1、第 22 讲 计数综合一内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题典型问题兴趣篇1现有面值 1 元的钞票 3 张，面值 5 元的钞票 1 张，面值 10 元的钞票 2 张如果从中取出一些钞票(至少取 1 张)，可能凑出多少种不同的总钱数 ?2一本书从第 1 页开始编排页码，到最后一页结束时共用了 1983 个数码这本书共有多少页?3费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法?4有 13 个球队参加篮球比赛比赛分两个组
2、，第一组 7 个队，第二组 6 个队各组内先进行单循环赛(即每队都要与本组中其他各队比赛一场 )，然后由两组的第 1 名再比赛一场决定冠亚军请问：一共需要比赛多少场?5从 5 瓶不同的纯净水，2 瓶不同的可乐和 6 瓶不同的果汁中，拿出 2 瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法?6从 4 台不同型号的等离子电视和 5 台不同型号的液晶电视中任意取出 3 台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有 1 台，共有多少种不同的取法?7从 1 至 9 中取出 7 个不同的数，要求它们的和是 36，共有多少种不同的取法?8用 0、1、2、3、4 这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?9用两个 1、
3、一个 2、一个 3、一个 4 可以组成多少个不同的五位数?10在所有不超过 1000 的自然数中，数字 9 一共出现了多少次?拓展篇1把自然数 1 至 2008 依次写成一排，得到一个多位数123456789101112130620072008请问：(1)这个多位数一共有多少位?(2)从左向右数，这个多位数的第 2008 个数字是多少?2商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着 9 个球其中红色的、黄色的和绿色的球各有 3 个，而且每种颜色的球都分别标有 1、2、3 号顾客从箱子里摸出 3 个球，如果 3 个球的颜色全相同或者各不相同，就可以中奖已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且
4、一等奖比二等奖少问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种是二等奖呢?3工厂某日生产的 10 件产品中有 2 件次品，从这 10 件产品中任意抽出 3 件进行检查，问：(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的 3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有多少种?4如图 22-1，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形?56 名学生和 4 名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是 3 名学生和 2 名老师，一共有多少种分队的方法?610 个人围成一圈，从中选出 3 个人要求这 3 个人中恰有 2 人相邻，一共有多少种不同选法?7用
5、0、1、2、3、4、5 这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数?其中偶数有多少个?8用 l、2、3、4 这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些三位数的和是多少?9用两个 1、两个 2、两个 3 可以组成多少个不同的六位数?105 名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：(1)5 个人站成一排；(2)5 个人站成一排，小强必须站在中间；(3)5 个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；(4)5 个人站成一排，小强、大强必须站在两边；(5)5 个人站成一排，小强、大强都没有站在边上116 名小朋友 A、B、C、D、E、F 站成一排若 A，B 两人必须相邻，
6、一共有多少种不同的站法?若 A、B 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法?12学校乒乓球队一共有 4 名男生和 3 名女生某次比赛后他们站成一排照相，请问：(1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法?(2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法?超越篇1有 6 种不同颜色的小球，请问：(1)如果每种颜色的球都只有 1 个，从这些球中取出 3 个排成一列，共有多少种方法 ?(2)如果每种颜色的球都只有 1 个，从这些球中取出 3 个装到袋中，共有多少种方法 ?(3)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出 3 个排成一列，共有多少种方法?(4)如果每种颜色的球的数量都足够多
7、，从这些球中取出 3 个装到袋中，共有多少种方法?2有一些四位数的 4 个数字分别是 2 个不同的奇数和 2 个不同的偶数，而且不含有数字0这样的四位数有几个?3用 l、2、3、4 这四个数字组成四位数，至多允许有 1 个数字重复两次例如1234、1233 和 2414 是满足条件的，而 1212、3334 和 3333 都不满足条件请问：一共能组成多少个满足条件的四位数?4四年级三班举行六一儿童节联欢活动整个活动由 2 个舞蹈、2 个演唱和 3 个小品组成请问：(1)如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序?(2)如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场
8、顺序?5在一次合唱比赛中，有身高互不相同的 8 个人要站成两排，每排 4 个人，且前后对齐而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住一共有多少种不同的排队方法?6有 9 张同样大小的圆形纸片其中标有数字“1”的纸片有 1 张；标有数字“2”的纸片有 2 张；标有数字“3”的纸片有 3 张；标有数字“4”的纸片也有 3 张把这 9 张圆形纸片如图 22-2 所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起请问：(1)如果在 M 处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法 ?(2)如果在 M 处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法 ?7从三个 0、四个
9、 1、五个 2 中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数?88 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间(不一定相邻) ，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种?第 22 讲 计数综合一内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题典型问题兴趣篇1现有面值 1 元的钞票 3 张，面值 5 元的钞票 1 张，面值 10 元的钞票 2 张如果从中取出一些钞票(至少取 1 张)，可能凑出多少种不同的总钱数 ?答案：23 种分析 ：根据题意，钱数的可能范围为 1-28 元，其中
10、 4 元，9 元，14 元，19 元，24 元是不可能出现的。2一本书从第 1 页开始编排页码，到最后一页结束时共用了 1983 个数码这本书共有多少页?答案：697 页分析 ：根据题意，1-9 页，每页 1 个数码；10-99 页，每页 2 个数码；100 页以上，每页 3 个数码，1983-91-902=1794，17943=598，598+90+9=697（页）3费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法?答案：12 种分析 ：根据题意， 2=12（种）3A4有 13 个球队参加篮球比赛比赛分两个组，第一组 7
11、 个队，第二组 6 个队各组内先进行单循环赛(即每队都要与本组中其他各队比赛一场 )，然后由两组的第 1 名再比赛一场决定冠亚军请问：一共需要比赛多少场?答案：37 场分析： =37（种）1267C5从 5 瓶不同的纯净水，2 瓶不同的可乐和 6 瓶不同的果汁中，拿出 2 瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法?答案：52 种分析： =52（种）16512C6从 4 台不同型号的等离子电视和 5 台不同型号的液晶电视中任意取出 3 台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有 1 台，共有多少种不同的取法?答案：70 种分析： （种）7014254C7从 1 至 9 中取出 7 个不同的数，要求它们
12、的和是 36，共有多少种不同的取法?答案：4 种分析：由于 2+3+4+5+6+7+8=35，得出结果 4 种8用 0、1、2、3、4 这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?答案：96 种分析：44321=96（种）9用两个 1、一个 2、一个 3、一个 4 可以组成多少个不同的五位数?答案：60 个分析： （种）6025A10在所有不超过 1000 的自然数中，数字 9 一共出现了多少次?答案：300 次分析：9 在个位出现 100 次，在十位出现 100 次，在百位出现 100 次，1003=300（次)拓展篇1把自然数 1 至 2008 依次写成一排，得到一个多位数1234567
13、89101112130620072008请问：(1)这个多位数一共有多少位?(2)从左向右数，这个多位数的第 2008 个数字是多少?答案：（1）6925 位；（2）7分析：（1）1-9，9 位；10-99，180 位，100-999，2700 位，1000-2008，4036 位，9+180+2700+4036=6925（位） ；（2）72商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着 9 个球其中红色的、黄色的和绿色的球各有 3 个，而且每种颜色的球都分别标有 1、2、3 号顾客从箱子里摸出 3 个球，如果 3 个球的颜色全相同或者各不相同，就可以中奖已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，
14、并且一等奖比二等奖少问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种是二等奖呢?答案：摸出 3 个颜色相同的是一等奖，摸出 3 个颜色各不相同的球是二等奖。分析：颜色相同的种类是 ，颜色各不相同的种类是 。13C2713C3工厂某日生产的 10 件产品中有 2 件次品，从这 10 件产品中任意抽出 3 件进行检查，问：(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的 3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有多少种?答案：（1）120 种；（2）56 种；（3）64 种分析：（1） （种） ；（2） （种） ；（3） （种）10C56281C643810C4如图 22-
15、1，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形?答案：80 个分析： （个）803514254C56 名学生和 4 名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是 3 名学生和 2 名老师，一共有多少种分队的方法?答案：120 种分析： （种）120436C610 个人围成一圈，从中选出 3 个人要求这 3 个人中恰有 2 人相邻，一共有多少种不同选法?答案：60 种分析： （种）601C7用 0、1、2、3、4、5 这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数?其中偶数有多少个?答案：300 个，156 个分析：5543=300（个） ；543+2443=156（个）8用
16、l、2、3、4 这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些三位数的和是多少?答案：24 个，6660分析：432=24（个） ；（1+2+3+4）（600+60+6）=66609用两个 1、两个 2、两个 3 可以组成多少个不同的六位数?答案：90 个分析： （个）或 =90（个）90)(26A246C105 名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：(1)5 个人站成一排；(2)5 个人站成一排，小强必须站在中间；(3)5 个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；(4)5 个人站成一排，小强、大强必须站在两边；(5)5 个人站成一排，小强、大强都没有站在边上答案
17、：（1）120 种；（2）24 种；（3）48 种；（4）12 种；（5）36 种分析：（1） （2）略；（3） （种） （4） （种） （5） （种）8412AC123A362A116 名小朋友 A、B、C、D、E、F 站成一排若 A，B 两人必须相邻，一共有多少种不同的站法?若 A、B 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法?答案：240 种；480 种分析： （种） ； （种）24054802512学校乒乓球队一共有 4 名男生和 3 名女生某次比赛后他们站成一排照相，请问：(1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法?(2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法?答案：14
18、4 种；720 种分析： （种） ； （种）143A72053A超越篇1有 6 种不同颜色的小球，请问：(1)如果每种颜色的球都只有 1 个，从这些球中取出 3 个排成一列，共有多少种方法 ?(2)如果每种颜色的球都只有 1 个，从这些球中取出 3 个装到袋中，共有多少种方法 ?(3)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出 3 个排成一列，共有多少种方法?(4)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出 3 个装到袋中，共有多少种方法?答案：（1）120 种；（2）20 种；（3）216 种；（4）56 种分析：（1） （种） ；（2） （种） ；（3） （种） ；1036A036
19、C216（4） （种）5162C2有一些四位数的 4 个数字分别是 2 个不同的奇数和 2 个不同的偶数，而且不含有数字0这样的四位数有几个?答案：1440 个分析：（1） （个）10425AC3用 l、2、3、4 这四个数字组成四位数，至多允许有 1 个数字重复两次例如1234、1233 和 2414 是满足条件的，而 1212、3334 和 3333 都不满足条件请问：一共能组成多少个满足条件的四位数?答案：168 个分析：（1） （个）16824134AC4四年级三班举行六一儿童节联欢活动整个活动由 2 个舞蹈、2 个演唱和 3 个小品组成请问：(1)如果要求同类型的节目连续演出，那么共
20、有多少种不同的出场顺序?(2)如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序?答案：（1）144 种；（2）1440 种分析：（1） （种） ；（2） =1440（种）143A1543CA5在一次合唱比赛中，有身高互不相同的 8 个人要站成两排，每排 4 个人，且前后对齐而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住一共有多少种不同的排队方法?答案：2520 种分析：根据题意，任意选出 2 个人，一定会有高低，所以 （种）2504268C6有 9 张同样大小的圆形纸片其中标有数字“1”的纸片有 1 张；标有数字“2”的纸片有 2 张；标有数字“3”的纸片有 3 张
21、；标有数字“4”的纸片也有 3 张把这 9 张圆形纸片如图 22-2 所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起请问：(1)如果在 M 处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法 ?(2)如果在 M 处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法 ?答案：（1）6 种；（2）12 种分析：（1）如果 M 放 3，那么剩下的两个 3 必须放在最底下的左右两角， “4”必须是间隔着放，剩下的 3 个选一个放 1，所以 （种） ；（2）同理，M 放 2，另一个 2 只612C能放左，右下角，再按剩下的一个角是否放 1 分类，所以 （种）11C7从三个 0、四个 1、五个 2 中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数?答案：159 个分析：三进制法（从 10000-22222） ，不能出现的有 10000，20000，11111，所以5934588 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间(不一定相邻) ，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种?答案：2400 种分析：根据题意，先排冬冬小悦和阿奇，然后再排没出现名字的那个人，再排小光和大亮（捆绑，算一个人） ，最后再把小慧和大智插空排列，所以 （种）24061524AC