， 1949 转化为十六进制的数 。【分析 】（1） 根据题 意 ，2011 2 33 1 31 1 58 ；7 C1 7 162 12 16 1 1985 ；3 10 16 10（2） 101 2=50 余 1；50 2=25 余0 ；25 2=12 余1 ；12 2=6 余 0；6 2
15、=3 余 0；3 2=1 余1；1 2=0 余 1；所 以 101 化为二 进制 数后 为 ：1100101 ；8 8 3641 3=213 余2 ；213 3=71 余0 ；71 3=23 余 2；23 3=7 余 2；7 3=2 余1 ；2 3=0 余2 。所以641 化 为 三进 制数 后为 ：(212202)3 ；（3）1949 16=121 余 13；121 16=7 余9 ；7 16=0 余 7。所以 将 1949 转化 为 十六进 制后 的 数应为 (79D )162. 请将三进制数 12021 化成九进制的数 ， 将八进制数 742 化成 二进制的数 。【分析 （1）12021
16、 1 2 3 2 33 1 34 1423 10 ，将 其 转化 为九进 制即 变为 ：132 9=15 余 715 9=1 余6 1 9=0 余0 所 以三 进制 数 120213 化成 九进 制的 数为 ：(167)9 ；（2）742 7 8 2 4 8 2 482 ；8 10由于4 82 2=241 余0 241 2=120 余1 120 2=60 余0 ；60 2=30 余0 ；30 2=15 余0 15 2=7余1 ；7 2=3 余1 ；3 2=1 余 1 ；1 2=0 余1 。所以 八 进制数 742 化成 二进 制的 数为 ：(111100010) 23. （ 1） 在七进制下计
17、算 ： 326 402 、 326 402 ；7 7 7 7（ 2） 在十六进制下计 算 ： 35E6 78910 。16 16【 分析 】（1） 根据题 意 ，在七 进制 下 ，根据 326 402 知 ：7 73 2 6 4 0 21 0 3 1在七进 制下 ，326 402 知 ：7 73 2 6 4 0 26 5 50 0 01 6 4 31 6 5 2 5 5（2） 在十六 进制 下 ，10 用A 表 示,1 1 用B 表 示， 12 用C 表示 ，13 用D 表 示， 14 用E 表示 ，15 用F 表 示， 则根 据 题意 ，有 ： 2 7 8 9 1 0 3 5 E 67 B
18、E F 64. 算式 4567 768 5446 是几进制数的加法 ？ 534 25 16214 是几进制m m m n n n数的乘法 ？【分析 （1）根 据题 意 ，4567 768 5446 7+8=9+6，所以 该数 是9 进 制的加 法 ；m m m（3） 根据 534 25 16214 可知 ，20 8=2 余 4。n n n而由题 意知 ：5 3 4 2 53 3 1 41 2 7 01 6 2 1 4所以乘 法 是8 进 制下 的乘 法 ；5. 自然数x abc10化为二进制后是 一个 7位数 1abcabc 。 请 问 ： x 等于多少 ？【分析 】根 据题 意 ，有 ：x
19、abc10 100a 100b c 64 32a 16b 8c 4a 2b c则有 ：8 a b c 8 ，解 之得 ：a=1,b=0,c=0 。所 以 x 为100 。6. 一个自然数的七进制表 达式的一个三位数 ， 它的 九进制表达式也是一 个三 位数 ， 而且这 两个三位数的数码顺 序恰 好相反 。 这个自然数 的十 进制表示是多少 ？【分析 】根 据题 意 ，abc cba7 9，则 有：4 9a 7b c 81c 9b a ，则 ：40c 24a b当c =1 时 ，无 合适 解 ； 当c =2 时 ，无 解；当c =3 时 ，a=5,b=0.所以这 个自 然数 为 ：49 5+3=
20、248。7. 某出版社 在 印刷一本数 学科普书的时候 ， 发现他们 印刷的页码每一页都 只含 数字 0 至5 ，即从第一页开始这本 书的 页码依次为 1， 2， 3， 4， 5， 10， 11， 12， 13， 14， 15， 20， 。 那么这本书的第 365页的 页码是多少 ？【分析 】根 据题 意 ，有 ：6 365660 56 10 06 1 40 1所以 第36 5 页的 页码 是 ：1405。8. 如果 x 3 ， y 0 ， z 1 。 求 ：（ 1） x y 的所有可能值 ；（ 2） x y z 的所有可能值 。【分析 （1）根据 题意 ，令x =3+a 0 a 1 ;y=b
21、 0 b 1x y 3 a b ,由于 1 a b 1 ，所 以 x y 的取 值 可 能 为 2,也 可 能 为 3。（2） 根据题 意 ，x=3+a 0 a 1 ;y=b 0 b 1 ；z 1 c 0 c 1 .则有 ： x y z 4 a b c有 x y zx y z答案 （ 1） 2， 3（ 2） 1， 2， 39. 计算 （ 结果用 表示 ：（ 1） ；（ 2） 10 2 。【分析 】（1） 由题意 知 ，原式 = 3 3 3 3 2 6 3 3 6 3（2） 原式 = 3 3 3= 3 610. 计算 ： 23 1 23 2 23 39 23 40 。41 41 41 41【分析
22、 】两 个一 个组 合配 对 ，有 ： 23 1 23 40 23 1 23 40 23 1 23 40 23 1 22 ； 41 41 41 41 41 41 23 2 23 39 23 2 23 39 23 2 23 39 23 1 22 ； 41 41 41 41 41 41 其他类 似 ，共有 ：20 组 ，所以其 之和 为 ：22 20=440。11. 解方程 ：（ 1）x 2 x 3 x ；（ 2）3 x 5 x 49 0 。【分析 （1）令x 的 整 数部 分是 a，小 数部 分是b 。 则有 ：a b 2b 3a ，即 可得 ：2 a 3b 。所以a =0,此时 b=0;a=1
23、，此 时 b 2 。3所以x 0 或者 x 1 2 ；3（3） 令x 的 整数 部分 是 a，小 数 部分 是b 。则有 ：3 a b 5a 49 08a 3b 49 。由于0 b 1 ，则 必然 有 ：a 6, b 1 。3所以x 6 131 2 6 10a b a b12. 解方程 ： x x x x 110 ， 其中 x 是整数 。 1 2 6 10【分析 】根 据题 意 ， x x x x 110 x x x x 53x ； 1 即x 110 30 62.08 ；532 6 10 1 2 6 10 30而 x x x x 110 x 1 x 1 x 1 x 1 53x 4 ， 则有 ：
24、x 114 30 64.5253所以x 63 或者x 64 。1 2 6 10 30则当x 63 时 ，得 到： 63 31 10 6 110 ； 当x 64 时 ，得到 ：64 32 10 6 112 。 所以x 63 超 越 篇 1. a 、b 是自然 数 ，a 进制数 47和b 进制数 74 相等 ，a b 的最小值是 多少 ？【分析 】根 据题 意 ，有 ：47 4 a 710 ；74 7b 410；则 有：4 a 7 7b 4 ，由 于出 现了 数字7 ，则a 与b均必须 大于 等 于8 。a 7b 3 ，当b =9 时 ，a=15.4所以a +b 的最 小值 为 ：24。2. 现有
25、一个百位为 3 的三 位数 （ 十进制 ， 把它 分别 化成九进制的数和八 进制 的数后 ， 仍 然是三位数 。 且首位数字分 别为 4 和5 。 这样的三位数 中最大的是多少 ？ 最 小的 是多少 ？ 一共有多少个 ？【 分析 】 化 成九 进制 数后 百位 为4 的 最 小 数为 ：400 4 92 3249 10，最大 数 为 ：488 4 92 7 8 8 404 ；9 10化成八 进制 后百 位 为5 的 最小数 为 ：500 5 82 320 ；8 10百位 为5 的 最大 数为 ：577 5 82 7 8 7 3838 1055所以最 大 是383 ，最 小是3 24，共 有：
26、383-324+1=60 个 ；3. 在十进制的表示中 ， 三 个依次增大的两位数 恰构 成公差为6 的 等差数列 ； 而在五进制的 表示中 ， 这三个数的 数字 和是依次减少的 。 符 合这 样要求的等差数列有 多少 个 ？【分析 】根 据题 意 ，由于 两位数 最小 为 10，化 成五 进制后 为 ：20 ；两 位数 最大 为 99，由于是依 次增 大 的 公差 为 6 的等差 数列 ，所以 最小 的 数最大 为 87化 为五 进制 后为 322 ，由于加 上数 之后 数字 和是 依次减 少的 ，则 必然 发生 进位 ，而且 这种 进位 只能 发生在 个位 或者十 位 。则分 两种 情况
27、：若第一 次进 位在 个位 ，则 第二次 进位 在十 位由于在 六进 制下 ，6 11 ，第一 次要 在 个 位 发生 进位 ，则 个位只 能 是 4，第 二次 要 在 十10 5位 发生 进位 ，则 十位 只能 是 2.，在六 进制 下的 加法 满足下 列：2 4 1 1 4 0 ， 1 1 1 0 11 2 41 1 1 4 0 ，1 1 2 0 12 2 41 12 4 0 ；1 13 0 1共有3 个 ；若第一 次进 位在 十位 ，则 第二次 进位 在个 位 。由于 在六进 制下 ，6 11 ，第 一 次要 在10 5十位发 生进 位 ，则十 位 位 只能 是 4，第二 次 要 在个
28、位 发生进 位 ，则十 位只 能是 3，在六 进 制下的 加法 满足 下列 ：4 3 1 11 0 4 ，1 4 3 1 12 0 4 ，2 4 3 1 13 0 4 1 1 1 1 1 11 2 02 2 03 2 0所以符 合要 求的 等差 数列 共有6 个 。4. 现有六个筹码 ， 上面 分 别标有数值 ： 1， 3， 9， 27， 81， 243。 任意搭配这 些 筹码 （ 也可 以只选择 1 个筹码 ） 可以 得到多少个不同的和 ？ 将 这些和加起来 ， 总和为多 少 ？ 将这些 和从小到大排列起来 ， 第45个是多少 ？【分析 （1）方法一 ：我 们知道 1，3 ，9，27，81，
29、243 都是 3 的若 干次 幂 ，写成3 进 制依次为 ：(1) ，(10) ，(100) ，(1000) ，(10000) ，(100000) ，则从 中任意 选取 若干 个数 ，且3 3 3 3 3 3不重复 ，那 么它 们的 和 在3 进制 中都 只是 由1 和0 组成 但是在3 进 制中 ，并 不是 所有的 数字 都是 只由 0，1 组成 ，这就 给计 数造 成了 困难 而2 进制 中所 有的 数字 都是 只由 1 和0 组成 于是 ，我们想 到使 用 2 进制 。很 显然 ，这 些数 的组 合 可 以 构 成 (1) 到( 111111) 之 间 的 任 何 一 个 数 ，化 为
30、十 进 制 即 1 到 63 之 间 的 数 都 可 以 构2 2成 。也 就 是 得 到 了 63 个不同 的 和 。6 6 6 6 6 63 10 方法二 ：C1 C 2 C3 C 4 C5 C6 63 ；方法三 ：根 据题 意 ，每一 项都有 取与 不取 ，除 去全 部不选 的共 有 ：26 1 63 个 ；（3） 根据乘 法原 理 ，对 于每 一 个已经 选好 的数 ，共有 ：2 5 32 种选法 ，所以 所有 的和 等于 ：2 5 1 3 9 27 81 243 11648 ；（3）通 过 上一 题 我 们可 以 知道 一 共有6 3 个不 同的 和 。在 2 进制 中的 第 45
31、个 非 零自然 数 ， 即将1 0 进 制中 的 45 转化 为2 进 制， 应记 为 ：(101101) 2 所 以， 在 3 进 制 中 ，只 用 1 和 0 表 示的 数 ，第 45 个 也是1 01101，将 其转 化 为 10进制 ，有( 101101) 1 35 1 33 1 32 1 280 即 其 中 第 39 个 数是2 805. 计 算： 13 1 1 3 2 1 3 82 1 3 83 。21 21 21 21【 分析 】 根 据题 意 ，两个 配对 ，有 ：1 3 1 1 3 83 13 1 13 83 1 3 1 1 3 83 51 ； 21 21 21 21 21
32、21 132 1382 132 13 82 13 2 13 82 51 ； 21 21 21 21 21 21 ；1 3 21 1 3 63 13 21 13 63 52 ； 21 21 21 211 3 22 1 3 62 13 22 13 62 13 22 1 3 62 51 ；21 21 21 21 21 21 1 3 41 1 3 43 13 41 13 43 1 3 21 1 3 43 51 ； 21 21 21 21 21 21 1 3 42 26 ； 21 所以其 之和 为 ： 51 41 26 1 2118 。 1 2 22 210 6. 计 算： 。 3 3 3 3 【 分析
33、 】 方法一 ： 原 式= 0+0+1+2+5+10+21+42+85+170+341=677 ；方法二 ： 由于1 若 k为 奇 数 ；2 k （ mod 3) ；2 若 k为 偶 数 ； 1 2 22 210 1 2 22 210 1 2 1 2 1 2 1则有 ： 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2047 5 1 682 1 5 1 6773 3 3 37. 一副双色牌中 ， 红 、 黑 两种颜色各有 12张牌 ， 每 种颜色的牌上分别写 着1 ， 2， 4， 8，16， ， 2048这 12个数 。 小梁从中任意抽取 一些 牌 ， 计算抽出的牌面 上所
34、有数的和 。（ 1） 若算出的和为 2008， 则小梁最多可能抽取 了 多少张牌 ？（ 2） 若算出的和为 183， 则小梁 共 有多少种 抽取 牌的方法 ？（ 3） 如果小梁有 3 种抽 牌的方法使得和为某 个正 整数n ， 求n 的值 。答案 ： （ 1） 17张 （ 2） 184种 （ 3） 2 或81 88 12 22 32 20082 8. （ 1） 在 ， ， ， ， 中共出现了多少个互 不 相同 的数 ？ 2008 2008 2008 2008 （ 2） 在 2008 2007 2006 1 1 ， 2 ，3 ， ， 2008 中 共 出现了多少个互 不 相同 的数 ？ 2008
35、2 1005 2 【分析 （1）根据 题意 ， 2008 ，而 10052 10042 2009 2008 ，所以 从 开 2008 2008 n2 n 12 始每两 个相 邻的 与 不可能 相同 ，从 10052 到2 0082 共 有 1004 个 数 。 2008 200810042 而 502 ，所 以0 到5 02 均 可以 取到 ，共 有503 个 互 不相 同的数 ； 2008 12 2 2 32 20082 所以在 ， ， ， ， 中共出 现了 1507 个互 不 相 同的 数 。 2008 2008 2008 2008 （2）根 据 题意 ，随 着 n 的 不断增 大 ， 2
36、009 n 不断 减小 ，考 虑 2009 2009 1 ，则 有：44 n 45 。 n n n 1所以 当n 在1 到44 之间 时 ，任意 两个 相邻 的数 2009 n 与 2009 n 1 的差都大 于 1， 均不一 样共 有 44 个 ； n n 1 当n 在45 到2 008 之 间时 ，最大 的为 ： 2 009 45 43 ，最小 的为 , 1 0 ,不可 能相45 2008同 。而 在 45 到2008 之间 2009 n 与 2009 n 1 相差 均不 会超 过 1，所 以从0 到n n 1 43 均 可 以 取到 共有 ：44 个 ；所以在 2008 2007 2006 1 1 ，2 ，3 ， ， 2008 中共能 取到 44 个 不同 的数 。