1、第 7 讲 约数与倍数内容概述掌握约数与倍数酌概念学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题典型问题兴趣篇1(1)请写出 105 的所有约数；(2)请写出 72 的所有约数2(1) 20000 的约数有多少个？(2) 720 的约数有多少个？3计算：(1) (28,72), 28,72; (2) (28,44,260), 28, 44, 260.4两个数的差是 6，它们的最大公约数可能是多少？5(1)求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数； (2)求 3553，3910 和 1411 的最大公约
2、数6教师节到了，校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个香蕉来慰问退休老职工请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？7一块长方形草地，长 120 米，宽 90 米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？8甲数和乙数的最大公约数是 6，最小公倍数是 90.如果甲数是 18，那么乙数是多少？9有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的 27 倍已知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16 的倍数，但不是 18 的倍数；乙数是两位数乙数是多少？10小悦、冬冬、阿奇在黑板
3、上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是 35，最小公倍数是 70.这三个数的和可能是多少？拓展篇172 共有多少个约数？其中有多少个约数是 3 的倍数？25400 共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式3两数乘积为 2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1这两个数分别是多少？4计算：(1) (391, 357), 391, 357; (2) (18, 24, 36), 18, 24, 36.51547、1573、1859 这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？6张阿姨把 225 个苹果、350 个梨和 150 个桔子平均分给小朋友们，最后剩下 9
4、 个苹果、26 个梨和 6 个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？7一个数和 16 的最大公约数是 8，最小公倍数是 80.这个数是多少？8两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 18，最小公倍数是 216.这两个数分别是多少？9两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 420，如果这两个数相差 18，那么较小的数是多少？10有 4 个不同的正整数，它们的和是 1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少？11甲、乙两个数的最小公倍数是 90，乙、丙两个数的最小公倍数是 105，甲、丙两个数的最小公倍数是 126.请问：甲数是多少？12甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数
5、2 和 3，并且都有 12 个约数，它们的最大公约数是 12.请问：甲、乙两数之和是多少？超越篇1360 共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？2求出所有恰好含有 10 个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和3已知口与易的最大公约数是 4，以与 c、易与 c 的最小公倍数都是 100，而且 a b满足条件的自然数 a、b、c 共有多少组？4所有 70 的倍数中，共有多少个数恰有 70 个约数？5自然数 n 是 1，2，3，10 的公倍数，而且它恰有 72 个约数，n 的最小值是多少？6三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处里圈跑道长 千米，中圈跑道长 千米，5141外圈跑道长 千米甲、
6、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，开始时，83三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑 3 千米，乙每小时跑 4 千米，丙每小时跑 5 千21米他们同时出发请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？7如图 11-1，在一个 600600 的方格表 ABCD 中，将 AB 与线段 CD 上除端点外的所有格点 N1，N 2，N 3，N 599 分别相连，得到 599 条线段请问，在这些线段中：(1)不会与其他格点相交的线段共有多少条？(2)经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）?(3)除去端点，还恰好经过 29 个格点的直线有多少条？8有些自然数等于自身约数个数的平方，例如
7、 l 和 9 都具有此性质，请问：是否还有其他自然数具有此性质？如果有，请举例；如果没有，请说明理由第 11 讲 约数与倍数内容概述掌握约数与倍数酌概念学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题典型问题兴趣篇1(1)请写出 105 的所有约数；(2)请写出 72 的所有约数答案：(1) 1、3、5、7、15、21、35、105(2)1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72分析： 052175713486292(1) 20000 的约数有多少个？ (2) 720 的约数有多少个？答案：(1)30
8、 个 (2) 30 个分析：(1) ， 约数的个数= 个5402(51)430(2) ，约数的个数= 30 个732(1)3计算：(1) (28,72), 28,72; (2) (28,44,260), 28, 44, 260.答案：(1) 4，504 (2) 4，20020分析：(1) ， ，所以 ；2873228,743228,77504(2) ， ， ，所以 ，2126051322,460,674两个数的差是 6，它们的最大公约数可能是多少？答案：1，2，3，6.分析：两个数的最大公因数一定是它们差的因数。因为这两个数的差是 6，则它们的最大公因数一定是 6 的因数。即可能为 1，2，3
9、，6。5(1)求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数； (2)求 3553，3910 和 1411 的最大公约数答案：(1) 31，41230 (2) 17分析：(1) ， ，所以， ，1085731821931085,731,240(2) ， ，395745,1046教师节到了，校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个香蕉来慰问退休老职工请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？答案： 40 份；苹果 8 个，桔子 6 个，香蕉 5 个。分析：水果分成的份数应该是 320，240，200 的最大公因数，因为 ，所以最多
10、分成 40 份。 苹果每份：3320,4240；8桔子每份： ；香蕉每份：6257一块长方形草地，长 120 米，宽 90 米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？答案：28 棵。分析：要使种的树最少，则相邻两棵树之间的距离要最大。因为四个角和各边中点都要求种树，所以相邻两棵树之间的距离应该是 60 和 45 的最大公因数。即 15 米。又因为是封闭图形，种的棵树等于段数。所以最少种 棵。120915288甲数和乙数的最大公约数是 6，最小公倍数是 90.如果甲数是 18，那么乙数是多少？答案：30分析：因为两个数的最大公因
11、数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。所以乙数为 6901839有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的 27 倍已知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16 的倍数，但不是 18 的倍数；乙数是两位数乙数是多少？答案：81分析： ， ，由题意可知，甲数中质因数 342,46810,6235732的个数只能有 1 个。而甲乙的最小公倍数是甲的 27 倍，则最小公倍数中质因数 3的个数有 4 个。所以乙数中质因数 3 的个数至少有 4 个，因为乙数是两位数，所以乙数是 ，即 81。310小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是 35，最小公倍数是 70.这三个数
12、的和可能是多少？ 答案：140 或 175分析：设三个数分别为 ，因为 ， 。,abc,35abc,70abc35 的倍数有：35，70，105 ， 70 的因数有：1，2，5，7，10，14，35，70.公共部分只有 35 和 70.所以 可以为：（1）35，35，35.（2）35，35，70 ,（3）35，70，70 （4）70，70，70。经检验， （1） 、 （4）不符合题意，舍去。只有（2）和（3） 。即三个数的和为 140 和 175.拓展篇172 共有多少个约数？其中有多少个约数是 3 的倍数？答案：12 个；8 个分析： ， 个约数。32712求约数是 3 的倍数，即 的约数个
13、数。331825400 共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式答案：48 个； 72485分析： 约数的个数为325403121483两数乘积为 2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1这两个数分别是多少？答案：16 和 175分析：因为其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1，则这两个数的约数个数是一奇一偶。所以一个数为平方数。 ，下面枚举， （1）4280572257和（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。4和 257和 22和 427和经过验证，只有（2）中的两个数的约数个数差 1.所以为 16 和 1754计算：(1) (391, 357), 3
14、91, 357; (2) (18, 24, 36), 18, 24, 36.答案：(1) 17，8211 (2) 6，72分析：(1) ;39172357139,571,28(2) ， ， 。283426,462321,6751547、1573、1859 这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？答案：13，2433431分析： ， ，1473125713285913；5,894,717436张阿姨把 225 个苹果、350 个梨和 150 个桔子平均分给小朋友们，最后剩下 9 个苹果、26 个梨和 6 个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？答案：6 个分析：分给小朋友的水果有
15、个苹果， 个梨，25916350264个桔子。216，324，144 的最大公因数即为人数。1504，26,33所以每个小朋友分到了 个苹果。7一个数和 16 的最大公约数是 8，最小公倍数是 80.这个数是多少？答案：40分析：两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。所以这个数等于801648两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 18，最小公倍数是 216.这两个数分别是多少？答案：54 和 72分析：设这两个数为甲、乙，甲数= ，乙数 ，且 。则18mn,1m。1826mn所以 ，所以 或 。因为甲和乙不成倍数关系，1,2n3,4所以 。即，甲数=54，乙数=72.3
16、,49两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 420，如果这两个数相差 18，那么较小的数是多少？答案：42分析：设这两个数分别为甲和乙， ，甲数= ，乙数= ，且6m6n,1m则 。所以 =70。 。又因为两个数相差 18，所以6420mnn7025，综合上述，可得， ，即较小数为 42.31,10有 4 个不同的正整数，它们的和是 1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少？答案：101分析：设 ， ， ， 且 。因为它们的和为=AmaBbCmcDd,1abc1111.则 ，而 ，所以 最大为1D0m101.即它们的最大公因数最大能是 101。11甲、乙两个数的最小公倍数是 90，乙、丙
17、两个数的最小公倍数是 105，甲、丙两个数的最小公倍数是 126.请问：甲数是多少？答案：18分析：因为 ， ，所以甲应为 的因数。又因=90甲 ， 乙 =216甲 ， 丙 90,216=8为，则甲一定有因数 2，且乙、丙中的质因数 3 的个数只有 1 个，而15乙 ， 丙，则甲一定有 2 个质因数 3。所以甲数为 。=90甲 ， 乙 2=812甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数 2 和 3，并且都有 12 个约数，它们的最大公约数是 12.请问：甲、乙两数之和是多少？答案：204分析： ， ，因为都有 12 个约数。设 ，=23xy甲 数 =23ab乙 数 126xy。则 和 ，即
18、14ab15xy或 23ab或， 。又因为甲和乙的最大公因数为5=23甲 数 或 232=乙 数 或，所以，甲数= ，乙数= 。即甲乙两数的和=96+108=204153超越篇1360 共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？答案：6 个；78分析： ，所以 360 的奇约数的个数即为 的约数的个数。所以是3205235个。所有的奇约数的和=1600782求出所有恰好含有 10 个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和答案：48，约数之和为 124；80，约数之和为 186。分析： ，质因数的个数分别为 1 和 4。两位数中只有 =48， =80 满10=5 42345足。48 的所有约
19、数之和= 。80 的所有约数0230+=1之和= 0234+5=863已知 与 的最大公约数是 4， 与 c、 与 c 的最小公倍数都是 100，而且 a b满abab足条件的自然数 a、b、c 共有多少组？答案：9 组分析：由题意可知， ， ，有因为 100= ，则 、 可以是2m2bn25mn，1mn， ， ， 共 5 种。因为 a b，所以舍去后两种。即521n521n三种情况。而 ， 为 1，2， 中的一种，共 3 种。所以 种。cp 394所有 70 的倍数中，共有多少个数恰有 70 个约数？答案：6 个分析： ，则 70 的倍数都可以写成 ，又因为有 70 个约数，则7025257
20、abc分别为 1，4，7 中的一个。全排列即 6 个。,abc5自然数 n 是 1，2，3，10 的公倍数，而且它恰有 72 个约数，n 的最小值是多少？答案：10080分析： ，而 ，分成四个数相乘。32,057 23或 或 ，然后讨论，只有当 ， 即4269236时最小。即最小 。537527108n6三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处里圈跑道长 千米，中圈跑道长 千米，5141外圈跑道长 千米甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，开83始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑 3 千米，乙每小时跑 4 千米，丙每小时2跑 5 千米他们同时出发请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？答案：6 小时分析： 小时， 小时， 小时。甲回到出发点需要的时间12314635840是 的倍数，乙回到出发点需要的时间是 的倍数，丙回到出发点需要的时间是51的倍数。所以三人第一次同时回到出发点的时间40小时。2,1321, 6356540