1、第 20 讲 幻方与数阵图扩展内容概述掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题.典型问题兴趣篇1. 把 1，2，9 填人图 20-1 中 9 个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上 3 个数之和都相等2. (1)如图 20-2，在 33 的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等(2)如图 20-3，在 44 的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等3在图 20-4 所示的 34 方格表的每个方格中填人恰当的数后，可
2、以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等现在一些数已经填出，标有符号“。 ”的方格内所填的数是多少?4如图 20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方5请将图 20-6 所示的 55 方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的 5 个方格内所填的 5 个数中，l、2、3、4、5 恰好各出现一次请问：标有符号 “” ， “”和“”的方格中所填的数分别是什么?6请将 1 至 9 这 9 个数填入图 20-7 中的方框内，使得所有不等号都成立所有满足要求的填法共有多少种?7请在图 20-8 所示的 8 个小圆圈内，分别填入 1 至
3、 8 这 8 个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差(大减小) 恰好是 1、2、3、 4、5、6、78将 1 至 5 这 5 个数字填入图 20-9 中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等9请在图 20-10 中的六块区域内填人 1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等10将 0 至 9 填入图 20-11 的 10 块区域中( 阴影区域除外 )，使得每个圆内的三个数之和都是相等的请问：这个和最小是多少?最大是多少?拓展篇1将 1，2，3，24，25 分别填入图 20-12 的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相
4、等现在已经填入了一些数，标有符号“。”的方格内所填的数是多少?2请在图 20-13 的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个方格中的各数之和都相等3(1)在图 20-14 的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个方格中的各数之和都等于 1995那么，标有“t”的方格内所填的数是多少?(2)请在图 20-15 的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3 个方格中的各数之和都相等。4. 如图 20-16，大正方形的 4 个角上已填人 4 个数，4 个数之和是 264奇妙的是, 把这个图倒过来看，大正方形 4 个角上的数之和仍然是
5、 264请你在中间的小正方形的 4 个角的圆圈里，填人另外 4 个数，使得每条对角线上的 4 个数正看和倒看时，其和都是 264；而且小正方形角上的 4 个数正看和倒看时，其和也都是 2645将 1、2、3、5、6、7、9、10、11 填人图 20-17 中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等6请将 1 至 10 填入图 20-18 中的 10 个圆圈中(9 已经填好 )，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差7在图 20-19 的 7 个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的 3 个数，居中的数是旁边两个数的平均数现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好
6、8请将 1 个 1，2 个 2，3 个 3，8 个 8，9 个 9 填人图 2020 中，使得相同的数所在的方格都连在一起(相连的两个方格必须有公共边 )；现在已经给出了其中 8 个方格中的数，并且知道 A、B、C、D、E、F、G 各不相同；那么，七位数 是多少?ABCDEFG9将数字 1、2、3、4、5、6、7 填人图 20-21 中的小圆圈内，使得每个圆周上的 3 个数之和与每条直线上的 3 个数之和都相等。10将 1 至 9 填人图 20-22 中的 9 个圆圈内，使 4 个大圆周上的 4 个数之和都等于 1611图 20-23 中一共有 10 个方格，现在把 2 至 11 这 10 个
7、自然数填到里面，每个方格各填一个如果要求图中的 3 个 22 的正方形中的 4 个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少?请给出一种填法12如图 20-24，大三角形被分成了 9 个小三角形试将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入这 9 个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每 5 个数相加的和相等这 5 个数的和最大可能是多少?请给出一种填法超越篇1请在图 20-25 的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个方格中的各数之和都相等2. 图 20-26 是有名的“六角幻方”：将 1 至 19 这 19 个自然数填人图中的圆圈中，使得
8、每一条直线上圆圈中的各数之和相等美国的数学爱好者阿当斯从 1910 年开始，到 1962 年，用了 52 年的时间才找到了解答我们给大家填入了 6 个自然数，请你完成这个“六角幻方”3在图 20-27 中有 6 个正方形，请你将 1 至 9 填人图中，使得每个正方形的 4 个顶点上的数字之和都相等4在图 20-28 的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是 1，并且相邻两个圆圈内的数字之差(大数减小数) 恰好等于这两个圆圈之间标出的数字5将 1 至 9 分别填人图 20-29 中的 9 个圆圈内，使图中每条直线( 图中有 7 条直线)上的圆圈内所填数之和都相等，那么这个和是
9、多少?6将 0，1，2，9 这 10 个数分别填人图 20-30 中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3 个顶点上的数之和相等这个和最大是多少?最小是多少?请分别给出使得和最大、最小的填法7在图 20-3l 中有 11 个空的圆圈，要求把 1 至 13 这些数填入各圈内(其中 3、4 已经填好) ，使得上面 2 个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数(例如，虚线框中上面 2 个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面 1 个圈中的数)，并且最下面空着的 4 个圆圈中的数之和等于 438图 20-32 中共有 10 个圆圈， 6 条直线请问：(1)能否将 l 至 10 填人图中，使得每条直线
10、上各数之和都相等?(2)能否将 0 至 9 填入图中，使得每条直线上各数之和都相等 ?(3)请从 1 至 1l 中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等第 20 讲 幻方与数阵图扩展内容概述掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题.典型问题兴趣篇1. 把 1，2，9 填人图 20-1 中 9 个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上 3 个数之和都相等答案：2. (1)如图 20-2，在 33 的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相
11、等(2)如图 20-3，在 44 的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等答案： 3在图 20-4 所示的 34 方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等现在一些数已经填出，标有符号“。 ”的方格内所填的数是多少?答案：1.2+4+5+e=3+a+b+6=7+c+d+f,所以 a+b=2+e,c+d+f=4+e,所以方格所有数和为 33+3e，此数同时是 3、4 的陪数，则 e=5,由各列和为 12，得出答案为 1.4如图 20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方答案：5请将图 20-6 所示的 55
12、方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的 5 个方格内所填的 5 个数中，l、2、3、4、5 恰好各出现一次请问：标有符号 “” ， “”和“”的方格中所填的数分别是什么?答案：=5， =5，=46请将 1 至 9 这 9 个数填入图 20-7 中的方框内，使得所有不等号都成立所有满足要求的填法共有多少种?答案：2 种7请在图 20-8 所示的 8 个小圆圈内，分别填入 1 至 8 这 8 个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差(大减小) 恰好是 1、2、3、 4、5、6、7答案：8将 1 至 5 这 5 个数字填入图 20
13、-9 中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等答案：中间小圆圈为 5，和为 109请在图 20-10 中的六块区域内填人 1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等答案：10将 0 至 9 填入图 20-11 的 10 块区域中( 阴影区域除外 )，使得每个圆内的三个数之和都是相等的请问：这个和最小是多少?最大是多少?当 k 最大时 b+c+e+g+i 最小为分别为 9.8.7.6.5 5k=45+35=80 k=16拓展篇1将 1，2，3，24，25 分别填入图 20-12 的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等现在已经填入了
14、一些数，标有符号“。”的方格内所填的数是多少?答案：4. 根据五阶幻方各行各列及对角线之和相等，剩余数为 1.2.3.4.5.6.7.11.17.18，有 a+12+23+9+20=a+19+b+25+13 ca=20 c 为 21.22 a 为 1.2又a+12+23+9+20=24+10+16+d+13 da=1 a 只能为 1，d 只能为 2，c 为 21和为 1+12+23+9+20=65,进而根据幻方求出各数。2请在图 20-13 的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个方格中的各数之和都相等答案：最小是 11，最大是 16。设各部分为 a.b.c.d.e
15、.f.g.h.i.j 和为 ka+b+c=k c+d+e=k e+f+g=k g+h+i=k i+j+b=k45+（b+c+e+g+i ）=5k当 k 最小时 b+c+e+g+i 最小为分别为 0.1.2.3.4.5 5k=55 k=11答案： 3(1)在图 20-14 的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个方格中的各数之和都等于 1995那么，标有“t”的方格内所填的数是多少?(2)请在图 20-15 的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3 个方格中的各数之和都相等。答案：（1）11.22（2）4. 如图 20-16，大正方形的 4 个角上已填
16、人 4 个数，4 个数之和是 264奇妙的是, 把这个图倒过来看，大正方形 4 个角上的数之和仍然是 264请你在中间的小正方形的 4 个角的圆圈里，填人另外 4 个数，使得每条对角线上的 4 个数正看和倒看时，其和都是 264；而且小正方形角上的 4 个数正看和倒看时，其和也都是 264答案：5将 1、2、3、5、6、7、9、10、11 填人图 20-17 中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等答案：6请将 1 至 10 填入图 20-18 中的 10 个圆圈中(9 已经填好 )，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差答案：7在图 20-19 的 7 个圆
17、圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的 3 个数，居中的数是旁边两个数的平均数现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好答案：8请将 1 个 1，2 个 2，3 个 3，8 个 8，9 个 9 填人图 2020 中，使得相同的数所在的方格都连在一起(相连的两个方格必须有公共边 )；现在已经给出了其中 8 个方格中的数，并且知道 A、B、C、D、E、F、G 各不相同；那么，七位数 是多少?ABCDEFG答案：67324899将数字 1、2、3、4、5、6、7 填人图 20-21 中的小圆圈内，使得每个圆周上的 3 个数之和与每条直线上的 3 个数之和都相等。答案：10将 1 至 9 填人图 20-
18、22 中的 9 个圆圈内，使 4 个大圆周上的 4 个数之和都等于 16答案：11图 20-23 中一共有 10 个方格，现在把 2 至 11 这 10 个自然数填到里面，每个方格各填一个如果要求图中的 3 个 22 的正方形中的 4 个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少?请给出一种填法答案：412如图 20-24，大三角形被分成了 9 个小三角形试将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入这 9 个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每 5 个数相加的和相等这 5 个数的和最大可能是多少?请给出一种填法答案：超越篇1请在图 20-25 的每个空格内填入一个合
19、适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个方格中的各数之和都相等答案：2. 图 20-26 是有名的“六角幻方”：将 1 至 19 这 19 个自然数填人图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等美国的数学爱好者阿当斯从 1910 年开始，到 1962 年，用了 52 年的时间才找到了解答我们给大家填入了 6 个自然数，请你完成这个“六角幻方”答案：3在图 20-27 中有 6 个正方形，请你将 1 至 9 填人图中，使得每个正方形的 4 个顶点上的数字之和都相等答案：4在图 20-28 的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是 1，并且相邻两个圆圈内的数字之差
20、(大数减小数) 恰好等于这两个圆圈之间标出的数字答案：5将 1 至 9 分别填人图 20-29 中的 9 个圆圈内，使图中每条直线( 图中有 7 条直线)上的圆圈内所填数之和都相等，那么这个和是多少?答案：6将 0，1，2，9 这 10 个数分别填人图 20-30 中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3 个顶点上的数之和相等这个和最大是多少?最小是多少?请分别给出使得和最大、最小的填法答案：和最大 14，中心数是 3，和最小是 13，中心数是 6.7在图 20-3l 中有 11 个空的圆圈，要求把 1 至 13 这些数填入各圈内(其中 3、4 已经填好) ，使得上面 2 个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数(例如，虚线框中上面 2 个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面 1 个圈中的数)，并且最下面空着的 4 个圆圈中的数之和等于 43答案：8图 20-32 中共有 10 个圆圈， 6 条直线请问：(1)能否将 l 至 10 填人图中，使得每条直线上各数之和都相等?(2)能否将 0 至 9 填入图中，使得每条直线上各数之和都相等 ?(3)请从 1 至 1l 中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等答案：（1）不能；（2）不能；（3）和是 19,20 或 21，答案不唯一，例如：