1、1第 23 讲 构造认证一内容概述各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整阵性的分析方法典型问题兴趣篇1如图 16-1，用 12 和 13 两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？2国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图 16-2 中一个皇后（图中五角星）就把整个 33 的棋盘控制了为了控制一个 44 的棋盘至少要放几个皇后？3图 16-3 中的左图为 15 枚硬币组成的三角形，如果仅移动 5 枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法4把 100
2、个橘子分装在 6 个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 6，应该如何装？5把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的请问：最少有多少条棱是白色的？6请在 9，8，3，2，l 的相邻两个数之间填入“ + ”或者“ - ”（不能改变数的顺序） ，使得结果是 1能否使得结果是 0 呢？27如图 16-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由，8四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少场这四位同学回答分别比了 1、2、3、3 场老师说：“你
3、们肯定有人记错了 ”请问：老师是怎么知道的呢？9有四个算式：口+口= 口，口口= 口，口口=口，口口=口，如果每一个算式中都至少有 1个偶数和 1 个奇数，那么 12 个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这 12 个数中最少有多少个偶数？最多有多少个偶数？10有 14 个孩子，依次给他们编号为 1，2，3，14.能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和拓展篇1图 16-6 中的左图为 21 枚硬币组成的三角形，如果仅移动 7 枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法32小明买来一个 1500 克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了
4、7 块，使得无论是 3 个人还是 5 个人平分，都不必再分割蛋糕这 7 块蛋糕的重量分别是多少？3有 4 颗外形完全相同的珍珠，其中 3 颗是真的，另 1 颗是假的，已知假珍珠比真的要轻，请问：用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是 9 颗珍珠里有 1 颗假的呢？请设计出方案.4图 16-7 中，左边是一把长为 6 厘米的直尺，其中已标出 2 条刻度线，用它可以一次量出从 1至 6 厘米中任意整数厘米的长度右图为一把长为 9 厘米的直尺，请你在上面只标出 3 条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度5请将 8 个 1，8 个 0 填人图 16
5、-8 的 16 个空格中，使得每行、每列的 4 个数之和都是奇数6有一列自然数，其中任意 3 个相连的数之和都不小于 6，而任意 4 个相连的数之和都小于8这个数列最多能有几项？7用 7 个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出 1000，例如 1111 - 111=1000.试用 8 个相同的数字（并且适当使用加号、减号）来计算 1000.8有 12 根小木棍，长度分别为 l，2，3，4，12 厘米(1)能否用这 12 根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲；(2)能否用这 12 根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲49(1)请在 l，2，3，19，
6、20 的相邻两个数之间填入“+”或者“一” （不能改变数的顺序） ，使得结果是 0(2)能否在 1，2，3，20，21 的相邻两个数之间填人 “+”或者“一”（不能改变数的顺序） ，使得结果是 010有 5 个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制，每次操作可以拉动其中的 2 个开关以改变相应灯泡的亮暗状态，能否经过若干次操作使得 5 个灯泡都变暗？11桌上放有 5 张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上 1、2、3、4、5，然后冬冬在背面也分别写上 l、2、3、4、5，写完后计算每张卡片上两数之和，再把 5 个和相乘问：冬冬能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？12将一个三位数改变三个数
7、字的顺序之后可以得到一个新的三位数请问：这个新的三位数和原来的三位数之和能不能等于 9997 如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由超越篇1桌上放有 5 枚硬币，第一次翻动其中 l 枚，第二次翻动其中 2 枚，第三次翻动其中 3 枚，第四次翻动其中 4 枚，第五次翻动其中 5 枚，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？如果桌上放有 6 枚硬币，按类似的方法翻动六次，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？2甲、乙、丙、丁四个人，每个人都有一条消息他们之间通过电话传递消息：当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告
8、诉甲，请你设计一种方案，使得只需打电话 4 次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息3天平称物体的原理是：在天平的左右两个托盘中放人物品和砝码，当天平平衡时，我们可以根据砝码的重量来知道物品的重量(1)在某一类天平中，物品只能放在左边的托盘中，砝码只能放在天平右端的托盘中至少需要准备多少个砝码，才能保证一次称出 l 至 20 克之间的任意整数克的物品？(2)在某一类天平中，砝码可以放在天平两端的托盘中，物品也可以放在两边的托盘中，那么至5少需要准备多少个砝码，才能保证一次称出 l 至 32 克之间的任意整数克的物品？4如图 16-9 所示，18 个孩子站在 24 个方格中，每格最多站 1 人
9、，要使得每行每列站的孩子数都是偶数请在图中标出这些孩子的站法（只需给出一种站法即可） 5如图 16-10 所示，有 3 个 3x3 的方格表，每个都已经填入了 9 个整数如果将表中同一行或同一列的 3 个数加上相同的整数称为一次操作，问：(1)下列三个方格表中，是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数？若有请指出是哪个或哪个或哪些表格，若没有则说明理由；(2)是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样？若有请指出是哪个或哪些表格，若没有则说明理由6(1)能否将 1、2、3、4、5 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 2 或者 3？(2)能否将 1、2、3、4、5、
10、6、7 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 2 或者 3？7旅店现在有 9 个单人间，10 名旅客可能人住这 10 名旅客每次有 9 个人同时人住，管理员想事先给每个人配一些钥匙，使得无论是哪 9 个人人住，总能正好人住这 9 个房间，而且不用找别人借钥匙，请问：最少需要多少把钥匙？8如图 16-11，在五角星图案中共有 10 个节点（用黑色实心圆点表示） ，以这些节点为顶点的三角形共有 10 个现在将自然数 1 至 10 分别填在 10 个节点上，将每个三角形中三个顶点处所标6数的和称为此三角形的“特征值”请问：(1)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值均为偶数；(2)是否存在一种
11、填数方法，使得每个三角形的特征值都能被 3 整除能则举出例子，不能请说明理由7构造认证一内容概述各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整阵性的分析方法典型问题兴趣篇1如图 16-1，用 12 和 13 两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？答案：14 个详解：58=40403=1311+31=4(13-1)+42=142国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图 16-2 中一个皇后（图中五角星）就把整个 33 的棋盘控制了为了控制一个 44 的棋盘至少要放几个皇后？答案：2 个详解
12、：可以如图示位置放 2 个皇后3图 16-3 中的左图为 15 枚硬币组成的三角形，如果仅移动 5 枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法8答案：4把 100 个橘子分装在 6 个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 6，应该如何装？答案：100=60+16+6+6+6+6详解：一个篮子放 60 个，一个篮子放 16 个，其他 4 个篮子放 6 个。5把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的请问：最少有多少条棱是白色的？答案：3 条详解：三维方向：上下、左右、前后，各 1 条，共 3 条。6请在 9，8，3，2，l 的相邻两
13、个数之间填入“ + ”或者“ - ”（不能改变数的顺序） ，使得结果是 1能否使得结果是 0 呢？答案：（1）能使结果=1，如 9-8-7+6+5-4-3+2+1=1；（2）不能使结果=0详解：（1）1+2+3+.+8+9=45，分配和 23-22=1，所以可以使结果=1；（2）同理，1+2+3+.+8+9=45 和为奇数，不能分成两个一样的和相减=0.所以不能使结果=0.7如图 16-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由，答案：不能详解：因为 3 个顶点的数中至少有两个奇偶性相同，所以至少有某条边的两个
14、顶点上的数奇偶性一样，而两个数只要奇偶性相同，和就为偶数，所以不可能每条边上顶点上的数之和都是奇数。98四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少场这四位同学回答分别比了 1、2、3、3 场老师说：“你们肯定有人记错了 ”请问：老师是怎么知道的呢？答案：4 人所说的比赛场数之和 1+2+3+3=9 为奇数，与每一场比赛被计算两次总和为偶数矛盾。9有四个算式：口+口= 口，口口= 口，口口=口，口口=口，如果每一个算式中都至少有 1个偶数和 1 个奇数，那么 12 个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这 12 个数中最少有多少个偶数？最多有多少个
15、偶数？答案：（1）6 个；（2）最少 2 个；最多 12 个。详解：（1）奇+偶=奇，奇- 偶=奇，奇偶=偶，偶奇=偶（2）满足最少的四个式子：奇+奇=偶，奇-奇=偶，奇奇=奇，奇奇=奇满足最多的四个式子：偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶偶=偶，偶偶=偶10有 14 个孩子，依次给他们编号为 1，2，3，14.能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和答案：不能详解：因为 1+2+3+4+13+14=105,为奇数，而如果能的话，和应该为偶数，矛盾。拓展篇1图 16-6 中的左图为 21 枚硬币组成的三角形，如果仅移动 7 枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动
16、？请在图中表示出移动的方法10答案：2小明买来一个 1500 克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了 7 块，使得无论是 3 个人还是 5 个人平分，都不必再分割蛋糕这 7 块蛋糕的重量分别是多少？答案：分别为 300g，300g，300g，200g，200g，100g，100g。3有 4 颗外形完全相同的珍珠，其中 3 颗是真的，另 1 颗是假的，已知假珍珠比真的要轻，请问：用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是 9 颗珍珠里有 1 颗假的呢？请设计出方案.答案：（1）4 颗：称 2 次；（2）9 颗：称 2 次。详解：（1）首先，将 4 颗平均分成两组，4=2+2，第一次：将两组放于
17、天平两边，假珍珠在轻的那边 2 颗中；第二次：将轻的那两颗分别放于天平两边，再称 1 次，轻的一边就是那颗假珍珠；（2）首先，将 9 颗平均分成三组，9=3+3+3，第一次：取其中两组放天平两边，轻的一边 3 颗中有 1 颗假的，如果两边一样重，说明假的在这两组之外的第三组中，这样就将假珍珠确定在某 3 颗里面；第二次：从包含假珍珠的这一组里面任取 2 颗珍珠放在天平的两边，轻的一边是假珍珠，如果两边一样重，则第 3 颗是假珍珠。4图 16-7 中，左边是一把长为 6 厘米的直尺，其中已标出 2 条刻度线，用它可以一次量出从 1至 6 厘米中任意整数厘米的长度右图为一把长为 9 厘米的直尺，请
18、你在上面只标出 3 条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度答案：将直尺分为：1 厘米、1 厘米、4 厘米、3 厘米四段，或者是：1 厘米、3 厘米、3 厘米、2厘米四段。5请将 8 个 1，8 个 0 填人图 16-8 的 16 个空格中，使得每行、每列的 4 个数之和都是奇数11答案：（答案不唯一）如右图 示6有一列自然数，其中任意 3 个相连的数之和都不小于 6，而任意 4 个相连的数之和都小于8这个数列最多能有几项？答案：5 项详解：1 2 3 1 1 7用 7 个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出 1000，例如 1111 - 111=10
19、00.试用 8 个相同的数字（并且适当使用加号、减号）来计算 1000.答案：888+88+8+8+8=1000.8有 12 根小木棍，长度分别为 l，2，3，4，12 厘米(1)能否用这 12 根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲；(2)能否用这 12 根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲答案：（1）能；（2）不能。详解：（1）1+2+3+4+.+11+12=78（厘米） ，782=39，即可以拼成长 +宽=39（厘米）的长方形；（2）1+2+3+4+.+11+12=78（厘米） ，78 不能被 4 整除，所以不能拼成正方形。9(1)请在 l，2，3，
20、19，20 的相邻两个数之间填入“+”或者“一” （不能改变数的顺序） ，使得结果是 0(2)能否在 1，2，3，20，21 的相邻两个数之间填人 “+”或者“一”（不能改变数的顺序） ，使得结果是 0答案：（1）能=0，即其中一种填法是 1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+13-14-15+16+17-18-19+20=0；（2）不能详解：（1）如给出的填法；（2）1+2+3+4+5+18+19+20+21=231 为奇数，不能分成两个一样的数相减=0.10有 5 个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制，每次操作可以拉动其中的 2 个开关以改变相应灯泡的亮暗状态，能否经过若
21、干次操作使得 5 个灯泡都变暗？答案：不能详解：每次拉动 2 个灯，拉灯的总次数为偶数，而 5 个灯都要亮着拉的总次数应该为奇数，偶数不可能等于奇数，所以不能。1 1 1 00 1 1 10 1 0 00 0 1 01211桌上放有 5 张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上 1、2、3、4、5，然后冬冬在背面也分别写上 l、2、3、4、5，写完后计算每张卡片上两数之和，再把 5 个和相乘问：冬冬能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？答案：不能因为：正面和背面所写数的总和为 30，是偶数，所以 5 张卡片上的 5 个和至少有一个是偶数，那么 5 个和的乘积为偶数。12将一个三位数改变三个
22、数字的顺序之后可以得到一个新的三位数请问：这个新的三位数和原来的三位数之和能不能等于 999，如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由答案：不能因为：两数相加和为 999，肯定没有发生进位，那么原来两数的数字和等于 27；而根据题目所描述的新数与原数数字和相同，两数数字和为偶数，矛盾。超越篇1桌上放有 5 枚硬币，第一次翻动其中 l 枚，第二次翻动其中 2 枚，第三次翻动其中 3 枚，第四次翻动其中 4 枚，第五次翻动其中 5 枚，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？如果桌上放有 6 枚硬币，按类似的方法翻动六次，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？答案
23、：（1）翻动 5 次，能将 5 枚硬币都翻过来；（2）翻动 6 次，不能将 6 枚硬币都翻过来。详解：（1）1+2+3+4+5=15，155=3，整除，所以能；（2）1+2+3+4+5+6=21，21 不能被 6 整除，所以不能。2甲、乙、丙、丁四个人，每个人都有一条消息他们之间通过电话传递消息：当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲，请你设计一种方案，使得只需打电话 4 次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息答案：可以这样设计：甲和丙通一次电话，乙和丁通一次电话，然后丙和丁通电话，甲和乙通电话。3天平称物体的原理是：在天平的左右两个托
24、盘中放人物品和砝码，当天平平衡时，我们可以根据砝码的重量来知道物品的重量(1)在某一类天平中，物品只能放在左边的托盘中，砝码只能放在天平右端的托盘中至少需要准备多少个砝码，才能保证一次称出 l 至 20 克之间的任意整数克的物品？(2)在某一类天平中，砝码可以放在天平两端的托盘中，物品也可以放在两边的托盘中，那么至少需要准备多少个砝码，才能保证一次称出 l 至 32 克之间的任意整数克的物品？答案：（1）5 个；（2）4 个。详解：（1）用这 5 个：1g、2g、2g、5g、10g；（2）用这 4 个：1g、3g、9g、27g。134如图 16-9 所示，18 个孩子站在 24 个方格中，每格
25、最多站 1 人，要使得每行每列站的孩子数都是偶数请在图中标出这些孩子的站法（只需给出一种站法即可） 答案：答案不唯一，如图示其中一种站法，0 处不站小孩。5如图 16-10 所示，有 3 个 3x3 的方格表，每个都已经填入了 9 个整数如果将表中同一行或同一列的 3 个数加上相同的整数称为一次操作，问：(1)下列三个方格表中，是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数？若有请指出是哪个或哪个或哪些表格，若没有则说明理由；(2)是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样？若有请指出是哪个或哪些表格，若没有则说明理由答案：（1）不能；（2）不能。6(1)能否将 1、2、
26、3、4、5 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 2 或者 3？(2)能否将 1、2、3、4、5、6、7 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 2 或者 3？答案：（1）能，如依次为 1、3、5、2、4；（2）不能7旅店现在有 9 个单人间，10 名旅客可能入住这 10 名旅客每次有 9 个人同时入住，管理员想事先给每个人配一些钥匙，使得无论是哪 9 个人入住，总能正好入住这 9 个房间，而且不用找别人借钥匙，请问：最少需要多少把钥匙？答案：18 把8如图 16-11，在五角星图案中共有 10 个节点（用黑色实心圆点表示） ，以这些节点为顶点的三角形共有 10 个现在将自然数 1 至 10 分别填在 10 个节点上，将每个三角形中三个顶点处所标数的和称为此三角形的“特征值”请问：0 00 00 014(1)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值均为偶数；(2)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值都能被 3 整除能则举出例子，不能请说明理由答案：（1）不存在；（2）不存在。