1、第 1 讲 整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。典型问题兴趣篇1. 计算：(1) 121328; (2) 4(2508) (3) 2583321252. 计算：(1) 5622+56 33+5644 (2) 22233+88966.3. 计算：(1) 3747+36 53 (2) 12376124 75。4. 计算：10099+9897+9695+ +1211+10.5. 计算：50+494847+46+454443+43+2+1.6. 计算：(1+3+5
2、+7+199+201) (2+4+6+8+198+200).7. 计算：1+2+3+4+48+49+50+49+48+4+3+2+1.8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个 7 和 8 组成的口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是 1995，口令是“87， ”在第一个口令“8”发出后变成 995，在第二个口令“7”发出后变成 9995。如果给出数“6595”以及口令“878788” ，问：变换后依次得到的 6 个数的和是多少？
3、9. 规定运算“ ”为：a b= (a+1) (b1), 请计算：(1)8 10; (2) 10 8.10. 规定运算“”为：ab=ab(a+b), 请计算：(1) 58; (2) 85; (3) (65)4; (4)6 (54)拓展篇1. 计算：(1)722788(9 1112); (2) 3112188125(1000 121).2. 计算：(1) 555445556444; (2) 421378015+581387015.3. 计算：20092009200920092008200820092008.4. 计算：1+23+4+56+7+89+97+9899.5. 计算：1009999989
4、897979696959594+433221.6. 在不大于 1000 的自然数中， A 为所有个位数字为 8 的数之和，B 为所有个位数字为 3的数之和. A 与 B 的差是多少？7. 求图 1-1 中所有数的和.8. 已知平方差公式： ，计算：2()abab22220198716519. 计算：9519495248.10. 规定运算“ ”为：a b=a+2b2, 计算：(1) (8 7) 6; (2) 8 (7 6)11. 规定运算“ ”为：a b=(a+1) (b2). 如果 6 ( 5)=91, 那么方格内应该填入什 A么数？12. 规定：符号“ ”为选择两数中较大的数的运算， “ ”
5、为选择两数中较小的数的运算，例如：3 5=5，3 5=3 请计算：1 2 3 4 5 6 7 100.（运算的顺序是从左至右）超越篇1. 观察下面算式的规律：2000+199119881982+1976+197019641958+1952+194619401934+一直这样写下去，那么最后 4 个自然数分别是哪 4 个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？2. 从 1, 2, , 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？3. 计算：13+610+15 21+28+4950.4. 已知平方差公式： , 计算：2()a
6、bab2 222210987965493415. a b 表示从 a 开始依次增加的 b 个连续自然数的和，例如：4 3=4+5+6=15, 5 4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4 15 (2) 在算式（ 7） 11=1056 中，方框里的数应该是多少？6. 定义两种运算：a b=ab+1, a b=ab+1, 用“ ”、 “ ”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=27.现定义四种操作的规则如下：“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以 2；如果是奇数，就先加上 1， 然后除以 2. 例如从 16 可以得到 8，从 27 可以得到 14.
7、“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4” ，就将其划掉，例如从 5304 可以得到 50，从 408 可以得到 8. （不含数字 3 和 4 的自然数不能进行“丢三落四”操作）“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7” ，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8” ，就将所有“8”移到最右边。例如从 98707 可以得到 77908，从802 可以得到 28. （不含数字 7 和 8 的自然数不能进行“七上八下”操作）“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成 0. 例如从 111 可以得到 110，从 905 可以得到 900. (个位是 0 的自然数不能进行 “
8、十全十美”操作)(1) 请写出对 4176 依次进行操作后的结果：(2) 从 655687 开始，最少经过几次操作以后可以得到 0？(3) 一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是8. 求有多少个这样的三位数.图 1-2 是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？第 1 讲 整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。典型问题兴趣篇1. 计算：(1) 121328;答案：484解析：原式=121（328）=1214=4
9、84(2) 4(2508)答案：125解析：原式=(4250)8=10008=125(3) 258332125答案：8300000解析：原式=（254）（8125）83=100100083=83000002. 计算：(1) 5622+56 33+5644答案：5544解析：原式=56（22+33+44）=5699=56（100-1）=56 100-561=5600-56=5544(2) 22233+88966.答案：66000解析：原式=11166+88966=66 （111+889）=661000=660003. 计算：(1) 3747+36 53答案：3647解析：原式=（36+1 ）47
10、+3653=3647+147+3653=36（47+53）+47=36100+47=3600+47=3647(2) 1237612475答案：48解析：原式=（124-1）7612475=12476-17612475=124（76-75 ）-76=124-76=484. 计算：10099+9897+9695+ +1211+10.答案：55解析：原式=（100-99）+（98-97）+（96-95 ）+（12-11 ）+10=1 45+10=555. 计算：50+494847+46+454443+43+2+1.答案：51解析：原式=（50+49 4847）+ （46+454443）+ （6+54
11、3）+2+1=412+2+1=516. 计算：(1+3+5+7+199+201) (2+4+6+8+198+200).答案：101解析：原式=1+3+5+7+199+201-2-4-6-8- -198-200=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（199-198）+（201-200 ）=1+1100=1017. 计算：1+2+3+4+48+49+50+49+48+4+3+2+1.答案：2500解析：原式=（1+49 ）4922+50=5049+50=50（49+1）=5050=25008. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个 7 和 8 组成的口
12、令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是 1995，口令是“87， ”在第一个口令“8”发出后变成 995，在第二个口令“7”发出后变成 9995。如果给出数“6595”以及口令“878788” ，问：变换后依次得到的 6 个数的和是多少？答案：22478解析：65956959695995999599999695+9695+995+9995+999+99=224789. 规定运算“ ”为：a b= (a+1) (b1), 请计算：(1)8 10; (2) 10 8.答案：81
13、；77解析：（1)原式=（8+1）（10-1）=99=81（2）原式=（10+1 ）（8-1 ）=117=7710. 规定运算“”为：ab=ab(a+b), 请计算：(1) 58; (2) 85; (3) (65)4; (4)6 (54)答案：27；27；53；49解析：（1）原式=58-（5+8）=40-13=27（2）原式=85-（8+5）=40-13=27（3）原式=【65-（6+5） 】4= 【30-11】4=194=194-（19+4）=76-23=53（4）原式=6 【5 4-（5+4） 】=6【20-9】=611=611-（6+11）=66-17=49拓展篇1. 计算：(1)72
14、2788(9 1112);答案：144解析：原式=72278891112=（7212）（279）（8811）=638=144(2) 3112188125(1000 121).答案：2420解析：原式=3112111（8125）1000121=311211110001000121=3112111121=（31-11）121=20121=24202. 计算：(1) 555445556444;答案：111解析：原式=（556-1）445556444=556445-1445556444=556（445-444）-445=556-445=111(2) 421378015+581387015.答案：137
15、48解析：原式=42137+58 13880157015=42 （138-1）+58138（8015+70 15）=42 138-421+58138（8015+7015）=（42+58）138-（80+70 ）15-42=100138-150 15-42=13800-10-42=137483. 计算：20092009200920092008200820092008.答案：2009解析：原式=（20092008+1）200920092008200820092008=200920082009+1200920092008200820092008=20092008（2009-2008-1）+2009=
16、20094. 计算：1+23+4+56+7+89+97+9899.答案：1584解析：原式=（1+2 3）+（4+56）+（7+89）+ +（97+9899）=0+3+6+96=（0+96 ）332=4833=15845. 计算：100999998+98979796+96959594+4332+21.答案：5000解析：原式=99(100-98)+97(98-96)+95 (96-94)+3(4-2)+21=2(99+97+95+3+1)=2(1+99)502=50006. 在不大于 1000 的自然数中， A 为所有个位数字为 8 的数之和，B 为所有个位数字为 3的数之和. A 与 B 的
17、差是多少？答案：500解析：从1到10，从11到20，从21到30，这样每10个数中都有一个个位数字是3和一个个位数字是8的数。且每一组两个数的差都是8-3=5,100010=100,1005=5007. 求图 1-1 中所有数的和.答案：495解析：每一列的数字和构成等差数列求和=中间项项数，即35+55+75+195=（3+5+7+19）5=（3+19）925=1145=4958. 已知平方差公式： ，计算：2()abab222201981651答案：210解析：原式=（20+19 ）（20-19)+(18+17）（18-17）+（2+1）（2-1）=20+19+18+17+2+1=（20
18、+1）202=2109. 计算：9519495248.答案：900003解析：平方差公式，原式=（950+1）（950-1 ）-（50+2）（50-2 ）=950 2-12-（50 2-22）=（950 2-502）+ （2 2-12）= （ 950+50）（950-50）+（2+1）（2-1 ）=1000900+31=900000310. 规定运算“ ”为：a b=a+2b2, 计算：(1) (8 7) 6; (2) 8 (7 6)（1）答案：30（2）答案：40（1）解析：原式=（8+2 7-2） 6=20 6=20+26-2=30(2) 解析：原式=8 （7+26-2）=8 17=8+2
19、17-2=4011. 规定运算“ ”为：a b=(a+1) (b2). 如果 6 ( 5)=91, 那么方格内应该填入什 A么数？答案：4解析：6 x=（6+1）(x-2)=91 x=15y 5=(y+1)(5-2)=15 y=412. 规定：符号“ ”为选择两数中较大的数的运算， “ ”为选择两数中较小的数的运算，例如：3 5=5，3 5=3 请计算：1 2 3 4 5 6 7 100.（运算的顺序是从左至右）答案：99解析： =大数， =小数，100 前面为 ，99 前面为 ，最后为 99 100=99超越篇1. 观察下面算式的规律：2000+199119881982+1976+19701
20、9641958+1952+194619401934+一直这样写下去，那么最后 4 个自然数分别是哪 4 个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？答案：-20，-14，+8，+2；2002解析：原式按符号分组（2000+1994-1988-1982）+（1976+1970-1964-1958）+（1952+1946-1940-1934）+每组第一个数公差为 24200024=838所以最后 4 个自然数为-20，-14，+8，+2原式为等差数列，项数为：（2000-14）6+1=332共有 3324=83 组每一组和为 24，所以原式=2483+8+2=20022. 从 1, 2, , 9
21、, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？答案：750解析：1（2+4+6+8+10)+3（2+4+6+8+10)+5（2+4+6+8+10)+7（2+4+6+8+10)+9（2+4+6+8+10)=(1+3+5+7+9)（2+4+6+8+10)=3025=7503. 计算：13+610+15 21+28+4950.答案：2500解析：原式=(13+610+1521+28 +4950)22=(99100-9899+9798-9697+34-23+2)2=(99+97+95+3)2+22=(3+99)492+1=25004.
22、已知平方差公式： , 计算：2()abab2 22221098796549341答案：10100解析：原式= +)()()()( 2222 )(322=（100+98）（100-98）+（99+97）（99-97）+（96+94）（96-94）+（4+2）（4-2）+（3+1）（3-1）=3942+3782+102=（394+378+10）2=101005. a b 表示从 a 开始依次增加的 b 个连续自然数的和，例如：4 3=4+5+6=15, 5 4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4 15 (2) 在算式（ 7） 11=1056 中，方框里的数应该是多少？答案：165；10解析
23、：（1）原式=4+5+6+17+18=（4+18）152=165（2）小括号外等差数列中间数：105611=96小括号内等差数列和：96-5=91小括号内等差数列中间数：917=13所以方框里的数为：13-3=106. 定义两种运算：a b=a b+1, a b=ab+1, 用“ ”、 “ ”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=2答案：（7 A3）（4 5） =27.现定义四种操作的规则如下：“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以 2；如果是奇数，就先加上 1， 然后除以 2. 例如从 16 可以得到 8，从 27 可以得到 14.“丢三落四”：如
24、果一个自然数中包含数字 “3”或“4” ，就将其划掉，例如从 5304 可以得到 50，从 408 可以得到 8. （不含数字 3 和 4 的自然数不能进行“丢三落四”操作）“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7” ，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8” ，就将所有“8”移到最右边。例如从 98707 可以得到 77908，从802 可以得到 28. （不含数字 7 和 8 的自然数不能进行“七上八下”操作）“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成 0. 例如从 111 可以得到 110，从 905 可以得到 900. (个位是 0 的自然数不能进行 “十全十美”操作)
25、(1) 请写出对 4176 依次进行操作后的结果：(2) 从 655687 开始，最少经过几次操作以后可以得到 0？(3) 一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是答案：700；6 次；18 个解析：（1）4716741637087308708700(2)65568732784427872836460 共 6 次（3）161178 共 18 个8. 求有多少个这样的三位数.图 1-2 是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？答案：1155解析：（1+2+3+8+9）+（4+6+8+16+18）+（9+12+24+27）+（16+20+32+36） +（25+30+40+45）+（36+42+48+54）+（49+56+63）+（64+72）+81=45+88+126+156+175+180+168+136+81=1155