1、 1 / 11第 10 讲 数字谜综合一内容概述涉及小数、分数、循环小数酌数字谜问题；需要利用数论知识解决的数字谜问题典型问题兴趣篇1有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数，再把这个小数和原来的四位数相加，得数是 4003.64 求这个四位数2试将 1、2、3、4、5、6、7 分别填人下面的方框中，每个数字只用一次：口口口（这是一个三位数） ，口口口（这是一个三位数） ，口（这是一个一位数） ，使得这三个数中任意两个都互质已知其中一个三位数已填好，它是 714，求另外两个数3用 1 至 9 这 9 个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？4如图 13-!，4 个
2、小三角形的顶点处有 6 个圆圈，在这些圆圈中分别填上 6 个质数（可以重复） ，使得它们的和是 20，而且每个小三角形 3 个顶点上的数之和相等，请问：这 6 个质数的乘积是多少？5在一个带有余数的除法算式中，商比除数大 2，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是 1023.请问：此算式中的 4 个数之和最大可能是多少？6在乘法算式“ ”中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同好 好 好春 杯迎 杯 的数字请问：“迎+春+ 杯+好”等于多少？7将 1 至 9 这 9 个数填入下面算式中的 9 个方框内（每个数字只能用一次） ，使等式成立口口口口口=口口口口=55682 / 1
3、18循环小数 化成最简分数后，分子与分母之和为 40，那么 A 和 B 分别是多少？BA.09在算式“ ”中，华、罗、庚、金、杯、数、学、竞、赛九个字，分别代表7金 杯竞 赛华 罗 庚数 学数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9已知“竞 = 8，赛 = 6”，请把这个算式写出来10已知“ ”是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，GODBA不同的字母代表不同的数字，已知 GOOD 不是 8 的倍数请问：ABGD 代表的四位数是什么？拓展篇14.25 - (1+2.5 + 9.1 + 0.7) + 0.04=100.改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被
4、改动的数变为多少？2用 0 至 9 这 10 个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质其中的四位数是 2940，另外三个数可能是多少？3 在上面的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的学 数 学科 学数 数 数字请问：“数学”所代表的两位数是多少？4在等式“口口 口 O=口口口”中，口、 、O、分别代表不同的数字四位数 是多少？O5将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 9 个数字分别填人下式的各个方框中，使等式成立：口口口口=口口口口口=3634.3 / 116已知 a 是一个自然数，A 、B 是 1 至 9 中的数字，最
5、简分数差 请问：a 是多少？BAa3.027把质数 373 按数位拆开（不改变各数之间的顺序） ，只能得到 3、7、37、73 这四个数，它们仍然都是质数，请找出所有具有这种性质的质数8在下面各题中，请你用给出的四个数，适当进行加、减、乘、除运算，每个数恰好用一次，使得计算结果等于 24. (1)1，4，5，6； (2)1，5，5，5； (3)3，3，7，7； (4)3，3，8，8.9把 1 至 6 填人下面的方框中，每个数字恰好使用一次，使得等式成立，请写出所有的答案 口口口口=口口10如图 13-2 所示，三角形纸片盖住的都是质数数字，正方形纸片盖住的都是合数数字，要使得两个加数的差尽可能
6、小，较大的加数是多少？11在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字代表的六位数是多少？ 花 相 似岁 岁年 年 不 同人年 年年 年 12在图 13-3 所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字如果代表的五位数能被 24 整除，那么这个五位数是多少？CHINA超越篇1两个学生计算同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，但计算结果都是 1360.实际上正确结果的个位不是 0，那么正确结果应该是多少？2用 0 至 9 这 10 个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次） ，这些质数的和最小是多少？4 / 113已知 是纯循环小数，将它
7、写成最简分数后，使得分母最小那么这个分数是多少？b13a.0A4数学家维纳在博士毕业典礼上说：“我现在年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含数字 0 至 9 各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域干出一番大事业 ”请问：他是几岁毕业的？5一个四位数的每一位数字都是非零的偶数，它又恰好是某个偶数数字组成的数的平方，请问：这个四位数是多少？6在图 134 所示算式的每个方框内填人一个数字，要求所填的数字都是质数，并使竖式成立7a、b、c 是三个互不相同的自然数，且满足 ，求三位数cba7=abcabc8已知算式 ，其中 a b c后来发现右边的乘积的数
8、字顺序出现234586 =cab a错误，但是知道个位的 6 是正确的，那么原式中的 是多少？5 / 11第 13 讲 数字谜综合一内容概述涉及小数、分数、循环小数酌数字谜问题；需要利用数论知识解决的数字谜问题典型问题兴趣篇1有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数，再把这个小数和原来的四位数相加，得数是 4003.64 求这个四位数答案：3964详解：在一个数的十位后添加小数点，相当于缩小 10 倍，由这个小数和原来的四位数相加，得数是 4003.64，可知这个小数点至少是在百位以后，若是在百位以后添加小数点，则原数是小数的100 倍 4003.64（100+1）=39.6
9、4，原数是 3964，若是在千位以后添加小数点，则原数是小数的1000 倍 4003.64（1000+1） ，但是它除不尽，所以原来的四位数是 3964.2试将 1、2、3、4、5、6、7 分别填人下面的方框中，每个数字只用一次：口口口（这是一个三位数） ，口口口（这是一个三位数） ，口（这是一个一位数） ，使得这三个数中任意两个都互质已知其中一个三位数已填好，它是 714，求另外两个数答案：5 和 263详解：714=23717，因为两两互质，另外两个数一定不包含 714 的约数，2.3.6 排除，所以这个一位数只能填 5，剩下的三位数之能有 2,3,6 组成，这个数不能是偶数，所以个位只能
10、是 3,263 和623,623=789 有约数 7，排除。两个数分别是 5 和 2633用 1 至 9 这 9 个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？答案：6 个详解：首先 4,6,8,9 都可以作为单独存在的数，而 1、2、3、5、7 可以组合出两个合数，例如 27 和35，剩下一个 1 必须和前面的一个数字组成一个合数，如 81，这样我们就会得到 6 个合数，也就是最多。4如图 13-!，4 个小三角形的顶点处有 6 个圆圈，在这些圆圈中分别填上 6 个质数（可以重复） ，使得它们的和是 20，而且每个小三角形 3 个顶点上的数之和相等，请问：这 6 个质数的乘积是多少？答
11、案：900详解：设每个小三角形 3 个顶点上的数之和是 S，4 个小三角形的和 S 相加时，中间三角形每个顶点上的数被算了 3 次，所以 4S=2S+20，即 S=10，这样每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5，从而六个质数是 2,2，3，3,5,5，六个数的积就应该是 223355=9005在一个带有余数的除法算式中，商比除数大 2，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小6 / 11数之差是 1023.请问：此算式中的 4 个数之和最大可能是多少？答案：1147详解：由被除数-余数=1023 可得：除数 商=1023=31131，已知商等于除数加 2，因此商等于33，除数等于
12、31，这时余数最大为 31-1=30，被除数为 1023+30-1053，因此算式中的 4 个数的和最大可能是 1053+33+31+30=11476在乘法算式“ ”中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同好 好 好春 杯迎 杯 的数字请问：“迎+春+ 杯+好”等于多少？答案：21详解：好好好=好111= 好337 ，所以迎杯和春杯中一定会有一个是 3 的倍数，另一个是 37 的倍数,37 的倍数只有 37 和 74。设迎杯是 37 的倍数，如果迎杯是 37，那么原式变为 37春 7=好好好，所以好等于 9，因此春杯=99937=27 ，如果迎杯=74 ，那么原式变为 74春 4=好好
13、好，所以好等于 6，但 66674=9，不是两位数，所以这种情况下无解，因此 4 个数的和为 3+2+7+9=217将 1 至 9 这 9 个数填入下面算式中的 9 个方框内（每个数字只能用一次） ，使等式成立口口口口口=口口口口=5568答案：5568详解：5568=2 6329,5568 要分解成两个不小于 10 的数的乘积，我们按照较小数由小到大顺序的列出来：12464，16348,24323,29192,32174,48116,5896,6487，观察发现，12464，24323，29192，48116 有重复数字，不满足条件，6348,32174，5896,6487，满足条件，如果两
14、位数乘两位数 5896,另外一组是 32174，如果两位数乘两位数 6487，就出现了重复数字，填法是32174=5896=55688循环小数 化成最简分数后，分子与分母之和为 40，那么 A 和 B 分别是多少？BA.0答案：2 和 1详解：小数化分数后，AB/99 约分后的分子分母之和为 40，由于 99 是已知的，约掉的数一定是3、9、11、33 之一，约分前分子与分母的和是 AB+99，约分后变成了 40，所以 AB+99 是 40 的倍数，所以只能是 AB+99=340=120，AB=120-99=21，A 和 B 分别是 2 和 19在算式“ ”中，华、罗、庚、金、杯、数、学、竞、
15、赛九个字，分别代表7金 杯竞 赛华 罗 庚数 学数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9已知“竞 = 8，赛 = 6”，请把这个算式写出来答案：95/247+86/13=7详解： 是一个真分数，所以 在 6 和 7 之间， 只能取 13 或 14.如果金杯=13，原式7 / 11变为：数学/华罗庚+86/137，所以：华罗庚7 86/13 5/13，说明“数学”一定是 5 的倍数，“华罗庚”一定是 13 的倍数，现在还剩 2，4 ，5，7，9 五个数字可以用， “数学”是 5 的倍数，所以“学”5， “数学”可以是 25、45、75、95，相应的“华罗庚”为 65、117、195、247 ，检
16、验发现只有 95/247 符合要求，如果“金杯”14，同理，找不到合适的答案，排除。所以，式子是95/247+86/13=710已知“ ”是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，GODBA不同的字母代表不同的数字，已知 不是 8 的倍数请问：ABGD 代表的四位数是什么？答案：3810详解：两个三位数之和为四位数，所以四位数的首位一定是 1，即 G 等于 1，有因为个位上是D+D=D，所以 D 只能是 0，如果 A+A 进位，那么 A+A=10+O，而 B+B=9+O，一奇一偶不可能同时成立，因此 A+A 不进位，A 只能是 2,3,4，已知 GOOD 不是 8 的倍数，所以 BA
17、D 不能是 4 的倍数，再由 D=0 可知 A 不能是偶数，A 只能等于 3，830+830=1660，ABGD 代表的四位数是 3810拓展篇14.25 - (1+2.5 + 9.1 + 0.7) + 0.04=100.答案：0.25详解：左边等于=4.25-(12.5+9.10.7)0.04=21-(0.4+13)0.04=7.60.04=190发现左边大于右边，左边应该减小，可以将 4.2 变成 0.42，2.5 变成 0.25,9.1 变成 91,0.7 变为0.07,0.04 变为 0.4,这些都是将左边变小的方法，显然只能将 2.5 变成 0.25改动上面算式中一个数的小数点的位置
18、，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少？2用 0 至 9 这 10 个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质其中的四位数是 2940，另外三个数可能是多少？答案：1，67，583 或 1，67，853详解：2940=2357，所以一位数只能是 1 还剩下 3、5、6、7、8 五个数，要保证两位数与2940 互质，两位数的末位不能是 5、6、8（不能被 2、5 整除） ，也不能被 3、7 整除，所以可以组成的两位数中，只有 37、53、67、83 四个与 2940 互质情况 1：两位数为 37剩下 5、6、8 组成的三位数或是 2 的
19、倍数，或是 5 的倍数，与 2940 不互质情况 2：两位数为 53剩下 6、7、8 组成的三位数总是 3 的倍数，与 2940 不互质情况 3：两位数为 67剩下 3、5、8 组成的三位数 853，583 是质数，符合条件情况 4：两位数为 83剩下 5、6、7 组成的三位数总是 3 的倍数，与 2940 不互质所以四个数字分别为：1、67、853、或 1，67，5833 在上面的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的学 数 学科 学数 数 8 / 11数字请问：“ ”所代表的两位数是多少？答案：16详解：设数x,科y，学z,(10x+x)*(10y+z)=100z+10x+z
20、即110xy+11xz=101z+10xx(110y+11z-10）=101zx|101z 即 x|z令 z=ax,上式化简为110y+11z=101a+10考虑等号两边的个位数位置，则知 z=a，那么 x=1,即11y=9a+1,则 y=5,z=a=6即11*56=6164在等式“口口 口 O=口口口”中，口、 、O、分别代表不同的数字四位数 是多少？O答案：3172详解：口口口=口10101=口口口 O=口133721 故 =3172O5将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 9 个数字分别填人下式的各个方框中，使等式成立：口口口口=口口口口口=3634.答案：4679 2315836
21、43详解：364322379 ，验证后 4679231583643 满足条件。6已知 a 是一个自然数，A 、B 是 1 至 9 中的数字，最简分数差 请问：a 是多少？BAa3.02答案：83详解:0.3A3BA3BA3B=0.3+0.1 0.A3BA3BA3B.设 x=0.A3BA3BA3B.那么有 x=0.A3B+0.001x x=A3B/999 a/222=0.3+A3B/9990a/222=(2997+A3B)/9990 a=2(2997+A3B)/90因为 a 是整数所以 2(2997+A3B)一定会被 90 整除,即：2(2997+A3B) 即可被 10 整除，也可被 9 整除首
22、先考虑被 10 整除 2997+A3B 尾数必须为 0 或 5，那么 B=3 或 8其次考虑被 9 整除被 9 整除的特点是：各位数和能被 9 整除 因为 2997 能被 9 整除，A3B 必须被9 整除当 B=3 时，各个位数和等于 A+6，因为 A b c后来发现右边的乘积的数字顺序出现234586 =cab a错误，但是知道个位的 6 是正确的，那么原式中的 是多少？答案：983详解：CBA 三个数乘积尾数是 6 的情况有 13 种：123、128、149、178、236、247、268、279、348、367、389、469、678要使 ABCBCACAB 是九位数，采用 A00B00C00=ABC000000 估算，即 ABC 要上到三位数。剩余可能的情况：279、367、389、469、678因乘积各位数字和不是 3 的倍数，必不能被 3 整除，则 A+B+C 不能是 3 的倍数，筛去 279、678。剩余 367、389、469。检验只有 983839398=328245326 符合。原式中 ABC 即 983