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五年级高斯奥数之构造认证一含答案

1、1第 23 讲 构造认证一内容概述各种形式的构造问题,解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求,有时应从简单情形入手寻找规律本讲的论证问题,一般采用奇偶性或整阵性的分析方法典型问题兴趣篇1如图 16-1,用 12 和 13 两种规格的小长方形地板砖铺满的地面,至少需要地板砖多少块?2国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线,图 16-2 中一个皇后(图中五角星)就把整个 33 的棋盘控制了为了控制一个 44 的棋盘至少要放几个皇后?3图 16-3 中的左图为 15 枚硬币组成的三角形,如果仅移动 5 枚硬币,要把这些硬币变成右图的形式,应该怎样移动?请在图中表示出移动的方法4把 100

2、个橘子分装在 6 个篮子里,使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 6,应该如何装?5把正方体的所有棱染成白色或者红色,要求每个面上至少要有一条棱是白色的请问:最少有多少条棱是白色的?6请在 9,8,3,2,l 的相邻两个数之间填入“ + ”或者“ - ”(不能改变数的顺序) ,使得结果是 1能否使得结果是 0 呢?27如图 16-5,能否在三角形的三个顶点各填一个自然数,使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数?如果能,请写出一种填法;如果不能,请说明理由,8四位同学进行了一次乒乓球单打比赛,当比赛进行了若干场后,体育老师问他们分别比赛了多少场这四位同学回答分别比了 1、2、3、3 场老师说:“你

3、们肯定有人记错了 ”请问:老师是怎么知道的呢?9有四个算式:口+口= 口,口口= 口,口口=口,口口=口,如果每一个算式中都至少有 1个偶数和 1 个奇数,那么 12 个数中一共有多少个偶数?如果没有前面的限制,这 12 个数中最少有多少个偶数?最多有多少个偶数?10有 14 个孩子,依次给他们编号为 1,2,3,14.能否把他们分成三组,使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和拓展篇1图 16-6 中的左图为 21 枚硬币组成的三角形,如果仅移动 7 枚硬币,要把这些硬币变成右图的形式,应该怎样移动?请在图中表示出移动的方法32小明买来一个 1500 克的生日蛋糕,他把蛋糕切成了

4、7 块,使得无论是 3 个人还是 5 个人平分,都不必再分割蛋糕这 7 块蛋糕的重量分别是多少?3有 4 颗外形完全相同的珍珠,其中 3 颗是真的,另 1 颗是假的,已知假珍珠比真的要轻,请问:用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠?如果是 9 颗珍珠里有 1 颗假的呢?请设计出方案.4图 16-7 中,左边是一把长为 6 厘米的直尺,其中已标出 2 条刻度线,用它可以一次量出从 1至 6 厘米中任意整数厘米的长度右图为一把长为 9 厘米的直尺,请你在上面只标出 3 条刻度线,使得用这把直尺一次可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度5请将 8 个 1,8 个 0 填人图 16

5、-8 的 16 个空格中,使得每行、每列的 4 个数之和都是奇数6有一列自然数,其中任意 3 个相连的数之和都不小于 6,而任意 4 个相连的数之和都小于8这个数列最多能有几项?7用 7 个相同的数字并且适当使用加、减号,可以计算出 1000,例如 1111 - 111=1000.试用 8 个相同的数字(并且适当使用加号、减号)来计算 1000.8有 12 根小木棍,长度分别为 l,2,3,4,12 厘米(1)能否用这 12 根小木棍拼成一个长方形,要求木棍都得用上且不能折断或弯曲;(2)能否用这 12 根小木棍拼成一个正方形,要求木棍都得用上且不能折断或弯曲49(1)请在 l,2,3,19,

6、20 的相邻两个数之间填入“+”或者“一” (不能改变数的顺序) ,使得结果是 0(2)能否在 1,2,3,20,21 的相邻两个数之间填人 “+”或者“一”(不能改变数的顺序) ,使得结果是 010有 5 个亮着的灯泡,每个灯泡都由一个开关控制,每次操作可以拉动其中的 2 个开关以改变相应灯泡的亮暗状态,能否经过若干次操作使得 5 个灯泡都变暗?11桌上放有 5 张卡片,小悦先在卡片的正面分别写上 1、2、3、4、5,然后冬冬在背面也分别写上 l、2、3、4、5,写完后计算每张卡片上两数之和,再把 5 个和相乘问:冬冬能否找到一种写法,使得最后的乘积是奇数?为什么?12将一个三位数改变三个数

7、字的顺序之后可以得到一个新的三位数请问:这个新的三位数和原来的三位数之和能不能等于 9997 如果能,请举出例子;如果不能,请说明理由超越篇1桌上放有 5 枚硬币,第一次翻动其中 l 枚,第二次翻动其中 2 枚,第三次翻动其中 3 枚,第四次翻动其中 4 枚,第五次翻动其中 5 枚,能否找到一种翻动硬币的方法,使得最后所有的硬币都翻过来?如果桌上放有 6 枚硬币,按类似的方法翻动六次,能否找到一种翻动硬币的方法,使得最后所有的硬币都翻过来?2甲、乙、丙、丁四个人,每个人都有一条消息他们之间通过电话传递消息:当甲与乙两个人通话时,甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙,乙也把自己所知道的全部信息告

8、诉甲,请你设计一种方案,使得只需打电话 4 次,就可以使得每个人都知道其他所有人的信息3天平称物体的原理是:在天平的左右两个托盘中放人物品和砝码,当天平平衡时,我们可以根据砝码的重量来知道物品的重量(1)在某一类天平中,物品只能放在左边的托盘中,砝码只能放在天平右端的托盘中至少需要准备多少个砝码,才能保证一次称出 l 至 20 克之间的任意整数克的物品?(2)在某一类天平中,砝码可以放在天平两端的托盘中,物品也可以放在两边的托盘中,那么至5少需要准备多少个砝码,才能保证一次称出 l 至 32 克之间的任意整数克的物品?4如图 16-9 所示,18 个孩子站在 24 个方格中,每格最多站 1 人

9、,要使得每行每列站的孩子数都是偶数请在图中标出这些孩子的站法(只需给出一种站法即可) 5如图 16-10 所示,有 3 个 3x3 的方格表,每个都已经填入了 9 个整数如果将表中同一行或同一列的 3 个数加上相同的整数称为一次操作,问:(1)下列三个方格表中,是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数?若有请指出是哪个或哪个或哪些表格,若没有则说明理由;(2)是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样?若有请指出是哪个或哪些表格,若没有则说明理由6(1)能否将 1、2、3、4、5 围成一个圆圈,使得相邻两个数的差都是 2 或者 3?(2)能否将 1、2、3、4、5、

10、6、7 围成一个圆圈,使得相邻两个数的差都是 2 或者 3?7旅店现在有 9 个单人间,10 名旅客可能人住这 10 名旅客每次有 9 个人同时人住,管理员想事先给每个人配一些钥匙,使得无论是哪 9 个人人住,总能正好人住这 9 个房间,而且不用找别人借钥匙,请问:最少需要多少把钥匙?8如图 16-11,在五角星图案中共有 10 个节点(用黑色实心圆点表示) ,以这些节点为顶点的三角形共有 10 个现在将自然数 1 至 10 分别填在 10 个节点上,将每个三角形中三个顶点处所标6数的和称为此三角形的“特征值”请问:(1)是否存在一种填数方法,使得每个三角形的特征值均为偶数;(2)是否存在一种

11、填数方法,使得每个三角形的特征值都能被 3 整除能则举出例子,不能请说明理由7构造认证一内容概述各种形式的构造问题,解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求,有时应从简单情形入手寻找规律本讲的论证问题,一般采用奇偶性或整阵性的分析方法典型问题兴趣篇1如图 16-1,用 12 和 13 两种规格的小长方形地板砖铺满的地面,至少需要地板砖多少块?答案:14 个详解:58=40403=1311+31=4(13-1)+42=142国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线,图 16-2 中一个皇后(图中五角星)就把整个 33 的棋盘控制了为了控制一个 44 的棋盘至少要放几个皇后?答案:2 个详解

12、:可以如图示位置放 2 个皇后3图 16-3 中的左图为 15 枚硬币组成的三角形,如果仅移动 5 枚硬币,要把这些硬币变成右图的形式,应该怎样移动?请在图中表示出移动的方法8答案:4把 100 个橘子分装在 6 个篮子里,使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 6,应该如何装?答案:100=60+16+6+6+6+6详解:一个篮子放 60 个,一个篮子放 16 个,其他 4 个篮子放 6 个。5把正方体的所有棱染成白色或者红色,要求每个面上至少要有一条棱是白色的请问:最少有多少条棱是白色的?答案:3 条详解:三维方向:上下、左右、前后,各 1 条,共 3 条。6请在 9,8,3,2,l 的相邻两

13、个数之间填入“ + ”或者“ - ”(不能改变数的顺序) ,使得结果是 1能否使得结果是 0 呢?答案:(1)能使结果=1,如 9-8-7+6+5-4-3+2+1=1;(2)不能使结果=0详解:(1)1+2+3+.+8+9=45,分配和 23-22=1,所以可以使结果=1;(2)同理,1+2+3+.+8+9=45 和为奇数,不能分成两个一样的和相减=0.所以不能使结果=0.7如图 16-5,能否在三角形的三个顶点各填一个自然数,使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数?如果能,请写出一种填法;如果不能,请说明理由,答案:不能详解:因为 3 个顶点的数中至少有两个奇偶性相同,所以至少有某条边的两个

14、顶点上的数奇偶性一样,而两个数只要奇偶性相同,和就为偶数,所以不可能每条边上顶点上的数之和都是奇数。98四位同学进行了一次乒乓球单打比赛,当比赛进行了若干场后,体育老师问他们分别比赛了多少场这四位同学回答分别比了 1、2、3、3 场老师说:“你们肯定有人记错了 ”请问:老师是怎么知道的呢?答案:4 人所说的比赛场数之和 1+2+3+3=9 为奇数,与每一场比赛被计算两次总和为偶数矛盾。9有四个算式:口+口= 口,口口= 口,口口=口,口口=口,如果每一个算式中都至少有 1个偶数和 1 个奇数,那么 12 个数中一共有多少个偶数?如果没有前面的限制,这 12 个数中最少有多少个偶数?最多有多少个

15、偶数?答案:(1)6 个;(2)最少 2 个;最多 12 个。详解:(1)奇+偶=奇,奇- 偶=奇,奇偶=偶,偶奇=偶(2)满足最少的四个式子:奇+奇=偶,奇-奇=偶,奇奇=奇,奇奇=奇满足最多的四个式子:偶+偶=偶,偶-偶=偶,偶偶=偶,偶偶=偶10有 14 个孩子,依次给他们编号为 1,2,3,14.能否把他们分成三组,使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和答案:不能详解:因为 1+2+3+4+13+14=105,为奇数,而如果能的话,和应该为偶数,矛盾。拓展篇1图 16-6 中的左图为 21 枚硬币组成的三角形,如果仅移动 7 枚硬币,要把这些硬币变成右图的形式,应该怎样移动

16、?请在图中表示出移动的方法10答案:2小明买来一个 1500 克的生日蛋糕,他把蛋糕切成了 7 块,使得无论是 3 个人还是 5 个人平分,都不必再分割蛋糕这 7 块蛋糕的重量分别是多少?答案:分别为 300g,300g,300g,200g,200g,100g,100g。3有 4 颗外形完全相同的珍珠,其中 3 颗是真的,另 1 颗是假的,已知假珍珠比真的要轻,请问:用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠?如果是 9 颗珍珠里有 1 颗假的呢?请设计出方案.答案:(1)4 颗:称 2 次;(2)9 颗:称 2 次。详解:(1)首先,将 4 颗平均分成两组,4=2+2,第一次:将两组放于

17、天平两边,假珍珠在轻的那边 2 颗中;第二次:将轻的那两颗分别放于天平两边,再称 1 次,轻的一边就是那颗假珍珠;(2)首先,将 9 颗平均分成三组,9=3+3+3,第一次:取其中两组放天平两边,轻的一边 3 颗中有 1 颗假的,如果两边一样重,说明假的在这两组之外的第三组中,这样就将假珍珠确定在某 3 颗里面;第二次:从包含假珍珠的这一组里面任取 2 颗珍珠放在天平的两边,轻的一边是假珍珠,如果两边一样重,则第 3 颗是假珍珠。4图 16-7 中,左边是一把长为 6 厘米的直尺,其中已标出 2 条刻度线,用它可以一次量出从 1至 6 厘米中任意整数厘米的长度右图为一把长为 9 厘米的直尺,请

18、你在上面只标出 3 条刻度线,使得用这把直尺一次可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度答案:将直尺分为:1 厘米、1 厘米、4 厘米、3 厘米四段,或者是:1 厘米、3 厘米、3 厘米、2厘米四段。5请将 8 个 1,8 个 0 填人图 16-8 的 16 个空格中,使得每行、每列的 4 个数之和都是奇数11答案:(答案不唯一)如右图 示6有一列自然数,其中任意 3 个相连的数之和都不小于 6,而任意 4 个相连的数之和都小于8这个数列最多能有几项?答案:5 项详解:1 2 3 1 1 7用 7 个相同的数字并且适当使用加、减号,可以计算出 1000,例如 1111 - 111=10

19、00.试用 8 个相同的数字(并且适当使用加号、减号)来计算 1000.答案:888+88+8+8+8=1000.8有 12 根小木棍,长度分别为 l,2,3,4,12 厘米(1)能否用这 12 根小木棍拼成一个长方形,要求木棍都得用上且不能折断或弯曲;(2)能否用这 12 根小木棍拼成一个正方形,要求木棍都得用上且不能折断或弯曲答案:(1)能;(2)不能。详解:(1)1+2+3+4+.+11+12=78(厘米) ,782=39,即可以拼成长 +宽=39(厘米)的长方形;(2)1+2+3+4+.+11+12=78(厘米) ,78 不能被 4 整除,所以不能拼成正方形。9(1)请在 l,2,3,

20、19,20 的相邻两个数之间填入“+”或者“一” (不能改变数的顺序) ,使得结果是 0(2)能否在 1,2,3,20,21 的相邻两个数之间填人 “+”或者“一”(不能改变数的顺序) ,使得结果是 0答案:(1)能=0,即其中一种填法是 1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+13-14-15+16+17-18-19+20=0;(2)不能详解:(1)如给出的填法;(2)1+2+3+4+5+18+19+20+21=231 为奇数,不能分成两个一样的数相减=0.10有 5 个亮着的灯泡,每个灯泡都由一个开关控制,每次操作可以拉动其中的 2 个开关以改变相应灯泡的亮暗状态,能否经过若

21、干次操作使得 5 个灯泡都变暗?答案:不能详解:每次拉动 2 个灯,拉灯的总次数为偶数,而 5 个灯都要亮着拉的总次数应该为奇数,偶数不可能等于奇数,所以不能。1 1 1 00 1 1 10 1 0 00 0 1 01211桌上放有 5 张卡片,小悦先在卡片的正面分别写上 1、2、3、4、5,然后冬冬在背面也分别写上 l、2、3、4、5,写完后计算每张卡片上两数之和,再把 5 个和相乘问:冬冬能否找到一种写法,使得最后的乘积是奇数?为什么?答案:不能因为:正面和背面所写数的总和为 30,是偶数,所以 5 张卡片上的 5 个和至少有一个是偶数,那么 5 个和的乘积为偶数。12将一个三位数改变三个

22、数字的顺序之后可以得到一个新的三位数请问:这个新的三位数和原来的三位数之和能不能等于 999,如果能,请举出例子;如果不能,请说明理由答案:不能因为:两数相加和为 999,肯定没有发生进位,那么原来两数的数字和等于 27;而根据题目所描述的新数与原数数字和相同,两数数字和为偶数,矛盾。超越篇1桌上放有 5 枚硬币,第一次翻动其中 l 枚,第二次翻动其中 2 枚,第三次翻动其中 3 枚,第四次翻动其中 4 枚,第五次翻动其中 5 枚,能否找到一种翻动硬币的方法,使得最后所有的硬币都翻过来?如果桌上放有 6 枚硬币,按类似的方法翻动六次,能否找到一种翻动硬币的方法,使得最后所有的硬币都翻过来?答案

23、:(1)翻动 5 次,能将 5 枚硬币都翻过来;(2)翻动 6 次,不能将 6 枚硬币都翻过来。详解:(1)1+2+3+4+5=15,155=3,整除,所以能;(2)1+2+3+4+5+6=21,21 不能被 6 整除,所以不能。2甲、乙、丙、丁四个人,每个人都有一条消息他们之间通过电话传递消息:当甲与乙两个人通话时,甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙,乙也把自己所知道的全部信息告诉甲,请你设计一种方案,使得只需打电话 4 次,就可以使得每个人都知道其他所有人的信息答案:可以这样设计:甲和丙通一次电话,乙和丁通一次电话,然后丙和丁通电话,甲和乙通电话。3天平称物体的原理是:在天平的左右两个托

24、盘中放人物品和砝码,当天平平衡时,我们可以根据砝码的重量来知道物品的重量(1)在某一类天平中,物品只能放在左边的托盘中,砝码只能放在天平右端的托盘中至少需要准备多少个砝码,才能保证一次称出 l 至 20 克之间的任意整数克的物品?(2)在某一类天平中,砝码可以放在天平两端的托盘中,物品也可以放在两边的托盘中,那么至少需要准备多少个砝码,才能保证一次称出 l 至 32 克之间的任意整数克的物品?答案:(1)5 个;(2)4 个。详解:(1)用这 5 个:1g、2g、2g、5g、10g;(2)用这 4 个:1g、3g、9g、27g。134如图 16-9 所示,18 个孩子站在 24 个方格中,每格

25、最多站 1 人,要使得每行每列站的孩子数都是偶数请在图中标出这些孩子的站法(只需给出一种站法即可) 答案:答案不唯一,如图示其中一种站法,0 处不站小孩。5如图 16-10 所示,有 3 个 3x3 的方格表,每个都已经填入了 9 个整数如果将表中同一行或同一列的 3 个数加上相同的整数称为一次操作,问:(1)下列三个方格表中,是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数?若有请指出是哪个或哪个或哪些表格,若没有则说明理由;(2)是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样?若有请指出是哪个或哪些表格,若没有则说明理由答案:(1)不能;(2)不能。6(1)能否将 1、2、

26、3、4、5 围成一个圆圈,使得相邻两个数的差都是 2 或者 3?(2)能否将 1、2、3、4、5、6、7 围成一个圆圈,使得相邻两个数的差都是 2 或者 3?答案:(1)能,如依次为 1、3、5、2、4;(2)不能7旅店现在有 9 个单人间,10 名旅客可能入住这 10 名旅客每次有 9 个人同时入住,管理员想事先给每个人配一些钥匙,使得无论是哪 9 个人入住,总能正好入住这 9 个房间,而且不用找别人借钥匙,请问:最少需要多少把钥匙?答案:18 把8如图 16-11,在五角星图案中共有 10 个节点(用黑色实心圆点表示) ,以这些节点为顶点的三角形共有 10 个现在将自然数 1 至 10 分别填在 10 个节点上,将每个三角形中三个顶点处所标数的和称为此三角形的“特征值”请问:0 00 00 014(1)是否存在一种填数方法,使得每个三角形的特征值均为偶数;(2)是否存在一种填数方法,使得每个三角形的特征值都能被 3 整除能则举出例子,不能请说明理由答案:(1)不存在;(2)不存在。